2023-2024学年吉林省四平市铁西区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年吉林省四平市铁西区八年级（下）期中数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各式是最简二次根式的是( )
A. 12B. 0.2C. 2D. 20
2.以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是( )
A. 1， 3，2B. 1，1，2C. 2，3，4D. 4，5，6
3.下列计算正确的是( )
A. 6÷ 3=2B. 8− 3= 5C. (2 5)2=20D. 3 2− 2=3
4.下列选项中，平行四边形不一定具有的性质是( )
A. 两组对边分别平行B. 两组对边分别相等C. 对角线互相平分D. 对角线相等
5.利用勾股定理，可以作出长为无理数的线段．如图，在数轴上找到点A，使OA=5，过点A作直线1垂直于OA，在1上取点B，使AB=2，以原点O为圆心，以OB长为半径作弧，弧与数轴的交点为C，那么点C表示的无理数是( )
A. 21B. 29C. 7D. 29
6.如图，AD//BC，AB/​/CD，AD=5，BE=8，则CE的长为( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
7.计算：(− 6)2= ______．
8.若 x+2+ y−3=0，则xy的值为______．
9.三角形两边分别是6和8，要使这个三角形是直角三角形，则第三条边长是______．
10.如图，ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB=OD，请你添加一个适当的条件______，使ABCD成为菱形(只需添加一个即可)
11.某地需要开辟一条隧道，隧道AB的长度无法直接测量，如图所示，在地面上取一点C，使C到A、B两点均可直接到达，测量找到AC和BC的中点D、E，测得DE的长为1100m，则隧道AB的长度为______m.
12.如图，在Rt△ABC中，AB=4，点M是斜边BC的中点，以AM为边作正方形AMEF.若S正方形AMEF=16，则S△ABC= ______．
13.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别是(4,−2)，(1,2)，点B在x轴上，则点B的坐标是______．
14.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BC，BD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于12EF长为半径画弧交于点P作射线BP，过点C作BP的垂线分别交BD，AD于点M，N，则CN的长为______．
三、解答题：本题共12小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题5分)
计算： 8− 2+2 12．
16.(本小题5分)
计算：(5 3+3 2)(5 3−3 2)．
17.(本小题5分)
计算： 12−3 13+|2− 3|.
18.(本小题5分)
计算： 48÷ 2− 12× 12+ 54
19.(本小题7分)
如图，AD=4，CD=3，AB=13，BC=12，求△ABC的面积．
20.(本小题7分)
已知a=1+ 2，b=1− 2，求代数式a2−ab+b2的值．
21.(本小题7分)
如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，网格的中心标记为点O.按要求画四边形，使它的四个顶点均落在小正方形的顶点上，且点O为其对角线交点．
(1)在图1中画一个两边长分别为2和4的矩形；
(2)在图2中画一个平行四边形，使它有且只有一条对角线与(1)中矩形的对角线相等；
(3)在图3中画一个正方形，使它的对角线与(2)中所画平行四边形的一条对角线相等．
22.(本小题7分)
综合与实践
主题：制作无盖正方体形纸盒．
素材：一张正方形纸板．
步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形；
步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒．
猜想与证明：(1)直接写出纸板上∠ABC与纸盒上∠A1B1C1的大小关系；
(2)证明(1)中你发现的结论．
23.(本小题8分)
如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE=EF=FD，连接AE，EC，CF，FA．
(1)求证：四边形AECF是平行四边形．
(2)若△ABE的面积等于2，求△CFO的面积．
24.(本小题8分)
阅读材料：
小明在学习了二次根式后，发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2 2=(1+ 2)2.这样就可以将 3+2 2进行化简，
即： 3+2 2= (1+ 2)2=1+ 2．
例如：∵4+2 3=1+3+2 3=( 1)2+( 3)2+2 3=(1+ 3)2，
∴ 4+2 3= (1+ 3)2=1+ 3．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)化简 6+2 5；
(2)化简 5−2 6；
(3)当1≤a≤2时，化简： a+2 a−1+ a−2 a−1
25.(本小题10分)
问题提出：如图1，E是菱形ABCD的边BC上的一点，△AEF是等腰三角形，AE=EF，∠AEF=∠ABC=α(α≥90°)，AF交CD于点G，探究∠GCF与α的数量关系．
问题探究：

(1)先将问题特殊化，如图2，当α=90°时，在BA上截取BH，使得BH=BE.连接HE．
①请说明△EAH≌△FEC；
②求出∠GCF的度数．
(2)再探究一般情形，如图1，求∠GCF与α的数量关系．
26.(本小题10分)
如图1，在△ABC中，∠B=90°，AB=BC=2.动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段AB向终点B运动，过点P作PE⊥AB交AC于点E.以PE为一边向右作正方形PEFG.设点P的运动时间为t秒.正方形PEFG与△ABC重叠部分图形的面积为S．
(1)当t=12时，S= ______；
(2)当点F落在BC上时，t= ______；
(3)当t=32时，在图2中画出图形，并求出S的值；
(4)连接CF，当△CEF是等腰三角形时，直接写出t的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、 12= 22不是最简二次根式，错误；
B、 0.2= 55不是最简二次根式，错误；
C、 2是最简二次根式，正确；
D、 20=2 5不是最简二次根式，错误；
故选：C．
根据最简二次根式的定义对各选项分析判断利用排除法求解．
本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
2.【答案】A
【解析】解：A、∵12+( 3)2=22，
∴以1， 3，2为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；
B、1+1=2，不符合三角形三边关系定理，不能组成三角形，也不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵22+32≠42，
∴以2，3，4为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵42+52≠62，
∴以4，5，6为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：A．
根据勾股定理的逆定理的内容和三角形三边关系定理逐个判断即可．
本题考查了勾股定理的逆定理和三角形三边关系定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两条边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．
3.【答案】C
【解析】【分析】
各项计算得到结果，即可作出判断．
此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【解答】
解：A、原式= 2，不符合题意；
B、原式不能合并，不符合题意；
C、原式=20，符合题意；
D、原式=2 2，不符合题意，
故选：C．
4.【答案】D
【解析】解：A、两组对边分别平行，平行四边形一定具有的性质，故此选项错误；
B、两组对边分别相等，平行四边形一定具有的性质，故此选项错误；
C、对角线互相平分，平行四边形一定具有的性质，故此选项错误；
D、对角线相等，平行四边形不具有的性质，故此选项正确；
故选：D．
根据平行四边形的定义和性质进行解答即可．
此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握：
(1)平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
(2)平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等． ②角：平行四边形的对角相等． ③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
5.【答案】B
【解析】解：由勾股定理得，OB= 52+22= 29，
∴点C表示的无理数是 29．
故选：B．
利用勾股定理列式求出OB判断即可．
本题考查了勾股定理，熟记定理并求出OB的长是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：∵AD/​/BC，AB/​/CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=5，
∵BE=8，
∴CE=BE−BC=3，
故选：A．
证明四边形ABCD是平行四边形，推出AD=BC=5，据此求解即可．
本题考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．
7.【答案】6
【解析】解：(− 6)2=6．
故答案为：6．
利用二次根式的乘法的法则及化简的法则进行运算即可．
本题主要考查二次根式的乘法，二次根式的化简，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
8.【答案】−6
【解析】解：由题意得，x+2=0，y−3=0，
解得x=−2，y=3，
所以，xy=(−2)×3=−6．
故答案为：−6．
根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
9.【答案】10或2 7
【解析】解：∵一个三角形的两边分别是6和8，
∴可设第三边为x，
∵此三角形是直角三角形，
∴当x是斜边时，x2=62+82，解得x=10；
当8是斜边时，x2+62=82，解得x=2 7．
故答案为：10或2 7．
根据勾股定理的逆定理分类讨论进行解答即可．
本题考查的是勾股定理的逆定理，解答此题时要注意分x是斜边或x是直角边两种情况进行讨论．
10.【答案】OA=OC
【解析】解：OA=OC，
∵OB=OD，OA=OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
故答案为：OA=OC．
可以添加条件OA=OC，根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形可判定出结论．
此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握菱形的判定定理．
11.【答案】2200
【解析】解：∵点D、E分别为AC和BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB=2DE=2200(m)，
故答案为：2200．
根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
12.【答案】8 3
【解析】解：∵四边形AMEF为正方形，
∴S正方形AMEF=AM2，
又∵S正方形AMEF=16，
∴AM2=16，
∴AM=4，
在Rt△ABC中，点M是斜边BC的中点，
∴BC=2AM=8，
在Rt△ABC中，BC=8，AB=4，
由勾股定理得：AC= BC2−AB2=4 3，
∴S△ABC=12AB⋅AC=12×4×4 3=8 3．
故答案为：8 3．
先根据正方形的面积公式求出AM=4，再根据直角三角形的性质得BC=2AM=8，进而利用勾股定理求出AC=4 3，然后根据直角三角形的面积公式可求出△ABC的面积．
此题主要考查了正方形的面积，直角三角形的面积，直角三角形的性质，熟练掌握正方形和直角三角形的面积公式，理解直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解决问题的关键．
13.【答案】(5,0)
【解析】解：连接AC，
∵点A(4,−2)，点C(1,2)，
∴AC= (4−1)2+(−2−2)2=5，
∵四边形ABCO是矩形，
∴OB=AC=5，
∴点B的坐标为(5,0)，
故答案为：(5,0)．
由两点距离公式可求AC的长，由矩形的性质可求OB=AC=5，即可求解．
本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，掌握矩形的对角线相等是解题的关键．
14.【答案】 10
【解析】解：设CN交BP于点Q，
在矩形ABCD中，∠BCD=∠ADC=90°，AD//BC，
∵AB=3，BC=4，
∴BD=5，
由作图得：BP平分∠CBD，
∴∠DBP=∠CBP，
∵过点C作BP的垂线分别交BD，AD于点M，N，
∴∠MQB=∠CQB=90°，
∵BQ=BQ，
∴△BQM≌△BQC(ASA)，
∴BM=BC=4，∠CMB=∠MCB，
∴DM=BD−BM=1，
∵AD/​/BC，
∴∠DNC=∠NCB，
∵∠DMN=∠CMB，
∴∠DNC=∠NMD，
∴DN=DM=1，
∴NC= DN2+CD2= 10，
故答案为： 10．
先证明三角形全等，再根据勾股定理求解．
本题考查了基本作图，掌握三角形全等是性质及勾股定理是解题的关键．
15.【答案】解：原式=2 2− 2+2× 22
= 2+ 2
=2 2．
【解析】先化简二次根式，再算加减法即可．
本题考查了二次根式的加减法运算，熟练掌握二次根式的化简是解本题的关键，综合性较强，难度适中．
16.【答案】解：(5 3+3 2)(5 3−3 2)
=(5 3)2−(3 2)2
=25×3−9×2
=75−18
=57．
【解析】先根据平方差公式计算，再根据二次根式的运算法则进行计算，最后算减法即可．
本题考查了二次根式的混合运算和平方差公式，能熟练掌握二次根式的乘法和平方差公式是解题的关键．
17.【答案】解：原式=2 3−3× 33+2− 3
=2 3− 3+2− 3
=2．
【解析】先化简，然后合并同类二次根式即可．
本题考查了二次根式的加减法，注意正数的绝对值等于它本身．
18.【答案】解： 48÷ 2− 12× 12+ 54
= 482− 122+3 6
= 24− 6+3 6
=2 6− 6+3 6
=4 6．
【解析】先根据二次根式的乘法、二次根式的除法和二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的加法和减法法则进行计算即可．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
19.【答案】解：∵AD=4，CD=3，∠ADC=90°，
∴AC= AD2+CD2= 42+32=5，
在△ABC中，AC=5，AB=13，BC=12，
∵52+122=132，
∴AC2+BC2=AB2，
即△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，
∴△ABC的面积=5×12÷2=30．
【解析】先根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状，根据三角形的面积公式即可得出结论．
本题考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理，得出△ABC是直角三角形是解答此题的关键．
20.【答案】解：∵a=1+ 2，b=1− 2，
∴a−b=1+ 2−(1− 2)=1+ 2−1+ 2=2 2，ab=(1+ 2)(1− 2)=1−2=−1，
∴a2−ab+b2
=a2−2ab+b2+ab
=(a−b)2+ab
=(2 2)2+(−1)
=8−1
=7．
【解析】先求出a−b=2 2，ab=−1，再根据a2−ab+b2=(a−b)2+ab进行求解即可．
本题主要考查了二次根式的化简求值，正确计算是解题的关键．
21.【答案】解：(1)在图1中，矩形ABCD即为所求(答案不唯一)；
(2)在图2中，平行四边形ABCD即为所求(答案不唯一)；
(3)在图3中，正方形ABCD即为所求(答案不唯一)．

【解析】(1)根据矩形的定义以及题目要求画出图形即可；
(2)根据平行四边形的定义以及题目要求画出图形即可；
(3)根据正方形的定义以及题目要求画出图形即可；
本题考查作图−应用与设计作图，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22.【答案】解：(1)∠ABC=∠A1B1C1；
(2)∵A1C1为正方形对角线，
∴∠A1B1C1=45°，
设每个方格的边长为1，
则AB= 12+32= 10，
AC=BC= 12+22= 5，
∵AC2+BC2=AB2，
∴由勾股定理的逆定理得△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，
∴∠ABC=∠A1B1C1．
【解析】(1)根据等腰直角三角形的性质即可求解；
(2)根据勾股定理和勾股定理的逆定理和正方形的性质即可求解．
本题考查了正方形的性质，勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，得到△ABC是等腰直角三角形是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，
∵BE=DF，
∴EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形；
(2)解：∵BE=EF，
∴S△ABE=S△AEF=2，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴S△AEF=S△CEF=2，EO=FO，
∴△CFO的面积=1．
【解析】(1)由平行四边形的性质得AO=CO，BO=DO，再证OE=OF，即可得出结论；
(2)由平行四边形的性质可求解．
本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形的面积公式，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
24.【答案】解：(1)∵6+2 5=1+2 5+( 5)2=(1+ 5)2
∴ 6+2 5= (1+ 5)2=1+ 5；
(2)∵5−2 6=( 3)2−2 6+( 2)2=( 3− 2)2，
∴ 5−2 6= ( 3− 2)2= 3− 2；
(3)∵a+2 a−1=( a−1)2+2 a−1+1=( a−1+1)2，
a−2 a−1=( a−1)2−2 a−1+1=( a−1−1)2，
∴ a+2 a−1+ a−2 a−1
= ( a−1+1)2+ ( a−1−1)2
=2．
【解析】(1)由于6+2 5=1+2 5+( 5)2=(1+ 5)2，即可得解；
(2)由于5−2 6=( 3)2−2 6+( 2)2=( 3− 2)2，即可得解；
(3)由于a+2 a−1=( a−1)2+2 a−1+1=( a−1+1)2，a−2 a−1=( a−1)2−2 a−1+1=( a−1−1)2，然后化简即可得解．
本题考查二次根式的化简、完全平方公式，理解题中计算方法，利用类比思想求解是解答的关键．
25.【答案】解：(1)①在BA上截取BH，使得BH=BE.连接HE．
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B=∠BCD=90°，BA=BC，
∵BH=BE，
∴BA−BH=BC−BE，BHE=45°，
∴AH=EC．
∵∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠BAE+∠B，
∠AEF=∠B=90°，
∴∠CEF=∠HAE．
∵AE=EF，
∴△EAH≌△FEC(SAS)；
②∵△EAH≌△FEC，
∴∠AHE=∠ECF．
∵∠BHE=45°，
∴∠AHE=180°−∠BHE=180°−45°=135°，
∴∠ECF=135°，
∴∠GCF=∠ECF−∠ECD=135−90=45°，
∴∠GCF=45°；
(2)解：如图，在AB上截取AN，使AN=EC，连接NE．

∵∠ABC+∠BAE+∠AEB=∠AEF+∠FEC+∠AEB=180°，
∠ABC=∠AEF，
∴∠EAN=∠FEC．
∵AE=EF，
∴△ANE≌△ECF(SAS)，
∴∠ANE=∠ECF．
∵AB=BC，
∴AB−AN=BC−EC，
∴BN=BE．
∵∠EBN=α，
∴∠BNE=12(180°−α)=90°−12α，
∴∠ANE=180°−∠BNE=180°−12(180°−α)=90°+12α，
∠GCF=∠ECF−∠BCD
=∠ANE−∠BCD
=(90°+12α)−(180°−α)
=32α−90°，
即∠GCF=32α−90°．
【解析】(1)①在BA上截取BH，使得BH=BE.连接HE，根据三角形外角性质推出∠CEF=∠HAE，再利用SAS即可证明△EAH≌△FEC；
②根据△EAH≌△FEC，推出∠AHE=∠ECF.据此即可求解；
(2)在AB上截取AN，使AN=EC，连接NE.证明△ANE≌△ECF(SAS)，得到∠ANE=∠ECF，利用∠GCF=∠ECF−∠BCD即可求解．
本题考查了菱形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
26.【答案】14 1
【解析】解：(1)∵AB=BC，
∴∠ABC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠EAB=45°，
∵PE⊥AB，
∴△AEP是等腰直角三角形，
∴PA=PE，
∵点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段AB向终点B运动，
∴当t=12时，PA=PE=12，
∴四边形PEFG是边长为12的正方形，
此时正方形PEFG与△ABC重叠部分图形就是正方形PEFG，
∴S=S正方形PEFG=12×12=14，
故答案为：14．
(2)解：由题意得，当点F落在BC上时，点G恰好与点B重合，如图：
∵△AEP是等腰直角三角形，四边形PEFG是正方形，
∴PA=PE=PB=t，
∴AB=PA+PB=2t=2，
∴t=1，
故答案为：1．
(3)当t=32时，如图：
由题意得：四边形PEMB是矩形，PE=PA=t=32，
∴PB=AB−AP=2−32=12，
∴S=S矩形PEMB=32×12=34．
(4)①如图：
当EF=CF时，∠CEF=45°，
∴∠ECF=∠CEF=45°，
∴∠CFE=90°，
∴△CEF是等腰直角三角形，即此时点F落在BC上，
由(2)得，此时t=1；
②当CE=CF时，如图：
∵∠CEF=45°，
∴∠CEF=∠CFE=45°，
∴∠FCE=90°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∵PA=PE=EF=t，
在Rt△AEP中，AE= PA2+PE2= t2+t2= 2t，
在Rt△CEF中，CE2+CF2=EF2，即2CE2=t2，
∴CE= 22t，
在Rt△ABC中，AC= AB2+BC2= 22+22=2 2，
∴AC=AE+CE= 2t+ 22t=2 2，
解得 t=43；
③当CE=EF时，如图：
∵PA=PE=EF=t，
∵AE= PA2+PE2= t2+t2= 2t,CE=EF=t，
∴AC=AE+CE= 2t+t=2 2，
解得：t=4−2 2．
综上，当△CEF是等腰三角形时，t的值为1，43或4−2 2．
(1)正方形PEFG与△CEF重叠部分图形即是边长为12的正方形；
(2)当点F落在BC上时，点G恰好与点B重合，此时点P在AB的中点处，即可求得t的值；
(3)当t=32时，正方形PEFG与△CEF重叠部分图形是边长分别为12和32的矩形，即可求出S的值；
(4)当△CEF是等腰三角形时，进行分类讨论，当EF=CF时，当CE=CF时，△CEP都是等腰直角三角形，再讨论CE=EF，画图列式求t的值即可．
本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握等腰直角三角形的性质．