2024年安徽省中考四模数学试题（含解析）

这是一份2024年安徽省中考四模数学试题（含解析），共24页。试卷主要包含了某班共买了铅笔和橡皮两种文具，如图等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共4页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的．
1．在，，，这四个数中，最小的数是( )
A．B．C．D．
2．2024年1月17日，国家统计局公布：2023年末全国人口140 967万人，比上年末减少208万人．140 967用科学记数法可表示为（ ）
A．B．C．D．
3．在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中榫的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，画射线，交于点D，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
6．某班共买了铅笔和橡皮两种文具．已知每种文具各花了60元，铅笔比橡皮少10个，铅笔单价是橡皮的1.5倍．若设橡皮的单价为元，根据题意可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
7．已知直线经过点，若点也在该直线上，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知点E，F，G，H分别在菱形的边，，，上，若，，则四边形一定是（ ）
A．正方形B．对角线相等的四边形
C．菱形D．对角线互相垂直的四边形
9．如图（1），一只圆形平盘被同心圆划成M，N，S三个区域，随机向平盘中撒一把豆子，计算落在M，N，S三个区域的豆子数的比．多次重复这个试验，发现落入三个区域的豆子数的比显示出一定的稳定性，总在三个区域的面积之比附近摆动．如图（2）将一根筷子放在该盘中位置，发现三个圆弧刚好将五等分．我们把豆子落入三个区域的概率分别记作，，，已知，则等于（ ）
A．B．C．D．
10．已知抛物线的图象上有三点，，，其中，则下列说法错误的是（ ）
A．抛物线的顶点坐标为
B．
C．关于x的一元二次方程（）的两解为，，则
D．方程有3个根，则
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．多项式的公因式是 ．
12．方程的两个根为．若，则 ．
13．如图，在中，，点A在反比例函数（，）的图象上，点B，C在x轴上，，若的面积等于2，则k的值为 ．
14．如图，在正方形中，，点在上，且，点绕着点旋转，且，在的上方作正方形，连接、，则线段的长为 ，线段的最小值是 ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．计算：（）﹣1﹣2sin45°+|1﹣|+（π﹣3.14）0
16．现有某公司研发的一个新品种高产农作物，在研发第一阶段实现了亩产量400公斤的目标，第三阶段实现了亩产量2025公斤的目标．
(1)如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；
(2)按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望在第四阶段实现亩产4500公斤的目标，请通过计算说明他们的目标能否实现．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知点O，A，B，C均为网格线的交点．
(1)以点O为位似中心，在网格中画出的位似图形使原图形与新图形的相似比为；
(2)把向上平移3个单位长度后得到，请画出；
(3)的面积为______．
18．如图所示是用地板砖铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖，从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形……依次递推．
(1)第3层有6个正方形和______个正三角形；
(2)第n层有6个正方形和______个正三角形（用含n的式子表示）；
(3)若第n层有6个正方形和2022个正三角形，求n的值．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．城市规划期间，欲拆除一电线杆，如图，已知距电线杆的水平距离的D处有一大坝，背水坡的坡度，坝高为，在坝顶点C处测得电线杆顶点A的仰角为，之间是宽为的行人道，试问在拆除电线杆时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上？（提示：在地面上，以点B为圆心，以为半径的圆形区域为危险区域）（参考数据：）
20．如图，是的直径，是的两条弦，，过点D作的切线交的延长线于点E．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
六、（本题满分12分）
21．某工厂在全厂青年工人中开展生产技能大赛，组委会随机抽取n名参赛者在相同工作条件下加工的合格产品数作为样本进行统计整理，并绘制了频数分布表和扇形统计图，部分信息如下．
生产技能大赛合格产品数频数分布表
已知C组的全部数据如下．
请根据以上信息，完成下列问题．
(1)__________，__________．
(2)抽取的n名参赛者合格产品数的中位数是__________，扇形统计图中“C”部分所对应的圆心角的度数为__________．
(3)已知本次生产技能大赛共有2000名青年工人参赛，若加工的合格产品数超过60件的青年工人被授予“优秀青工”称号，则根据样本数据可判断本次生产技能大赛获得“优秀青工”称号的青年工人大约有多少名？
七、（本题满分12分）
22．如图，中，，点分别在边上，连接，恰好，过点作的垂线，垂足为点，且交边于点．
(1)设，用含的代数式表示为______；
(2)求证：；
(3)求的值．
八、（本题满分14分）
23．在水平的地面上有两根与地面垂直且长度相等的电线杆以点B为坐标原点，直线为x轴建立平面直角坐标系，得到图①．已知电线杆之间电线的形状可近似地看成抛物线．
(1)求电线最低点离地面的距离；
(2)因实际需要，电力公司需要在之间增设一根电线杆：
①如图②，若将电线杆增设在距离为3米处，且使左侧抛物线的最低点与的距离为1米，离地面1.8米，求的长；
②如图③，若将一根长为3米的电线杆增设在线段之间的位置上，使右边抛物线的二次项系数始终是0.25，设电线杆离的距离为m米，抛物线的最低点离地面的距离为k米，当时，求k的取值范围．
合格产品数/件
频数
A
a
B
10
C
15
D
20
合格产品数/件
70
80
90
人数/人
3
7
5
1．A
【分析】本题考查了有理数比较大小，正数大于负数，零大于一切负数，零小于一切正数；两个正数比较大小，绝对值大的数就大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．
【详解】解：∵
∴在，，，这四个数中，最小的数是，
故选：A．
2．C
【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，据此求解即可．
【详解】解：140 967=1.40967×105，
故选：C．
3．D
【分析】本题考查三视图，掌握俯视图是从上面看到的图形是解题关键．注意：可见部分的轮廓线用实线表示，被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线用虚线表示．根据俯视图的定义（从上面观察物体所得到的视图是俯视图）即可得答案．
【详解】解：根据主视图可以发现，顶端是一个上宽下窄的梯形，
∴从上往下看立体图，可以得到俯视图的形状应该是四根实线夹着两根虚线的长方形，
故选：D．
4．C
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方运算，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A．，故该选项不正确，不符合题意；
B．，故该选项不正确，不符合题意；
C．，故该选项正确，符合题意；
D．，故该选项不正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方运算，掌握以上运算法则是解题的关键．
5．A
【分析】由作法得BD平分∠ABC，然后利用等腰三角形底角相等计算即可．
【详解】由作法得BD平分∠ABC，
∴
设
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴，解得
∴
故选：A
【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了等腰三角形底角相等．
6．B
【分析】本题考查了列分式方程，设橡皮的单价为元，则铅笔单价为元，根据“每种文具各花了60元，铅笔比橡皮少10个”进行列式，即可作答．
【详解】解：设橡皮的单价为元，则铅笔单价为元，
依题意，得出，
故选：B．
7．A
【分析】本题考查了一次函数的图象性质，根据题意把代入，解得，即，然后把分别代入，解出的值，即可作答．
【详解】解：∵直线经过点，
∴把代入，
即，
解得，
即，
把分别代入，
得出，，
∴．
故选：A．
8．B
【分析】此题考查菱形的性质．根据菱形的性质得出，，进而利用四边形对角线的特点解答即可．
【详解】解：菱形，，，
，，
，
，
四边形是对角线相等的四边形，
故选：B．
9．A
【分析】本题考查几何概率，掌握几何概率就是求几何图形的面积比是解题的关键，设小圆的半径为r，则大圆的半径为，设，根据勾股定理求出，然后解出M部分面积与整个圆面积的比即为概率．
【详解】解：如图，设小圆的半径为r，则大圆的半径为，设，
，
∴，
解得：，，
∴M部分面积与整个圆面积的比：，
∴等于，
故选A．
10．D
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数的平移，函数与坐标轴的交点．
把点C的坐标代入中，求出抛物线解析式即可得到抛物线的顶点坐标，判断A选项．根据抛物线与x轴的交点坐标即可判断B选项．方程的解，是抛物线先下平移m个单位长度后，与x轴的交点的横坐标，根据抛物线平移的性质即可判断C选项．画出函数的图象，根据数形结合的思想即可判断D选项．
【详解】∵抛物线过点，
∴，解得，
∴抛物线为，即，
∴抛物线的顶点坐标为．故A选项正确；
把代入函数中，得，
解得或，
∴抛物线与x轴的交点为，，
∵抛物线的开口向上，
且抛物线上的两点，中，
∴．故B选项正确；
将抛物线向下平移m个单位长度，得到，
该抛物线与x轴的一个交点在点的左侧，另一交点在店的右侧，
∴关于x的一元二次方程（）的两解为，，满足，故C选项正确．
∵方程有3个根，
∴函数的图象与直线有3个交点，
∵函数的图象与x轴的交点为，，
如图，当直线经过点时，直线与函数的图象有3个交点，即
此时把点代入函数中，得到，
解得，
当时，
如图，当直线与函数只有一个交点时，直线与函数的图象有3个交点
∴对于方程可化为，即，
∴，
解得，
综上所述，或．故D选项错误．
故选：D
11．
【分析】此题考查了提公因式因式分解法的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识进行求解．运用提公因式因式分解法进行求解．
【详解】解：，
多项式的公因式是，
故答案为：．
12．
【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，代入式子中计算求出m值，即可求出．
【详解】解：∵是方程的两根，
∴，，
解得：，
故答案为：．
13．3
【分析】本题考查了反比例函数比例图象上点的特征、等腰三角形三线合一的性质、三角形的面积．要求学生掌握设而不求的方法解题．设，过点A作轴于点E，表示出、，结合的面积即可求出k的值．
【详解】解：设，则，
，
，
，
过点A作轴于点E，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
14．
【分析】本题综合考查了正方形的性质、相似的性质和判定及旋转的性质，找出的运动路径是解决本题的关键．连接、、共顶点的两个正方形，能得到，从而找到的运动路径来解决问题．
【详解】解：连接、、，
，
，
在等腰和等腰中，
，
，
，
，
，
在以为圆心，为半径的圆上运动，
当、、三点共线时，最小，
，
在中，，，
，
最小值为，
故答案为：，．
15．4
【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算即可.
【详解】解：原式＝4﹣2×+﹣1+1
＝4﹣+﹣1+1
＝4．
【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数的计算,这是基本知识点，应当熟练的掌握.
16．(1)
(2)能，理由见详解
【分析】（1）设亩产量的平均增长率为，根据第三阶段亩产量第一阶段亩产量增长率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）利用第四阶段水稻亩产量第三阶段亩产量增长率），可求出第四阶段亩产量，将其与4500公斤比较后即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】（1）解：设亩产量的平均增长率为，
依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：亩产量的平均增长率为．
（2）解：能，理由如下：
依题意，（公斤）．
∵，
他们的目标能实现．
17．(1)见解析；
(2)见解析；
(3)8
【分析】本题考查位似，平移作图，解题跌关键是熟练掌握位似图形的画法，平移图形的画法，
（1）根据画位似图形的一般步骤画图即可；
（2）将的每一个顶点都向上平移3个单位，再连接各顶点即可；
（3）利用割补法求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，就是所求作的三角形；
（2）解：如图所示，就是所求作的三角形．
（3）解：的面积为．
18．(1)30；
(2)；
(3)．
【分析】本题考查了图形类规律，一元一次方程的应用，解题的关键是找到正三角形个数的规律．
（1）根据前两层正三角形的个数找到规律求解即可；
（2）根据前两层正三角形的个数找到规律求解即可；
（3）根据题列式求解即可．
【详解】（1）解：第1层包括个正三角形，
第2层包括个正三角形，
∴第3层包括个正三角形；
（2）由（1）可得，
每一层比上一层多12个，
∴第n层中含有正三角形的个数是（个）．
（3）根据题意得，
解得．
19．不需封闭人行道，理由见解析
【分析】本题考查解直角三角形，矩形的性质和判定，解题的关键是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中，使问题解决．求需不需要将人行道封上实际上就是比较与的长短，过C作于M，利用解直角三角形得到，那么的长度就是也就是．再根据题意得到，最后进行比较即可解题．
【详解】解：如图，作于点M，
由题易知为矩形．
，，
背水坡的坡度，
，
．
（）．
在中，
，
（）．
（）．
而（）．
．故不需封闭人行道．
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，证出，由平行线的判定得出，由切线的性质得出，则可得出结论；
（2）过点O作于F，证出，得出，求出，由勾股定理求出的长，证出四边形为矩形，得出，则可得出答案．
【详解】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴；
（2）解：过点O作于F，连接，
∵，
∴，
又∵是的直径，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴,
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质，矩形的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，平行线的判定和性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
21．(1)50；5；
(2)85；
(3)1400名
【分析】（1）用B组频数除以B所占的百分比即可求出n的值；用n的值减去B，C，D的频数可求出a；
（2）根据中位数的定义求中位数即可；用乘以C占的比例可求出“C”部分所对应的圆心角的度数；
（3）用2000乘以加工的合格产品数超过60件的青年工人在样本中所占的比例即可求解．
【详解】（1）人，
（人）．
故答案为：50；5；
（2）∵从小到大排列后排在第25和26位是80和90，
∴中位数是；
“C”部分所对应的圆心角的度数为：．
故答案为：85；；
（3）（名）．
答：本次生产技能大赛获得“优秀青工”称号的青年工人大约有1400名．
【点睛】本题考查频数分布表，中位数，扇形统计图，由样本估计总体等内容，通过条形统计图和扇形统计图得到关联信息是解题的关键．
22．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质：
（1）根据直角三角形的两锐角互余，即可求解；
（2）根据，可得，再由，即可求证；
（3）过点C作，过点B作交于点M，延长交于点P，连接，过点P作于点N，则，可得四边形是正方形，证明，可得，再由四边形是矩形，可证明，可得，即可求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，即，
∴，
中，∵，
∴，
∴；
故答案为：
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）解：如图，过点C作，过点B作交于点M，延长交于点P，连接，过点P作于点N，则，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
23．(1)1.4米
(2)①2.1米②
【分析】（1）根据抛物线的坐标公式求出顶点坐标，即可达成答案，
（2）①可得左边抛物线的最低点的坐标为且过点可求出函数关系式，在根据的横坐标为3，求出纵坐标即可，
②由于米，右侧抛物线的顶点一定在的垂直平分线上，可用的代数式表示，右侧抛物线的顶点的横坐标，设出顶点坐标，用顶点式表示抛物线的关系式，这样就建立一个关于与顶点纵坐标的关系式，当时，可求的取值范围．
本题考查二次函数的图象和性质，特别是抛物线的关系式的三种形式应熟练掌握，灵活应用，善于将点的坐标与线段长的转化以及二次函数的对称性是解决问题的关键．
【详解】（1）解：由顶点坐标公式得：当，时，
，
抛物线的顶点坐标为．
电线最低点离地面的距离为1.4米；
答：电线最低点离地面的距离为1.4米．
（2）解：①由图（1）的抛物线可得：点，点，
由题意得左侧抛物线的顶点为，且过点，
设左侧抛物线的关系式为，将点代入求得，
左侧抛物线的关系式为，
当时，米，即的长为2.1米．
答：的长为2.1米．
②米，
右边抛物线的顶点一定在的垂直平分线上，
因此右边抛物线的顶点的横坐标为，设顶点坐标为，
右边抛物线的关系式为，把点代入得，，
即：
当时，，
当，，
所以，当时，的取值范围是．
故答案为：．