2024年河北省石家庄市第四十二中学中考二模数学试题（原卷版+解析版）

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1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
【详解】解：的相反数是，
故选：B．
【点睛】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
2. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用幂乘方与积的乘方的性质求解即可求得答案．
【详解】解：，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方的性质，此题比较简单，注意掌握指数的变化时解此题的关键．
3. 估计的值在（ ）
A. 2到3之间B. 3到4之间C. 4到5之间D. 5到6之间
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用估算无理数的方法得出的取值范围进而得出答案．
【详解】解：∵9＜15＜16，
∴3＜＜4，
∴4＜＜5，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键．
4. 已知三个数、5、7，若添加一个数组成一组新数据，且这组新数据唯一的众数与中位数相等，则这个新数据为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查中位数和众数，根据中位数和众数的确定方法，进行判断即可．
【详解】解：∵众数是一组数据中出现次数最多的一个，
∴添加的新数据只能是、5、7中的一个，
又∵中位数为排序后位于中间两位的平均数，且其中一个数一定是5，且众数等于中位数，
∴这个新数据只能是5；
故选C．
5. 掷两枚质地均匀的骰子，下列事件是随机事件的是（ ）
A. 点数的和为1B. 点数的和为6
C. 点数的和大于12D. 点数的和小于13
【答案】B
【解析】
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【详解】解：A、点数和为1，是不可能事件，不符合题意；
B、点数和为6，是随机事件，符合题意；
C、点数和大于12，是不可能事件，不符合题意；
D、点数的和小于13，是必然事件，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
6. 如图，四边形是边长为2的正方形，是边长为2的正三角形，点G，H分别是边的中点，在点四个点中，位于同一反比例函数图像上的两个点是（ ）

A. 点F和点GB. 点F和点DC. 点F和点HD. 点G和点H
【答案】D
【解析】
【分析】结合平面直角坐标系，得到各个点的坐标，其中横纵坐标乘积相等的点即为同一反比例函数图象上的点．
【详解】依题意：点，，，，
，
点G和点H位于同一反比例函数图像上．
故选择：D
【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
7. 如图，桌面上有3张卡片，1张正面朝上．任意将其中1张卡片正反面对调一次后，这3张卡片中出现2张正面朝上的概率是（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了简单概率的计算，明确题意，知道只有对调反面朝上的2张卡片才能使3张卡片中出现2张正面朝上，是解答本题的关键．任意将其中1张卡片正反面对调一次，有3种对调方式，其中只有对调反面朝上的2张卡片才能使3张卡片中出现2张正面朝上，据此即可作答．
【详解】解：∵任意将其中1张卡片正反面对调一次，有3种对调方式，其中只有对调反面朝上的2张卡片才能使3张卡片中出现2张正面朝上，
∴，
故选：B．
8. 某校八年级学生参加每分钟跳绳的测试，并随机抽取部分学生的成绩制成了频数分布直方图（如图），若取每组的组中值作为本小组的均值，则抽取的部分学生每分钟跳绳次数的平均值（结果取整数）为（ ）

A. 87次B. 110次C. 112次D. 120次
【答案】B
【解析】
【分析】根据跳绳次数分组的中间值，得出每分钟跳绳次数的平均数，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，抽取的部分学生每分钟跳绳次数的平均值为（次），
故选：B．
【点睛】本题考查了频数分布直方图，平均数．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
9. 一次函数满足下列两个条件：①y随x的增大而减小：②当时，．符合上述两个条件的一次函数表达式可以为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数中，当时，随的增大而减小是解答此题的关键，根据当时，得出过，通过验证就可判断．
【详解】解：设一次函数的解析式为，
随着的增大而减小，
，故符合的有B，C；
当时，，
图象过点，
符合条件的解析式可以为：．
故选：B．
10. 老师设计了接力游戏，用合作的方式完成“求抛物线的顶点坐标”，规则如下：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成解答.过程如图所示：

接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ）
A. 只有丁B. 乙和丁C. 乙和丙D. 甲和丁
【答案】D
【解析】
【分析】观察每一项的变化，发现甲将老师给的式子中等式右边缩小两倍，到了丁处根据丙的式子得出了错误的顶点坐标.
【详解】解：
，
可得顶点坐标为（-1，-6），
根据题中过程可知从甲开始出错，按照此步骤下去到了丁处可得顶点应为（1，-3），
所以错误的只有甲和丁.
故选D.
【点睛】本题考查了求二次函数顶点坐标和配方法，解题的关键是掌握配方法化顶点式的方法.
11. 用反证法证明命题“一个三角形中至少有一个内角是锐角”时，应先假设（ ）
A. 三个内角都是锐角B. 三个内角都是钝角
C. 三个内角都不是锐角D. 三个内角都不是钝角
【答案】C
【解析】
【分析】解此题关键要懂得反证法的意义及步骤，根据反证法的第一步是从结论的反面出发进而假设得出即可．
【详解】解：用反证法证明“一个三角形中至少有一个内角是锐角”，应先假设三个内角都不是锐角．
故选：C．
12. 如图，某机器零件的三视图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. 主视图B. 左视图C. 俯视图D. 不存在
【答案】C
【解析】
【分析】根据该几何体的三视图，结合轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形及中心对称的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形进行判断即可．
【详解】解：该几何体的三视图如下：
三视图中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是俯视图，
故选：C．
【点睛】本题考查简单几何体的三视图，中心对称、轴对称，理解视图的意义，掌握简单几何体三视图的画法以及轴对称、中心对称的意义是正确判断的前提．
13. 如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是( )
A. 平行四边形B. 等腰梯形C. 正六边形D. 圆
【答案】A
【解析】
【分析】证明平行四边形是平移重合图形即可．
【详解】如图，平行四边形ABCD中，取BC，AD的中点E，F，连接EF．
则有：AF=FD，BE=EC，AB=EF=CD，
∴四边形ABEF向右平移可以与四边形EFCD重合，
∴平行四边形ABCD是平移重合图形．
故选：A．
【点睛】本题考查平移的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
14. 某校在社会实践活动中，明明同学用一个直径为24cm的定滑轮带动重物上升．如图，滑轮上一点A绕点O逆时针旋转105°，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查弧长公式，解题的关键是掌握弧长公式．利用弧长公式算出重物上升的高度即可．
【详解】解：．
故选：B．
15. 如图，将沿边上的中线平移到的位置．已知的面积为16，阴影部分三角形的面积9．若，则等于（ ）
A. 2B. 3C. 4D.
【答案】B
【解析】
【分析】由 S△ABC＝16、S△A′EF＝9且 AD为 BC边的中线知 ， ，根据△DA′E∽△DAB知 ，据此求解可得．
【详解】、，且为边的中线，
，，
将沿边上的中线平移得到，
，
，
则，即，
解得或（舍），
故选．
【点睛】本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的
性质、相似三角形判定与性质等知识点．
16. 在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相等，则称点为完美点．已知二次函数（是常数，）的图象上有且只有一个完美点，且当时，函数的最小值为，最大值为1，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】把代入，可得到，再利用和建立方程组即可求出二次函数的解析式，画出图像即可求解．
【详解】解：令，则
∴
∴由题意可得：
解得：
∴
如图所示：
若最小值为最大值为，
结合图像可得：
故答案选：C
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数，一元二次方程根的判别式，二次函数的图像性质，利用待定系数法和根的判别式建立方程求出二次函数解析式作出图像是解题的关键．
二、填空题（本大题共3个小题，共10分．每空2分）
17. 计算的结果是______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了异分母分式加法计算，先把两个分式通分，然后把分子合并同类项， 再约分化简即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
18. 如图，菱形中，交于，于，连接，若，则的度数为______°．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握菱形的性质和直角三角形斜边上的中线性质、推理证明出是解题的关键．
【详解】解：∵菱形中，交于，，
∴，，，
∴，
∵于，
∴，，
∴，
．
故答案为：．
19. 某款沙发三视图如图1所示，将沙发侧面展示图简化后放入平面直角坐标系，得到图2．其中椅背是双曲线的一部分，椅面是一条线段，点，沙发腿轴、与x轴夹角为α．请你根据图形解决以下问题：

（1）k＝____________；
（2）过点A作轴于点F．已知，，，．则
①A点坐标为____________；
②沙发的外包装箱是一个长方体，则这个包装箱的体积至少是____________（精确到万位，并用科学记数法表示）．
【答案】 ①. 640 ②. ③.
【解析】
【分析】（1）通过待定系数法可直接求出k的值；
（2）过点B作轴，垂足为M，过点D作轴，垂足为N，通过可求出cm，当时，，即可求得A点的坐标，通过求出cm，即可求出，从而求出体积．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）过点B作轴，垂足为M，过点D作轴，垂足为N，

①∵，，，
∴cm，
∵，,
∴cm，
∵双曲线，
∴当时，，
∴，
故答案为：；
②∵cm，，
∴，
∴cm，
∴cm，
∴包装箱的体积至少为，
采用科学记数法，且精确到万位得，
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数和直角三角函数的应用，解题的关键是熟练掌握反比例函数和直角三角函数的相关知识．
三、解答题（本大题共7个小题，共2分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20. 现有甲种正方形、乙种长方形卡片各若干张，卡片的边长如图所示．某同学分别拼出了两个长方形（不重叠无缝隙），如图1和图2，其面积分别为．
（1）请用含的式子分别表示；
（2）当时，求的值．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）分别把各部分面积相加即可；
（2）把与相加，再把代入计算即可．
【小问1详解】
，
；
【小问2详解】
当时，
．
21. 已知在纸面上有一数轴（如图所示）．
（1）操作一：折叠纸面，使表示数1的点与表示数﹣1的点重合，则此时表示数4的点与表示数 的点重合；
（2）操作二：折叠纸面，使表示数6的点与表示数﹣2的点重合，回答下列问题：
①表示数9的点与表示数 的点重合；
②若这样折叠后，数轴上的A，B两点也重合，且A，B两点之间的距离为10（点A在点B的左侧），求A，B两点所表示的数分别是多少？
③在②的条件下，在数轴上找到一点P，设点P表示的数为x．当PA+PB＝12时，直接写出x的值．
【答案】（1）-4 （2）①-5；②A、B两点表示的数分别是-3，7；③x的值为-4或8．
【解析】
【分析】（1）先求出中心点，再求出对应的数即可；
（2）①求出中心点是表示2的点，再根据对称求出即可；②求出中心点是表示2的点，求出A、B到表示2的点的距离是5，即可求出答案；③根据点P在数轴上的位置，分类讨论，当点P在点A的左侧时，当点P在点A、B之间时，当点P在点A的右侧时，根据各种情形求解即可．
【小问1详解】
解：∵折叠纸面，使数字1表示的点与-1表示的点重合，可确定中心点是表示0的点，
∴4表示的点与-4表示的点重合，
故答案为∶-4；
【小问2详解】
解：①∵折叠纸面，使表示数6的点与表示数﹣2的点重合，可确定中心点是表示2的点，
∴表示数9的点与表示数-5的点重合；
故答案为∶ -5；
②∵折叠后，数轴上的A，B两点也重合，且A，B两点之间的距离为10（点A在点B的左侧），
∴A、B两点距离中心点的距离为10 ÷2= 5，
∵中心点是表示2的点，
∴A、B两点表示的数分别是-3，7；
③当点P在点A的左侧时，
∵PA+PB＝12，
∴-3-x+7-x=12，
解得x=-4；
当点P在点A、B之间时，此时PA+PB=12不成立，故不存在点P在点A、B之间的情形；
当点P在点A的右侧时，
∵PA+PB＝12，
∴x-(-3)+x-7=12，
解得x=8，
综上x的值为-4或8．
【点睛】本题考查了数轴的应用，能求出折叠后的中心点的位置是解此题的关键．
22. 如图，，两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，转盘上的数字分别是，，5，转盘上的数字分别是6，，4（两个转盘除表面数字不同外，其他完全相同）．小聪和小明同时转动，两个转盘，使之旋转（规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转一次）．
（1）转动转盘，转盘指针指向正数的概率是________；
（2）若同时转动两个转盘，转盘指针所指的数字记为，转盘指针所指的数字记为，若，则小聪获胜；若，则小明获胜；请用列表法或树状图法说明这个游戏是否公平．
【答案】（1）
（2）这个游戏公平，理由见解析
【解析】
【分析】（1）转盘指针指向正数的概率，据此即可求解；
（2）通过列表找出事件的所有等可能结果，分别计算小明获胜的概率、小聪获胜的概率即可进行判断．
【小问1详解】
解：∵为正数
∴转盘指针指向正数的概率为：
【小问2详解】
解：列表得：
一共有9种等可能的结果
其中的有4种、、、；
其中的有4种、、、
∴（小聪获胜）；（小明获胜）
（小聪获胜）（小明获胜）
∴这个游戏公平
【点睛】本题考查了概率的应用．熟记概率的计算公式以及列表法（或树状图）是解题关键．
23. “惜餐为荣，敛物为耻．”为了解落实“光盘行动”的情况，某校调研了七、八年级部分班级某一天的厨余垃圾质量，并作出如下统计分析．
【收集数据】七、八年级各随机抽取10个班厨余垃圾质量的数据（单位：kg）．
【整理数据】进行整理和分析（厨余垃圾质量用x表示，共分为四个等级：A．；B．；C．；D．）．
【描述数据】下面给出了部分信息，绘制如下统计图：
七年级10个班厨余垃圾质量：0.6，0.7，0.7，0.7，1.3，1.3，1.6，1.7，2，2.4．
八年级10个班厨余垃圾质量中B等级包含的所有数据为：1.1，1.1，1.1，1.3．
【分析数据】七、八年级抽取的班级厨余垃圾质量统计表如下：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： ， ， ；
（2）该校八年级共有30个班，估计八年级这一天厨余垃圾质量符合A等级的班级数；
（3）根据以上信息，请你任选一个统计量，分析在此次“光盘行动”中，该校七、八年级的哪个年级落实得更好？并说明理由．
【答案】（1）0.7，1.1，30
（2）估计八年级这一天厨余垃圾质量符合A等级的班级数为9个
（3）八年级落实更好，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查扇形统计图，求中位数，众数，利用方差作决策：
（1）利用中位数和众数的定义进行求解即可；
（2）利用样本估计总体的思想进行求解即可；
（3）利用中位数，方差作决策即可．
【小问1详解】
解：七年级的数据中0.7出现的次数最多，
∴；
八年级等级所占的比例为：，
∴将八年级的数据排序后，位于中间的两个数据均为：1.1，
∴，
，
∴；
故答案为：0.7，1.1，30；
【小问2详解】
（个），
答：估计八年级这一天厨余垃圾质量符合A等级的班级数为9个；
【小问3详解】
八年级落实更好，
理由：①八年级各班餐厨垃圾质量的中位数1.1低于七年级各班餐厨拉坎质量的中位数1.2；
或②八年级各班餐厨垃圾质量的方差0.24低于七年级各班餐厨垃圾质量的方差0.352，更稳定（答案不唯一）．
24. 某客商准备购一批特色商品，经调查，用元采购A型商品的件数是用元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多10元．
（1）求一件A，B型商品进价分别为多少元？
（2）若该客商购进A，B型商品共250件进行试销，若A型商品的售价为元/件，B型商品的售价为元/件，设购进A型商品件．若两种商品全部售出，求出商场销售这批商品的最大利润，并求出此时的进货方案．
【答案】（1）一件A型商品的进价为160元，一件B型商品的进价为150元
（2）商场销售这批商品的最大利润为18750元，此时的进货方案：A商品进125件，B商品进125件
【解析】
【分析】此题考查了分式方程的应用、一次函数的应用等知识，根据题意正确列出方程和一次函数是解题的关键．
（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为元．根据用元采购A型商品的件数是用元采购B型商品的件数的2倍列出方程，解方程并检验即可得到答案；
（2）设商场销售这批商品的利润为w元，列出w关于x的一次函数，利用一次函数的性质进行解答即可．
【小问1详解】
解：设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为元．
由题意得：
解得，
经检验是分式方程的解，
∴，
答：一件A型商品的进价为160元，一件B型商品的进价为150元；
【小问2详解】
设商场销售这批商品的利润为w元，根据题意得：
，
∵，
∴w随m的增大而增大，
∵，
∴当时，w取最大值为（元），
此时进货方案是：A商品进125件，B商品进125件，
答：商场销售这批商品的最大利润为18750元，此时的进货方案：A商品进125件，B商品进125件．
25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，x轴正半轴的交点为点B，其中点A的坐标为，且，连接．
（1）分别求出直线和抛物线的解析式．
（2）若抛物线的顶点为点E，求的面积．
（3）P是下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点C，过点P作轴于点D．求的最大值．
【答案】（1）直线解析式为，抛物线的函数表达式为
（2）
（3）的最大值为
【解析】
【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
（1）先求出点坐标，再利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先求出点坐标，分割法求出的面积即可；
（3）设，将转化为二次函数求最值即可．
【小问1详解】
∵点A的坐标为，且，
∴
设直线解析式为，把，代入得：，
解得，
∴直战解析式为，
把，代入得：
，解得，
∴抛物线的函数表达式为；
【小问2详解】
拋物线的函数表达式为，
∴顶点，
过点E作y轴的平行线交直线于点Q，
将代入直线解析式，得，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
设，则，
在中，令得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，取最大值，此时，
∴；
∴的最大值为．
26. 如图，在中，，，，延长到点，使，是边上一点，点在射线上，，以点为圆心，长为半径作，交于点，连接，设．
（1）________，________，当点在上时，求的值；
（2）为何值时，与相切？
（3）当时，求阴影部分的面积；
（4）若与的三边有两个公共点，直接写出的取值范围．
【答案】（1）5，1，
（2）
（3）
（4）或
【解析】
【分析】（1）先由勾股定理求得AB，再由BD＝BA，可得BD的长，从而CD的长可求；当点Q在⊙P上时，如图1，根据PQ＝PD推得BP＝PD，从而列出方程，解得x的值即可；
（2）作PF⊥AB于点F，当PF＝PD时，⊙P与AB相切，如图2，由正弦得出关于x 的方程，解得x的值即可；
（3）如图3，连接PE，利用S阴影＝S扇形PDE﹣S△PCE即可得出答案；
（4）由图1和图2即可得出答案．
【小问1详解】
解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝5，
∵BD＝BA，
∴BD＝5，
∴CD＝1．
故答案为：5，1；
当点Q在⊙P上时，如图1，
PQ＝PD．
∴BP＝PD，
即4﹣x＝x+1．
解得x＝．
【小问2详解】
解：作于点，则∠BFP＝90°，当时，与相切，如图2．
则，BP＝4－x，
∵，
∴．
解得．
经检验，解得是分式方程的解，且满足题意．
∴当时，与相切．
【小问3详解】
解：如图3，连接，
∵在中，，．
∴cs∠EPC＝，
∴，
∴，
∴．
【小问4详解】
解：由图2可知，当时，⊙P与△ABC的三边有两个公共点；
由图1可知，当＜x＜4时，⊙P与△ABC的三边有两个公共点．
∴x的取值范围为：或＜x＜4．
【点睛】此题考查了切线的判定与性质、直线与圆的位置关系、扇形与三角形的面积计算、列分式方程解应用题、解直角三角形等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．6
4
年级
平均数
中位数
众数
方差
A等级所占百分比
七年级
1.3
1.2
a
0.352
八年级
1.3
b
1.1
0.24