广东省广州市天河区大华学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份广东省广州市天河区大华学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷，共18页。

A．x2+2x+1B．3x2﹣5x＝6C．6x+1＝0D．2x2+y2＝0
2．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）一个矩形的长和宽恰好是方程x2﹣4x+3＝0的两个根，则矩形的周长和面积分别是（ ）
A．4；3B．4+2；1C．8；3D．8；1
4．（3分）将抛物线y＝（x﹣1）2向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A．y＝（x+3）2+3B．y＝（x﹣3）2+5
C．y＝（x+5）2+3D．y＝（x﹣5）2+3
5．（3分）下列关于x的方程有两个不相等的实数根的是（ ）
A．x2﹣2x+2＝0B．x（x﹣2）＝﹣1
C．（x﹣k）（x+k）＝2x+1D．x2+1＝0
6．（3分）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转40°后得到△COD，若∠AOB＝15°，则∠AOD的度数是（ ）
A．45°B．55°C．60°D．65°
7．（3分）二次函数y＝﹣2x2﹣12x﹣10，当﹣4≤x≤0时，y的取值范围是什么（ ）
A．﹣10≤y≤4B．﹣10≤y≤6C．﹣10≤y≤8D．﹣10≤y≤10
8．（3分）某机械长今年生产零件50万个，计划明后两年共生产零件132万个，设该厂每年的平均增长率为x，那么x满足方程（ ）
A．50（1+x）2＝132
B．（50+x）2＝132
C．50（1+x）+50（1+x）2＝132
D．50（1+x）+50（1+2x）2＝132
9．（3分）一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），∠OAB＝120°，AB＝AO，且点B在第一象限内，将△AOB绕点O顺时针旋转，每次旋转60°，则第2024次旋转后，点B的坐标是（ ）
A．B．C．D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）函数的定义域是 ．
12．（3分）写出二次项系数为5，以x1＝1，x2＝2为根的一元二次方程 ．
13．（3分）抛物线y＝x2﹣2x+c（c＞0）与x轴相交于点A（x1，0）、B（x2，0），点A在点B左侧，若x1＜m＜x2，则当x＝m+2时，y 0（填“＞”“＝”或“＜”号）
14．（3分）已知等腰三角形△ABC的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0的两个实数根，第三边BC的长为8，则△ABC的周长 ．
15．（3分）如图，C为线段AB的中点，D为AB垂直平分线上一点，连接BD，将BD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连接AE，若AB＝2，AE＝4，则CD的长为 ．
16．（3分）已知抛物线的函数关系为y＝ax2﹣2ax﹣3a，则该抛物线的顶点坐标为 （用含a的代数式表示）；若该抛物线与线段y＝2（0≤x≤4）有两个公共点，则a的取值范围为 ．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（6分）解方程：2（x﹣2）2＝6﹣3x．
18．（6分）如图，在△ABC中，∠B＝70°，将△ABC绕点C逆时针旋转52°得到△A′B′C′，且AB⊥A'C于点D，求∠A′CB′的度数．
19．（6分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1）、B（4，2）、C（3，4）．
（1）请画出与△ABC关于原点O成中心对称的图形△A1B1C1；
（2）若△ABC以点A为旋转中心逆时针旋转90°后得到的图形为△AB2C2（B的对应点为B2，C 的对应点为C2），在网格中画出旋转后的图形．
20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣ax+a﹣1＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一实数根大于2，求a的取值范围．
21．（8分）有一批商品，原售价为每件40元，在甲、乙两家公司销售．甲公司用如下方法促销：买一件单价为39元，买两件每件都为38元，依此类推，即每多买一件，则所买各件单价均再减1元；乙公司一律按原售价的七五折促销．某单位需购买这批商品．
（1）若此单位需购买5件商品，应去哪家公司购买花费较少？
（2）若该单位计划购买a件商品，经过对比发现，在两家公司购买相差24元，试求a的值．
22．（8分）已知二次函数y＝ax2+bx﹣1与一次函数y＝ax的图象相交于点（﹣2，1）．
（1）求a和b的值；
（2）若点A（2，y1），B（b，y2），C（a﹣b，y3），是该抛物线上的点，请比较y1，y2与y3的大小，并说明理由．
23．（8分）【阅读材料1】
为解方程（x2）2﹣5x2+4＝0，我们可以将x2看作一个整体，然后设y＝x2，那么原方程可化为y2﹣5y+4＝0，经过运算，原方程的解是x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．
们将上述解题的方法叫换元法．
【阅读材料2】
已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，显然m，n是方程x2﹣x﹣1＝0两个不相等的实数根，由韦达定理可知m+n＝1，mn＝﹣1．
根据上述材料，解决以下问题：
（1）直接应用：
为解方程x4﹣x2﹣6＝0，可设y＝ ，原方程可化为 ．
经过运算，原方程的解是 ．
（2）间接应用：
已知实数a，b满足a4﹣3a2+1＝0，b4﹣3b2+1＝0，且a≠b，求a4+b4的值．
24．（10分）正方形ABCD和等腰Rt△DEF共顶点D，∠DEF＝90°，DE＝EF，将△DEF绕点D逆时针旋转一周．
（1）如图1，当点F与点C重合时，若AD＝2，求AE的长；
（2）如图2，M为BF中点，连接AM、ME，探究AM、ME的关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）条件下，连接DM并延长交BC于点Q，若AD＝2DE＝2，在旋转过程中，CQ的最小值为 ．
25．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；
（2）连接AC、BC，N为抛物线上的点且在第一象限，当S△NBC＝S△ABC时，求N点的坐标；
（3）我们通常用（a，b）表示整数a，b的最大公约数，例如（8，12）＝4．若（a，b）＝1，则称a、b互素，关于最大公约数有几个简单的性质：①（a，b）＝（a，ka+b），其中k为任意整数；②（a，b）＝（a，﹣b）；若点Q（a，b）满足：a，b均为正整数，且（a，b）＝1，则称Q点为“互素正整点”，当0≤x≤100时，该抛物线上有多少个“互素正整点”？
广东省广州市天河区大华学校2023-2024学年九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1． 解：A．是代数式，不是方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．方程是一元二次方程，故本选项符合题意；
C．方程是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D．方程是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：B．
2． 解：A、是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
3． 解：∵矩形的长和宽是方程x2﹣4x+3＝0的两个根，设长为a，宽为b，
∴a+b＝4，ab＝3，
则该矩形的周长为2（a+b）＝8，面积为ab＝3．
故选：C．
4． 解：将抛物线y＝（x﹣1）2向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，所得到的抛物线为：y＝（x﹣1﹣4）2+3，即y＝（x﹣5）2+3．
故选：D．
5． 解：A、∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×2＝﹣4＜0，
∴一元二次方程x2﹣2x+2＝0没有实数根；
B、方程变形为x2﹣2x+1＝0，
∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，
∴一元二次方程x（x﹣2）＝﹣1有两个相等的实数根；
C、方程变形为x2﹣2x﹣k2﹣1＝0，
∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣k2﹣1）＝8+4k2＞0，
∴一元二次方程（x﹣k）（x+k）＝2x+1有两个不相等的实数根；
D、∵Δ＝02﹣4×1×1＝﹣4＜0，
∴一元二次方程x2+1＝0没有实数根．
故选：C．
6． 解：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转40°后得到△COD，
∴∠AOB＝∠COD＝15°，∠AOC＝∠BOD＝40°，
∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝55°，
故选：B．
7． 解：∵y＝﹣2x2﹣12x﹣10
＝﹣2（x+3）2+8
∴当x＝﹣3时，y最大＝8，
∵﹣4≤x≤0，
∴x＝﹣4时，y＝6，x＝0时，y＝﹣10，
∴当﹣4≤x≤0时函数值y的取值范围是：﹣10≤y≤8．
故选：C．
8． 解：根据题意得：明年生产零件为50（1+x）（万个）；后年生产零件为50（1+x）2（万个），
则x满足的方程是50（1+x）+50（1+x）2＝146，
故选：C．
9． 解：A、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项不符合题意；
B、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＜0，故本选项符合题意；
C、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＞0，得b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项不符合题意；
D、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＞0，得b＞0，由直线可知，a＞0，b＜0，故本选项不符合题意．
故选：B．
10． 解：由题知，
过点B作x轴的垂线，垂足为H，
∵∠OAB＝120°，
∴∠BAH＝60°．
又∵A（2，0），且AB＝AO，
∴AB＝AO＝2．
在Rt△ABH中，
∵∠ABH＝90°﹣60°＝30°，
∴，
∴BH＝，
∴OB＝2BH＝，
∴点B的坐标为（3，）．
将OB绕点O顺时针旋转60°，得线段OM，
∵∠BOA＝，
∴∠MOA＝60°﹣30°＝30°，
又∵OB＝OM，
∴点M和点B关于x轴对称，
∴点M的坐标为（3，﹣）．
依次类推，
再旋转60°时，点N的坐标为（0，）；
再旋转60°时，点P与点B关于坐标原点对称，
∴点P的坐标为（﹣3，﹣）；
再旋转60°，点B对应点的坐标为（﹣3，）；
再旋转60°，点B对应点的坐标为（0，）；
再旋转60°，点B对应点的坐标为（3，）；
再旋转60°，点B对应点的坐标为（3，﹣）；
…，
由此可见，点B的对应点的坐标按（3，﹣），（0，﹣2），（﹣3，﹣），（﹣3，），（0，），（3，）循环出现，
又因为2024÷6＝337余2，
所以第2024次旋转后点B对应点的坐标为（0，）．
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11． 解：由题意得：3x+4≥0，
解得：x≥﹣，
故答案为：x≥﹣．
12． 解：∵1+2＝3，1×2＝2，
∴以x1＝1，x2＝2为根的一元二次方程可为x2﹣3x+2＝0，
当二次项系数为5，方程为5x2﹣15x+10＝0．
故答案为5x2﹣15x+10＝0．
13． 解：∵抛物线y＝x2﹣2x+c（c＞0）与x轴相交于点A（x1，0）、B（x2，0），
对称轴为x＝1，
∴0＜x1＜1，1＜x2＜2，
∵x1＜m＜x2，
∴0＜m＜2，
∴2＜m+2＜4，
∴当x＝m+2时，y＞0，
故答案为：＞．
14． 解：∵x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0，
∴x＝k+1或x＝k，
∵△ABC是等腰三角形，
①k+1＝k，不成立；
②k+1＝8，∴k＝7，∴周长为8+8+7＝23；
③k＝8，∴k+1＝9，周长为9+8+8＝25．
故答案为：23或25．
15． 解：连接AD，过D作DF⊥AE于F，延长BA交DF的延长线于H，
∵D为AB垂直平分线上一点，AB＝2，
∴BD＝AD，AC＝AB＝，
∴∠ADC＝ADB，
∵将BD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，
∴DE＝BD，
∴DE＝AD，
∴∠ADF＝ADE，AF＝AE＝2，
∴∠HDC＝∠ADF+∠ADC＝BDE＝30°，
∵∠HCD＝∠AFH＝90°，
∴∠H＝60°，
∴∠CDH＝30°，AH＝，
∴CH＝AH+AC＝，
∴CD＝CH＝7，
故答案为：7．
16． 解：∵y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴顶点坐标为：（1，﹣4a）；
令y＝0，则ax2﹣2ax﹣3a＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
函数与x轴的交点坐标分别为：（﹣1，0），（3，0），
令x＝0，则y＝﹣3a，
∴抛物线与y轴的交点坐标为：（0，﹣3a），
当a＞0时，如图，
∴函数图象与直线y＝2在0≤x≤4只有1个交点或没有交点，不符合题意，
当a＜0时，如图，
∵函数图象与直线y＝2在0≤x≤4有2个交点，
∴，
解得：；
故答案为：（1，﹣4a），．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17． 解：2（x﹣2）2＝6﹣3x，
2（x﹣2）2＝﹣3（x﹣2），
2（x﹣2）2+3（x﹣2）＝0，
（x﹣2）[2（x﹣2）+3]＝0，
即（x﹣2）（2x﹣1）＝0，
x﹣2＝0或2x﹣1＝0，
所以x1＝2，x2＝．
18． 解：由旋转的性质可知：∠B＝∠B′＝70°，∠ACA′＝52°，
∵AB⊥A'C，
∴∠BDC＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣70°＝20°．
∴∠B′CA′＝∠DCB′+∠ACA′＝72°，
故∠A'CB'的度数为72°．
19． 解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，△AB2C2即为所求．
20． （1）证明：∵Δ＝（﹣a）2﹣4×（a﹣1）＝（a﹣2）2≥0，
∴无论a为何值，方程总有两个实数根；
（2）设方程的两个根分别是x1，x2，
解方程得x＝，
∴x1＝a﹣1，x2＝1．
由题意可知a﹣1＞2，即a＞3．
∴a的取值范围为a＞3．
21． 解：（1）去甲公司购买所需费用为（40﹣5）×5＝175（元）；
去乙公司购买所需费用为40×0.75×5＝150（元）．
∵175＞150，
∴去乙公司购买花费较少．
（2）去甲公司购买所需费用为（40﹣a）a元，去乙公司购买所需费用为40×0.75a＝30a（元）．
依题意得：（40﹣a）a﹣30a＝24或30a﹣（40﹣a）a＝24，
整理得：a2﹣10a+24＝0或a2﹣10a﹣24＝0，
解得：a1＝4，a2＝6，a3＝12，a4＝﹣2（不符合题意，舍去）．
答：a的值为4或6或12．
22． 解：（1）将点（﹣2，1）代入：y＝ax得：得：﹣2a＝1，
解得a＝﹣，
将（﹣2，1）代入：y＝ax2+bx﹣1得：1＝4a﹣2b﹣1，
解得：b＝﹣2；
故答案为：a＝﹣，b＝﹣2；
（2）由（1）可知二次函数为y＝﹣x2﹣2x﹣1，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，
∵点A（2，y1），B（b，y2），C（a﹣b，y3）是该抛物线上的点，
∴点A（2，y1），B（﹣2，y2），C（，y3）是该抛物线上的点，
∵﹣2＜＜2，
∴y1＜y3＜y2．
23． 解：（1）为解方程x4﹣x2﹣6＝0，可设y＝x2，原方程可化为y2﹣y﹣6＝0，
分解因式得：（y﹣3）（y+2）＝0，
解得：y＝3或y＝﹣2，
当y＝3时，x2＝3，解得：x＝±；
当y＝﹣3时，x2＝﹣3，无解，舍去，
经过运算，原方程的解是x＝±；
故答案为：x2，y2﹣y﹣6＝0，x＝±；
（2）实数a，b满足a4﹣3a2+1＝0，b4﹣3b2+1＝0，且a≠b，显然a2，b2是方程x2﹣3x+1＝0两个不相等的实数根，
由韦达定理可知a2+b2＝3，a2•b2＝1，
则a4+b4＝（a2+b2）2﹣2a2b2＝9﹣2＝7．
24． 解：（1）连接AC，
∵四边形ABCD为正方形，
∴CD＝AD＝2，∠ADC＝90°，∠ACD＝45°，AC＝2，
∵∠DEF＝90°，DE＝EF，
∴∠DCE＝45°，DE＝，
∴∠ACE＝90°，
∴AE＝＝；
（2）如图2，延长EM至Q，使EM＝MQ，连接AE、AQ，QB，
∵BM＝MF，∠BMQ＝∠FME
∴△BMQ≌△FME （SAS），
∴BQ＝EF＝DE，∠BQM＝∠FEM，
∴BQ∥EF，
延长QB，ED交于点N
∴∠QND＝90°，
∴∠1＝∠2，
∴∠ABQ＝∠ADE，
∴△ABQ≌△ADE（SAS），
∴AQ＝AE，∠QAE＝90°，
∴AM＝ME，AM⊥ME；
（3）连接BD，取BD的中点O，连接OM．
∵四边形ABCD是正方形，AD＝2DE＝2，
∴AB＝AD＝BC＝CD＝2，BD＝2，DE＝EF＝1，DF＝，
∵BO＝OD，BM＝MF，
∴OM＝DF＝，
∴点M的运动轨迹是O为圆心，为半径的圆，当DQ与⊙O相切时，CQ的值最小，
∵OD＝OB＝，
∴OD＝2OM，
∵∠OMD＝90°，
∴∠ODM＝30°，
∵∠BDC＝45°，
∴∠CDQ＝15°，
在CD上取一点T，使得DT＝TQ，连接QT，
∵DT＝TQ，
∴∠TDQ＝∠TQD＝15°，
∴∠QTC＝30°，
∴TQ＝DT＝2CQ，CT＝CQ，
∴2CQ+CQ＝2，
∴CQ最小＝4﹣2．
故答案为：4﹣2．
25． 解：（1）∵抛物线经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），
∴，解得：，
∴y＝x2﹣2x﹣3，
∴y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点M坐标为（1，﹣4）；
（2）∵N是抛物线上第一象限的点，
∴设N（t，t2﹣2t﹣3）（t＞0），又点C（0，﹣3），
设直线NC的解析式为y＝kx﹣3，N在直线NC上，解得k＝t﹣2，
∴直线NC的解析式为y＝（t﹣2）x﹣3，
设直线CN与x轴交于点D，
当y＝0时，x＝，
∴D（，0），BD＝3﹣，
∵S△NBC＝S△ABC，
∴S△CDB+S△BDN＝AB•OC，即BD•|yC﹣yN|＝[3﹣（﹣1）]×3，
即×（3﹣）[3﹣（﹣t2+2t+3）]＝6，
整理，得：t2﹣3t﹣4＝0，
解得：t1＝4，t2＝﹣1（舍去），
当t＝4时，t2﹣2t﹣3＝5，
∴N（4，5）；
（3）抛物线上的任意正整点R（横纵坐标为正整数的点）可以表示为R（t，t2﹣2t﹣3），t为正整数，且t≥4，
由性质①②，t与t2﹣2t﹣3的最大公约数（t，t2﹣2t﹣3）＝（t，（t﹣2）t﹣3）＝（t，﹣3）＝（t，3），
即只需满足（t，3）＝1即可，又因为3是素数，当且仅当t不是3的倍数时，t与3互素，
在4到100共97个数中，总共有32个数是3的倍数，
故共有65个数不是3的倍数，满足（t，t2﹣2t﹣3）＝1，
即在0≤x≤100时，该抛物线上有65个“互素正整点”．