辽宁省丹东市第七中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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时间：90分钟满分：100分
考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效
第一部分 选择题（共20分）
一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分，下列各题的备选答案中，只有一个是正确的）
1. 计算（ ）
A. 0B. 1C. 9D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了零指数幂，根据任何非零底数的零指数幂结果为1即可得到答案．
【详解】解：，
故选：B．
2. 若有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了负整数指数幂有意义的条件，根据负整数指数幂有意义的条件是底数不为0进行求解即可．
【详解】解：∵有意义，
∴，
∴，
故选：D．
3. 刘禹锡有诗曰：“庭前芍药妖无格，池上芙藻净少情，唯有牡丹真国色，花开时节动京城．”紫斑牡丹为国家重点一级保护野生植物，在显微镜下可见其花粉粒类圆形或椭圆形，直径为，其中，数据“”换算成米用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．
【详解】解：，
故选：C．
4. 下列各式能用平方差公式计算的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了平方差公式，熟知平方差公式的结构是解题的关键．
详解】解：A、不能用平方差公式计算，不符合题意；
B、不能用平方差公式计算，不符合题意；
C、能用平方差公式计算，符合题意；
D、不能用平方差公式计算，不符合题意；
故选：C．
5. 如图，已知，，，则的度数为（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，先根据三角形内角和定理可得，再由全等三角形对应角相等即可得到．
【详解】解；∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
6. 某航空公司规定，旅客可免费携带一定质量的行李，超出部分需另外收费，下表列出了乘客携带的行李质量x（千克）与其运费y（元）之间的一些数据：
若旅客携带了36千克的行李，他应该支付的运费为（ ）
A. 450元B. 480元C. 510元D. 600元
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查函数的表示方法，“当行李的质量超过20千克时，求出每千克需要支付的费用”是解题的关键．
由图表可知，当行李的质量超过20千克时，求出每千克需要支付的费用，即可求出答案．
【详解】解：由图表可知，当行李的质量超过20千克时，每千克需要支付的费用为（元），
则（元）．
故选：B．
7. 等腰三角形的两边长分别为和，则此三角形的周长是（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分是腰长和底边两种情况讨论求解即可，分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能够组成三角形是解决此题的关键．
【详解】是腰长时，三角形的三边分别为、、，
∵，
∴不能组成三角形，
是腰长时，三角形的三边分别为，
∵，
∴能组成三角形，
∴周长,
综上所述，此三角形的周长是，
故选：C．
8. 下列说法中正确的是（ ）
A. 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B. 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C. 直线外一点到已知直线引垂线，点和垂足之间的垂线段叫做这个点到这条直线的距离
D. 面积相等的两个图形全等
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了两直线的位置关系，垂线的定义，点到直线的距离，全等图形的定义，熟知相关知识是解题的关键．
【详解】解：A、平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误，不符合题意；
B、平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法正确，符合题意；
C、直线外一点到已知直线引垂线，点和垂足之间的垂线段的长度叫做这个点到这条直线的距离，原说法错误，不符合题意；
D、面积相等的两个图形不一定全等，原说法错误，不符合题意；
故选：B．
9. 在下面的正方形分割方案中，可以验证的图形是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】用面积公式和作差法求小正方形、长方形的面积，令其与大正方形相等．
【详解】A、不能验证公式，该选项不符合题意；
B、可以验证，该选项不符合题意；
C、可以验证，该选项符合题意；
D、可以验证，即，该选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何验证，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
10. 近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，经使用发现，当，时，台灯光线最佳，则此时的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，过点E作，则，根据平行线的判定和性质可得结论.
【详解】解：过点E作，如图，
∵
∴
∴
∵
∴
∵，
∴
∵，
∴
∴，
故选：C
第二部分 非选择题（共80分）
二、填空题（共5小题，每小题2分，共10分）
11. 40°角的余角是_____．
【答案】50°
【解析】
【分析】根据互余的两角和为90°解答即可．
【详解】解：40°角的余角是90°﹣40°＝50°．
故答案为50°．
【点睛】此题考查余角的问题，关键是根据互余的两角和为90°进行分析．
12. 一辆汽车加满油后，油箱中有汽油50升，汽车行驶时正常的耗油量为每千米升，则加满油后，油箱中剩余的汽油量y（升）关于已行驶的里程的关系式为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了列关系式，用50减去行驶的里程乘以每公里的油耗即可得到答案．
【详解】解；由题意得，，
故答案为：．
13. 若是关于x的完全平方式，则______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题主要考查了完全平方式，根据题意可知两平方项为，则一次项为，则，据此求解即可．
【详解】解：∵是关于x的完全平方式，
∴，
∴，
解得或，
故答案为：或．
14. 在中，和分别是和的角平分线，且和相交于点F，的度数为，的度数为；连接，则的度数为______．
【答案】##128度
【解析】
【分析】此题考查了三角形内角和定理，角平分线的概念，
首先得到，然后证明出是的角平分线，求出，，进而求解即可．
【详解】∵，
∴
∵和分别是和的角平分线，
∴是的角平分线
∴，
∴．
故答案为：．
15. 如图，在长方形中，，，延长到点E，使，连接，动点P从点A出发，以每秒3个单位的速度沿运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为______秒时，与全等．
【答案】或5
【解析】
【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，
根据题意分两种情况：和，然后根据全等三角形的性质求解即可．
【详解】如图所示，当时，
∴
∵在长方形中，，，
∴
∴
∴
∵点P的运动时间为每秒3个单位
∴（秒）；
如图所示，当时，
∴
∴
∴
∴（秒）
综上所述，当t的值为或5秒时，与全等．
故答案为：或5．
三、解答题（共8小题，共70分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16. 计算．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）（用乘法公式计算）．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，乘法公式，含乘方的有理数混合计算：
（1）先计算乘方，再计算加减法即可；
（2）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可；
（3）先根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后合并同类项即可；
（4）把原式先变形为，再利用平方差公式求解即可．
【小问1详解】
解；
；
【小问2详解】
解：；
【小问3详解】
解：
；
【小问4详解】
解：
．
17. 先化简，后求值，其中，．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查整式化简求值．熟练掌握整理式混合运算法则是解题的关键．
先计算括号内的，用多项式乘以多英式法则展开，再合并 同类项，然后运算多项式除以单项式法则计算，最后把a、b值代入化简式计算即可．
详解】解：
，
当，时，原式．
18. 如图，已知，用尺规过点A作直线，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的尺规作图， 根据平行线的尺规作图方法作图即可．
【详解】解：如图所示，直线即为所求．
19. 请将下列说理过程补充完整：
如图：，，，试说明．
解：因为（已知），
所以（______），
因为（已知），
所以______（两直线平行，内错角相等），
因为（已知），
所以_____________（______），
即，
所以（______）．
【答案】两直线平行，内错角相等；；，；等式的性质；等量代换
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行线的性质和已给推理过程证明即可．
【详解】解：因为（已知），
所以（两直线平行，内错角相等），
因为（已知），
所以（两直线平行，内错角相等），
因为（已知），
所以（等式的性质），
即，
所以（等量代换）．
故答案为：两直线平行，内错角相等；；，；等式的性质；等量代换．
20. 阅读材料：
（1）如图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形，请你直接写出三个代数式，，之间的等量关系：_______．
（2）若x满足，求的值．
解：设，，则，，
．
请仿照上面的方法求解下面问题：
①已知求的值．
②已知，求的值．
【答案】（1）
（2）①4052；②51
【解析】
【分析】本题考查的是完全平方公式几何背景和应用，解题的关键是掌握，，之间的等量关系．
（1）根据正方形的是由两个小正方形面积加上两个长方形面积，即可求解；
（2）利用，，之间的等量关系和平方差公式计算．
【小问1详解】
解：根据正方形面积公式得：正方形的面积，
根据正方形的是由两个小正方形与两个长方形组合而成的，得正方形的面积，
∴，
故答案为：．
【小问2详解】
解：①设，，则，，
∴
；
②设，
∵
∴
∴
∴
∴
即．
21. 阅读下列材料，并完成相应的任务．
（1）问题初探：数学课上老师提出了一个问题：如图1，在中，，，则可以求出边上的中线的取值范围，小组内的同学们经过讨论发现，如果在条件中出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求的结果转化到同一个三角形中，这样就可以找到解题方法：如图1，延长至点E，使，连接，得到，进而可求得中线的取值范围为大于1且小于5，求证．
（2）类比分析：数学老师为了帮助学生更好地学习延长中线构造全等三角形的方法，在原有的上添加条件，如图2，在中，以的边为边分别向外作和，其中，，，D仍是边的中点，连接，求与的数量关系，并说明理由．
（3）学以致用：如图3，在中，以的边为边分别向外作和，其中，，，，D仍是边的中点，连接，，请直接写出的长度，不必说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2），理由见解析
（3）6
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定：
（1）由是的中线，可得，由“”即可证明；
（2）如图所示，延长到H，使得，连接， 同理证明，得到，，则，即可得到，由周角的定义得到，则，据此证明，得到，则；
（3）同（2）可得．
【小问1详解】
证明：是的中线，
，
在和中，
，
；
【小问2详解】
解： ，理由如下：
如图所示，延长到H，使得，连接，
∵D是边的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：如图所示，延长到H，使得，连接，
同理可证明，
∴．
22. “忠义仁勇数关公”说的就是关羽关圣人．农历四月初八，关公游城，祈福国泰民安，风调雨顺，街头人山人海，管理处工作人员用无人机进行航拍，操控无人机需要根据现场状况调节高度，已知无人机上升或下降的速度相同，无人机的高度h（米）与操控无人机的时间t（分）之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题：
（1）上述过程中，自变量是______，因变量是______；
（2）在上升或下降过程中，无人机升降的速度是多少？
（3）图中a、b表示的数分别是______，______；
（4）求第14分钟时无人机飞行的高度．
【答案】（1）操控无人机的时间（或），无人机的高度（或）
（2）30米分
（3）7；15 （4）30米
【解析】
【分析】本题考查函数图象问题，从图象中获取信息是学习函数的基本功，要结合题意熟练掌握．
（1）根据图象信息得出自变量和因变量即可；
（2）根据图象信息得出无人机上升高度60米，用“速度路程时间”计算即可；
（3）根据速度、时间与路程关系列式计算解得即可；
（4）根据速度、时间与路程的关系列式计算解得即可；
【小问1详解】
解：横轴是时间，纵轴是高度，所以自变量是时间（或，因变量是高度（或；
故答案为：时间（或），高度（或）
【小问2详解】
解：根据图象发现无人机上升高度60米，时间是2分钟，
∴（米分）
答：无人机升降速度为30米分．
【小问3详解】
解：图中表示数是，
图中表示的数是，
故答案为：7；15．
【小问4详解】
解：在第14分钟时无人机飞行的高度为（米
答：第14分钟时无人机飞行的高度为30米．
23. 如图，，的顶点F，G分别落在直线，上，交于点H，平分，若，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，平行线的性质．由角平分线的定义求出，由三角形内角和定理求出，再由平行线的性质求出，利用平角的定义求出，最后再根据三角形内角和定理即可求出．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
x（千克）
20
23
26
29
32
y（元）
0
90
180
270
360