2023年甘肃省白银市九年级第二次诊断考试试题数学试卷（含答案）

白银市2023年九年级第二次诊断考试试题

数学试卷

注意事项：

1．全卷满分150分，答题时间为120分钟。

2．请将各题答案填写在答题卡上。

一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项．

1．在实数－3，5，－2，0，2中，最小的数是（    ）

A．－3.5 B．－2 C．0 D．2

2．下列计算正确的是（    ）

A． B． C． D．

3．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

4．已知是方程组的解，则a－b的值是（    ）

A．－1 B．2 C．3 D．4

5．下面命题正确的是（    ）

A．矩形对角线互相垂直

B．方程的解为

C．六边形内角和为540°

D．一对直角三角形，有一组斜边和直角边对应相等，则这两个直角三角形全等

6．如图，在中，点D在边AB上，BD＝2AD，交AC于点E，若线段DE＝4，则线段BC的长为（    ）

A．7.5 B．10 C．12 D．15

7．把不等式组中每个不等式的解集在同一个数轴上表示出来，正确的是（    ）

A． B． C． D．

8．如图，在⊙O中，AB为弦，OD⊥AB于点D，∠BOD＝53°，过点A作⊙O的切线、交OD的延长线于点C，则∠C＝（    ）

A．27° B．37° C．43° D．53°

9．如图，这是一农村民居侧面截图，屋坡AF，AG分别架在墙体的点B，C处，且AB＝AC，侧面四边形BDEC为矩形．若测得∠FBD＝55°，则∠A＝（    ）

A．70° B．110° C．125° D．135°

10．如图，正方形ABCD的边长为2 cm，动点P，Q同时从点A出发，在正方形的边上分别按A→D→C，A→B→C的方向，都以1 cm/s的速度运动，到达点C运动终止，连接PQ，设运动时间为x s，的面积为y cm2，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．

11．化简的结果是______．

12．分解因式：______．

13．如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2＝40°时，∠1＝______．

14．某公司10名职工的3月份工资统计如下，该公司10名职工3月份工资的中位数是______元．

15．若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是______．

16．已知点，，；都在反比例函数（m为常数，且m≠0）的图象上，则，，的大小关系是______．

17．如图，这是某风景区的一个圆形拱门，路面宽AB为2 m，净高CD为5 m，则圆形拱门所在圆的半径为______m．

18．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝8，，则线段AB的长为______．

三、解答题（一）：本大题共5小题，共38分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．

19．（6分）解方程：．

20．（6分）化简：．

21．（8分）如图，在中，AB＝AC．

（1）尺规作图：在BC边上求一点P，使得PA＝PC．（保留作图痕迹，不写作法）

（2）求证：．

22．（8分）如图，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M处观测到灯塔P在其南偏西22°方向上，航行2小时后到达N处，观测到灯塔P在其南偏西44°方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近的位置，求此时轮船离灯塔的距离（由科学计算器得到，，，）．

23．（10分）为落实国家“双减”政策，某学校在课后服务活动中开设了A书法、B剪纸、C足球、D乒乓球这四门课程供学生选择，每门课程被选到的机会均等．

（1）小军选择的课程是篮球这一事件是______；

A．随机事件 B．必然事件 C．不可能事件

（2）若小军和小贤两位同学各计划选修自己喜欢的一门课程，请用列表法或画树状图法求他们两人恰好同时选修球类课程的概率．

四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．

24．（8分）为了解同学们每月零花钱的数额，校园小记者随机调查了本校部分同学，根据调查结果，绘制出了如下两个尚不完整的统计图表．

调查结果统计表

请根据以上图表，解答下列问题：

（1）这次被调查的同学共有______人，a＋b＝______，m%＝______%；

（2）求扇形统计图中扇形C的圆心角的度数；

（3）若该校共有学生1000人，请估计每月零花钱的数额x元在30≤x＜90范围的人数．

25．（10分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点A（4，3），与y轴的负半轴交于点B，且OA＝OB．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；

（2）请写出不等式的解集．

26．（10分）如图，在中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC于点F．

（1）求证：DF是⊙O的切线．

（2）若⊙O的半径为4，∠CDF＝22.5°，求阴影部分的面积．

27．（10分）如图，在中，∠ACB＝45°，AE⊥BC于点E，过点C作CF⊥AB于点F，交AE于点M点N在边BC上，且AM＝CN，连接DN．延长AD到点G，使DG＝NC，连接CG．

（1）求证：AB＝CM．

（2）试判断的形状，并说明理由．

（3）若，，则DN＝______．

28．（12分）如图，过点的抛物线的对称轴是直线x＝2，点B是抛物线与x轴的一个交点，点C在y轴上，点D是抛物线的顶点，设点P在直线OA下方且在抛物线上，过点P作y轴的平行线交OA于点Q．

（1）求a、b的值．

（2）求PQ的最大值．

（3）当是直角三角形时，求的面积．

白银市2023年九年级第二次诊断考试试题

数学试卷参考答案

1．A   2．C   3．C   4．D   5．D   6．C   7．B   8．B   9．B   10．A

11．2   12．   13．50°   14．5400   15．   16．   17．2.6   18.5

19．解：，

移项得，

∴，∴或，

∴，．

20．解：原式

．

21．解：（1）如图．

（2）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，

∵PA＝PC，∴∠C＝∠PAC，∴∠PAC＝∠B，

又∵∠C＝∠C，∴．

22．解：如图，过点P作PA⊥MN于点A，MN＝30×2＝60（海里），

∵∠PMA＝22°，∠PNA＝44°，∠PNA＝∠PMA＋∠MPN．

∴∠MPN＝∠PNA－∠PMA＝44°－22°＝22°．

∴∠PMN＝∠MPN，∴MN＝PN＝60海里．

∵∠PNA＝44°，

∴（海里）．

23．解：（1）C；

（2）画树状图如图：

共有16种等可能的结果数，其中两人恰好同时选修球类的有4种，

则两人恰好同时选修球类的概率是．

24．解：（1）50；28；8．

（2）总人数是16÷32%＝50，D组的人数有50×16%＝8，

则C组的人数有，

扇形统计图中扇形C的圆心角度数是．

（3）每月零花钱的数额x元在30≤x＜90范围的人数是．

25．解：（1）∵点A（4，3）在反比例函数的图象上，

∴．

∴反比例函数的解析式为；

∵，OA＝OB，点B在y轴负半轴上，

∴点，

把点A（4，3）、代入中，

得．解得，

∴一次函数的解析式为．

（2）由不等式知，

反比例函数值大于一次函数值且都大于0，

∵，令y＝0，则x＝2.5，∴如图，点D（2.5，0）．

由图象知反比例函数图象在一次函数图象的上方在点A（4，3）的左侧，

∴不等式的解集为2.5＜x＜4．

26．解：（1）证明：如图，连接OD，AD，

∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC，

又∵AB＝AC，∴D是BC的中点，

∵OA＝OB，∴OD是的中位线，∴．

∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∴DF是⊙O的切线．

（2）∵∠CDF＝22.5°，DF⊥AC，∴∠C＝67.5°，

∴∠BAC＝2∠DAC＝45°．

连接OE，则∠BOE＝2∠BAC＝90°，∴∠AOE＝90°，

∴．

27．解：（1）证明：∵CF⊥AB，AE⊥BC，∴∠CFB＝90°＝∠AEB＝∠CEA．

∴∠BAE＝∠MCE，

在中，∵∠ACB＝45°，∴AE＝EC．

在和中，，

∴，∴AB＝CM．

（2）是等腰直角三角形．

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，．

由AM＝CN，DG＝NC，知AM＝DG．

由知，∠B＝∠CME，

∴∠ADC＝∠CME，∴∠AMC＝∠CDG．

由AB＝CM，AB＝CD，知CM＝CD．

∴，∴∠G＝∠MAC＝45°．

∵，∴∠DAC＝∠ACB＝45°，

∴是等腰直角三角形．

（3）4．

提示：由（2）知，，，．

即，解得DN＝4．

28．解：（1）∵过点的抛物线的对称轴是直线x＝2，

∴，解得．

（2）设直线过点，可得直线．

由（1）可得抛物线，

∴，

∴当时，PQ最大，最大值为．

（3）设点C的坐标是（0，m）．由（1）可得抛物线，

∴抛物线的顶点D的坐标是（2，－3），点B的坐标是（4，0）．

当∠CBD＝90°时，有．

∴，解得，

∴．

当∠CDB＝90°时，有．

∴，解得，

∴．

当∠BCD＝90°时，有．

∴，此方程无解．

综上所述，当为直角三角形时，的面积是中或．