广东省广州市天河区大观学校2023-2024学年九年级下学期月考数学试卷（3月份）

这是一份广东省广州市天河区大观学校2023-2024学年九年级下学期月考数学试卷（3月份），共20页。

1．（3分）下列四边形不是轴对称的图形是（ ）
A．菱形B．矩形
C．平行四边形D．圆
2．（3分）下列命题是真命题的是（ ）
A．三角形的外角大于它的任何一个内角
B．n（n≥3）边形的外角和为360°
C．相等的角是对顶角
D．同位角相等
3．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，若AC＝8，则线段AO的长为（ ）
A．3B．4C．5D．16
4．（3分）满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的为（ ）
A．AB＝，BC＝4，AC＝5
B．AB：BC：AC＝3：4：5
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
D．|csA﹣|+（tanB﹣）2＝0
5．（3分）在数轴上A点表示的数为﹣5，点B表示的数为2，则线段AB的长为（ ）
A．﹣3B．5C．6D．7
6．（3分）下列运算不正确的是（ ）
A．（2a2）3＝8a6B．a8÷a4＝a4
C．a3•a4＝a7D．a3+a2＝a5来这里 全站资源一元不到！7．（3分）关于抛物线①y＝x2；②y＝﹣x2+1；③y＝（x﹣2）2，下列结论正确的是（ ）
A．顶点相同B．对称轴相同
C．形状相同D．都有最高点
8．（3分）如图，点C是⊙O的弦AB上一点．若AC＝6，BC＝2，AB的弦心距为3，则OC的长为（ ）
A．3B．4C．D．
9．（3分）如图，在4×4正方形网格中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若△ABC的顶点均是格点，则sinB的值为（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）如图，风力发电机的三个相同叶片两两夹角为120°．以旋转轴O为原点，水平方向为x轴建立平面直角坐标系，恰好其中一个叶片尖点A对应的坐标为（10，10）．若叶片每秒绕点O顺时针旋转90°，则第2023秒时叶片尖点A的坐标为（ ）
A．（10，10）B．（﹣10，10）C．（10，﹣10）D．（﹣10，﹣10）
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）2023年春运为期40天，其中1月7日至21日，全国铁路日均发送730万人次，将730万用科学记数法表示应为 ．
12．（3分）因式分解：a2﹣2ab+3b2＝ ．13．（3分）如图，A，B是反比例函数y＝（k＞0）上两点，纵坐标分别为3和1，连结AO并延长交双曲线于另一点C，连结BC，若AC＝BC，则k的值为 ．
14．（3分）如图是一个几何体从三个不同方向看到的形状图，根据图中数据，可得该几何体的体积是 ．
15．（3分）如图，在半径为6的⊙O中，点C是的中点，OC与AB相交于点D，CD＝3，图中阴影部分面积是 ．
16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一个动点，连接PB，则PA+PB的最小值为 ．
三．解答题（共9小题，满分72分）17．（6分）（1）计算：；
（2）解方程：﹣1＝．
18．（4分）如图，在▱ABCD中，BD是▱ABCD的对角线，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F．
（1）补全图形；
（2）求证：AE＝CF．
19．（4分）（1）画△ABC的高BM，AN，CH；
（2）若BM＝3，AN＝2，CH＝4，求AB：AC：BC．
20．（6分）为了普及党史知识，培养爱国主义精神，今年五月份，广水市党校在某校举行党史知识竞赛，每个班级各选派15名学员参加了网上测试，现对甲、乙两班学员的分数进行整理分析如下：
甲班15名学员测试成绩（满分100分）统计如下：
87，84，88，76，93，87，73，98，86，87，79，85，84，85，98．
乙班15名学员测试成绩（满分100分）统计如下：
77，88，92，85，76，90，76，91，88，81，85，88，98，86，89
（1）按如表分数段整理两班测试成绩，表中a＝ ；
（2）补全甲班15名学员测试成绩的频数分布直方图；
（3）两班测试成绩的平均数、众数、中位数、方差如表所示：
表中x＝ ，y＝88．
（4）以上两个班级学员掌握党史相关知识的整体水平较好的是 班；
（5）本次测试两班的最高分都是98分，其中甲班2人，乙班1人，现从以上三人中随机抽取两人代表党校参加全市党史知识竞赛，利用树状图或表格求出恰好抽取甲、乙两班各一人参加全市党史知识竞赛的概率．
21．（8分）如图1，水坝的横截面是梯形ABCD，∠ABC＝37°，坝顶DC＝3m，背水坡AD的坡度i（即tan∠DAB）为1：0.5，坝底AB＝14m．
（1）求坝高；
（2）如图2，为了提高堤坝的防洪抗洪能力，防汛指挥部决定在背水坡将坝顶和坝底同时拓宽加固，使得AE＝2DF，EF⊥BF，求DF的长．（参考数据：sin37°≈，cs37°≈，tan37°≈）
22．（10分）某网店在“双十一”购物节期间搞降价促销活动，某纪念品原售价每件50元，进货价每件40元．
（1）若连续两次降价后，该纪念品的售价为每件32元，且每次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．
（2）已知“双十一”购物节期间，该纪念品按原价销售，每天可售出40件．经市场调查发现，若每件降价1元，日销售量将增加20件．问每件应降价多少元才能使每天获得的利润最大？
23．（10分）如图，直线y＝mx+n（m≠0）与双曲线相交于A（﹣1，2）和B（2，b）两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D．
（1）求m，n的值；
（2）在y轴上是否存在一点P，使△BCP与△OCD相似？若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（12分）问题情境：如图1，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A，B，则PA是点P到⊙O上的点的最短距离．
（1）探究证明：如图2，在⊙O上任取一点C（不与点A，B重合），连接PC，OC．求证：PA＜PC．
（2）直接应用：如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，以BC为直径的半圆交AB于D，P是弧CD上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是 ．
（3）构造运用：如图4，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A1MN，连接A1B，则A1B长度的最小值为 ．
（4）综合应用：如图5，平面直角坐标系中，分别以点A（﹣2，3），B（4，5）为圆心，以1，2为半径作⊙A，⊙B，M，N分别是⊙A，⊙B上的动点，P为x轴上的动点，直接写出PM+PN的最小值为 ．
25．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线相交于点D，交x轴于点E，交直线AC于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，抛物线上是否存在点P，使得∠PEC+∠ACE＝45°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，在y轴右侧的抛物线上存在一点Q，使S△QBC＝2S△QAC，直接写出点Q的坐标．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1． 解：菱形、矩形、圆能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
平行四边形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
故选：C．
2． 解：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角，而和它相邻的角大小关系不确定，
故A是假命题，不符合题意；
n（n≥3）边形的外角和为360°，
故B是真命题，符合题意；
相等的角不一定是对顶角，
故C是假命题，不符合题意；
两直线平行，同位角相等，
故D是假命题，不符合题意；
故选：B．
3． 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO＝AC＝4，
故选：B．
4． 解：A、∵，∴△ABC是直角三角形，错误；
B、∵（3x）2+（4x）2＝9x2+16x2＝25x2＝（5x）2，∴△ABC是直角三角形，错误；
C、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴∠C＝，∴△ABC不是直角三角形，正确；
D、∵|csA﹣|+（tanB﹣）2＝0，∴，∴∠A＝60°，∠B＝30°，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，错误；
故选：C．
5． 解：AB＝|﹣5﹣2|＝7，故选：D．
6． 解：（2a2）3＝8a6，A选项正确，不符合题意；
a8÷a4＝a4，B选项正确，不符合题意；
a3•a4＝a7，C选项正确，不符合题意；
a3+a2＝a3+a2，D选项错误，符合题意．
故选：D．
7． 解：①y＝x2；②y＝﹣x2+1；③y＝（x﹣2）2中，①的顶点为（0，0），②的顶点为（0，1），③的顶点为（2，0），故A选项不符合题意；
①②的对称轴为y轴，③的对称轴为x＝2，故B选项不符合题意；
①③有最低点，②有最高点，故D选项不符合题意，
三个函数中二次项系数绝对值相等，故C选项符合题意．
故选：C．
8． 解：作OD⊥AB于点D，如图所示，
由题意可知：AC＝6，BC＝2，OD＝3，
∴AB＝8，
∴AD＝BD＝4，
∴CD＝2，
∴OC＝＝＝，
故选：D．
9． 解：由图可得，
AB＝＝＝，
∴sinB＝＝＝，
故选：C．
10． 解：∵A（10，10），
∴A在第一象限的角平分线上，
∵叶片每秒绕原点O顺时针转动90°，
∴第1、2、3、4s的坐标为：A1（10，﹣10），A2（﹣10，﹣10），A3（﹣10，10），A4（10，10）（与重合A（10，10）），
如图，
∴点A的坐标以每4秒为一个周期依次循环，
∵2023÷4＝505⋯3，
∴第2023s时，点A的对应点A2023的坐标与A3相同，为（﹣10，10）．
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11． 解：730万＝7300000＝7.3×106．
故答案为：7.3×106．
12． 解：a2﹣2ab+3b2＝（a2﹣6ab+9b2）
＝（a﹣3b）2．
故答案为：（a﹣3b）2．
13． 解：∵A，B是反比例函数y＝（k＞0）上两点，纵坐标分别为3和1，
∴A（，3），B（k，1），∴C（﹣，﹣3），
∵AC＝BC，
∴（+）2+（3+3）2＝（k+）2+（1+3）2，
解得k＝，
故答案为：．
14． 解：这个几何体的体积＝π×（）2×4+π×（）2×3
＝π××4+π××3
＝9π+π
＝π．
故答案为：π．
15． 解：连接OA，OB，CA，CB，
∵点C是的中点，
∴AD⊥OC，AD＝BD，
∵OC＝6，CD＝3，
∴OD＝CD＝3，
∴AC＝AO＝OB＝BC＝OC＝6，
∴∠AOC＝∠BOC＝60°，
∴∠AOB＝120°，
在Rt△AOD中，
AD＝＝＝3，
∴AB＝6，
∴S阴影＝S扇形OAB﹣S△OAB＝﹣×3×6＝12π﹣9，
故答案为：12π﹣9．
16． 解：过A作直线AE，使∠EAC＝15°，过P作PQ⊥AE，垂足为Q，过B作BQ'⊥AE，垂足为Q'，
在△BAQ'中，∠BAQ'＝∠CAE+∠BAC＝45°，AB＝4，
∴BQ'＝2，在RtAPQ中，∠PAQ＝30°，
∴PQ＝PA，
∴PA+PB＝PQ+PB≥BQ'＝2，
故答案为：2．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17． 解：（1）原式＝1+4+1﹣3
＝3；
（2）﹣1＝，
方程两边都乘x（x﹣2），得x2﹣x（x﹣2）＝x﹣2，
解得：x＝﹣2，
检验：当x＝﹣2时，x（x﹣2）≠0，所以x＝﹣2是原方程的解，
即原方程的解是x＝﹣2．
18． （1）解：补全图形如图：
（2）证明：在▱ABCD中，AD∥BC，AD＝BC．
则∠ADE＝∠CBF．
∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，
∴∠AED＝∠CFB＝90°．
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（AAS）．
∴AE＝CF．
19． 解：（1）如图：BM，AN，CH即为所求；
（2）∵△ABC的面积的2倍为：3AC＝4AB＝2BC，
∴AB：AC：BC＝3：4：6．
20． 解：（1）由题意得：a＝4，
故答案为：4；
（2）补全甲班15名学员测试成绩的频数分布直方图如下：
（3）甲班15名学员测试成绩中，87分出现的次数最多，
∴x＝87，
由题意得：乙班15名学员测试成绩的中位数为88，
故答案为：87，88；
（4）以上两个班级学员掌握党史相关知识的整体水平较好的是乙班，理由如下：
①甲、乙两个班的平均数相等，但乙班的中位数大于甲班的中位数；
②乙班的方差小于甲班的方差，因此乙班的成绩更稳定；
故答案为：乙；
（5）把甲班2人记为A、B，乙班1人记为C，
画树状图如图：
共有6种等可能的结果，其中恰好抽取甲、乙两班各一人参加全市党史知识竞赛的结果有4种，
∴恰好抽取甲、乙两班各一人参加全市党史知识竞赛的概率为＝．
21． 解：（1）作DM⊥AB于M，CN⊥AN于N．
由题意：tan∠DAB＝＝2，设AM＝x，则DM＝2x，
∵四边形DMNC是矩形，
∴DM＝CN＝2x，
在Rt△NBC中，tan37°＝＝＝，
∴BN＝x，∵x+3+x＝14，
∴x＝3，
∴DM＝6，
答：坝高为6m．
（2）作FH⊥AB于H．设DF＝y，则AE＝2y，EH＝3+2y﹣y＝3+y，BH＝14+2y﹣（3+y）＝11+y，
由△EFH∽△FBH，可得＝，
即＝，
解得y＝﹣7+2或﹣7﹣2（舍弃），
∴DF＝2﹣7，
答：DF的长为（2﹣7）m．
22． 解：（1）由题意，设每次下降的百分率为x，依题意得：
50（1﹣x）2＝32，
解得：x1＝0.2＝20%，
x2＝1.8（不符合题意，舍去），
∴每次下降的百分率为20%．
答：每次下降的百分率为20%．
（2）由题意，设件应降价a元，每天获得的利润为y，
则y＝（10﹣a）（40+20a）＝﹣20a2+160a+400＝﹣20（a2+8a+16）+720
＝﹣20（a﹣4）2+720．
∵﹣20＜0，
∴当a＝4时，每天的获得的利润最大，最大值为720元．
答：每件应降价4元才能使每天获得的利润最大．
23． 解：（1）∵A（﹣1，2）和B（2，b）在双曲线y2＝（k≠0）上，
∴k＝﹣1×2＝2b，
解得b＝﹣1．
∴B（2，﹣1）．
∵A（﹣1，2）和 B（2，﹣1）在直线 y1＝mx+n（m≠0）上，
∴，
解得，
∴m，n的值分别是﹣1、1；
（2）在y轴上存在一点P，使△BCP与△OCD相似，理由如下：
①如图，过点B作BP∥x 交y轴于点P，
∴△PCB∽△OCD，
∵B（2，﹣1），
∴P（0，﹣1）；
②过点B作BP′⊥AB交y轴于点P'；，
∴△BCP′∽△OCD，
由（1）知，y＝﹣x+1，
∴C（0，1），D（1，0），
∴OC＝OD，∴△OCD 是等腰直角三角形，
∴△BCP 是等腰直角三角形，
∴BP＝PP'＝2，
P′（0，﹣3），
∴这样的点P有2个，即（0，﹣1）和 （0，﹣3）．
24． （1）证明：如图1，
∵PO﹣OC＜PC，
∴（AP+OA）﹣OC＜PC，
∵OA＝OC，
∴AP＜PC；
（2）如图2，
连接OA，交半⊙O于P，则AP最小，
在Rt△AOC中，
OA＝
＝
＝，
∴AP＝OA﹣OP＝﹣，
故答案是﹣；
（3）如图3，
连接BM，交⊙M（半径是1）是A1，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∵∠BAM＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∵M是AD的中点，
∴∠AMB＝90°，
∴BM＝AB•sin60°＝，
∴A1B＝；
故答案是﹣1；
（4）如图4，
作点A关于x轴的对称点C，连接BC，交⊙B于点N，交x轴于点P，
连接PA交⊙A于M，
∴PA＝PC，
∴PA+PB＝PC+PB＝BC，
∵C（﹣2，﹣3），B（4，5），
∴BC＝
＝10，
∴PM+PN＝PA+PB﹣AM﹣BN
＝10﹣1﹣2＝7，
故答案是7．
25． 解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过A（3，0），B（﹣1，0）两点，
∴，
解得：，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵抛物线交y轴于点C（0，3），经过点A（3，0），
∴OC＝OA，
∴∠ACO＝45°，
∴∠OCE+∠ACE＝45°，
∵∠PEC+∠ACE＝45°，
∴∠OCE＝∠PEC，
①当射线EP在CE的右侧时，
点P与点D重合，即P（1，4）；
②当射线EP在CE的左侧时，记EP与y轴的交点为M，
∵∠OCE＝∠PEC，
∴EM＝CM，
设OM＝m，则CM＝EM＝3﹣m，
在Rt△OME中，OM2+OE2＝ME2，
∴m2+12＝（3﹣m）2，
∴m＝，
∴M（0，），
∴直线EM的解析式为：y＝﹣x+，
∵y＝﹣x2+2x+3，
∴﹣x2+2x+3＝﹣x+，
∴x1＝（舍去），x2＝，
∴当x＝时，y＝，∴点P的坐标为：P1（1，4）或P2（，），
（3）①当点Q1在x轴上方时，如图2，延长CQ1交x轴于点N，过点A作AM⊥CQ1于点M，过点B作BP⊥CQ1于点P，
∵S△Q1BC＝2S△Q1AC，
∴CQ1•BP＝2×CQ1•AM，
∴BP＝2AM，
∵AM⊥CQ1，BP⊥CQ1，
∴AM∥BP，
∴△NAM∽△NBP，
∴＝＝，
∴NA＝AB＝4，
∴N（7，0），
设直线CN的解析式为y＝kx+c，
把C（0，3），N（7，0）代入，得：，
解得：，
∴直线CN的解析式为y＝﹣x+3，
∴﹣x+3＝﹣x2+2x+3，
解得：x1＝0（舍去），x2＝，
当x＝时，y＝﹣×+3＝，
∴Q1（，），
②当点Q2在x轴下方时，如图3，连接CQ2交x轴于点N，过点A作AM⊥CQ2于点M，过点B作BP⊥CQ2于点P，
∵S△QB2C＝2S△Q2AC，
∴CQ2•BP＝2×CQ2•AM，
∴BP＝2AM，∵AM⊥CQ2，BP⊥CQ2，
∴AM∥BP，
∴△NAM∽△NBP，
∴＝＝，
∴NA＝NB，
∵NA+NB＝4，
∴NA＝，
∴N（，0），
∴直线CN的解析式为y＝﹣x+3，
∴﹣x+3＝﹣x2+2x+3，
解得：x＝0（舍去）或x＝，
当x＝时，y＝﹣×+3＝，
∴Q2（，）；
综上所述，Q1（，），Q2（，）．
班级
70.5～75.5
75.5～80.5
80.5～85.5
85.5～90.5
90.5～95.5
95.5～100.5
甲
1
2
a
5
1
2
乙
0
3
3
6
2
1
班级
平均数
众数
中位数
方差
甲
86
x
86
44.8
乙
86
88
y
36.7