浙江省宁波市第七中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1. 一种细菌的长度约为，数据0.0000018用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法表示形式为的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：0.0000018=．
故选：B．
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的乘除运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则、合并同类项分别计算得出答案．
【详解】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：C．
3. 下列是二元一次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程，根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程即可得，掌握二元一次方程的定义是解题的关键．
【详解】解：A、符合定义，故符合题意；
B、最高次数是2，不符合定义，故不符合题意；
C、不是整式方程，不符合定义，故不符合题意；
D、只含有一个未知数，不符合定义，故不符合题意；
故选：A．
4. 已知是方程的一个解，则a的值为（ ）
A. B. C. 1D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边都相等的未知数的值，把x与y的值代入方程计算即可求出a的值．
【详解】解：把代入方程得：
，
，
，
故选：B．
5. 下列图形中，由，能得到的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是平行线的判定，根据平行线的判定定理进行解答即可．熟知平行线的判定定理是解题的关键．
【详解】解：A、不能判定，不符合题意；
B、，，不符合题意；
C、不能判定，不符合题意；
D、，，符合题意，
故选：．
6. 已知，则的值是（ ）
A. 16B. 4C. D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘法及幂的乘方逆用．根据同底数幂的乘法法则及幂的乘方法则解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
．
故选：A．
7. 已知，，则的值为（ ）
A. 5B. 7C. 11D. 13
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了完全平方公式，将两边平方，利用完全平方公式化简后，把的值代入求出的值，原式利用完全平方公式展开，将各自的值代入计算即可求出值．熟练掌握公式是解本题的关键．
【详解】解：将两边平方得：，
将代入得：，即，
则．
故选：．
8. 在解关于x、y的方程组时甲看错①中的a，解得，，乙看错②中的b，解得，，则a和b的正确值应是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，正确理解题意是解题的关键．甲看错了a，则甲的结果满足方程②，乙看错了b，则乙的结果满足方程①，由此建立关于a、b的方程求解即可．
【详解】解：∵解关于x、y的方程组时甲看错①中的a，解得，，乙看错②中的b，解得，，
∴把，代入②，得，
解得：，
把，，代入①，得，
解得：，
∴，
故选：D．
9. 用如图1中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式两种无盖纸盒．现在仓库里有500张正方形纸板和800张长方形纸板，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完？设做竖式纸盒x个，横式纸盒y个，恰好将库存的纸板用完，则可列方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．设做竖式纸盒x个，横式纸盒y个，根据共有500张正方形纸板和800张长方形纸板，列方程组求解．
【详解】解：根据题意，得，
故选：D．
10. 把形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1）按不同方式、不同数量、不重叠地放置于相同的大长方形中（如图2、图3），大长方形的一边长为8，其未被卡片覆盖的部分用阴影表示．已知图2和图3阴影部分的周长之比为，则大长方形的周长为（ ）
A. 29B. 28C. 27D. 26
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了三元一次方程组的实际应用，设小长方形的长为m，宽为n，大长方形的另一边长为x，根据图形之间的关系可得，解方程组即可得到答案．
【详解】解：设小长方形的长为m，宽为n，大长方形的另一边长为x．
由题意得，
∴，
∴，
∴，
解得，
经检验，是方程的解，
∴大长方形的周长．
故选：B．
二、填空题（本题有8小题，每题3分，共24分）
11. 写一个解为的二元一次方程______________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程解的定义，根据二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值进行求解即可．
【详解】解：由题意得，满足题意的二元一次方程可以为，
故答案为：（答案不唯一）．
12. 如图，如果∠2＝100°，那么∠1的同位角等于_____，∠1的内错角等于_____，∠1的同旁内角等于______．
【答案】 ①. 80° ②. 80° ③. 100°
【解析】
【分析】在截线的同旁找同位角和同旁内角，在截线的两旁找内错角，根据∠2＝100°及邻补角和对顶角的定义求出各角度数即可.
【详解】如图：∵∠2=100°，∠1的同位角是∠3，∠1的内错角是∠4，∠1的同旁内角是∠5，
∴∠3=180°-100°=80°，∠4=180°-100°=80°，∠5=∠2=100°，
故答案为80°；80°；100°
【点睛】两条直线被第三条直线所截，构成八个角（简称“三线八角”），其中同位角4对，内错角2对，同旁内角2对．在截线的同旁找同位角和同旁内角，在截线的两旁找内错角，本题同时考查了邻补角和对顶角的定义．
13. 计算______________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查整式的混合运算，根据多项式除以单项式的法则计算即可．解题的关键是掌握多项式除以单项式的法则．
【详解】解：原式
；
故答案为：．
14. 如图，请你根据这一图形的面积关系写出一个等式：_____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了多项式乘多项式与图形面积，两种不同方法表示图形的总面积即可．
【详解】解：“整体”上是长为，宽为的长方形，因此面积为，
拼成“整体”的9个部分的面积和为，因此有，
故答案为：．
15. 如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠，设°，则________（用关于x的代数式表示）
【答案】（90-）°
【解析】
【分析】根据平行线的性质以及折叠的性质，即可得到∠2=∠4，再根据三角形内角和定理以及对顶角相等进行计算即可．
【详解】解：由折叠可得，∠3=∠4，
由平行线的性质，可得∠2=∠3，
∴∠2=∠4，
又∵∠5=∠1=x°，
∴根据三角形内角和定理，可得∠2=（180°-x°）÷2=（90-）°，
故答案为：（90-）°．
【点睛】本题主要考查了折叠性质，平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
16. 计算____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了积的乘方的运算，直接根据积的乘方的运算法则进行逆运算即可；熟练掌握积的乘方的运算法则是关键．
【详解】原式
．
故答案为：．
17. 如图，已知，和分别平分和，若，则________．

【答案】##度
【解析】
【分析】过作，过作，可得，，，，，即可求解．
【详解】解：如图，过作，过作，

，
，
，，
，，
设，，
，，
和分别平分和，
， ，
，，
，
，
，
，
解得：，
；
故答案：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握性质，作出适当的辅助线是解题的关键．
18. 若关于x、y的方程组有整数解，则正整数a的值为________．
【答案】1或3
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，先利用加减消元法解方程组，求出，，再根据方程组有整数解，列出关于的方程，解方程求出即可．解题关键是熟练掌握解二元一次方程组的一般步骤．
【详解】解：，
①得：③，
②得：④，
③④得：，
，
把代入②得：，
关于、的方程组有整数解，
或或或，
或或或，
或3或或，
为正整数，
或3，
故答案为：1或3．
三、解答题（共7题；第19、20题每题6分，第21、22题每题4分，第23题6分，第24题8分，第25题12分，共46分）
19. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了单项式乘多项式，实数的运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
（1）先算负整数指数幂，零指数幂，乘方，再算加减即可；
（2）利用单项式乘多项式的法则进行运算即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
20. 解下列方程组：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了用代入法与加减法解二元一次方程组；根据方程组中未知数系数特点灵活选择解法是关键．
（1）直接用代入法求解即可；
（2）用加减法，消去未知数b，进而即可求解．
【小问1详解】
解：，
将②代入①得：，
解得：，
将代入②得：，
故原方程组的解为；
【小问2详解】
解：，
得：，
解得：，
将代入①得：，
解得：，
故原方程组的解为．
21. 先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【解析】
【分析】根据完全平方公式、平方差公式和单项式乘多项式运算法则进行化简，然后再代入数据计算即可．
【详解】解：
，
把代入得：
原式．
【点睛】本题主要考查了整式化简求值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式、平方差公式和单项式乘多项式运算法则，准确计算．
22. 的位置如图所示，将进行平移，使点A平移到点．请画出平移后的．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了平移作图，根据题意确定B、C平移后的对应点是解答本题的关键．利用平移性质分别确定B、C平移后的对应点，然后再顺次连接即可．
【详解】解：如图，即为所求．
23. 如图，已知，．
（1）与平行吗？请说明理由．
（2）与的位置关系如何？为什么？
【答案】（1），详见解析
（2），详见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，补角的性质等知识，解题的关键是掌握平行线的判定和性质，
（1）利用补角的性质可得，然后根据“同位角相等，两直线平行”即可得出结论；
（2）先利用平行线性质得出，然后结合可得出，再根据“同旁内角互补，两直线平行”即可得出结论．
【小问1详解】
解：与平行．
理由如下：
因为，，
所以，
所以；
【小问2详解】
解∶与平行．
理由如下：
因为，
所以．
因为，
所以．
所以．
24. 因强降雨天气，有500名群众被困，某救援队前往救援，已知3艘小型船和2艘大型船一次可救援125名群众，1艘小型船和3艘大型船一次可救援135名群众．
（1）每艘小型船和每艘大型船各能坐多少名群众？
（2）若安排m艘小型船和n艘大型船，一次救援完，且恰好每艘船都坐满，请设计出所有的安排方案．
【答案】（1）每艘小型船能坐名群众，每艘大型船能坐名群众
（2）见详解
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程组的应用，求一元二次方程整数解；
（1）等量关系式：3艘小型船可救援人数2艘大型船可救援人数，1艘小型船可救援人数3艘大型船可救援人数，据此解方程组即可求解；
（2）可得，由，非负整数，即可求解；
找出等量关系式，将一元二次方程化为进行求整数解是解题的关键．
【小问1详解】
解：设每艘小型船能坐名群众，每艘大型船能坐名群众，由题意得
，
解得：，
答：每艘小型船能坐名群众，每艘大型船能坐名群众．
【小问2详解】
解：由题意得
，
整理得：，
，为非负整数，
或或或，
有种方案，分别为：
①安排艘小型船和艘大型船；
②安排艘小型船和艘大型船；
③安排艘小型船和艘大型船；
④安排艘小型船和艘大型船．
25. 将一副直角三角板按图1方式叠放在一起，并且直角顶点C重合，其中，．保持三角尺固定不动，将三角尺绕着点C顺时针旋转α度．探究以下问题：
（1）如图2，当时，求证：；
（2）当时，若这两个三角尺的一组边互相平行，请画出相应的图形，并求出此时α的度数．
【答案】（1）见解析 （2）画图见解析，α的度数为或或或或
【解析】
【分析】本题考查是平行线的判定与性质，牢记平行线的判定与性质定理是解题关键，
（1）通过计算得出证出结论；
（2）分情况根据平行线的性质求出α的度数即可．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：①延长交于点F，如图1所示：

∵，点D在直线的上方，
∴，
∵，
∴，
∴；
②∵改变三角尺的位置，且点D在直线的上方，
∴当两块三角尺存在一组边互相平行的情况有以下五种：
（Ⅰ）当时，如图2所示：

则，
由（1）可知：；
（Ⅱ）当时，如图3所示：

则；
（Ⅲ）当时，如图4所示：

则，
∴；
（Ⅳ）当时，如图5所示：

则，
∴；
（Ⅴ）当时，与（3）①相同，．
综上所述：α的度数为或或或或．
四、附加题（共2题；第26题4分，第27题6分，共10分）
26. 图1是一张足够长的纸条，其中，点A、B分别在、上，记．如图2，将纸条折叠，使与重合，得折痕，如图3，将纸条展开后再折叠，使与重合，得折痕，将纸条展开后继续折叠，使与重合，得折痕依此类推，第次折叠后，____（用含a和n的代数式表示）

【答案】
【解析】
【分析】由折叠的性质折叠次可得，然后根据四边形内角和及补角性质可得答案．
【详解】解：折叠2次可得：，
折叠3次可得：，
折叠4次可得：，
…
由折叠的性质折叠次可得，
在四边形内有四边形的内角和为知：
．
故答案为：．
【点睛】此题考查的是折叠，掌握其性质是解决此题关键．
27. 已知，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方，负整数指数幂，根据已知式子变形可得，进而可得，进而根据负整数指数幂进行计算即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．