广西柳州市第十二中学2023-2024学年八年级下学期期中质量抽测数学试题（原卷版+解析版）

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数学
（时间90分钟，满分120分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．）
1. 使有意义的的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件为被开方数大于等于零即可．
【详解】解：若有意义，
则，
解得，
故选：D．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次根式的加减和乘法运算、二次根式的性质，掌握运算法则是解答的关键．据相关运算法则逐项计算可作出判断．
【详解】解：A、和不是同类二次根式，不能加减，故此选项计算错误，不符合题意；
B、，故此选项计算错误，不符合题意；
C、，故此选项计算正确，符合题意；
D、，故此选项计算错误，不符合题意；
故选：C．
3. 一次函数的图象经过（ ）
A. 第一、二、三象限B. 第二、三、四象限C. 第一、二、四象限D. 第二、三、四象限
【答案】C
【解析】
【分析】先画出函数的图象，从而可得答案．
【详解】解：一次函数的图象如图示：
∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，
故选C
【点睛】本题考查的是一次函数的图象与性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
4. 如图，要测定被池塘隔开的A，B两点的距离，可以在AB外选一点C，连接AC，BC，并分别找出它们的中点D，E，连接ED．现测得AC=42m，BC=64m，DE=26m，则AB等于（ ）

A. 42mB. 52mC. 56mD. 64m
【答案】B
【解析】
【分析】利用三角形的中位线定理即可解决问题．
【详解】】解：∵CD=DA，CE=EB，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=AB，
∵DE=26m，
∴AB=52m，
故选：B．
【点睛】本题考查三角形的中位线定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
5. 若甲、乙、丙、丁四人参加跳远比赛，经过几轮初赛，他们的平均成绩相同，方差分别是：S＝0.34，S＝0.21，S＝0.4，S＝0.45．你认为最应该派去的是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】B
【解析】
【分析】根据方差定义计算即可得出答案．
【详解】解：∵S甲2=0.34，S乙2=0.21，S丙2=0.4，S丁2=0.45，
∴S乙2＜S甲2＜S丙2＜S丁2，
∴乙的成绩更加稳定，
故选：B．
【点睛】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
6. 如图，一次函数的图象与轴交于点，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的性质．根据一次函数的性质得出随的增大而增大，当时，，即可求出答案．
【详解】解：一次函数的图象与轴交于点，且随的增大而增大，
当时，，即，
不等式的解为．
故选：B．
7. 下列命题中正确的是（ ）
A. 对角线相等的四边形是矩形B. 对角线互相垂直的矩形是正方形
C. 对角线相等的矩形是正方形D. 对角线互相垂直的四边形是菱形
【答案】B
【解析】
【分析】由矩形、菱形、正方形判定即可得出答案．
【详解】解：A.对角线相等的四边形不一定是矩形，故A不符合题意；
B.对角线互相垂直的矩形是正方形，正确，故B符合题意；
C.对角线相等的矩形不一定是正方形，故C不符合题意；
D.对角线相垂直的四边形不一定是菱形，故D不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形、菱形、正方形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．
8. 东东用仪器匀速向如图容器中注水，直到注满为止．用t表示注水时间，y表示水面的高度，下列图象适合表示y与t的对应关系的是( )
A. B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题目中的图形可知，刚开始水面上升比较慢，紧接着水面上升较快，最后阶段水面上升最快，从而可以解答本题．
【详解】因为对边的圆柱底面半径较大，所以刚开始水面上升比较慢，中间部分的圆柱底面半径较小，故水面上升较快，上部的圆柱的底面半径最小，所以水面上升最快，
故适合表示y与t的对应关系的是选项C．
故选：C．
【点睛】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
9. 如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形，若，，则重叠部分四边形ABCD的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，作于R，于S，根据题意先证出四边形是平行四边形，再由，，得，即有平行四边形是菱形，问题随之得解．
【详解】解：作于R，于S，连接、交于点O．

由题意知：，，
∴四边形是平行四边形，
∵两个矩形等宽，
∴，
∵在平行四边形中，，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形，
∵，，
∴，
故选：C．
10. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点A，B，C都在格点上，已知D是边的中点，连接，则的长为（ ）

A. 2B. C. 3D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，直角三角形的性质，根据勾股定理求出各边长度，根据勾股定理的逆定理判断出，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到结论．
【详解】解：∵，，，
，，
∴，
是边上的中线，
，
故选：B．
11. 如图，正方体盒子的棱长为2，的中点为M，一只蚂蚁从M点沿正方体的表面爬到点，蚂蚁爬行的最短距离是（ ）
A. B. 3C. 5D. 2＋
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的应用， 结合题意可知，将正方体展开，分析可知蚂蚁从M爬到有四种情况（如下图），根据两点之间线段最短以及正方体的棱长可知，的最短长度即为所求．
【详解】解：蚂蚁从M爬到有四种情况：前面→上面，前面→右面，下面→后面，下面→右面，如图所示：
第种情况：，
第种情况：，
综上可知，蚂蚁爬行的最短距离是，
故选A．
12. 如图①，在四边形中，，，点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度按的顺序在边上匀速运动，设点P的运动时间为t秒，的面积为S，S关于t的函数图象如图②所示，则梯形的面积为（ ）

A. 8B. 10C. 12D. 14
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查动点问题的函数图象，由函数图象上的点、的实际意义可知、的长及的最大面积，从而求得的长，再根据当P点运动到B点时，的面积为2，求出的长，最后利用梯形面积公式即可求解．
【详解】解：由函数图象及点的运动速度可知，，，
，
根据题意可知，当P点运动到C点时，的面积最大，
的面积最大值，
，
由图可知，当P点运动到B点时，的面积为2，
，
，
梯形的面积，
故选B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
13. 如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形。其中阴影部分面积是______．

【答案】25
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理在几何图形中的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．
【详解】解：如图，
在，，，
则，
∵四边形为正方形，
∴，
在中，，
∴阴影部分面积是25，
故答案：25．
14. 为了增强青少年的防毒意识，学校举办了一次“禁毒教育”演讲比赛．某位选手的演讲内容，语言表达，演讲技巧这三项成绩分别为90分，85分，90分，若依次按，，的比例确定最终成绩，则该选手的比赛成绩是_________分．
【答案】88
【解析】
【分析】根据加权平均数的计算方法求值即可．
【详解】解∶由题意知，该名考生的综合成绩为：
（分），
∴该选手的比赛成绩是88分．
故答案为：88．
【点睛】本题考查了加权平均数，掌握加权平均数的算法是解决本题的关键．
15. 已知点和点是直线上的两个点，则m，n的大小关系为m_________n．（填“”、“”或“”）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查比较一次函数值的大小，根据一次项系数的正负判断函数图象的增减性，即可求解．
【详解】解：中，一次项系数，
y随x的增大而增大，
，点，，
，
故答案为：．
16. 如图，数轴上点A表示的数是2，，且，以O为圆心，长为半径画弧交数轴于点P，则点P表示的数是_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴，利用勾股定理求出即可得到答案．
【详解】解：由题意得，，
∴，
∴点P表示的数为，
故答案为：．
17. 如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度，此时摆锤与静止位置时的水平距离时，钟摆的长度是_________．

【答案】
【解析】
【分析】此题考查了勾股定理的应用，矩形的判定与性质，设，表示出的长，然后利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】设，由题意得， ，，，
∴四边形是矩形，
∴，即，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
18. 如图，正方形中，平分，点在边上，且，连接交于点，交于点，点是线段上的动点，点是线段 上的动点，连接，，下列五个结论：①；②；③ ；④；⑤，一定成立的有_________．(填序号)
【答案】①②③⑤
【解析】
【分析】由可证明，得到，求出即可得到，故①正确；根据等腰三角形三线合一可得，然后求出，，等量代换可得，即，可证，故②正确；根据，，且，可得④错误；求出，可得当、、三点共线且时，最短，此时，进而可得③正确，过点作于点，得出，，证明得出，则，即可得出．
【详解】解：在正方形中，，，，
，
，
，
，
，
，即，①正确；
平分，
，
，
，
，
在正方形中，，
，
又，
，
，
，
，②正确；
，，且，
，，④错误；
连接，如图，
，，
，即垂直平分线段，
，
当、、三点共线且时，最短，此时，
，③正确；
如图所示，过点作于点，
，
，，
在中，
，
，
又
，
即
综上，一定成立的有：①②③⑤，
故答案为：①②③⑤．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线的性质等，能够灵活运用各性质进行推理是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程．）
19. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】先利用二次根式的除法法则运算，然后先把二次根式化为最简二次根式后合并即可；
【详解】解：原式
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
20. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的乘法运算法则求解即可．
【详解】解：原式=
=
【点睛】此题考查了二次根式的乘法运算，平方差公式和完全平方公式，解题的关键是熟练掌握二次根式的乘法运算法则．
21. 如图所示，已知点在的对角线上，且．

（1）求证：；
（2）连接，求证：四边形是平行四边形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质结合全等三角形的判定定理即可求证；
（2）根据全等三角形的性质结合平行四边形的判定定理即可求证．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形
；
【小问2详解】
证明：由（1）可得：
，即
四边形是平行四边形.
【点睛】本题综合考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质．掌握相关结论是解题关键．
22. 已知一次函数的图像直线如图所示

（1）在图中的坐标系中画出一次函数的图像直线（要求：先列表，再描点，最后连线）；
（2）设直线与x轴相交于点A，直线与x轴相交于点B，直线与相交于点C，求的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）利用列表、描点、连线画出函数的图像即可．
（2）利用联立解析式构造方程组的思想，求得交点，后计算面积．
【小问1详解】
根据题意，列表如下：
画图如下，

则直线即为所求．
【小问2详解】
∵直线与x轴相交于点A，直线与x轴相交于点B，直线与相交于点C，
∴，
解得，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了一次函数的图像画法，一次函数的交点，三角形的面积，熟练掌握一次函数的图像画法，一次函数的交点球阀是解题的关键．
23. 学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试．已知七、八年级各有200人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩x（单位：分）进行统计：
七年级：86ㅤ94ㅤ79ㅤ84ㅤ71ㅤ90ㅤ76ㅤ83ㅤ90ㅤ87
八年级：88ㅤ76ㅤ90ㅤ78ㅤ87ㅤ93ㅤ75ㅤㅤ87ㅤ87ㅤ79
整理如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空： ___________， ___________；
（2）A同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是______年级的学生；
（3）学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数．
【答案】（1）85，87
（2）七 （3）220人
【解析】
【分析】本题考查中位数、众数和用样本估计总体，理解各个概念和计算方法是解题的关键．
（1）根据中位数和众数的定义即可求出答案；
（2）根据中位数的定义即可求出答案；
（3）分别求出七、八年级优秀的比例，再乘以总人数即可．
【小问1详解】
解：把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为：71，76，79，83，84，86，87，90，90，94，
根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为，
八年级10名学生的成绩中87分的最多有3人，所以众数，
故答案为：85，87；
【小问2详解】
A同学得了86分，大于85分，位于年级中等偏上水平，由此可判断他是七年级的学生；
故答案为：七；
【小问3详解】
七年级测试成绩不低于85分的有：86，94，84，90，90，87，共有5人，
八年级测试成绩不低于85分的有：88，90，87，93，87，87，共有6人
（人），
答：该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数大约为220人．
24. 为改善村容村貌，阳光村计划购买一批桂花树和芒果树．已知桂花树单价比芒果树的单价多40元，购买3棵桂花树和2棵芒果树共需370元．
（1）桂花树和芒果树的单价各是多少元？
（2）若该村一次性购买这两种树共60棵，且桂花树不少于35棵．设购买桂花树的棵数为n，总费用为w元，求w关于n的函数关系式，并求出该村按怎样的方案购买时，费用最低？最低费用为多少元？
【答案】（1）桂花树单价90元/棵，芒果树的单价50元/棵；
（2）；当购买35棵挂花树，25棵芒果树时，费用最低，最低费用为4400元．
【解析】
【分析】（1）设桂花树单价x元/棵，芒果树的单价y元/棵，根据桂花树的单价比芒果树的单价多40元，购买3棵桂花树和2棵芒果树共需370元，列出二元一次方程组解出即可；
（2）设购买挂花树n棵，则芒果树为棵，根据题意求出w关于n的函数关系式，然后根据桂花树不少于35棵求出n的取值范围，再根据n是正整数确定出购买方案及最低费用．
【小问1详解】
解：设桂花树单价x元/棵，芒果树的单价y元/棵，
根据题意得：，
解得：，
答：桂花树单价90元/棵，芒果树的单价50元/棵；
【小问2详解】
设购买桂花树的棵数为n，则购买芒果树的棵数为棵，
根据题意得，
，
∴w随n的增大而增大，
∴当时，（元），
此时，
∴当购买35棵挂花树，25棵芒果树时，费用最低，最低费用为4400元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．
25. 综合与实践
折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为完美矩形．
（1）操作发现：
如图①，将纸片按所示折叠成完美矩形，若的面积为，，则此完美矩形的边长 ，面积为 ．
（2）类比探究：
如图②，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若平行四边形的面积为，，则完美矩形的周长为 ．
（3）拓展延伸：
如图③，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若，，求此完美矩形的周长为多少．
【答案】（1）；
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等知识点，熟悉利用折叠的性质是解题的关键．
（1）根据折叠的性质和三角形的面积公式分别求出矩形的长和宽，即可得到矩形的周长；
（2）根据折叠的性质和三角形的面积公式分别求出矩形的长和宽，即可得到矩形的周长；
（3）连接，根据折叠的性质证出四边形是平行四边形，设，则，利用勾股定理求出矩形的长和宽，即可得到矩形的周长．
【小问1详解】
解：由折叠可知，，，，
∴，点是中点，
过点作于点，交于点，如图①所示：
∵，
，
∴由折叠可知：，
∴，
∴完美矩形的面积为：；
【小问2详解】
解：由折叠可得：，，，，
∴，
∴，
∴，
∴矩形的周长；
【小问3详解】
解：连接，如图所示：
由折叠可得：点和分别是和的中点，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴设，则，
∵在中，，
∴，
解得：，
∴，，
∴矩形的周长．
26. 如图，平面直角坐标系中，把矩形沿对角线所在的直线折叠，点A落在点D处，与交于点E．的长满足式子．
（1）求点A，C坐标；
（2）求出点E的坐标和直线的函数解析式；
（3）F是x轴上一点，在坐标平面内是否存在点P，使以O，B，P，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），
（2），
（3）存在，或或或
【解析】
【分析】（1）利用绝对值及算术平方根的非负性求解；
（2）根据折叠、平行的性质可证，设，则，用勾股定理解，求出x的值即可得到点E的坐标；利用待定系数法求直线的函数解析式；
（3）分三种情况：为边，为对角线；为边，为对角线；为对角线，分别求解即可．
【小问1详解】
解：，
，，
，（负值舍去），
，；
【小问2详解】
解：矩形中，
，
由折叠得，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得，
点E的坐标为，
设直线的函数解析式为，
将，代入，得：，
解得，
直线的函数解析式为；
【小问3详解】
解：存在，点P的坐标为或或或．
矩形中，，
，
，
当以O，B，P，F为顶点的四边形为菱形时，存在四种情况，如图：
当为边，为对角线时，,
当点P在点B左侧时，如所示，点坐标为，
当点P在点B右侧时，如所示，点坐标为；
当为边，为对角线时，点P与点B关于x轴对称，如所示，点坐标为；
当为对角线时，如所示，
设，则，
在中，，即，
解得，
可得点坐标为，即，
综上可知，点P的坐标为或或或．
【点睛】本题考查坐标与图形，非负数的性质，矩形的性质，菱形的性质，折叠的性质，勾股定理，求一次函数解析式等，注意数形结合及分类讨论是解题的关键．
…
…
…
…
…
0
1
…
…
3
0
…
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
84
a
90
八年级
84
87
b