江西省萍乡市芦溪县2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

这是一份江西省萍乡市芦溪县2023-2024学年九年级上学期期中数学试题，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（满分：120分；时间：120分钟）
一、选择题（本大题共6个小题；每小题3分，共18分）。
1.矩形、正方形、菱形都具有的性质是（ ）
A.对角线互相垂直B.对角线互相平分
C.对角线长度相等D.一组对角线平分一组对角
2.若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A.B.C.且D.
3.一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球1个、绿球1个、白球2个，小明摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是（ ）
A.B.C.D.
4.已知线段的长度为2，点C是线段的黄金分割点，则的长度为（ ）
A.B.C.或D.或
5.如图，点D为边上任一点，交于点E，连接、相交于点F，则下列等式中不成立的是（ ）
第5题
A.B.C.D.
6.如图，在矩形中，为中点，过点且分别交于，交于，点是中点且，则下列结论正确的个数为（ ）
第6题
①是等边三角形；②；
③；④
A.1个B.2个C.3个D.4个
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
7.若，则______.
8.四边形四边形.若，，，则______°.
9.如图，在矩形中，对角线，相交于点O，若，，则的长为______.
第9题
10.已知m，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为______.
11.我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，问：邑方几何?”.其大意是：如图，一座正方形城池，A为北门中点，从点A往正北方向走30步到处有一树木，C为西门中点，从点C往正西方向走750步到D处正好看到B处的树木，则正方形城池的边长为______步.
第11题
12.如图，在菱形中，对角线、相交于点，点E是线段上的一个动点，点F为射线上一点，若，，，则可能的整数值是______.
第12题
三、解答题（本大题共5个小题，每小题6分，共30分）
13.（1）解方程：；
（2）如图，已知，与相交于点O.如果，，，求的长.
第13题（2）
14.如图，，.求证：.
第14题
15.如图，在中，对角线、交于点O，E是延长线上的点，且是等边三角形.若，求证：四边形是正方形.
第15题
16.2023年五一假期，西安进入全国热门旅游城市榜单，其中位于西安的热门景区——大唐不夜城更是许多游客必去的打卡地.大唐不夜城中有以下表演：A、盛唐密盒；B、华灯太白；C、贞观之治；D、乐舞长安.小明和小亮同时在大唐不夜城游玩，在同一时刻他们从四个节目中随机选择一个节目进行观看.
（1）小亮选择盛唐密盒的概率是______；
（2）用列表或画树状图的方法求小明和小亮刚好在同一个节目前观看的概率.
17.如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）.
图1 图2
（1）如图1，在边上找一点P，使得；
（2）如图2，在边上找一点Q，使得.
四、（本大题共3个小题，每小题8分，共24分）
18.为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台.假定该设备的年销售量y（单位：台）和销售单价x（单位：万元）成一次函数关系.
（1）求年销售量y与销售单价x的函数关系式；
（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元?
19.如图，在四边形中，，，E为的中点，连接，，.
第19题
（1）求证：四边形为菱形.
（2）连接，若，，求的长.
20.已知关于x的一元二次方程有实数根.
（1）求实数k的取值范围.
（2）设方程的两个实数根分别为，，若，求k的值.
五、（本大题共2小题，每小题9分共18分）
21.已知，如图所示的四边形为菱形，、交于O，于F，交于点E.
第21题
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）过点E作，若，交于点G，若菱形的面积为，求的长.
22.如图1，在纸片中，，，，D，E分别是，边上的动点，且，连接，将沿翻折，点B落在点F的位置，连接.
图1 图2 图3
（1）如图2，当点F在边上时，求的长.
（2）如图3，点D，E在运动过程中，当时，求的长.
六、（本大题共12分）
23.如图1，已知四边形是矩形，点E在的延长线上，.与相交于点G，与相交于点，.
图1 图2
（1）求证：；
（2）若，求的长；
（3）如图2，连接，求证：.
2023-2024学年第一学期期中质量监测九年级数学参考答案
一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）。
1-5 B C A C C
6.C【解答】解：∵，点G是中点，
∴，
∵，
∴，
，
∴是等边三角形，故①正确；
设，则，
由勾股定理得，，
∵O为中点，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，故②正确；
∵，，
∴，故③错误；
∵，
，
∴，故④正确：
综上所述，结论正确的是①②④，共3个.故选：C.
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
7.； 8.70； 9.4； 10.2022； 11.300； 12.2，3，4.
12【解答】解：如图，连接，
∵在菱形中，，，，
∴，
∴，
设，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴在中，，
∵，
∴，
∴的长的整数值可能是2，3，4，即的长的整数值可能是2，3，4.
故答案为：2，3，4.
三、解答题（本大题共5个小题，每小题6分，共30分）
13.（1），
，
，
，
，
解得，；……3分
（2）∵，∴，
∵，，，
∴，解得：，
∴……6分
14.证明：∵，∴，
即：，……2分
∵，
∴，……4分
∴.……6分
15.证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵是等边三角形，
∴（三线合一），
即，
∴是菱形，……2分
∴，，
∵是等边三角形，，
∴，是直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是菱形，
∴，
∴菱形是正方形.……6分
16.解：（1）小亮选择盛唐密盒的概率；……2分
（2）画树状图为：
共用16种等可能的结果，其中小明和小亮刚好在同一个节目前观看的结果数为4种，
所以小明和小亮刚好在同一个节目前观看的概率.……6分
17.解：（1）如图所示，点P即为所求.……3分
（2）如图所示，确定点M，然后连接连接交于点Q，点Q即为所求.……6分
图1 图2
四、（本大题共3个小题，每小题8分，共24分）
18.解：（1）设年销售量y与销售单价x的函数关系式为，
将、代入，得：
，解得：，
∴年销售量y与销售单价x的函数关系式为.……3分
（2）设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为万元，销售数量为台，
根据题意得：，……5分
整理，得：，
解得：，.……6分
∵此设备的销售单价不得高于70万元，
∴.
答：该设备的销售单价应是50万元/台.
19.（1）证明：∵，E是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，……2分
∵，
∴四边形为菱形；……4分
（2）解：由（1）得：四边形为菱形，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形，……6分
∴，，
∵，
∴.……8分
20.解：（1）解：∵一元二次方程有实数根.
∴，即，
解得；……3分
（2）∵关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，
∴， ，……4分
∵，
∴，
∴，
解得或，……7分
∵，
∴……8分
五、（本大题共2小题，每小题9分共18分）
21.（1）证明：∵四边形菱形，
∴且，
∴，
∵，∴，
∴；……3分
（2）证明：由（1）得，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴即，
∴，，
∴，……5分
∴，
∴，
∴；……6分
（3）解：∵菱形面积为，，∴，
∵，∴，∴，
设，则，，
由（2）得：，∴，
在中，，，∴，
此时，∴，
解得：或（不合题意，舍去），……8分
∵，，∴，∴，
∴.……9分
22.（1）的长为；（2）.
解：（1）在中，∵，，，∴，
由翻折可知：，，∵，∴，
∴四边形是菱形，∴，∴，∴，
解得；
∴的长为；……4分
（2）如图，过点E作于点G，
图3
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边，……5分
∴，，∴，
∵，，∴，∴
∴，……7分
∴，∴，
∵，
∴，
∴.……9分
六、（本大题共12分）
23.（1）证明：∵四边形是矩形，点E在的延长线上，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
即，
故……3分
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
即，……5分
设，则有，化简得，
解得或（舍去），
∴.……7分
（3）证明：如图，在线段上取点P，使得，……8分
在与中，，，，
∴，
∴，，……10分
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴.……12分
图2