吉林省四平市伊通满族自治县重点中学2022年中考三模数学试题含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

考生请注意：

1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1．一元一次不等式2（1+x）＞1+3x的解集在数轴上表示为（　　）

A． B． C． D．

2．函数y=中自变量x的取值范围是

A．x≥0 B．x≥4 C．x≤4 D．x>4

3．如图，EF过▱ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若▱ABCD的周长为18，，则四边形EFCD的周长为　　

A．14 B．13 C．12 D．10

4．如图是将正方体切去一个角后形成的几何体，则该几何体的左视图为(　　)

A． B． C． D．

5．将抛物线绕着点（0，3）旋转180°以后，所得图象的解析式是（     ）．

A． B．

C． D．

6．如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E，F分别是AC，BC的中点，直线EF与⊙O交于G，H两点，若⊙O的半径为6，则GE+FH的最大值为（　　）

A．6 B．9 C．10 D．12

7．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）

A．k＞ B．k≥ C．k＞且k≠1 D．k≥且k≠1

8．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为（　　）

A．7 B．﹣7 C．2a﹣15 D．无法确定

9．截至2010年“费尔兹奖”得主中最年轻的8位数学家获奖时的年龄分别为29，28，29，31，31，31，29，31，则由年龄组成的这组数据的中位数是（　　）

A．28 B．29 C．30 D．31

10．不等式组的正整数解的个数是(　　)

A．5 B．4 C．3 D．2

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11．二次根式中字母x的取值范围是_____．

12．计算：a3÷（﹣a）2=_____．

13．关于x的方程（m﹣5）x2﹣3x﹣1=0有两个实数根，则m满足_____．

14．如图，点A为函数y＝(x＞0)图象上一点，连接OA，交函数y＝(x＞0)的图象于点B，点C是x轴上一点，且AO＝AC，则△ABC的面积为______.

15．观察下列各等式：

……

根据以上规律可知第11行左起第一个数是__．

16．不等式的解集是________________

17．在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+x+2上有一动点P，直线y=﹣x﹣2上有一动线段AB，当P点坐标为_____时，△PAB的面积最小．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18．（10分）为了提高学生书写汉字的能力，增强保护汉子的意识，某校举办了首届“汉字听写大赛”，学生经选拔后进入决赛，测试同时听写100个汉字，每正确听写出一个汉字得1分，本次决赛，学生成绩为（分），且，将其按分数段分为五组，绘制出以下不完整表格：

请根据表格提供的信息，解答以下问题：

（1）本次决赛共有       名学生参加；

（2）直接写出表中a=        ,b=       ;

（3）请补全下面相应的频数分布直方图；

（4）若决赛成绩不低于80分为优秀，则本次大赛的优秀率为        ．

19．（5分）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点A（﹣4，0）．求抛物线与直线AC的函数解析式；若点D（m，n）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，四边形OCDA的面积为S，求S关于m的函数关系式；若点E为抛物线上任意一点，点F为x轴上任意一点，当以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，请求出满足条件的所有点E的坐标．

20．（8分）已知开口向下的抛物线y=ax2-2ax+2与y轴的交点为A，顶点为B，对称轴与x轴的交点为C，点A与点D关于对称轴对称，直线BD与x轴交于点M，直线AB与直线OD交于点N．

(1)求点D的坐标.

(2)求点M的坐标(用含a的代数式表示).

(3)当点N在第一象限，且∠OMB=∠ONA时，求a的值．

21．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+5x+n经过点A（1，0），与y轴交于点B．

（1）求抛物线的解析式；

（2）P是y轴正半轴上一点，且△PAB是以AB为腰的等腰三角形，试求P点坐标．

22．（10分）阅读下面材料，并解答问题．

材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．

解：由分母为﹣x2+1，可设﹣x4﹣x2+3=（﹣x2+1）（x2+a）+b则﹣x4﹣x2+3=（﹣x2+1）（x2+a）+b=﹣x4﹣ax2+x2+a+b=﹣x4﹣（a﹣1）x2+（a+b）

∵对应任意x，上述等式均成立，∴，∴a=2，b=1

∴==+=x2+2+这样，分式被拆分成了一个整式x2+2与一个分式的和．

解答：将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．试说明的最小值为1．

23．（12分）如图，已知D是AC上一点，AB=DA，DE∥AB，∠B=∠DAE．求证：BC=AE．

24．（14分）如图，已知一次函数y=x+m的图象与x轴交于点A（﹣4，0），与二次函数y=ax1+bx+c的图象交于y轴上一点B，该二次函数的顶点C在x轴上，且OC=1．

（1）求点B坐标；

（1）求二次函数y=ax1+bx+c的解析式；

（3）设一次函数y=x+m的图象与二次函数y=ax1+bx+c的图象的另一交点为D，已知P为x轴上的一个动点，且△PBD是以BD为直角边的直角三角形，求点P的坐标．

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、B

【解析】
按照解一元一次不等式的步骤求解即可.

【详解】

去括号，得2+2x>1+3x；移项合并同类项，得x<1，所以选B.

【点睛】

数形结合思想是初中常用的方法之一.

2、B

【解析】
根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，列不等式求解．

【详解】

根据题意得：x﹣1≥0，解得x≥1，

则自变量x的取值范围是x≥1．

故选B．

【点睛】

本题主要考查函数自变量的取值范围的知识点，注意：二次根式的被开方数是非负数．

3、C

【解析】
∵平行四边形ABCD，

∴AD∥BC，AD=BC，AO=CO，

∴∠EAO=∠FCO，

∵在△AEO和△CFO中，

，

∴△AEO≌△CFO，

∴AE=CF，EO=FO=1.5，

∵C四边形ABCD=18，∴CD+AD=9，

∴C四边形CDEF=CD+DE+EF+FC=CD+DE+EF+AE=CD+AD+EF=9+3=12.

故选C.

【点睛】

本题关键在于利用三角形全等，解题关键是将四边形CDEF的周长进行转化.

4、C

【解析】

看到的棱用实线体现.故选C.

5、D

【解析】
将抛物线绕着点（0，3）旋转180°以后，a的值变为原来的相反数，根据中心对称的性质求出旋转后的顶点坐标即可得到旋转180°以后所得图象的解析式.

【详解】

由题意得，a=-.

设旋转180°以后的顶点为（x′，y′），

则x′=2×0-(-2)=2，y′=2×3-5=1,

∴旋转180°以后的顶点为(2,1)，

∴旋转180°以后所得图象的解析式为：.

故选D.

【点睛】

本题考查了二次函数图象的旋转变换，在绕抛物线某点旋转180°以后，二次函数的开口大小没有变化，方向相反；设旋转前的的顶点为（x，y），旋转中心为（a，b），由中心对称的性质可知新顶点坐标为（2a-x，2b-y），从而可求出旋转后的函数解析式.

6、B

【解析】
首先连接OA、OB，根据圆周角定理，求出∠AOB=2∠ACB=60°，进而判断出△AOB为等边三角形；然后根据⊙O的半径为6，可得AB=OA=OB=6，再根据三角形的中位线定理，求出EF的长度；最后判断出当弦GH是圆的直径时，它的值最大，进而求出GE+FH的最大值是多少即可．

【详解】

解：如图，连接OA、OB，

，

∵∠ACB=30°，

∴∠AOB=2∠ACB=60°，

∵OA=OB，

∴△AOB为等边三角形，

∵⊙O的半径为6，

∴AB=OA=OB=6，

∵点E，F分别是AC、BC的中点，

∴EF=AB=3，

要求GE+FH的最大值，即求GE+FH+EF（弦GH）的最大值，

∵当弦GH是圆的直径时，它的最大值为：6×2=12，

∴GE+FH的最大值为：12﹣3=1．

故选：B．

【点睛】

本题结合动点考查了圆周角定理，三角形中位线定理，有一定难度．确定GH的位置是解题的关键.

7、C

【解析】
根据题意得k-1≠0且△=2²-4（k-1）×（-2）＞0，解得：k＞且k≠1．

故选C

【点睛】

本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac，关键是熟练掌握：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．

8、C

【解析】
根据数轴上点的位置判断出a﹣4与a﹣11的正负，原式利用二次根式性质及绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果．

【详解】

解：根据数轴上点的位置得：5＜a＜10，

∴a﹣4＞0，a﹣11＜0，

则原式＝|a﹣4|﹣|a﹣11|＝a﹣4+a﹣11＝2a﹣15，

故选：C．

【点睛】

此题考查了二次根式的性质与化简，以及实数与数轴，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

9、C

【解析】
根据中位数的定义即可解答．

【详解】

解：把这些数从小到大排列为：28，29，29，29，31，31，31，31，

最中间的两个数的平均数是：＝30，

则这组数据的中位数是30；

故本题答案为：C.

【点睛】

此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数.

10、C

【解析】
先解不等式组得到-1＜x≤3，再找出此范围内的正整数．

【详解】

解不等式1-2x＜3，得：x＞-1，
解不等式≤2，得：x≤3，
则不等式组的解集为-1＜x≤3，
所以不等式组的正整数解有1、2、3这3个，
故选C．

【点睛】

本题考查了一元一次不等式组的整数解，解题的关键是正确得出 一元一次不等式组的解集.

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、x≤1

【解析】
二次根式有意义的条件就是被开方数是非负数，即可求解．

【详解】

根据题意得：1﹣x≥0，

解得x≤1．

故答案为：x≤1

【点睛】

主要考查了二次根式的意义和性质．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．

12、a

【解析】
利用整式的除法运算即可得出答案.

【详解】

原式，

.

【点睛】

本题考查的知识点是整式的除法，解题关键是先将变成，再进行运算.

13、m≥且m≠1．

【解析】
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m﹣1≠0且 然后求出两个不等式的公共部分即可．

【详解】

解：根据题意得m﹣1≠0且

解得且m≠1．

故答案为: 且m≠1．

【点睛】

本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．

14、6.

【解析】
作辅助线，根据反比例函数关系式得：S△AOD=, S△BOE=，再证明△BOE∽△AOD，由性质得OB与OA的比，由同高两三角形面积的比等于对应底边的比可以得出结论．

【详解】

如图，分别作BE⊥x轴，AD⊥x轴，垂足分别为点E、D，

∴BE∥AD，
∴△BOE∽△AOD，
∴，
∵OA=AC，
∴OD=DC，
∴S△AOD=S△ADC=S△AOC，
∵点A为函数y=（x＞0）的图象上一点，
∴S△AOD=，
同理得：S△BOE=，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为6.

15、-1．

【解析】
观察规律即可解题.

【详解】

解：第一行=12=1,第二行=22=4,第三行=32=9...

∴第n行=n2,第11行=112=121,

又∵左起第一个数比右侧的数大一,

∴第11行左起第一个数是-1.

【点睛】

本题是一道规律题,属于简单题，认真审题找到规律是解题关键.

16、

【解析】
首先去分母进而解出不等式即可.

【详解】

去分母得，1-2x>15

移项得，-2x>15-1

合并同类项得，-2x>14

系数化为1，得x<-7.

故答案为x<-7.

【点睛】

此题考查了解一元一次不等式，解不等式要依据不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．

17、（-1，2）

【解析】
因为线段AB是定值，故抛物线上的点到直线的距离最短，则面积最小，平移直线与抛物线的切点即为P点，然后求得平移后的直线，联立方程，解方程即可．

【详解】

因为线段AB是定值，故抛物线上的点到直线的距离最短，则面积最小，

若直线向上平移与抛物线相切，切点即为P点，

设平移后的直线为y=-x-2+b，

∵直线y=-x-2+b与抛物线y=x2+x+2相切，

∴x2+x+2=-x-2+b，即x2+2x+4-b=0，

则△=4-4（4-b）=0，

∴b=3，

∴平移后的直线为y=-x+1，

解得x=-1，y=2，

∴P点坐标为（-1，2），

故答案为（-1，2）．

【点睛】

本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积以及解方程等，理解直线向上平移与抛物线相切，切点即为P点是解题的关键．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、（1）50；（2）a=16，b=0.28；（3）答案见解析；（4）48%.

【解析】

试题分析：（1）根据第一组别的人数和百分比得出样本容量；（2）根据样本容量以及频数、频率之间的关系得出a和b的值，（3）根据a的值将图形补全；（4）根据图示可得：优秀的人为第四和第五组的人，将两组的频数相加乘以100%得出答案.

试题解析：（1）2÷0.04=50

（2）50×0.32=16    14÷50=0.28

（3）

（4）（0.32+0.16）×100%=48%

考点：频数分布直方图

19、（1）（1）S=﹣m1﹣4m+4（﹣4＜m＜0）（3）（﹣3，1）、（，﹣1）、（，﹣1）

【解析】
（1）把点A的坐标代入抛物线的解析式，就可求得抛物线的解析式，根据A，C两点的坐标，可求得直线AC的函数解析式；

（1）先过点D作DH⊥x轴于点H，运用割补法即可得到：四边形OCDA的面积=△ADH的面积+四边形OCDH的面积，据此列式计算化简就可求得S关于m的函数关系；

（3）由于AC确定，可分AC是平行四边形的边和对角线两种情况讨论，得到点E与点C的纵坐标之间的关系，然后代入抛物线的解析式，就可得到满足条件的所有点E的坐标．

【详解】

（1）∵A（﹣4，0）在二次函数y=ax1﹣x+1（a≠0）的图象上，

∴0=16a+6+1，

解得a=﹣，

∴抛物线的函数解析式为y=﹣x1﹣x+1；

∴点C的坐标为（0，1），

设直线AC的解析式为y=kx+b，则

，

解得，

∴直线AC的函数解析式为：；

（1）∵点D（m，n）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，

∴D（m，﹣m1﹣m+1），

过点D作DH⊥x轴于点H，则DH=﹣m1﹣m+1，AH=m+4，HO=﹣m，

∵四边形OCDA的面积=△ADH的面积+四边形OCDH的面积，

∴S=（m+4）×（﹣m1﹣m+1）+（﹣m1﹣m+1+1）×（﹣m），

化简，得S=﹣m1﹣4m+4（﹣4＜m＜0）；

（3）①若AC为平行四边形的一边，则C、E到AF的距离相等，

∴|yE|=|yC|=1，

∴yE=±1．

当yE=1时，解方程﹣x1﹣x+1=1得，

x1=0，x1=﹣3，

∴点E的坐标为（﹣3，1）；

当yE=﹣1时，解方程﹣x1﹣x+1=﹣1得，

x1=，x1=，

∴点E的坐标为（，﹣1）或（，﹣1）；

②若AC为平行四边形的一条对角线，则CE∥AF，

∴yE=yC=1，

∴点E的坐标为（﹣3，1）．

综上所述，满足条件的点E的坐标为（﹣3，1）、（，﹣1）、（，﹣1）．

20、（1）D（2,2）；（2）；（3）

【解析】
(1)令x=0求出A的坐标，根据顶点坐标公式或配方法求出顶点B的坐标、对称轴直线，根据点A与点D关于对称轴对称，确定D点坐标.

(2)根据点B、D的坐标用待定系数法求出直线BD的解析式，令y=0，即可求得M点的坐标.

（3）根据点A、B的坐标用待定系数法求出直线AB的解析式，求直线OD的解析式，进而求出交点N的坐标，得到ON的长.过A点作AE⊥OD，可证△AOE为等腰直角三角形，根据OA=2，可求得AE、OE的长，表示出EN的长.根据tan∠OMB=tan∠ONA，得到比例式，代入数值即可求得a的值.

【详解】

（1）当x=0时，，

∴A点的坐标为（0,2）

∵

∴顶点B的坐标为：（1,2-a），对称轴为x= 1，

∵点A与点D关于对称轴对称

∴D点的坐标为：（2，2）

（2）设直线BD的解析式为：y=kx+b

把B（1,2-a）D（2，2）代入得：

，解得：

∴直线BD的解析式为：y=ax+2-2a

当y=0时，ax+2-2a=0，解得：x=

∴M点的坐标为：

（3）由D(2，2)可得：直线OD解析式为：y=x

设直线AB的解析式为y=mx+n,代入A(0，2)B（1,2-a）可得：

解得：

∴直线AB的解析式为y= -ax+2

联立成方程组： ，解得：

∴N点的坐标为：（）

ON=（）

过A点作AE⊥OD于E点，则△AOE为等腰直角三角形.

∵OA=2

∴OE=AE=，EN=ON-OE=（）-=)

∵M，C(1,0)， B（1,2-a）

∴MC=，BE=2-a

∵∠OMB=∠ONA

∴tan∠OMB=tan∠ONA

∴，即

解得：a=或

∵抛物线开口向下，故a<0，

∴ a=舍去，

【点睛】

本题是一道二次函数与一次函数及三角函数综合题，掌握并灵活应用二次函数与一次函数的图象与性质，以及构建直角三角形借助点的坐标使用相等角的三角函数是解题的关键.

21、（1）；（2）（0，）或（0，4）．

【解析】

试题分析：（1）将A点的坐标代入抛物线中，即可得出二次函数的解析式；

（2）本题要分两种情况进行讨论：①PB=AB，先根据抛物线的解析式求出B点的坐标，即可得出OB的长，进而可求出AB的长，也就知道了PB的长，由此可求出P点的坐标；

②PA=AB，此时P与B关于x轴对称，由此可求出P点的坐标．

试题解析：（1）∵抛物线经过点A（1，0），∴，∴；

（2）∵抛物线的解析式为，∴令，则，∴B点坐标（0，﹣4），AB=，

①当PB=AB时，PB=AB=，∴OP=PB﹣OB=．∴P（0，），

②当PA=AB时，P、B关于x轴对称，∴P（0，4），因此P点的坐标为（0，）或（0，4）．

考点：二次函数综合题．

22、 (1) =x2+7+ (2) 见解析

【解析】
（1）根据阅读材料中的方法将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式即可；

（2）原式分子变形后，利用不等式的性质求出最小值即可．

【详解】

（1）设﹣x4﹣6x+1=（﹣x2+1）（x2+a）+b=﹣x4+（1﹣a）x2+a+b，

可得 ，

解得：a=7，b=1，

则原式=x2+7+；

（2）由（1）可知，=x2+7+ ．

∵x2≥0，∴x2+7≥7；

当x=0时，取得最小值0，

∴当x=0时，x2+7+最小值为1，

即原式的最小值为1．

23、见解析

【解析】
证明：∵DE∥AB，∴∠CAB=∠ADE．

在△ABC和△DAE中，∵，

∴△ABC≌△DAE（ASA）．

∴BC=AE．

【点睛】

根据两直线平行，内错角相等求出∠CAB=∠ADE，然后利用“角边角”证明△ABC和△DAE全等，再根据全等三角形对应边相等证明即可．

24、（1）B（0，1）；（1）y=0.5x1﹣1x+1；（3）P1（1，0）和P1（7.15，0）；

【解析】
（1）根据y=0.5x+m交x轴于点A，进而得出m的值，再利用与y轴交于点B，即可得出B点坐标；（1）二次函数y=ax1+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=1．得出可设二次函数y=ax1+bx+c=a（x﹣1）1，进而求出即可；（3）根据当B为直角顶点，当D为直角顶点时，分别利用三角形相似对应边成比例求出即可．

【详解】

（1）∵y=x+1交x轴于点A（﹣4，0），

∴0=×（﹣4）+m，

∴m=1，

与y轴交于点B，

∵x=0，

∴y=1

∴B点坐标为：（0，1），

（1）∵二次函数y=ax1+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=1

∴可设二次函数y=a（x﹣1）1

把B（0，1）代入得：a=0.5

∴二次函数的解析式：y=0.5x1﹣1x+1；

（3）（Ⅰ）当B为直角顶点时，过B作BP1⊥AD交x轴于P1点

由Rt△AOB∽Rt△BOP1

∴，

∴，

得：OP1=1，

∴P1（1，0），

（Ⅱ）作P1D⊥BD，连接BP1，

将y=0.5x+1与y=0.5x1﹣1x+1联立求出两函数交点坐标：

D点坐标为：（5，4.5），

则AD=，

当D为直角顶点时

∵∠DAP1=∠BAO，∠BOA=∠ADP1，

∴△ABO∽△AP1D，

∴， ，

解得：AP1=11.15，

则OP1=11.15﹣4=7.15，

故P1点坐标为（7.15，0）；

∴点P的坐标为：P1（1，0）和P1（7.15，0）．

【点睛】

此题主要考查了二次函数综合应用以及求函数与坐标轴交点和相似三角形的与性质等知识，根据已知进行分类讨论得出所有结果，注意不要漏解．