河南省信阳市平桥区2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．
祝考试顺利
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1. 的算术平方根是（ ）
A. 3B. C. D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】根据算术平方根的定义即可求解．
【详解】解：3的算术平方根是，
故选：B．
【点睛】本题考查算术平方根，掌握算术平方根的定义是解题的关键．
2. 在实数，，，0，，中，无理数的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数；②含π的代数式；③无限且不循环的小数，进行判断即可得到答案.
【详解】解：∵是分数，，0和是整数，都属于有理数，，和都属于无理数，
∴无理数的个数是3个，
故选：C.
【点睛】本题主要考查了无理数的定义，熟记无理数的三种形式是解题的关键.
3. 光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，当∠1=45°，∠2=122°时，∠3和∠4的度数分别是（ ）
A. 58°，122°B. 45°，68°C. 45°，58°D. 45°，45°
【答案】C
【解析】
【分析】先根据EG∥FH得出∠3的度数，再由AB∥CD得出∠ECD的度数，根据CE∥DF即可得出结论．
【详解】∵EG∥FH，∠1=45°，
∴∠3=∠1=45°．
∵AB∥CD，∠2=122°，
∴∠ECD=180°﹣122°=58°．
∵CE∥DF，
∴∠4=∠ECD=58°．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补．
4. 如图，若在象棋盘上建立平面直角坐标系，使棋子“车”的坐标为（﹣2，2），“马”的坐标为（1，2），则棋子“炮”的坐标为（ ）
A. （3，2）B. （3，1）C. （2，2）D. （﹣2，2）
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用已知点坐标建立平面直角坐标系进而得出答案．
【详解】解：如图所示：
棋子“炮”的坐标为（3，1）．
故选：B．
【点睛】本题主要考查点的坐标，根据题意建立平面直角坐标系是关键．
5. 在平面直角坐标系中，点一定在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查点横纵坐标与所在象限的关系，判定点P的横纵坐标的符号即可得解．
【详解】∵，，，
∴点一定在第四象限，
故选：D．
6. 绝对值小于的整数的个数是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查实数的估算，解题的关键是熟知实数的估算方法．
先估算的大小，再根据绝对值的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴绝对值小于的整数有0，，，共5个，
故选：D．
7. 下列命题中，是真命题的是（ ）
A. 邻补角是互补的角B. 相等的角是对顶角C. 同旁内角互补D. 负数没有立方根
【答案】A
【解析】
【分析】根据邻补角的概念、对顶角的性质、平行线的性质以及立方根的概念判断即可．
【详解】解：A、邻补角是互补的角，是真命题，符合题意；
B、相等的角不一定是对顶角，故本选项说法是假命题，不符合题意；
C、两直线平行，同旁内角互补，故本选项说法是假命题，不符合题意；
D、负数有立方根，故本选项说法是假命题，不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查了邻补角的概念、对顶角的性质、平行线的性质以及立方根，熟练掌握相关基础知识是解题的关键．
8. 如图，下列四个条件中能判定的有（ ）
①；②；③；④
A. ①④B. ②③C. ①②③D. ①③④
【答案】A
【解析】
【分析】运用平行线的判定定理逐项分析即可解答．
【详解】解：①是被直线所截内错角，故可说明，即①满足题意；
②是被直线所截的内错角，故可说明，即②不满足题意；
③是被直线所截的同位角，故可说明，即③不满足题意；
④是被直线所截的同旁内角，故可说明，即①满足题意
．
故选A．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定定理，灵活运用平行线的判定定理以及三线八角是解答本题的关键．
9. 在平面直角坐标系中，点A位于第二象限，距离x轴1个单位长度，距y轴4个单位长度，则点A的坐标为（ ）
A. （1，4）B. （-4，1）C. （-1，4）D. （4，-1）
【答案】B
【解析】
【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度求出点A的横坐标与纵坐标，然后写出即可．
【详解】解：∵点A位于第二象限，距离x轴1个单位长度，距离y轴4个单位长度，
∴点A的横坐标为-4，纵坐标为1，
∴点A的坐标为（-4，1）．
故选：B．
【点睛】本题考查了点坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键．
10. 如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第次从原点运动到点，第次接着运动到点，第次接着运动到点，…，按这样的运动规律，经过第次运动后，动点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题是平面直角坐标系下的坐标规律探究题，解答关键是利用数形结合解决问题．分析点的运动规律找到循环规律即可．
【详解】解：点坐标运动规律可以看做每运动四次一个循环，每个循环向右移动个单位，
因为
所以，前次循环运动点共向右运动个单位，剩余一次运动向右走个单位，且纵坐标为．
故点坐标为
故选：C．
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11. 比较大小：___________（“>”“=”或“<”）．
【答案】
【解析】
【分析】先估算的大小，然后根据两个负数的大小比较即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，估算出的大小是解题的关键．
12. 若是整数，则正整数的最小值是______．
【答案】4
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件和m为正整数，得出，即可得出m的值．
【详解】解：∵有意义，
∴，解得：，
∵m是正整数，
∴，
∴，
∵整数，
∴，
解得：，
∴正整数的最小值是4，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式被开方数为非负数．
13. 如图，已知，，，则__________度．
【答案】80
【解析】
【分析】此题考查了平行线的性质与平角的定义．此题比较简单，注意掌握两直线平行，同位角相等定理的应用．
由，，根据两直线平行，同位角相等，即可求得的度数，又由平角的定义，即可求得的度数．
【详解】解：如图，
，，
，
，
．
故答案为：．
14. 如图，，且，，，则点到的距离是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了三角形的面积以及距离，根据三角形的面积列式子，得出，再结合等面积法列式代入数值，进行计算即可．
【详解】解：如图：过点C作
∵，，，
∴，
∵，
，
解得，
∴点到的距离是，
故答案为：．
15. 如图，图1是的一张纸条，按图1→图2→图3，把这一纸条先沿折叠并压平，再沿折叠并压平，若图3中，则图2中的度数为__________．
【答案】##度
【解析】
【分析】如图，设，根据折叠的性质得，，则，再由第2次折叠得到，于是利用平角定义可计算出，接着根据平行线的性质得，所以．
【详解】解：如图，设，
∵纸条沿折叠，
∴，，
∴，
∵纸条沿折叠，
∴，
而，
∴，解得，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．解决本题的关键是画出折叠前后得图形．
三、解答题（共8小题，共75分）
16. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的运算：
（1）先计算立方根，再去绝对值和小括号，最后计算加减法即可；
（2）先计算算术平方根，再根据分配律去小括号，再计算加减法即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
．
17. 如图，为直线外一点．
（1）根据下列语句作图（用三角板和直尺）：
①过点作，垂足为；
②过点作直线；
（2）在（1）中，若直线上一点（C在点的左侧），，求的度数．
【答案】（1）①见详解；②见详解
（2）的度数为或
【解析】
【分析】本题考查了作图---作垂线，平行线，平行线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）根据几何语言画出对应几何图形即可；
（2）分两种情况讨论，根据平行线的性质即可求解．
【小问1详解】
解：①如图，即为所作；
②如图，为所作；
图1 图2
【小问2详解】
解：
图1 图2
如图1，
，
，
如图2，
，
∴，
，
综上所述，的度数为或．
18. 如图，直线与相交于点O，是的平分线，且．
（1）若，则______，_______；（用含x的式子表示）
（2）求的度数；
（3）若试判断与位置关系，并说明理由．
【答案】（1），
（2）
（3）垂直，见解析
【解析】
【分析】（1）根据求解即可；
（2）根据以及与互补可求出度数，最后根据对顶角的性质求解即可；
（2）根据角平分线的定义求出的度数，结合求出的度数，即可求解．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴．
又∵﹐
∴．
【小问3详解】
解：．
理由如下：由（2）可知，．
∵是的平分线，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了垂线的定义，几何图形中角度的计算，对顶角相等等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
19. 小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，她不知能否裁得出来，正在发愁.小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请你通过计算说明理由：
【答案】不能同意小明的说法．小丽不能用这块正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片，理由见解析
【解析】
【分析】先求得正方形的边长，然后设长方形的边长为，，然后依据矩形的面积为列方程求得x的值，从而得到矩形的边长，从而可作出判断．
【详解】解:设长方形纸片的长为宽为．
根据边长与面积的关系得
长方形纸片的长为
长方形纸片的长大于正方形纸片的边长
不能裁出．
答:不能同意小明的说法．小丽不能用这块正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片．
【点睛】本题主要考查的是算术平方根的估算，一元二次方程的应用．熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键．
20. 已知点，解答下列各题．
（1）点P在y轴上，求出点P的坐标；
（2）点Q的坐标为，直线轴；求出点P的坐标；
（3）若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求的立方根．
【答案】（1）
（2）
（3）1．
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形性质及立方根，熟知坐标轴上的点及平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征，是解答本题的关键．
（1）根据在轴上的点横坐标为0，得到，解出的值，由此得到答案．
（2）根据直线轴，得到，解出的值，由此得到答案．
（3）根据点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，得到，，故，解出的值，由此得到答案．
【小问1详解】
解：∵点在轴上，
，
解得：，
∴，
点的坐标为．
【小问2详解】
解：直线轴，
直线上所有点的横坐标都相等，
，
解得：，
∴，
∴点的坐标为．
【小问3详解】
解：点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，
，，，
∴，
解得：，
∴，
，
的立方根是．
21. 我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）求．
①由，，可以确定是 位数；
②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是 ；
③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，可以确定的十位上的数是 ，由此求得 ．
（2）请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空：
① ，② ．
【答案】（1）①两；②9；③3；39
（2）①；②0.81
【解析】
【分析】本题主要考查了立方根的概念的运用，解题关键在于比较立方根的大小．
通过比较立方根的大小，即可得出答案．
【小问1详解】
解：①，，，
，
是两位数，
故答案为：两；
②的个位上的数是9，而，
个位上都是9，
的个位上的数是9，
故答案为9；
③，，，
的十位上的数是3，
又的个位上的数是9，
，
故答案为：3，39；
【小问2详解】
解：①的立方根是负数，
，，，
，
是两位数，
∵的前三位为117，后三位为649，，，
，
十位上的数为4，
∵的个位上的数是9，而，
个位上是9，
∴的立方根为49，
∴；
②∵，
∵，，，
，
是两位数，
∵的前三位为531，后三位为441，而，
∴，
∴十位数为8，
∵，
∴个位数是1，
∴531441的立方根为81，
∴，
故答案为：，0.81．
22. 如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别为，，．若三角形ABC中任意一点，平移后对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形，点A，B，C的对应点分别为，，．

（1）在图中画出平移后的三角形；
（2）三角形的面积为___________；
（3）点Q为y轴上一动点，当三角形的面积是3时，直接写出点Q的坐标．
【答案】（1）见详解 （2）7
（3）或
【解析】
【分析】（1）由点的对应点坐标知，需将三角形向左平移1单位、向上平移3单位，然后运用此平移方式即可解答；
（2）利用割补法求解可得答案；
（3）设点Q的坐标为，则，然后用三角形的面积公式列关于a的方程求解即可．
【小问1详解】
解：∵三角形ABC中任意一点，经平移后对应点
∴三角形向左平移1单位、向上平移3单位
∴据此平移方式作图如下：

即为所求；
【小问2详解】
解：的面积；
【小问3详解】
解：设点Q的坐标为，则，
∴三角形的面积为，
解得：或5，
∴点Q坐标为或．
【点睛】本题主要考查了平移作图，坐标与图形，关键是正确确定组成图形的关键点平移后的位置．
23. 课题学习：平行线问题中的转化思想．
【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”．与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，且都分布在“第三条直线”的两旁，当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整，将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想．有这样一道典型问题：
例题：如图1，已知，点在直线AB、CD之间，探究与、之间的关系．
解：过点作．
∵，，
∴，
，，
，
．
【学以致用】
（1）如图1，若，时， °．
（2）如图2，已知，若，，求出的度数．
【拓展运用】
（3）善于思考的南南同学猜想：将图1的部分与图2重合如图3，不变，当AF，CF分别平分和时，出与之间也存在着某种数量关系．请写出出与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）；（2）的度为；（3），理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质及判定，熟练掌握平行线的性质及判定是解题的关键．
（1）由阅读理解可知：，从而代入数据求解即可；
（2）过点作，得，从而得，，进而求得，从而即可得解；
（3）由（1）、（2）的结论得出：，，再根据角平分线的定义得，，代入即可得解．
【详解】解：（1）由阅读理解可知：．
∵，，
∴
故答案为：；
（2）过点作，如图：
，，
，
，，
又，，
，，
，
答：的度为；
（3）
理由如下：由（1）、（2）的结论得出：
，，
平分和，
，，
，
∴．