广西壮族自治区柳州市铁五中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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（全卷满分100分，学生闭卷作答，90分钟完成）
一、选择题（共30分）
1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
【详解】解：A、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
2. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A. 5，12，13B. C. 9，16，25D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据勾股定理逆定理可直接进行排除选项．
【详解】解：A、，所以能构成直角三角形，故符合题意；
B、，所以不能构成直角三角形，故不符合题意；
C、，所以不能构成直角三角形，故不符合题意；
D、，所以不能构成直角三角形，故不符合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键．
3. 如图，在中，，，则的周长为（ ）
A. 12B. 14C. 35D. 24
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行四边形的对边相等，又有两邻边的长，进而可求解周长．
【详解】四边形是平行四边形．
，，
的周长为．
故选：．
【点睛】此题考查平行四边形性质，解题关键在于掌握平行四边形的对边相等．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. ﹣＝B. ＝C. ＝D. ×＝
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式加减运算法则判定ABC选项，根据二次根式的乘法运算法则判定D选即可．
【详解】解：A．没有同类二次根式，不能合并 ，故A错误；
B．没有同类二次根式，不能合并 ，故B错误；
C．=3+4=7，故C错误；
D．，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查二次根式的加减运算，二次根式的乘法运算法则．熟练掌握二次根式的加减运算，二次根式的乘法运算法则是解题的关键．
5. 如图，在中，，D为边的中点，，则长为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】根据“在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半”解答．
【详解】解：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为边AB的中点，则CD=AB，
∵AB=6，
∴CD=AB=3，
故选：B．
【点睛】本题考查直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形斜边中线的性质，属于中考常考题型．
6. 如图，四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）

A. 当，平行四边形是矩形
B. 当，平行四边形是矩形
C. 当，平行四边形是菱形
D. 当，平行四边形是正方形
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查菱形，矩形的判定，根据菱形，矩形的判定逐个判断即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
当，平行四边形是矩形，正确，不符合题意，
当，平行四边形是矩形，正确，不符合题意，
当，平行四边形是菱形，正确，不符合题意，
当，平行四边形是菱形，得不到正方形，错误，符合题意，
故选：D．
7. 如图，在菱形中，，，则该菱形的面积为（ ）
A. 40B. 20C. 48D. 24
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用菱形的性质结合勾股定理得出BD的长，再利用菱形的面积公式即可得出结论．
【详解】解：BD交AC于点O，
∵四边形ABCD是菱形，AB＝5，AC＝8，
∴AC⊥BD，AO＝CO＝4，
∴BO＝
故BD＝6，
∴菱形的面积＝AC•BD＝×8×6＝24．
故选D．
【点睛】本题考查的是菱形的性质以及勾股定理，正确求出BD的长是解答此题的关键．
8. 实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是（ ）
A. B. bC. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据差的绝对值是大数减小数，二次根式的性质，可化简代数式，根据整式的加减，可得答案．
【详解】解：由数轴可知，
∴，
∴
．
故选：B．
【点睛】本题考查了实数与数轴，利用差的绝对值是大数减小数、二次根式的性质化简整式是解题关键．
9. 如图，将边长分别是4，8的矩形纸片折叠，使点C与点A重合，则的长是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】根据折叠前后对应的边相等得到，设，则，然后在中用勾股定理即可求解．
【详解】解：∵折叠前后对应边相等，
∴，设，则，
在中由勾股定理可知：，代入数据：
∴，
解出，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形性质、折叠的性质及勾股定理求线段长等，熟练掌握矩形性质及勾股定理的应用是解决本题的关键．
10. 如图所示，在正方形中，是对角线、的交点，过作，分别交、于、，下列结论中，正确的结论是（ ）
①；②；③四边形的面积总等于；④的最小值为；⑤．
A. ①②③④B. ①②④⑤C. ①②③⑤D. ①②③④⑤
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，由正方形的性质得到，，再证明，即可证明得到，，则可证明，据此可判断①②③；在中，由勾股定理得，则当时，最小，此时，，即，故④错误；由全等三角形的性质得到，则，在中，由勾股定理得，则，故⑤正确．
【详解】解：∵在正方形中，是对角线、的交点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，故①正确，
∴，，故②正确；
∴，故③正确；
在中，由勾股定理得，
∴当最小时，最小，
∴当时，最小，
∴此时，
∴，即，故④错误；
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，故⑤正确；
故选：C．
二、填空题（每空3分，共18分）
11. 使代数式有意义的x的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须，从而可得答案．
【详解】解：代数式有意义，


故答案为：
12. 一直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边的长是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方进行求解即可．
【详解】解：∵一直角三角形的两直角边长分别为5和12，
∴该直角三角形的斜边长为，
故答案为：．
13. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，点，分别是，的中点，连接，若，则的长为________．
【答案】6
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，根据三角形的中位线等于第三边长的一半进行求解即可．
【详解】解：∵点，分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴，
故答案为：6．
14. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的正半轴于点，则点的坐标是________．

【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，过点A作轴于C，利用勾股定理求出的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点A作轴于C，
∵，
∴，
∴，
∴点的坐标是，
故答案为：．

15. 如图，中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为、、．如果，则阴影部分的面积为___________．
【答案】
【解析】
【分析】由勾股定理得出，再根据即可得出的值，即为图中阴影部分的面积．
【详解】解：由勾股定理得，
，
即，
，
，
由图形可知，阴影部分的面积，
阴影部分的面积，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，解题关键是由勾股定理得出是解题的关键．
16. 在平面直角坐标系中，，的坐标分别是，，，要使四边形、、、为平行四边形，则顶点的坐标是____________．
【答案】或或
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形的性质，平行四边形的判定，根据题意作出图形，注意要分情况进行讨论．作出图形，分、、为对角线三种情况进行求解．
【详解】解：如图所示，

①为对角线时，即四边形是平行四边形时，，，点D向左平移2个单位，向下平移3个单位，得到点A，
∴将点B向左平移2个单位，向下平移3个单位，得到点，
∴点的坐标为，
②为对角线时，即四边形是平行四边形时，，，
点A向右平移5个单位，得到点B，
∴将点D向右平移5个单位，得到点，
点的坐标为，
③为对角线时，即四边形是平行四边形时，，，
点B向左平移5个单位，得到点A，
∴将点D向左平移5个单位，得到点，
点的坐标为，
综上所述，点的坐标是或或
故答案为：或或
三、解答题（共52分）
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算：
（1）先化简二次根式，再计算二次根式加减法即可；
（2）先根据完全平方公式去括号，然后计算二次根式加减法即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
18. 如图，在中，点E，F分别在BC，AD上，且BE=FD，求证：四边形AECF是平行四边形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质可得AF∥EC．AF=EC，然后根据平行四边形的定义即可证得．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴AF∥EC，
∵BE=FD，
∴BC-BE=AD-FD，
∴AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质，证出AF=EC是解决问题的关键．
19. 如图，四边形中，，，，，，求四边形的面积.

【答案】36
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理．根据勾股定理可求得的长，再根据勾股定理逆定理可求得为直角三角形，，即可求得结果．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，
∴为直角三角形，

又∵，
∴根据勾股定理得： ，
∵，
∴，
∴，
∴为直角三角形，，
∴．
即四边形的面积是36．
20. 如图1是篮球架侧面示意图，小明为了测量篮板的长度，设计了如下方案：
如图2，垂直地面于点，线段，表示同一根竹竿，第一次将竹竿的一个端点与点重合，另一端点落在地面的点处，第二次将竹竿的一个端点与点重合，另一端点落在地面的点处．测量得竹竿的长为5米，的长为3米，的长为4米．根据以上测量结果，请你帮助小明求出篮板的长度．
【答案】篮板的长度为1米．
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，利用勾股定理分别求出的长即可得到答案．
【详解】解：由题意得，米，，
在中，由勾股定理得米，
在中，由勾股定理得米，
∴米，
∴篮板的长度为1米．
21. 如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作于点，延长到点，使得，连接，

（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据菱形的性质得到且，等量代换得到，推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）由菱形的性质得，由直角三角形的性质得到直角三角形斜边上的中线性质可得，设，则，利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案．
【小问1详解】
证明：四边形是菱形，
且，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形；
【小问2详解】
解：四边形是菱形，，
，点O为的中点，
∵，
∴
设，则，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等；熟练掌握以上知识是解题的关键．
22. 阅读与思考：
我们知道，如图1，在四边形中，点，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，，，，得到的四边形是平行四边形.这个平行四边形是四边形的中点四边形，也称为瓦里尼翁平行四边形.瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切．
①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形．
②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系．
③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半，此结论可借助图1证明如下：

证明：如图2，连接，分别交，于点，，

∵，分别为，中点，
∴．
∵，分别为，中点，
∴________________（填空1）
∴________________（填空2）
∴四边形是瓦里尼翁平行四边形．
任务：
（1）填空1：________________；填空2：________________
（2）矩形的瓦里尼翁平行四边形是（ ）
A.平行四边形 B.菱形 C. 矩形 D.正方形
（3）菱形的瓦里尼翁平行四边形是（ ）
A.平行四边形 B.菱形 C. 矩形 D.正方形
（4）在图1中，分别连接，得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线，长度的关系，并证明你的结论．

【答案】（1）；；；
（2）B （3）C
（4）瓦里尼翁平行四边形的周长等于 ．理由见解析
【解析】
【分析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，矩形的性质与判定、菱形的性质与判定等知识，掌握特殊四边形的判定和三角形的中位线定理是解题的关键．
（1）由三角形中位线定理和平行四边形的判定可求解；
（2）先证明四边形是平行四边形，再由矩形的性质得到进而得到，则平行四边形是菱形，
（3）先证明四边形是平行四边形，再由菱形的性质得到进而得到，则平行四边形是矩形，
（3）由三角形中位线定理可得，，，，即可求解．
【小问1详解】
证明：如图2，连接，分别交，于点，，

∵，分别为，中点，
∴.
∵，分别为，中点，
∴（填空1）
∴________________（填空2）
∴四边形是瓦里尼翁平行四边形.
故答案为：；；；；
【小问2详解】
解：∵点，，，分别是边，，，的中点，
∴ ，，，，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是矩形，
∴
∴
∴平行四边形是菱形，
故选：B；
【小问3详解】
解：∵点，，，分别是边，，，的中点，
∴ ，，，，，，
，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴平行四边形是矩形，
故选：C；
小问4详解】
解：瓦里尼翁平行四边形的周长等于 ．理由如下：
∵四边形是瓦里尼翁平行四边形，
∴点，，，分别是边，，，的中点．
∴，，，，
∴瓦里尼翁平行四边形的周长为：
．
23. 如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒.

（1）当为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？
（2）只改变点的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形为菱形，则点的运动速度应为多少？
【答案】（1）或
（2）当Q点的速度为时，四边形为菱形
【解析】
【分析】本题考查了四边形的综合题，涉及到菱形的性质、平行四边形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理．
（1）过点B作于H，证明四边形是矩形，得到，则，在中，由勾股定理得；只有Q点在上时，方能满足条件，分两种情况：①四边形是平行四边形，②四边形是平行四边形，进行解答即可；
（3）设Q的速度为，Q在边上，此时可为菱形，满足，建立方程解决即可．
【小问1详解】
解：如图所示，过点B作于H，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，

Q在上运动时间为，
，
运动时间最长为，
当点Q在上时，直线把四边形分成两个部分，不可能存在其中的一部分是平行四边形，
当时，在边上，
此时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形，分两种情况：
①四边形是平行四边形，如图所示：

即
只需即可，
由题意得，，
，
解得：；
②四边形是平行四边形，如图所示：

同理
只需，四边形是平行四边形
∵，
解得：
综上所述：当或时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形；
【小问2详解】
解：设Q的速度为，由（2）可知，Q在边上，此时四边形可为菱形
只需满足即可
由题意得，，，
，，
解得：，
当Q点的速度为时，四边形为菱形．