内蒙古自治区呼和浩特市第三十中学、蒙古族学校2023-2024学年七年级下学期5月期中考试数学试题

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注意事项：
1、考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在试卷和答题卡的规定位置．
2、考生要将答案写在答题卡上，在试卷上答题一律无效．
3、本试卷满分100分，考试时间100分钟．
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
1. 在实数 、、、、中，无理数有（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的数，结合所给数据进行判断即可，解题的关键是掌握无理数的几种形式．
【详解】是无理数，符合题意；
是有理数，不符合题意；
是有理数，不符合题意；
是有理数，不符合题意；
是无理数，符合题意；
共个无理数，
故选：．
2. 如图，是直线上一点，，射线平分，．则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据射线平分，得出∠CEB=∠BEF=70°，再根据，可得∠GEB=∠GEF-∠BEF即可得出答案．
【详解】∵，
∴∠CEF=140°，
∵射线平分，
∴∠CEB=∠BEF=70°，
∵，
∴∠GEB=∠GEF-∠BEF=90°-70°=20°，
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，补角，掌握知识点灵活运用是解题关键．
3. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 和为180°的两个角是邻补角；B. 一条直线的垂线有且只有一条；
C. 点到直线的距离是指这点到直线的垂线段；D. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等，则同位角必相等．
【答案】D
【解析】
【详解】利用邻补角的定义、垂线的性质、点到直线的距离及平行线的性质分别判断：
A、和为180°的两个角不一定是邻补角，故错误，为假命题；
B、一条直线有无数条垂线，故错误，为假命题；
C、点到直线的距离是指这点到直线的垂线段的长度，故错误，为假命题；
D、两条直线被第三条直线所截，如内错角相等，则同位角必相等，正确，为真命题，
故选：D．
点睛：本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解邻补角的定义、垂线的性质、点到直线的距离及平行线的性质，难度不大．
4. 的平方根是,用式子表示正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】依据一个正数有两个平方根解答即可．
【详解】的平方根是, 用式子表示正确的是.
故选:B.
【点睛】本题主要考查的是平方根的定义，掌握平方根的定义是解题的关键．
5. 如图，学校相对于小明家的位置下列描述最准确的是（ ）
A. 距离学校米处B. 北偏东方向上的米处
C. 南偏西方向上的米处D. 南偏西方向上的米处
【答案】B
【解析】
【分析】根据图表的信息，分析小明家的位置和学校的位置，即可得到答案．
【详解】根据图表的信息，学校在小明家北偏东65°（180°-115°=65°）方向上，距离为1200米；
A.距离学校米处只说明了距离，没有说明方向，故不是答案；
B.学校在小明家北偏东方向上的米处，故正确；
C.学校在小明家北偏东方向上的米处，故不是答案；
D.学校在小明家北偏东方向上的米处，故不是答案；
故选B．
【点睛】本题考查了方向角，掌握方向角的描述是解题的关键．
6. 已知关于x、y的二元一次方程组的解是，则的值是（ ）
A. 1B. 2C. ﹣1D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】将代入即可求出a与b的值；
【详解】解：将代入得：
，
∴；
故选B．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解；熟练掌握方程组与方程组的解之间的关系是解题的关键．
7. 关于“”，下列说法不正确的是（ ）
A. 它是一个无理数
B. 它可以表示面积为10的正方形的边长
C. 它是与数轴上距离原点个单位长度的点对应的唯一的一个数
D. 若,则整数的值为3
【答案】C
【解析】
【分析】依据无理数的概念、依据算术平方根的定义、绝对值的定义、依据夹逼法估算无理数大小的方法进行判断即可．
【详解】A. 它是一个无理数，正确；
B. 可以表示面积为10的正方形的边长，正确；
C.数轴上距离原点个单位长度点对应的数有±，故不正确；
D. 若,则整数的值为3，正确；
故选C.
【点睛】本题主要考查的是估算无理数的大小，实数与数轴，熟练掌握相关知识是解题的关键．
8. 如图，下列选项中不一定正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据平行线的判定与性质进行判断即可，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
【详解】、若，则不能判断，原选项不一定正确，符合题意；
、若，则，不符合题意；
、若，则，不符合题意；
、若，则，不符合题意；
故选：．
二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分本题要求把正确结果填答题卡规定的横线上，不需要解答过程）
9. 如图，，此时，的数学依据是___________ ．
【答案】垂线段最短
【解析】
【分析】本题主要考查了垂线段最短．根据垂线段最短，即可求解．
【详解】解：∵，
∴（垂线段最短）．
故答案为：垂线段最短
10. 有下列语句：①带根号的数都是无理数；②任何实数的绝对值都是非负数；③所有有理数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的所有点都表示有理数；④若两个非负数的和为零，则这两个数都为零．其中，错误的是___________．
【答案】①③##③①
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的性质，实数与数轴．根据实数的性质，实数与数轴的关系，逐项判断即可求解．
【详解】解：①带根号的数不一定是无理数，故原说法错误；
②任何实数的绝对值都是非负数，故原说法正确；
③所有有理数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的所有点都表示实数，故原说法错误；
④若两个非负数的和为零，则这两个数都为零，故原说法正确．
故答案为：①③
11. 如图，已知∠1=∠2=∠3=59°，则∠4=___________．

【答案】121°##121度
【解析】
【分析】首先根据题目所给条件判断出两条直线平行，然后再根据平行线的性质进行求解即可.
【详解】因为∠1=∠3，所以两条直线平行，所以∠2+∠4=180°，所以∠4=121°
故答案为121°.
【点睛】本题主要考查学生对平行线判断的能力以及对平行线性质的了解，解题的关键是要懂得平行线的基本性质，然后再结合题目进行求解即可，本题属于基础题.
12. 在平面直角坐标系中，若点的坐标满足，则我们称点P为“奇点”，已知点，其中___________为“奇点”．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形，求代数式的值．分别把代入，判断结果是否等于0，即可求解．
【详解】解：对于，，
∴点为“奇点”；
对于，，
∴点不为“奇点”；
对于，，
∴为“奇点”．
故答案为：，．
13. 一个正数的两个平方根是和，则这个正数是___________
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了平方根的定义．利用正数的平方根有两个且互为相反数列出方程，求出方程的解即可得到a的值．
【详解】解：∵一个正数的两个平方根是和，
∴，
解得：，
∴这个正数是．
故答案为：4
14. 已知点在y轴上，则点P的坐标为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形．根据题意可得，从而得到，即可求解．
【详解】解：∵点在y轴上，
∴，
解得：，
∴点P的坐标为．
故答案为：
15. 若与的两边分别平行，比的3倍小，则的度数是___________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，一元一次方程的应用．证出若两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，即可求解．
【详解】解：如图1，，
∴，
∴；
如图2，，
∴，
∴；
∴若两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．
当与相等时，
∵比的3倍小，
∴，
解得：，
∴；
当与互补时，
∵比的3倍小，
∴，
解得：，
∴．
终上所述，的度数是或．
故答案为：或
16. 平面直角坐标系内，点到两坐标轴的距离相等，则点A的坐标为___________
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形性质．由A、B两点到坐标轴的距离相等，即可得出关于a的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出a值，再结合A，B两点为不同的两点，即可确定结论．
【详解】解：点到两坐标轴的距离相等，
∴，
即或，
解得：或，
∴点A的坐标为或．
故答案为：或．
三、解答题（本大题共7小题，共60分．解答应写出文字说明或演算步骤）．
17. 计算：
（1）；
（2）求中的的值．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了考查了实数运算和立方根的概念，正确化简各数和正确理解立方根的概念是解题的关键．
（）直接利用求一个数的算术平方根，立方根、去绝对值符号求解即可；
（）根据立方根的概念解方程即可；
【小问1详解】
解：原式，
，
；
【小问2详解】
解：，
两边同除以3得：，
开立方得：，
解得：．
18 解方程组：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组：
（1）利用代入消元法解答，即可求解；
（2）利用加减消元法解答，即可求解；
（3）利用加减消元法解答，即可求解；
（4）利用加减消元法解答，即可求解．
【小问1详解】
解：，
把①代入②得：，
解得：，
把代入①得：，
∴原方程组的解为；
【小问2详解】
解：
由得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∴原方程组的解为；
【小问3详解】
解：
由得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∴原方程组的解为；
【小问4详解】
解：
整理得：，
由得：，
把代入①得：，
解得：，
∴原方程组的解为．
19. 如图，直线相交于点O，平分，．

（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了邻补角的定义，有关角平分线的计算：
（1）根据题意可得，再由邻补角的定义可得，然后根据角平分线的定义，即可求解；
（2）根据题意可设，从而得到，再由邻补角的定义可得，即可求解．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∴，
∵平分，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴可设，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴．
20. 已知4是的算术平方根，的立方根为．
（1）求a和b的值．
（2）求的平方根
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根：
（1）根据算术平方根、立方根的定义，得到，，求出a，b的值即可；
（2）把a，b值代入代数式求出代数式的值，根据平方根的定义即可解答．
【小问1详解】
解：∵4是的算术平方根，的立方根为，
∴，，
解得：，；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∴的平方根为．
21. 如图，点E、F分别在AB、CD上，于点O，，，求证：．
证明：∵（已知），
∴（___________）
又∵（已知），
∴___________（___________），
∴（___________），
∴（___________），
又∵（平角的定义）
∴（___________）°，
又∵（已知），
∴（___________），
∴．（___________）
【答案】垂直的定义；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；90；等式的性质；内错角相等，两直线平行
【解析】
【分析】根据垂直的定义，平角的定义，等式的性质，平行线的性质与判定填空即可．
【详解】证明：∵（已知）
∴（垂直的定义）
又∵（已知）
∴（同位角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，同位角相等）
∴（等量代换）
又∵（平角的定义）
∴（90）°
又∵（已知）
∴（等式的性质）
∴（内错角相等，两直线平行）
故答案为：垂直的定义；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；90；等式的性质；内错角相等，两直线平行．
【点睛】本题考查了垂直的定义，平角的定义，等式的性质，平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定定理是解题的关键．
22. 如图，先将三角形ABC向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到三角形A1B1C1．
（1）画出经过两次平移后的图形，并写出A1、B1、C1的坐标；
（2）已知三角形ABC内部一点P的坐标为（a，b），若点P随三角形ABC一起平移，平移后点P的对应点P1的坐标为（﹣2，﹣2），请求出a，b的值；
（3）求三角形ABC的面积．
【答案】（1）图见解析，A1（﹣4，﹣3），B1（2，2），C1（﹣1，1）
（2）
（3）10.5
【解析】
【分析】（1）先根据△ABC位置求出A，B，C的坐标，再利用平移求出A，B，C的对应点A1，B1，C1的坐标，然后描点，连线即可解决问题．
（2）利用平移规律，构建方程组即可解决问题．
（3）利用分割法先利用辅助线将△ABC补成长方形ADEF，然后用长方形面积减去三个三角形面积即可求出△ABC的面积．
【小问1详解】
解：根据△ABC所在位置可得点A（-1，1），B（5，2），C（2，5），
先将三角形ABC向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到三角形A1B1C1．
平移后的坐标A1（-1-3，1-4），B1（5-3，2-4），C1（2-3，5-4），即A1（-4，-3），B1（2，-2），C1（-1，1），
然后再平面直角坐标系中描点A1（-4，-3），B1（2，-2），C1（-1，1），
顺次连接A1B1， B1C1，C1A1，
则△A1B1C1为所求．
小问2详解】
解：平移后点P的对应点P1（a﹣3．b﹣4），
∵P1（﹣2，﹣2），
∴，
解得．
【小问3详解】
过点A作水平线与过点A，点B铅直线于A，F，过C的水平线与过点A，点B的铅直线于D，E，
则四边形ABCD为长方形，
∴S△ABC=S长方形AFED-S△ADC-S△CEB-S△AFB，
=，
=，
=，
=，
=10.5．
【点睛】本题考查了作图-平移变换，确定平移后图形的基本要素（平移方向、平移距离）.作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形，方程组，割补法求三角形面积，．
23. 如图，在三角形ABC中， D，E，F三点分别在AB，AC，BC上，过点D的直线与线段EF的交点为点M，已知2∠1－∠2=150°，2∠ 2－∠1=30°.
（1）求证：DM∥AC；
（2）若DE∥BC，∠C =50°，求∠3的度数.

【答案】（1）证明见解析（2）50°
【解析】
【分析】(1) 已知 2∠1-∠2=150°，2∠2-∠1=30°，可得∠1+∠2=180°，再由∠1+∠DME=180°，可得∠2=∠DME，根据内错角相等，两直线平行即可得DM∥AC；（2） 由（1）得DM∥AC，根据两直线平行，内错角相等可得∠3＝∠AED ，再由DE∥BC ，可得∠AED=∠C ，所以∠3=∠C=50°.
详解】（1）∵ 2∠1-∠2=150°，2∠2-∠1=30°，
∴ ∠1+∠2=180°.
∵ ∠1+∠DME=180°，
∴ ∠2=∠DME .
∴ DM∥AC .
（2）∵ DM∥AC，
∴ ∠3＝∠AED .
∵ DE∥BC ，
∴ ∠AED=∠C .
∴ ∠3=∠C .
∵ ∠C=50°，
∴ ∠3=50°.