数学必修 第三册7.2.4 诱导公式巩固练习

这是一份数学必修 第三册7.2.4 诱导公式巩固练习，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知sin(75°＋α)＝eq \f(1,3)，则cs(15°－α)的值为( )
A．－eq \f(1,3)B．eq \f(1,3)
C．－eq \f(2\r(2),3) D．eq \f(2\r(2),3)
B [因为(75°＋α)＋(15°－α)＝90°，
所以cs(15°－α)＝cs [90°－(75°＋α)]＝sin(75°＋α)＝eq \f(1,3)．]
2．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝eq \f(1,3)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，则tan α的值为( )
A．－2eq \r(2)B．2eq \r(2)
C．－eq \f(\r(2),4)D．eq \f(\r(2),4)
A [由已知得，cs α＝eq \f(1,3)，又α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，
所以sin α＝－eq \r(1－cs2α)＝－eq \r(1－\f(1,9))＝－eq \f(2\r(2),3)．因此，tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝－2eq \r(2)．]
3．已知f (sin x)＝cs 3x，则f (cs 10°)的值为( )
A．－eq \f(1,2) B．eq \f(1,2)
C．－eq \f(\r(3),2)D．eq \f(\r(3),2)
A [f (cs 10°)＝f (sin 80°)＝cs 240°＝cs(180°＋60°)＝－cs 60°＝－eq \f(1,2)．]
4．若sin(π＋α)＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝－m，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＋2sin(2π－α)的值为( )
A．－eq \f(2m,3)B．eq \f(2m,3)
C．－eq \f(3m,2)D．eq \f(3m,2)
C [因为sin(π＋α)＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝－sin α－sin α＝－m，
所以sin α＝eq \f(m,2)．故cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－eq \f(3,2)m．]
5．已知函数f(x) ＝cs eq \f(x,2)，则下列等式成立的是( )
A．f (2π－x)＝f(x) B．f (2π＋x)＝f(x)
C．f (－x)＝f(x) D．f (π－x)＝f(x)
C [函数f(x) ＝cs eq \f(x,2)，
故f (2π－x)＝cs eq \f(2π－x,2)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(x,2)))＝－cs eq \f(x,2)
＝－f(x) ，A错误；
f (2π＋x)＝cs eq \f(2π＋x,2)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(x,2)))＝－cs eq \f(x,2)
＝－f(x) ，B错误；
f (－x)＝cs eq \f(－x,2)＝cs eq \f(x,2)＝f(x) ，C正确；
f (π－x)＝cs eq \f(π－x,2)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(x,2)))＝sin eq \f(x,2)≠f(x) ，D错误．]
二、填空题
6．在△ABC中，eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－A))＝3sin (π－A)，且cs A＝－eq \r(3)cs (π－B)，则C＝________．
eq \f(π,2) [由题意得eq \r(3)cs A＝3sin A，①
cs A＝eq \r(3)cs B，②
由①得tan A＝eq \f(\r(3),3)，所以A＝eq \f(π,6)．
由②得cs B＝eq \f(cs \f(π,6),\r(3))＝eq \f(1,2)，所以B＝eq \f(π,3)．所以C＝eq \f(π,2)．]
7．若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))＝eq \f(3,5)，则cs2θ－sin2θ＝________．
－eq \f(7,25) [sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))＝cs θ＝eq \f(3,5)，从而sin2θ＝1－cs2θ＝eq \f(16,25)，所以cs2θ－sin2θ＝－eq \f(7,25)．]
8．sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－x))＋sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋x))＝________．
1 [因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－x))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋x))＝eq \f(π,2)，
所以sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－x))＋sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋x))
＝sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－x))＋cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－x))＝1．]
三、解答题
9．已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，求eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－α－\f(3π,2)))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)))·tan2(π－α)的值．
[解] 方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－eq \f(3,5)，x2＝2，
由α是第三象限角，得sin α＝－eq \f(3,5)，则cs α＝－eq \f(4,5)，
所以eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－α－\f(3π,2)))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)))·tan2(π－α)
＝eq \f(cs α－sin α,sin αcs α)·tan2α
＝－tan2α＝－eq \f(sin2α,cs2α)＝－eq \f(9,16)．
10．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)－α))·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5π,2)－α))＝eq \f(60,169)，且eq \f(π,4)<α[解] sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)－α))＝－cs α，
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5π,2)－α))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π＋\f(π,2)＋α))＝－sin α．
所以sin α·cs α＝eq \f(60,169)，
即2sin α·cs α＝eq \f(120,169)．①
又因为sin2α＋cs2α＝1，②
①＋②得(sin α＋cs α)2＝eq \f(289,169)，
②－①得(sin α－cs α)2＝eq \f(49,169)．
又因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，所以sin α>cs α>0，
即sin α＋cs α>0，sin α－cs α>0，
所以sin α＋cs α＝eq \f(17,13)，③
sin α－cs α＝eq \f(7,13)，④
③＋④得sin α＝eq \f(12,13)，③－④得cs α＝eq \f(5,13)．
11．已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋β))＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α＝( )
A．eq \f(3\r(5),5)B．eq \f(3\r(7),7)
C．eq \f(3\r(10),10) D．eq \f(1,3)
C [由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3sin β－2tan α＋5＝0，,tan α－6sin β－1＝0．))
消去sin β，得tan α＝3，
所以sin α＝3cs α，代入sin2α＋cs2α＝1，
化简得sin2α＝eq \f(9,10)，则sin α＝eq \f(3\r(10),10)(α为锐角)．]
12．(多选题)在△ABC中，下列关系恒成立的是( )
A．tan(A＋B)＝tan C
B．cs(2A＋2B)＝cs 2C
C．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(A＋B,2)))＝sin eq \f(C,2)
D．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(A＋B,2)))＝cs eq \f(C,2)
BD [A选项tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C，不正确；
B选项cs(2A＋2B)＝cs[2(π－C)]
＝cs(－2C)＝cs 2C，正确；
C选项sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(A＋B,2)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π－C,2)))＝cs eq \f(C,2)，不正确；
D选项sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(A＋B,2)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π－C,2)))＝cs eq \f(C,2)，正确．]
13．已知角α的终边经过点P(－4,3)，则tan α＝________，eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))sin－π－α,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9π,2)＋α)))＝________．
－eq \f(3,4) －eq \f(3,4) [因为角α的终边经过点P(－4,3)，
所以tan α＝eq \f(y,x)＝－eq \f(3,4)，
所以eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))sin－π－α,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9π,2)＋α)))
＝eq \f(－sin αsin α,－sin αcs α)
＝tan α＝－eq \f(3,4)．]
14．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)－α))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7π,2)＋α))＝eq \f(12,25)，且0<αeq \f(3,5) eq \f(4,5) [sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)－α))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7π,2)＋α))
＝－cs α·(－sin α)＝sin αcs α＝eq \f(12,25)．
因为0<α所以0又因为sin2α＋cs2α＝1，
所以sin α＝eq \f(3,5)，cs α＝eq \f(4,5)．]
15．已知sin α＝eq \f(2\r(5),5)，求tan(α＋π)＋eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)＋α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)－α)))的值．
[解] 因为sin α＝eq \f(2\r(5),5) >0，
所以α为第一或第二象限角．
tan(α＋π)＋eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)＋α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)－α)))＝tan α＋eq \f(cs α,sin α)＝eq \f(sin α,cs α)＋eq \f(cs α,sin α)＝eq \f(1,sin αcs α)．
①当α为第一象限角时，cs α＝eq \r(1－sin2α)＝eq \f(\r(5),5)，
原式＝eq \f(1,sin αcs α)＝eq \f(5,2)．
②当α为第二象限角时，cs α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(\r(5),5)，原式＝eq \f(1,sin αcs α)＝－eq \f(5,2)．
综合①②知，原式＝eq \f(5,2) 或－eq \f(5,2)．