广东省广州市天河外国语学校2023-2024学年九年级下学期月考数学试题

这是一份广东省广州市天河外国语学校2023-2024学年九年级下学期月考数学试题，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

本训练题共4页，25小题，满分120分 训练用时120分钟
一、选择题（共10小题，每题3分）
1. 下列各数是负数的是（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了负数的意义．根据负数的意义即可判断．
【详解】A．0既不是正数也不是负数，故本选项错误；
B．是负数，故本选项正确；
C．是正数，故本选项错误；
D．是正数，故本选项错误．
故选：B．
2. 有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列各式中正确的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由有理数a、b在数轴上的位置可得，根据有理数的相关运算法则即可作出判断．
【详解】解：∵，
∴，，，
故正确的选项是C；
故选：C．
【点睛】本题考查了根据数轴判断式子的正负，熟悉有理数在数轴上的大小关系，有理数的相关运算法则是解题的关键．
3. 下列运算中正确的是（ ）
A. B. 该试卷源自 每日更新，享更低价下载。C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的加法，完全平方公式，单项式除以单项式，积的乘方运算，根据以上运算法则进行计算即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
4. 下列关于二次函数的说法正确的是( )
A. 图象是一条开口向下的抛物线B. 图象与轴没有交点
C. 当时，随增大而增大D. 图象的顶点坐标是
【答案】D
【解析】
【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标，与轴的交点个数，由此解答即可．
【详解】解：A、，图象的开口向上，故此选项不符合题意；
B、，
，
即图象与轴有两个交点，
故此选项不符合题意；
C、抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时，随增大而减小，
故此选项不符合题意；
D、，
图象的顶点坐标是，
故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
5. 已知的半径为，点A到圆心O的距离为，则点A与的位置关系是（ ）
A. 点A在内B. 点A在上C. 点A在外D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是对点与圆的位置关系的判断．关键要记住：若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内．根据点到圆心的距离与圆的半径大小的比较，确定点与圆的位置关系．
【详解】解：∵圆的半径是，点A到圆心的距离是，大于圆的半径，
∴点A在外．
故选：C．
6. 如图，在菱形中，，，则菱形的周长是（ ）
A. 10B. 15C. 20D. 30
【答案】C
【解析】
【分析】只需要证明是等边三角形求出即可得到答案．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴菱形的周长，
故选C．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，证明是等边三角形是解题的关键．
7. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，则这个一次函数的表达式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】把点P的坐标代入一次函数解析式，列出关于系数k的方程k+3=4，通过解该方程可以求得k的值；
【详解】（Ⅰ）∵一次函数y=kx+3的图象经过点P（5，13），
∴5k+3=13，
∴k=2，
∴这个一次函数的表达式是y=2x+3，
故选C．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．
8. 是某三角形三边长，则等于（ ）
A. B. C. 10D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】先根据三角形三边的关系求出的取值范围，再把二次根式进行化解，得出结论．
【详解】解：是三角形的三边，
，
解得：，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是：先根据题意求出的范围，再对二次根式化简．
9. 如图，是的外接圆，CD是的直径．若，弦，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接AD，根据直径所对的圆周角等于90°和勾股定理，可以求得AD的长，然后即可求得∠ADC的余弦值，再根据同弧所对的圆周角相等，可以得到∠ABC=∠ADC，从而可以得到cs∠ABC的值．
【详解】解：连接AD，如右图所示，
∵CD是⊙O的直径，CD=10，弦AC=6，
∴∠DAC=90°，
∴AD==8，
∴cs∠ADC==，
∵∠ABC=∠ADC，
∴cs∠ABC的值为，
故选：A．
【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心、圆周角、锐角三角函数、勾股定理，解答本题的关键是求出cs∠ADC的值，利用数形结合的思想解答．
10. 如图，在锐角三角形中，，的面积为8，平分．若、分别是、上的动点，则的最小值是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了最短路线问题，角平分线的性质，垂线段最短定理．过点作，垂足为点，交于点，过点作，垂足为点，根据“垂线段最短”，即可得为的值最小，再利用面积公式求出的值，即可得出答案，解题关键是利用垂线段最短解决最值问题．
【详解】解：如图，过点作，垂足为点，交于点，过点作，垂足为点，
平分，
，
，
当点与点重合时，的值最小，等于的值，
，的面积为8，
，
，
的最小值为4，
故选：B．
二、填空题（共6小题，每题3分）
11. 二次根式有意义，则a的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据被开方数是非负数列式求解即可．
【详解】解：∵二次根式有意义；
∴；
∴；
故答案为：．
12. 分解因式：2x2﹣8=_______
【答案】2（x+2）（x﹣2）
【解析】
【分析】先提公因式，再运用平方差公式．
【详解】2x2﹣8，
=2（x2﹣4），
=2（x+2）（x﹣2）．
【点睛】考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键．
13. 种植能手李大叔种植了一批新品种黄瓜，为了考察这种黄瓜的生长情况，李大叔抽查了部分黄瓜株上长出的黄瓜根数，得到如图的条形图，则抽查的这部分黄瓜株上所结黄瓜根数的中位数是______，众数是______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图，中位数、众数，根据中位数和众数的定义解答即可求解，由条形统计图获得跟问题有关的信息是解题的关键．
【详解】解：由条形图可得，李大叔共抽查了株黄瓜，
∴中位数为第株和第株黄瓜结所黄瓜根数的平均数，
∴中位数是，
在株黄瓜中，结根黄瓜的有株，为最多，
∴众数，
故答案为：，．
14. 如果二次函数（为常数）的图象上有两点和，那么______（填“”、“”或“”）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质，根据对称性找到点关于对称轴的对称点，结合性质求解即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
函数的对称轴为：，
点关于的对称点为：，
∵，，
∴，
故答案为：．
15. 如图，C为上一点，过点C的切线与直径的延长线交于点D．若，，则劣弧的长为____．
【答案】##
【解析】
【分析】连接，根据切线性质求出，根据三角形外角性质求出，根据弧长公式算出结果即可．
【详解】解：连接，如图所示：
∵为的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴劣弧的长为：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，三角形外角的性质，弧长公式，解题的关键是熟练掌握切线的性质，求出．
16. 如图，正方形的边长为，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等腰，其中，，连接．当时，________；当从运动至过程中，的最小值为_________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】当时，得出，进而勾股定理即可求解；当从运动至过程中，由题意可知点为主动点，为从动点，则可知点的运动轨迹，然后作垂线段即可求解．
【详解】当时，∵，，
∴是等腰直角三角形，则
∴
又∵
∴
∵
∴，
∵，
∴
∴在中，；
将绕点顺时针旋转，使与重合，

∴，
∴，，点在垂直于所在直线上，
过作于点，
∴当与重合时，最小，如图，

过作于点，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴
由题意得：，
∴，
∴，
则的最小值为，
故答案为：，．
【点睛】此题考查了正方形性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，线段极值问题，垂线段最短，解题的关键是分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点的运动轨迹．
三、解答题（共9小题，满分72分）
17. 解不等式；
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式，即可求解．
【详解】解：
去括号，
移项，
合并同类项，
化系数为1，
18. 如图，点C，D在线段上，，证明：
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质；证明三角形全等是解决问题的关键．先由平行线得出，再由证明，得出对应边相等即可．
【详解】证明：∵，
在和中，
，
19. 先化简，再求值：，其中x满足．
【答案】；2
【解析】
【分析】本题考查的是分式的化简求值，先计算括号内的分式的减法运算，再把除法化为乘法运算，得到化简的结果，再整体代入计算即可．
【详解】解：
；
∵，
∴，其中，
∴原式．
20. 如图，，两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，转盘上的数字分别是，，5，转盘上的数字分别是6，，4（两个转盘除表面数字不同外，其他完全相同）．小聪和小明同时转动，两个转盘，使之旋转（规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转一次）．
（1）转动转盘，转盘指针指向正数的概率是________；
（2）若同时转动两个转盘，转盘指针所指的数字记为，转盘指针所指的数字记为，若，则小聪获胜；若，则小明获胜；请用列表法或树状图法说明这个游戏是否公平．
【答案】（1）
（2）这个游戏公平，理由见解析
【解析】
【分析】（1）转盘指针指向正数的概率，据此即可求解；
（2）通过列表找出事件的所有等可能结果，分别计算小明获胜的概率、小聪获胜的概率即可进行判断．
【小问1详解】
解：∵为正数
∴转盘指针指向正数概率为：
【小问2详解】
解：列表得：
一共有9种等可能的结果
其中的有4种、、、；
其中的有4种、、、
∴（小聪获胜）；（小明获胜）
（小聪获胜）（小明获胜）
∴这个游戏公平
【点睛】本题考查了概率的应用．熟记概率的计算公式以及列表法（或树状图）是解题关键．
21. 某商场欲购进A和B两种家电，已知B种家电的进价比A种家电的进价每件多100元，经计算，用1万元购进A种家电的件数与用万元购进B种家电的件数相同．请解答下列问题：
（1）这两种家电每件的进价分别是多少元？
（2）若该商场欲购进两种家电共100件，总金额不超过53500元，则该商场至少购进A种家电多少件？
【答案】（1）A种家电每件的进价为500元，B种家电每件的进价为600元
（2）65件
【解析】
【分析】本题考查的是分式方程的应用，一元一次不等式的应用，确定相等关系与不等关系是解本题的关键；
（1）设A种家电每件进价为x元，根据“用1万元购进A种家电的件数与用万元购进B种家电的件数相同”再建立方程求解即可；
（2）设购进A种家电a件，根据“该商场欲购进两种家电共100件，总金额不超过53500元”再建立不等式解题即可．
【小问1详解】
解：设A种家电每件进价为x元，根据题意，得
．
解得．
经检验是原分式方程的解且符合题意
．
答：A种家电每件的进价为500元，B种家电每件的进价为600元；
【小问2详解】
设购进A种家电a件，根据题意，得
．
解得
答：该商场至少购进A种家电65件．
22. 如图，内接于，为的直径．

（1）用尺规作图作出的平分线，交于点D，连接（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若，，求的长度．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可．
（2）根据圆周角定理可得，由角平分线的定义可得，进而可得，在中，利用勾股定理可求出的长，再在中利用勾股定理可得的长．
【小问1详解】
如图，即为所求．
【小问2详解】
∵为的直径，
∴．
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形．
∵，
∴，
∴．
在中，，
∴．
【点睛】本题考查作图—复杂作图，圆周角定理，弧弦圆心角的关系，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23. 如图，中，．点D为斜边的中点，，交边于点E，点P为射线上的动点，点Q为边上的动点，且运动过程中始终保持．
（1）求证：；
（2）设．求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域；
（3）连接，交线段于点F．当为等腰三角形时，求线段的长．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据同角的余角相等，得到，，即可得出结论；
（2）先证明，求出，根据，得到，求出的长，进而求出的长，即可得出解析式，根据，，求出定义域即可；
（3）先证明，得到也为等腰三角形，分三种情况进行讨论求解即可．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵，
∴，
∵点D为斜边的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
解得：，
由（1）得：，
∴，
即，
解得：，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
由（1）得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴为等腰三角形时，也为等腰三角形，
①若，过Q作于G，如图所示：
则，
∵，
∴，
解得：，
即；
②若，则，
解得：，
即；
③若，则，
∵，此种情况舍去；
综上：线段AP的长为或．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，求函数解析式，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，利用分类讨论的思想进行求解．
24. 如图，在中，，，，、分别是、边上的点，连接与相交于点．
（1）证明：是等边三角形；
（2）若，求四边形面积的最大值；
（3）若，求的最小值．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据“有一个角是的等腰三角形的是等边三角形”即可得证；
（2）先根据证明，由此可得，，进而可得四边形面积，且．由于是定值，因此是弦所对的圆周角．作的外接圆，过点作于点，交于点，当 与重合时，到的距离最大，此时最大．根据三角函数求出的值，即可求出的值，即可得的最大值，进而可得四边形面积的最大值．
（3）作且，连接，构造相似三角形，且相似比为，则，因此．当B、D、F三点共线时的值最小，即的最小值为的长．过F点作垂直于的延长线于 G点，在中求出和的长．在中根据勾股定理求出的长, 即可得的最小值．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴是等边三角形；
【小问2详解】
解：∵是等边三角形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，，
∴四边形面积，
∵，，
∴，
∴．
如图所示，作外接圆，过点作于点，交于点， 则．
当 与重合时，到的距离最大，最大，
，
，，
，
，
，
，
，
∴的最大值为，
即四边形面积的最大值为；
【小问3详解】
如图，作且，连接，
则，
∵，
，
．
又，
，
，
，
，
当B、D、F三点共线时，的值最小，
∴的最小值为的长．
过F点作垂直于的延长线于 G点，则，
，
，，
，，
，
．
∴的最小值为．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、定边定角问题，以及根据三点共线求线段和的最小值．正确的作出辅助线，构造出相似三角形是解题的关键．
25. 在平面直角坐标系中，已知抛物线：，点在抛物线的对称轴上，且在轴上方．
（1）求抛物线与轴交点的坐标（用含的式子表示）；
（2）已知正方形的顶点、在该二次函数的图象上，点、在抛物线对称轴的同侧，且点在点的左侧，设点、的横坐标分别为、，试探究是否为定值，如果是，求出这个值：如果不是，请说明理由；
（3）在抛物线上存在两点、，且、在对称轴右侧，点在点的左侧，使得四边形是正方形，求动点的纵坐标，在的最大值．
【答案】（1）或
（2）是定值，且值为；
（3）
【解析】
【分析】（1）令，解方程即可求解；
（2）连接、交点为，过作轴于，过作于，证明，，，，则， ，
设，则，，，，进而因式分解得出，即可求解；
（3）根据（2）可得又，则，
，分别得出的关系式，根据动点的纵坐标，进而根据确定的范围，根据二次函数的性质，即可求解．
【小问1详解】
解：当，则，即
解得：
∴抛物线与轴交点的坐标或
【小问2详解】
解：由（1）可得对称轴为直线，
当在对称轴的右侧时，如图：连接、交点为，过作轴于，过作于，

由正方形的性质可知，为、的中点，，，
，
，
，，，
，
，，
由题意知 ，，，则， ，
设，则，，
，，，，
，，
∴，
即
∴
∴
∴
点、在对称轴的同侧，对称轴为直线，且点在点的左侧，
，
，
是定值，且值为；
根据对称性可得当在对称轴的左侧时，同理可得是定值，且值为；
【小问3详解】
解：由（2）可得又，则，
，
∴
∴
当时取得最大值，
又∵
而
∴
∴
当时，随的增大而增大，
∴当时，取得最大值，此时．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．6
4