江西省萍乡市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

这是一份江西省萍乡市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，作图题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】旋转后能够与原图像重合的图形即为中心对称图形，逐个判断过去即可．
【详解】、是中心对称图形，故此选项正确；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：．
【点睛】本题主要考查中心对称图形的定义，能够熟记定义是解题关键．
2. 如图是某居民小区内的限速指示牌，若汽车按限速要求以的速度在该小区内行驶，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据图可得，进而可求解，从图中获取相关信息是解题的关键．
【详解】解：由图得：x的取值范围是，
故选C．
3. 若，则下列不等式中，成立的是（ ）该试卷源自 每日更新，提供24小时找卷服务，全网性价比高。 A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查不等式的基本性质，当不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不改变；当不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
关键在于对不等式3条基本性质的掌握和熟练应用，继而判断出能够成立的不等式．
【详解】A：∵，∴，故不正确，不符合题意；
B：∵，∴，故正确，符合题意；
C：∵，∴当时，，故不正确，不符合题意；
D：∵，∴，，故不正确，不符合题意．
故选：B．
4. 将点先向下平移3个单位，在向右平移2个单位得到点Q坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，根据“上加下减，左减右加”的平移规律求解即可．
【详解】解：将点先向下平移3个单位，在向右平移2个单位得到点Q坐标为，即，
故选：A．
5. 如图，将要给甲、乙、丙三户接电表，若使每相邻两户的电线等距排列，则三户所用的电线（ ）
A. 甲户最长B. 乙户最长_C. 丙户最长D. 三户一样长
【答案】D
【解析】
【分析】可理解为将最左边一组电线向右平移所得，由平移的性质即可得出结论．
【详解】∵甲、乙、丙三户家用电路接入电表，相邻电路的电线等距排列，
∴将甲向右平移即可得到乙、丙，
∵图形的平移不改变图形的大小，
∴三户一样长．
故选：D．
【点睛】此题考查了平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移的性质．
6. 若关于x的不等式的解集为，则m的取值范围是（ ）
A. m为任意实数B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式：根据不等式的性质解一元一次不等式．基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
根据不等式的性质得，然后解关于的不等式即可．
【详解】解：关于的不等式的解集为，
，
．
故选：D．
7. 如图，图②可由图①经过一次旋转变换得到，其旋转中心是（ ）

A 点B. 点C. 点D. 点
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了找旋转中心；根据旋转的性质，作两组对应点所连线段的垂直平分线，交点即为旋转中心，即可得．
【详解】根据对应点连线段的垂直平分线的交点就是旋转中心，
如图所示，连接两个三角形的锐角的顶点连线的垂直平分线，交于点，
则旋转中心可能是点，

故选：C．
8. 如图，，，垂足分别为，，要根据“”证明与全等，则还需要添加一个条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理；根据已知公共边为，根据只要找到对应的直角边或，即可求解．
【详解】在与中，
∴，
故选：B．
9. 如图，在中，线段的垂直平分线交于点N，若，，则的周长为（ ）
A. 8B. 9C. 10D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等是解题的关键．先根据线段垂直平分线的性质得出，进而得出结论．
【详解】解：线段的垂直平分线交于点，，，
，
的周长．
故选：C．
10. 将直角边长为的等腰直角绕点逆时针旋转后得到△，则图中阴影部分的面积( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据旋转的性质，旋转角∠CAC=15∘，则∠BAC=45∘−15∘=30°，可见阴影部分是一个锐角为30°的直角三角形，且已知直角边AC=3厘米，根据勾股定理或者三角函数求出另一直角边即可解答．
【详解】解：设与交于点，
根据旋转性质得，而，
，
又，，
，
阴影部分的面积．
故选：．
【点睛】本题考查旋转的性质和解直角三角形．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点·旋转中心；②旋转方向；③旋转角度
二、填空题（每小题3分，共24分）
11. 等腰三角形的两边长分别是6cm和3cm，那么第三边的长为__________cm
【答案】6
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形三边关系即可得到结果
【详解】解：∵等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，
∴可有两种情况，分别是：3cm、3cm、6cm和3cm、6cm、6cm，
根据三角形三边关系可得只有3cm、6cm、6cm符合组成三角形的条件，
∴第三边是6cm．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系的应用，准确分析判断是解题的关键．
12. 若关于x不等式的解集在数轴上表示如图所示，则这个不等式的解集为_____________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查用数轴表示不等式的解集，直接根据数轴上表示的不等式的解集求解即可．
【详解】解：由数轴知，该不等式的解集为，
故答案为：．
13. 如图，用一个定滑轮带动重物上升，则重物上升运动过程的现象是_____ .(填 “平 移”或“旋转”)
【答案】平移.
【解析】
【分析】根据平移的定义解答即可.
【详解】一个定滑轮带动重物上升，则重物上升运动过程的现象是平移.
故答案为平移.
【点睛】本题考查了平移的定义，熟知平移的性质是解决问题的关键.
14. 如图，在中，，平分，若，，则的面积为 _____．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，过点D作于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】解：如图，过点D作于E，
∵，平分，
，
∴的面积．
故答案为：5．
15. 若不等式组的解集是x＜3，则m的取值范围是_____．
【答案】m≥3
【解析】
【分析】根据找不等式组解集的规律得出即可．根据同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了；
【详解】解：∵不等式组的解集是x＜3，
∴m的取值范围是m≥3，
故答案为：m≥3．
16. 如图，直线经过点，当时，x的取值范围是______．
【答案】##
【解析】
【分析】直线经过点，根据函数的图象即可写出不等式的解集．
【详解】解：直线经过点，
当时，x的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，数形结合是解决本题的关键．
17. 如图，是等边三角形，在AC边的右侧作等腰，，连接，则的度数为______．
【答案】##30度
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形及等腰三角形的性质，由为等边三角形，可得，再由是等腰直角三角形，，可得，从而得出，再根据等腰三角形的性质得，最后求解即可．
【详解】解：∵为等边三角形，
∴，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
18. 已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（20，0），C（0，8），点D是OA的中点，点P在边BC上运动，当△ODP是腰长为10的等腰三角形时，则P点的坐标为_____．
【答案】（6，8）或（8，8）或（16，8）．
【解析】
【分析】此题分二种情况（1）OD是等腰三角形的底边时，（2）OD是等腰三角形的一条腰时，①若点O是顶角顶点时，②若D是顶角顶点时，分别进行讨论得出P点的坐标，再选择即可．
【详解】（1）OD是等腰三角形的底边时，P就是OD的垂直平分线与CB的交点，此时OP=PD≠10；
（2）OD是等腰三角形的一条腰时：
①若点O是顶角顶点时，P点就是以点O为圆心，以10为半径的弧与CB的交点，在直角△OPC中，CP==6，
则P的坐标是（6，8）；
②若D是顶角顶点时，P点就是以点D为圆心，以10为半径的弧与CB的交点，
过D作DM⊥BC于点M，
在直角△PDM中，PM==6，
当P在M左边时，CP=10-6=4，则P的坐标是（4，8）；
当P在M的右侧时，CP=5+3=8，则P的坐标是（16，8）；
故P的坐标为：（6，8）或（8，8）或（16，8）；
故答案为（6，8）或（8，8）或（16，8）．
【点睛】此题主要考查了矩形的性质以及坐标与图形的性质和等腰三角形的性质，根据△ODP是腰长为5的等腰三角形进行分类讨论是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共2小题，其中第19题8分，第20题5分，共13分）
19. 解不等式：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的一般步骤，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
（1）按照去括号，移项，合并同类项，最后系数化1，解出不等式的解集．
（2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，最后系数化1，解出不等式的解集．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
20. 解不等式组：，并写出它的所有整数解．
【答案】，整数解为：，0，1，2
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而求出其整数解即可．
【详解】解：
解：解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式得解集为：，
∴原不等式的整数解为：，0，1，2．
四、作图题（本大题共2个小题，21题4分，22题8分，共12分）
21. 图①②都是由边长为1的小等边三角形组成的正六边形，已经有5个小等边三角形涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影．（请将两个小题依次作答在图①，图②中，均只需画出符合条件的一种情形）
（1）使得6个阴影小等边三角形组成的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形．
（2）使得6个阴影小等边三角形组成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）直接利用轴对称图形以及中心对称图形的定义分析得出答案；
（2）直接利用轴对称图形以及中心对称图形的定义分析得出答案．
【详解】解：（1）如图所示：是轴对称图形，但不是中心对称图形．
（2）如图所示：既是轴对称图形，又是中心对称图形．
．
【点睛】本题主要考查了利用旋转设计图案以及利用轴对称设计图案，正确掌握相关定义是解题关键．
22. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点，，均在格点上．在平面直角坐标系中，的位置如图所示（每个小方格都是边长1个单位长度的正方形）
（1）画出将向左平移8个单位长度得到的，并写出点的坐标；
（2）画出绕点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标．
（3）计算出的面积．
【答案】（1）图见解析，
（2）图见解析，
（3）5
【解析】
【分析】本题考查了作图旋转变换和平移变换．
（1）利用点平移的坐标特征描出点、、，再顺次连接，然后根据点的位置写出其坐标即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出的对应点、，再顺次连接，然后根据点的位置写出其坐标即可．
（3）利用割补法求解即可．
小问1详解】
解：如图，为所求作三角形；
点；
【小问2详解】
解：如图，为所求作三角形．
点．
【小问3详解】
的面积．
五、解答题（本大题共2个小题，23小题6分，24小题6分，共12分）
23. 如图，在△ABC中，AE是∠BAC的角平分线，交BC于点E，DE∥AB交AC于点D．
(1)求证AD=ED；
(2)若AC=AB，DE=3，求AC的长．

【答案】(1)证明见解析；(2)6.
【解析】
【分析】（1）由AE是∠BAC的角平分线可得∠DAE=∠BAE，由DE∥AB，可得∠DEA=∠EAB，则∠DEA=∠DAE，可得结论．
（2）根据等腰三角形三线合一可得AE⊥BC，可证∠C=∠CED则CD=DE，即可求AC的长．
【详解】证明：(1)∵AE是∠BAC的角平分线
∴∠DAE=∠BAE，
∵DE∥AB
∴∠DEA=∠EAB，
∴∠DAE=∠DEA，
∴AD=DE-；
(2)∵AB=AC，AE是∠BAC的角平分线
∴AE⊥BC
∴∠C+∠CAE=90°，∠CED+∠DEA=90°，
∵∠CAE=∠DEA，
∴∠C=∠CED，
∴DE=CD，
∴AD=DE=CD=3，
∴AC=6.
故答案为(1)证明见解析；(2)6.
【点睛】本题考查等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，关键是利用这些性质解决问题．
24. 某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元．
（1）求篮球和足球单价分别是多少元；
（2）学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元．那么有哪几种购买方案？并求出最省钱的购买方案
【答案】（1）篮球的单价为120元，足球的单价为90元
（2）共有四种购买方案，方案一：采购篮球30个，采购足球20个；方案二：采购篮球31个，采购足球19个；方案三：采购篮球32个，采购足球18个；方案四：采购篮球33个，采购足球17个，方案一最省钱
【解析】
【分析】（1）设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，根据“购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元．”确定方程组，再解方程组即可；
（2）设采购篮球m个，则采购足球为个，根据“篮球不少于30个，且总费用不超过5500元．”确定不等式组，再解不等式组即可，最后利用代数式的值计算费用最小值即可．
【小问1详解】
解：设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，
由题意可得：，
解得：，
答：篮球的单价为120元，足球的单价为90元；
【小问2详解】
设采购篮球m个，则采购足球为个，
∵要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元，
∴，
解得：，
∵x为整数，
∴x的值可为30，31，32，33，
∴共有四种购买方案，
方案一：采购篮球30个，采购足球20个；
方案二：采购篮球31个，采购足球19个；
方案三：采购篮球32个，采购足球18个；
方案四：采购篮球33个，采购足球17个．
所需购买费用为：，
由代数式的值可得：当的值最小时，费用最小，
方案一最省钱，费用为：（元）．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，代数式的值，理解题意，确定相等关系与不等关系建立方程组与不等式组是解本题的关键．
六、解答题（本大题共1个小题，共9分）
25. 【原题再现】在学习“图形的平移和旋转”时，教材上有这样一道题，如图1，点D在等边三角形的边上，将绕点A旋转，使得旋转后点B的对应点为点C．小明是这样做的：过点C画的平行线l，在l上截取，连接，则即为旋转后的图形．
（1）请你根据小明的思路，①求证：；②求的度数；
【方法应用】
（2）如图2，点D为等边三角形的边下方一点，连接，，，若，，求面积的最小值．
【答案】（1）①见解析；②；（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质：
（1）①由等边三角形的性质得到，，由平行线的性质得到，据此即可证明；②由全等三角形的性质得到，据此根据角之间的关系求解即可；
（2）延长到点，使，可证明，进一步证明是等边三角形，要使的面积最小，即等边三角形的边长最短时面积最小，即当为等边的高线时才会最短，从而可得出结论；
【详解】解：（1）①三角形是等边三角形，
，，
，
，
，
，
②由①得：，
，
；
（2）如图，延长到点，使．

是等边三角形，
，．
，
，
．
，
，
∴，
，
∵
，
是等边三角形．
要使的面积最小，即等边三角形的边长最短时面积最小，
即当为等边的高线时才会最短，
由题意可知等边的高线最短为，
∴
的面积最小值是．