初中数学北京课改版七年级下册7.2 实验达标测试

重庆实验外国语学校

2022—2023学年度（下）初2025届期中测试

数学试题

一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）

1. 的相反数是（　　）

A. 2023 B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用相反数的定义判断．

【详解】解：的相反数是2023．

故选：A．

【点睛】本题考查了相反数，掌握相反数的定义是关键．

2. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ）

A.    B.  

C.    D.  

【答案】B

【解析】

【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得．

【详解】解：，

，

，

则，

在数轴上表示如下：

故选：B．

【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．

3. 已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，点落在直线上．若，则的度数为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先利用平角定义求出的度数，再根据平行线的性质即可解答．

【详解】解：如图：

，，

，

，

，

故选：A．

【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．

4. 下列说法正确是（    ）

A. 在同一平面内，，，则

B. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等

C. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行

D. 两点之间，线段最短

【答案】D

【解析】

【分析】根据平行线的判定与性质、平行公理、线段的性质等判断求解即可．

【详解】解：在同一平面内，，，则，故A错误，不符合题意；

两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故B错误，不符合题意；

过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故C错误，不符合题意；

两点之间，线段最短，故D正确，符合题意．

故选：D．

【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，线段的性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．

5. 若，则下列不等式一定成立的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据不等式的基本性质对各选项进行分析即可．

【详解】解：A、当时，不等式不成立，不符合题意；

B、当时，不等式不成立，不符合题意；

C、，，原变形错误，不符合题意；

D、，，，符合题意．

故选：D．

【点睛】本题考查的是不等式的性质，熟知不等式的基本性质是解题的关键．

6. 估计的值在（    ）

A. 6到7之间 B. 5到6之间

C. 4到5之间 D. 3到4之间

【答案】C

【解析】

【分析】先估算出的值的范围，从而估算出的值的范围，即可解答．

【详解】解：，

，

，

估计的值在4到5之间，

故选：C．

【点睛】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数的大小是解题的关键．

7. 当前，九龙坡区正在全力创建全国文明城区（简称“创文”）．某社区积极响应“创文”活动，投入一定资金用于绿化一块闲置空地，购买了甲、乙两种树木，其中甲种树木每棵100元，乙种树木每棵80元，乙种树木比甲种树木小8棵，共用去资金8000元．设甲种树木购买了棵、乙种树木购买了棵，根据题意，可列方程组（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用总价单价数量，结合购进两种树苗棵数间的关系，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．

【详解】解：购进的乙种树木比甲种树木少8棵，

；

购进这批树木共用去资金8000元，

．

根据题意可列方程组．

故选：B．

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

8. 在平面直角坐标系中，已知点，点，且直线轴，则点位于（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】根据点，点，且直线轴，可知点和点的横坐标相等，从而可以得到，然后求出的值即可．

【详解】解：点，点，且直线轴，

，

解得，

，，

点位于第一象限．

故选：A．

【点睛】本题考查坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确平行于轴的直线上的点的横坐标都相等．

9. 如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，水平向右平移1个单位长度，再竖直向上平移1个单位长度得点；接着水平向左平移2个单位长度，再竖直向下平移2个单位长度得到点；接着水平向右平移3个单位长度，再竖直向上平移3个单位长度得到点；接着水平向左平移4个单位长度，再竖直向下平移4个单位长度得到点，…，按此作法进行下去，则点的坐标为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】观察图象可知，奇数点在第一象限，由题意得，，可得，即可求解．

【详解】解：由题意得，奇数点在第一象限，

动点从原点出发，水平向右平移1个单位长度，再竖直向上平移1个单位长度得点；

接着水平向左平移2个单位长度，再竖直向下平移2个单位长度得到点；

接着水平向右平移3个单位长度，再竖直向上平移3个单位长度得到点；

接着水平向左平移4个单位长度，再竖直向下平移4个单位长度得到点；

，

，

．

故选：C．

【点睛】本题考查坐标与图形变化平移，规律型等知识，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．

10. 如图，将沿方向平移得到对应的，延长，交于点．若，，，，为线段上一动点，连接，则的最小值为（    ）．

A.  B. 5 C.  D. 6

【答案】A

【解析】

【分析】根据平移的性质得，当时，最小，此时有，即，即可求出答案．

【详解】解：将沿方向平移得到对应的，

，

，

，

，，，

当时，最小，

此时有，

即，

，

的最小值为．

故选：A．

【点睛】本题考查了平移的性质和垂线段最短，根据平移的性质得到是解题的关键．

11. 如图，已知点是线段上一点，，点是的中点，点是的中点．若，则的长为（    ）

A. 48 B. 52 C. 60 D. 66

【答案】D

【解析】

【分析】设，根据，得，再根据点是的中点，点是的中点，得，，所以，解得，可得答案．

【详解】解：设，

，

，

点是的中点，

，

点是中点，

，

，

，

解得，

．

故选：D．

【点睛】本题考查了两点间的距离，利用线段中点的性质得出，是解题关键．

12. 若关于的方程的解为正整数，且关于的不等式组的解集为，则所有满足条件的整数的值之和为（    ）

A. 3 B. 4 C. 8 D. 9

【答案】A

【解析】

【分析】先解方程，得，再根据题意可得，再解不等式组，根据题意可得，进一步可得的取值范围，即可求出满足条件的整数的和．

【详解】解：方程，

解得，

解为正整数，

，

解得，

解不等式，得，

解不等式，得，

不等式组的解集为，

，

解得，

且为正整数，

整数的值为或1或3，

整数的值之和为：，

故选：A．

【点睛】本题考查了一元一次方程的解，一元一次不等式组的解集等，解题的关键是熟练掌握解方程和不等式组的方法．

二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）

13. 已知,则的补角的度数是__________．

【答案】144°

【解析】

【分析】根据补角的定义即可求出的补角的度数．

【详解】解: 的补角的度数是180°－=180°－36°=144°

故答案为: 144°．

【点睛】此题考查的是求一个角的补角,掌握补角的定义是解决此题的关键．

14. （﹣5）2的平方根是_____．

【答案】±5

【解析】

【分析】先求得（﹣5）2的值，然后依据平方根的性质求解即可．

【详解】解：（﹣5）2＝25，25平方根是±5．

故答案为±5．

【点睛】本题主要考查的是平方根的性质，熟练掌握平方根的性质是解题的关键．

15. 已知实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为__________．

【答案】1

【解析】

【分析】根据数轴上点的位置确定出，的正负，原式利用绝对值的代数意义，立方根及算术平方根性质计算即可求出值．

【详解】解：根据数轴上点位置得：，且，

，，

则原式．

故答案为：1．

【点睛】此题考查了实数的运算，立方根，以及实数与数轴，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．

16. 已知关于，的二元一次方程组的解也是方程的解，则的值为__________．

【答案】5

【解析】

【分析】由于方程组解与二元一次方程的解相同，可得新方程组并求解，然后代入含的方程求值即可．

【详解】解：由题意可得，

由①，得③，

把③代入②，得，

解这个方程，得．

把代入③，得．

所以该方程组的解为．

把代入，得．

故答案为：5．

【点睛】本题考查了二元一次方程组，掌握方程组的解和方程的解的意义及二元一次方程组的解法是解决本题的关键．

17. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，点的坐标分别是，，，点与点关于轴对称，顺次连接，，，四点得到四边形，点是四边形边上的一个动点，连接，若将四边形的面积分为1：4的两部分，则点的坐标为__________．

【答案】或

【解析】

【分析】先根据各坐标求出四边形的面积，再分情况讨论当点在上和上的点坐标．

【详解】解：作于，

点与点关于轴对称，点，

点坐标为，

点，点的坐标分别是，，

，，，，

，

，

，

如图1，当点在上时，

，

，

，

，

，

点坐标为：，；

如图2，当点在上时，

，

，

，

，

，

点坐标为：

综上，点坐标为或，

故答案为：或．

【点睛】本题考查了坐标系中图形的面积的求法，分情况讨论点的位置是解题关键．

18. 材料：对于一个四位正整数，若，则称这个数为“尚美数”，并记，．例如：对于四位正整数3586，∵，，∴3586是“尚美数”，且，．若一个“尚美数”的千位数字小于百位数字，且是7的整数倍，则的最小值为__________．

【答案】

【解析】

【分析】设，由“尚美数”的定义，可得出，，进而可得出，由，，，之间的关系，可得出可以是2，3，4，5，6，7，8，代入各值，结合是7的整数倍且，可求出符合题意的值，结合，可求出各的值，比较后即可得出结论．

【详解】解：设，

是“尚美数”，

，

，，

．

，，，，均为一位正整数，且，

可以是2，3，4，5，6，7，8．

当时，，

是7的整数数，，且为一位正整数，

，此时；

当时，，

是7的整数倍，，且为一位正整数，

，此时；

当时，，

是7的整数倍，，且为一位正整数，

不存在符合题意的值；

当时，，

是7的整数倍，，且为一位正整数，

，此时；

当时，，

是7的倍数，，且为一位正整数，

不存在符合题意的值；

当时，，

是7的倍数，，且为一位正整数，

，此时；

当时，，

是7的倍数，，且为一位正整数，

不存在符合题意的值．

，

的最小值为．

故答案为：．

【点睛】本题考查了整数问题的综合运用，根据各数之间的关系，找出符合题意的，的值是解题的关键．

三、解答题：（本大题共8个小题，共78分）

19. 计算：

（1）；

（2）．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；

（2）先算乘方，再算乘除，后算加减，即可解答．

【小问1详解】

解：

；

【小问2详解】

．

【点睛】本题考查了有理数的混合运算，实数的运算，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．

20. 解方程组或不等式组：

（1）解方程组：；

（2）解不等式组：．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据二元一次方程组的求解方法，采用加减消元法，将二元一次方程组转化为一元一次方程，分别求解、即可；

（2）分别求出两个不等式的解集，然后再求不等式组的解集．

【小问1详解】

解：，

①②，得：，

解得，

将代入①，得：，

解得：．

方程组的解为；

【小问2详解】

，

解不等式得，

解不等式得．

故不等式组的解集为．

【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，掌握解二元一次方程组的方法及解一元一次不等式组的方法是解答本题的关键．

21. 先化简，再求值：，其中，满足．

【答案】，0

【解析】

【分析】利用去括号的法则去掉括号后，合并同类项，利用非负数的意义求得，的值，再将，的值代入运算即可．

【详解】解：，，，

，，

，．

原式

，

当，时，

原式

．

【点睛】本题主要考查了整式的加减，非负数的性质，熟练掌握去括号的法则是解题的关键．

22. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，．若向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到，且点，，的对应点分别是，，．

（1）画出，直接写出点的坐标：（     ，     ），的坐标：（     ，     ），的坐标：（     ，     ）；

（2）若线段上有一点经过上述平移后的对应点为，则点的坐标为（     ，     ）．

（3）求的面积．

【答案】（1），1；1，，，5   

（2），   

（3）10

【解析】

【分析】（1）根据坐标画出图形也可以利用平移的性质画出图形，进而根据平移规律写出坐标即可．

（2）根据平移规律写出坐标即可．

（3）利用分割法把三角形面积看成矩形面积减去周围三个三角形面积即可．

【小问1详解】

解：如图所示：

点的坐标；点的坐标，点的坐标；

故答案为：，1；1，，，5；

  【小问2详解】

由平移规律可知，点的坐标为，

故答案为：，；

【小问3详解】

的面积．

【点睛】本题考查作图平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．

23. 如图，在中，点，，分别为边，，上的点，点在的延长线上．已知，，，求证：．

证明：∵，

∴（     ①     ）．

∴   ②   （两直线平行，内错角相等）

∵，

∴．

∴   ③   （同位角相等，两直线平行）．

∴（     ④     ）．

∵，∴．∴（垂直的定义）．

【答案】见解析

【解析】

【分析】根据平行线的判定与性质判定与性质，根据所给过程，分别分析即可填写．

【详解】解：证明：，

（同位角相等，两直线平行），

（两直线平行，内错角相等），

，

，

（同位角相等，两直线平行），

（两直线平行，同旁内角互补），

，

，

（垂直的定义）．

【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．

24. 为满足市民对水果的需求，某水果店分别以每千克15元和10元的价格一次性购进了苹果和梨共200千克，苹果按每千克获利40%的价格销售，梨每千克售价是苹果每千克售价的，经过一段时间后，这两种水果都销售完毕，经统计，销售这两种水果共获利1020元．

（1）该水果店此次购进的苹果和梨分别是多少千克？

（2）因为市民对这两种水果仍有需求，于是该水果店又以与上次相同的价格购进了一些苹果和梨，购进苹果的数量比上次减少10千克，购进梨的数量与上次相同．由于市场原因，该水果店调整了这两种水果的销售单价，苹果每千克售价下调了，梨每千克售价上调了，若要求销售完这些苹果和梨的总利润不得低于771元，求的最大值．

【答案】（1）购进苹果110千克，梨90千克   

（2）25

【解析】

【分析】（1）设该水果店此次购进苹果千克，梨千克，根据“该水果店购进苹果和梨共200千克，且全部售出后共获利1020元”，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）利用总利润每千克的销售利润销售数量（购进数量），结合总利润不低于771元，可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．

【小问1详解】

解：设该水果店此次购进苹果千克，梨千克，

根据题意得：，

解得：．

答：该水果店此次购进苹果110千克，梨90千克；

【小问2详解】

根据题意得：

，

整理得：，

解得：，

的最大值为25．

答：的最大值为25．

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．

25. 如图1，已知在四边形中，，，点是边上的一点，连接，的平分线与的平分线相交于点．

（1）求证：①；

②；

（2）如图2，的平分线交于点，若，，求的度数．

【答案】（1）①见解析；②见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）①根据平行线的性质和等量代换可得：，从而得结论；②如图1，过点作，根据平行线的性质得：，，由角平分线的定义，角的和差，三角形的内角和定理可得结论；

（2）如图2，设，，，，根据中三角形的内角和定理可得的值，由平行线的性质和角平分线的定义表示，，列方程可得的值，从而可以解答．

【小问1详解】

解：证明：①，

，

，

，

；

②平分，平分，

，，

如图1，过点作，

，

，

，，

，

在中，，

；

【小问2详解】

解：如图2，设，，

，

，

由（1）知：，

，

，

，

，

设，，

，，

，，，

，

，

平分，

，

中，，

，

，

．

【点睛】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质与判定，三角形的内角和定理等知识的综合运用，灵活运用相关定义与性质求解角的度数是解题的关键．

26. 如图1，在平面直角坐标系内，直线与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，点是轴负半轴上一点，点是直线上位于第四象限内的一点，直线经过原点，且平分，的平分线与直线交于点，的平分线与直线交于点．

（1）判断与的位置关系，并说明理由；

（2）在，，中，如果有一个角是另一个角的4倍，直接写出的度数：__________；

（3）如图2，当取（2）结论中的最大值时，过点作交直线于点，点是直线上一点且，现将绕点逆时针旋转度，得到，射线交直线于点，的平分线交直线于点，在旋转过程中，是否存在，使得，若存在，请直线写出的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）   

（2）或   

（3）存在，或

【解析】

【分析】（1）由角平分线的性质和平角的性质可求解；

（2）由外角的性质可求，分四种情况讨论，由三角形内角和定理可求解；

（3）分三种情况讨论，列出方程可求解．

【小问1详解】

解：，理由如下：

平分，平分，

，，

，

，

，

；

【小问2详解】

平分，

，

，，

，

，

当，

，

；

当，

，

，

（舍去）；

当，

，

，

；

当，

，

，

，

（舍去）；

综上所述：的度数为或，

故答案为：或；

【小问3详解】

当时，

，，，

，

；

当时，

，，，

，

；

当时，

，，，

，

（舍去）．

综上所述：的值为或．

【点睛】本题是几何变换综合题，考查了平行线的性质，角平分线的性质，外角的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．