甘肃省白银市2024届九年级下学期第一次诊断考试数学试卷(含解析)

这是一份甘肃省白银市2024届九年级下学期第一次诊断考试数学试卷(含解析)，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，将此选项的代号填入题后的括号内）
1. 下列四个数中，绝对值最大的数是（ ）
A. B. C. 0D.
2. 将一副直角三角尺按如图所示的不同方式摆放，则图中与相等的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 计算：（ ）
A. B. C. D.
4. 若点（m，n）在函数y=2x+1的图象上，则2m﹣n的值是（ ）
A. 2B. ﹣2C. 1D. ﹣1
5. △ABC∽△A′B′C′，已知AB＝5，A′B′＝6，△ABC面积为10，那么另一个三角形的面积为( )
A. 15B. 14.4C. 12D. 10.8
6. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，，垂足为，若，则的大小为（ ）
A. 75°B. 65°C. 55°D. 50°
7. 如图，的直径，，则弦的长为（ ）
A. 3B. C. 6D.
8. 电影《长津湖》上映以来，全国票房连创佳绩，据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作，则方程可以列为（ ）
A. B.
C D.
9. 一次函数y=bx+a与二次函数y=ax2+bx+c(a0)在同一坐标系中的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC=90°，P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度，按A→B→C→D的顺序在边上匀速运动，设点P的运动时间为t秒，△PAD的面积为S，S关于t的函数图象如图2所示，当P运动到BC中点时，△PAD的面积为（ ）

A. 4B. 8C. 6D. 5
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案写在题中的横线上．
11. 分解因式：__________．
12. “2001年4月1日，王伟驾驶编号81192战机，面对美国侦察机的侵犯，用生命勇敢捍卫祖国南海领空，22年过去了，我们不会忘记，81192，收到请返航！”为了了解荣成市中学生对该历史事件的知晓情况，分别做了下列三种不同的抽样调查：①随机调查了荣成市1000名初三学生对该历史事件的知晓情况；②调查了荣成市实验中学全体学生对该历史事件的知晓情况；③利用荣成市学籍库随机调查了10%的中学生对该历史事件的知晓情况，你认为抽样最合理的是_______（填序号）．
13. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是________．
14. 如图，在中，为直径，C为圆上一点，的角平分线与交于点D，若，则______°．

15. 如图，正方形的对角线与相交于点O，的平分线分别交于M、N两点，若，则正方形的边长为_____.

16. 抖空竹在我国有着悠久历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，分别与相切于点C，D，延长交于点P．若，的半径为，则图中的长为________．（结果保留）
三、解答题：本大题共6小题，共44分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：．
18. 解不等式组：．
19. 已知x是一元二次方程x2－2x＋1＝0的根，求代数式的值．
20. 如图，A、B、C三点表示三个工厂，要建立一个供水站，使它到这三个工厂的距离相等，求作供水站的位置(不写作法，尺规作图，保留作图痕迹)．
21. 有红、黄两个盒子，红盒子中装有编号分别为1、2、3、5的四个红球，黄盒子中装有编号为1、2、3的三个黄球．甲、乙两人玩摸球游戏，游戏规则为：甲从红盒子中每次摸出一个小球，乙从黄盒子中每次摸出一个小球，若两球编号之和为奇数，则甲胜，否则乙胜．
（1）试用列表或画树状图的方法，求甲获胜的概率；
（2）请问这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，试改动红盒子中的一个小球的编号，使游戏规则公平．
22. 如图是一个亭子的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是亭子的高AB所在的直线．为了测量亭子的高度，在地面上C点测得亭子顶端A的仰角为35°，此时地面上C点、亭檐上E点、亭顶上A点三点恰好共线，继续向亭子方向走8m到达点D时，又测得亭檐E点的仰角为60°，亭子的顶层横梁EF＝12m，EF∥CB，AB交EF于点G（点C，D，B在同一水平线上）．求亭子的高AB（结果精确到0.1m）．
（参考数据：sin35°≈0.6，cs35°≈0.8，tan35°≈0.7，≈1.7）
四、解答题：本大题共5小题，共52分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
23. 某学校组建了演讲、舞蹈、航模、合唱、机器人五个社团，全校3000名学生每人都参加且只参加了其中一个社闭的活动，校团委从这3000名学生中随机选取部分学生进行了参加活动情况的调查，并将调查结果绘制了如图不完整的统计图，请根据统计图完成下列问题．
（1）参加本次调查有________名学生；请你补全条形图；
（2）在扇形图中，表示机器人扇形的圆心角的度数为________度；
（3）根据调查数据分析，全校大概会有名学生参加了合唱社团．
24. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A、B两点，过点B作轴，垂足为C，连接，已知点A的坐标是，．

（1）求反比例函数与一次函数的关系式．
（2）根据图象，直接写出不符式的解集．
（3）点P为反比例函数在第一象限图象上的一点，若，直接写出点P的坐标．
25. 如图，以的边AB为直径作，交BC于点D，点E是弧BD的中点，连接AE与BC交于点F，．
（1）求证：AC是切线：
（2）若，，求BF的长．
26. 已知正方形，，为平面内两点．
探究建模
（1）如图1，当点在边上时，，且，，三点共线．求证：；
类比应用
（2）如图2，当点在正方形外部时，，，且，，三点共线．猜想并证明线段，，之间的数量关系；
拓展迁移
（3）如图3，当点在正方形外部时，，，，且，，三点共线，与交于点．若，，求的长．
27. 如图1，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P、Q为直线下方抛物线上两点，点Q的横坐标比点P的横坐标大1，过点P作轴，交于点M，过点Q作轴交于点N，求的最大值及此时点Q的坐标；
（3）如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B、C、D、E为顶点的四边形是矩形，且为矩形一边，求出此时所有满足条件的点E的坐标．
数学答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，将此选项的代号填入题后的括号内）
1. A
解析：，，
故选A．
2. C
解析：解：A、由图形得：，不合题意；
B、由图形得：，，可得，不合题意；
C、由图形可得：，符合题意；
D、由图形得：，可得，不合题意．
故选：C．
3. C
解析：解：．
故选：C．
4. D
解析：试题分析：将点（m，n）代入函数y=2x+1，得到m和n的关系式，再代入2m﹣n即可解答．
解：将点（m，n）代入函数y=2x+1得，
n=2m+1，
整理得，2m﹣n=﹣1．
故选D．
5. B
解析：解：∵△ABC∽△A′B′C′，AB＝5，A′B′＝6，
∴，
∵△ABC面积为10，
∴解得：S△A′B′C′＝14.4．
故选B．
6. B
解析：∵菱形中，对角线与相交于点，
∴AC⊥BD，∠ABO=∠CBO=∠ABC=∠ADC=×130°=65°，
∵，
∴∠AOE+∠BOE=∠OBE+∠BOE=90°，
∴．
故选：B．
7. A
解析：解：连接，，
，，
，，
是等边三角形；
．
故选：A
8. B
解析：解：设增长率记作，
由题意得，，
故选B．
9. C
解析：A. 由抛物线可知，a>0，x=− <0，得b<0，由直线可知，a>0，b>0，故本选项错误；
B. 由抛物线可知，a>0，x=−>0，得b<0，由直线可知，a>0，b>0，故本选项错误；
C. 由抛物线可知，a<0，x=−<0，得b<0，由直线可知，a<0，b<0，故本选项正确；
D. 由抛物线可知，a<0，x=−<0，得b<0，由直线可知，a<0，b>0，故本选项错误．
故选C.
10. D
解析：解：由图象知，AB+BC=6，AB+BC+CD=10，
∴CD=4，
当点P运动到点C时S最大，最大值为8，
即AD·CD=8，
∴AD=4，
当点P运动到B点时，S=2，
即AB·AD=2，
∴AB=1，
当P运动到BC中点时，S=×（AB+CD）×AD=5，
故答案为：D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案写在题中的横线上．
11.
解析：解：
故答案为：．
12.③
解析：解：随机调查了荣成市1000名初三学生对该历史事件的知晓情况；调查不具代表性，故①不合题意；
调查了荣成市实验中学全体学生对该历史事件的知晓情况；调查不具广泛性，故②不合题意；
利用荣成市学籍库随机调查了10%的中学生对该历史事件的知晓情况．调查具有广泛性、代表性，故③符合题意；
故答案为：③
13.
解析：解：关于的一元二次方程有实数根，
，
解得；
故答案：．
14. 35
解析：解：∵是的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵平分，
∴；
故答案为35．
15. ##
解析：解：过点作于点，如图所示．

∵四边形为正方形，
∴，，
平分，
．
在中，，
．
．
故答案为：．
16.
解析：连接OC、OD，
∵分别与相切于点C，D，
∴，
∵，，
∴，
∴的长=（cm），
故答案：．
三、解答题：本大题共6小题，共44分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17.
解析：解：
．
18.﹣1＜x≤2．
解析：
由①得x≤2；
由②得x＞﹣1；
故不等式组的解集为﹣1＜x≤2．
19.
解析：解：∵x2－2x＋1＝0，
∴x1＝x2＝1，
原式＝．
∴当x＝1时，原式＝．
20.见解析
解析：解：如图，分别作、的垂直平分线相交于点P，则点P即可所求．
21. (1);(2)不公平.
解析：解：（1）画树状图得：
∴一共有12种等可能的结果，两球编号之和为奇数有5种情况，
∴P（甲胜）≠P（乙胜），
∴这个游戏规则对甲、乙双方不公平；
将红盒子中装有编号分别为1、2、3、5的四个红球，改为1、2、3、4的四个红球即可．
22.亭子的高AB约为
解析：∵房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线，EF∥BC，
∴AG⊥EF，，∠AEG＝∠ACB＝35°，
在Rt△AGE中，∠AGE＝90°，∠AEG＝35°，
∵tan∠AEG＝tan35°＝，EG＝6，
∴AG≈6×0.7＝4.2（m），
过E作EH⊥CB于H，则可得四边形BGEH是矩形，
∴BG=EH．
设EH＝BG=x，
在Rt△EDH中，∠EHD＝90°，∠EDH＝60°，
∵tan∠EDH＝，
∴DH＝，
在Rt△ECH中，∠EHC＝90°，∠ECH＝35°，
∵tan∠ECH＝，
∴CH＝，
∵CH﹣DH＝CD＝8m，
∴﹣＝8，
解得：x≈9.52，
∴AB＝AG+BG＝13.72≈13.7(m），
答：亭子的高AB约为13.7m．
四、解答题：本大题共5小题，共52分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
23.（1）500，图见解析
（2）54 （3）1200名
小问1解析：
参加本次调查的学生有：名；
参加舞蹈的有：名，
参加航模的有：名，
参加机器人的有：名；
如图所示，
小问2解析：
，
∴在扇形图中，表示机器人扇形的圆心角的度数为54度；
小问3解析：
名，
答：校共有1200名学生参加了合唱社团．
24.（1）， （2）或 （3）
小问1解析：
解：∵反比例函数过点，
∴，
∴反比例函数的关系式为，
∵，
∴B的纵坐标为，
当时，，
解得，
∴，
∵，两点在上，
解得：
∴一次函数的关系式为．
小问2解析：
解：根据函数图象得，或．
小问3解析：
解：设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
，
∵点P为反比例函数在第一象限图象上的一点
∴，
，
∴．
25.（1）证明见解析 （2）
小问1解析：
证明：连接AD．
∵E是弧BD的中点，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵AB为⊙O直径，
∴，
∴．
∴．
∴AC是⊙O的切线；
小问2解析：
解：过点F作FG⊥AB于点G．
∵，
∴，
在中，，，
即，
解得，．
26.（1）见解析；（2）；理由见解析（3）
解析：解：（1）∵四边形是正方形，，，三点共线，
∴,
∵，
∴，
∴,
在和中，
,
∴,
∴;
（2）∵，四边形是正方形，
∴,,
∴,
∵，，
∴,
∴,
在和中，
,
∴,
∴,
∴为等腰直角三角形，
∴,
即；
（3）过点D作于点H，连接BD，
∵，
∵，
∴，
∵,
∴，
在和中，
,
∴,
∴，，
∵且
∴为等腰直角三角形，
∴，
在中，,
∴,
∵是正方对角线，
∴,
∵
∴,
∴为等腰直角三角形，
∴,
∴在中，,
∴．
27.（1） （2）， （3）或
小问1解析：
解：把和代入，得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
小问2解析：
解：抛物线（）与y轴交于点C，令，则，
∴C点的坐标为，设直线的解析式为，把B、C点的坐标代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
点P、Q为直线下方抛物线上的两点，设，则，
∴，，
∴，，
∴，
当时，，
∴；
小问3解析：
解：由题意可得：，
∴的对称轴为，
∴抛物线与y轴交于点C．
∴，
∵，
∴，，
当为矩形一边时，且点D在x轴的下方，过D作，如图所示：
∵D在的对称轴为，
∴，
∴，，即点，
∴点C向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点D，则点B向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到；
当为矩形一边时，且点D在x轴的上方，如图所示：

设的对称轴为与x轴交于F，
∵D在的对称轴为，
∴，
∴，
∵，即，
∴，即点，
∴点B向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点D，则点C向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点；
综上分析可知，点E的坐标为：或．