人教B版 (2019)必修 第三册7.2.4 诱导公式当堂检测题

这是一份人教B版 (2019)必修 第三册7.2.4 诱导公式当堂检测题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知cs(π＋θ)＝eq \f(\r(3),6)，则cs θ＝( )
A．eq \f(\r(3),6) B．－eq \f(\r(3),6) C．eq \f(\r(33),6) D．－eq \f(\r(33),6)
B [因为cs(π＋θ)＝－cs θ＝eq \f(\r(3),6)，所以cs θ＝－eq \f(\r(3),6)．]
2．(多选题)下列各式正确的是( )
A．sin(α＋180°)＝－sin α
B．cs(－α＋β)＝－cs(α－β)
C．sin(－α－360°)＝－sin α
D．cs(－α－β)＝cs(α＋β)
ACD [sin(α＋180°)＝－sin α，cs(－α＋β)＝cs[－(α－β)]＝cs(α－β)，sin(－α－360°)＝－sin(α＋360°)＝－sin α，cs(－α－β)＝cs[－(α＋β)]＝cs(α＋β)．]
3．如图所示，角θ的终边与单位圆交于点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(5),5)，\f(2\r(5),5)))，则cs(π－θ)的值为( )
A．－eq \f(2\r(5),5)B．－eq \f(\r(5),5)
C．eq \f(\r(5),5)D．eq \f(2\r(5),5)
C [由题意可知cs θ＝－eq \f(\r(5),5)，cs (π－θ)＝－cs θ＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(5),5)))＝eq \f(\r(5),5)．故选C．]
4．若sin(π－α)＝lg8 eq \f(1,4)，且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，则cs(π＋α)的值为( )
A．eq \f(\r(5),3)B．－eq \f(\r(5),3)
C．±eq \f(\r(5),3)D．以上都不对
B [因为sin(π－α)＝sin α＝lg23 2－2＝－eq \f(2,3)，所以cs(π＋α)＝－cs α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \r(1－\f(4,9))＝－eq \f(\r(5),3)．]
5．下列化简正确的是( )
A．tan (π＋1)＝tan 1
B．eq \f(sin－α,tan360°－α)＝cs α
C．eq \f(csπ－αtan－π－α,sin2π－α)＝1
D．若θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，则eq \r(1＋2sinπ＋θcs2π－θ)＝sin θ－cs θ
ABD [由诱导公式易知A正确；
B正确，eq \f(sin－α,tan360°－α)＝eq \f(－sin α,－tan α)＝cs α；
C错误，eq \f(csπ－αtan－π－α,sin2π－α)＝eq \f(－cs α－tan α,－sin α)＝－1；
D正确，eq \r(1＋2sinπ＋θcs2π－θ)
＝eq \r(1－2sin θcs θ)，
＝eq \r(sin θ－cs θ2)＝|sin θ－cs θ|，
因为θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，所以sin θ>0，cs θ<0，
所以sin θ－cs θ>0，
所以eq \r(1＋2sinπ＋θcs2π－θ)＝sin θ－cs θ．]
二、填空题
6．求值：(1)cs eq \f(29π,6)＝______；(2)tan(－855°)＝________．
(1)－eq \f(\r(3),2) (2)1 [(1)cs eq \f(29π,6)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4π＋\f(5π,6)))＝cs eq \f(5π,6)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,6)))＝－cs eq \f(π,6)＝－eq \f(\r(3),2)．
(2)tan(－855°)＝－tan 855°＝－tan(2×360°＋135°)＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)
＝tan 45°＝1．]
7．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋θ))＝eq \f(\r(3),3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－θ))＝________．
－eq \f(\r(3),3) [因为eq \f(5π,6)－θ＋eq \f(π,6)＋θ＝π，所以eq \f(5π,6)－θ＝π－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋θ))，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－θ))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋θ))))
＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋θ))＝－eq \f(\r(3),3)．]
8．若tan(5π＋α)＝m，则eq \f(sinα－3π＋csπ－α,sin－α－csπ＋α) 的值为________．
eq \f(m＋1,m－1) [由tan(5π＋α)＝m，
得tan α＝m．
于是原式＝eq \f(－sin α－cs α,－sin α＋cs α)＝eq \f(tan α＋1,tan α－1)＝eq \f(m＋1,m－1)．]
三、解答题
9．化简下列各式．
(1)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(19,3)π))cs eq \f(7,6)π．
(2)sin(－960°)cs 1 470°－cs(－240°)sin(－210°)．
[解] (1)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(19,3)π))cs eq \f(7,6)π
＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6π＋\f(π,3)))·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(π,6)))
＝sin eq \f(π,3)cs eq \f(π,6)＝eq \f(3,4)．
(2)sin(－960°)cs 1 470°－cs(－240°)sin(－210°)
＝－sin(180°＋60°＋2×360°)cs(30°＋4×360°)＋cs(180°＋60°)sin(180°＋30°)＝sin 60°cs 30°＋cs 60°sin 30°＝1．
10．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－eq \r(2)sin(π－B)，eq \r(3)cs A＝－eq \r(2)cs(π－B)，求△ABC的三个内角．
[解] 由条件得sin A＝eq \r(2)sin B，eq \r(3)cs A＝eq \r(2)cs B，
平方相加得2cs2A＝1，cs A＝±eq \f(\r(2),2)，
又因为A∈(0，π)，
所以A＝eq \f(π,4)或eq \f(3,4)π．
当A＝eq \f(3,4)π时，cs B＝－eq \f(\r(3),2)<0，所以B∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，
所以A，B均为钝角，不合题意，舍去．
所以A＝eq \f(π,4)，cs B＝eq \f(\r(3),2)，所以B＝eq \f(π,6)，所以C＝eq \f(7,12)π．
综上所述，A＝eq \f(π,4)，B＝eq \f(π,6)，C＝eq \f(7,12)π．
11．(多选题)在△ABC中，给出下列四个选项中，结果为常数的是( )
A．sin(A＋B)＋sin C
B．cs(A＋B)＋cs C
C．sin(2A＋2B)＋sin 2C
D．cs(2A＋2B)＋cs 2C
BC [sin(A＋B)＋sin C＝2sin C；
cs(A＋B)＋cs C＝－cs C＋cs C＝0；
sin(2A＋2B)＋sin 2C＝sin[2(A＋B)]＋sin 2C
＝sin[2(π－C)]＋sin 2C＝sin(2π－2C)＋sin 2C
＝－sin 2C＋sin 2C＝0；
cs(2A＋2B)＋cs 2C＝cs[2(A＋B)]＋cs 2C
＝cs[2(π－C)]＋cs 2C＝cs(2π－2C)＋cs 2C
＝cs 2C＋cs 2C＝2cs 2C．故选BC．]
12．已知n为整数，则eq \f(sinnπ＋α,csnπ＋α)所得的结果是( )
A．tan nαB．－tan nα
C．tan αD．－tan α
C [当n＝2k，k∈Z时，
eq \f(sinnπ＋α,csnπ＋α)＝eq \f(sin2kπ＋α,cs2kπ＋α)＝eq \f(sin α,cs α)＝tan α；
当n＝2k＋1，k∈Z时，eq \f(sinnπ＋α,csnπ＋α)＝
eq \f(sin2kπ＋π＋α,cs2kπ＋π＋α)＝eq \f(sinπ＋α,csπ＋α)＝eq \f(－sin α,－cs α)＝tan α．]
13．已知cs(π＋α)＝－eq \f(3,5)，π<α<2π，则sin(α－3π)＋cs(α－π)＝________．
eq \f(1,5) [因为cs(π＋α)＝－cs α＝－eq \f(3,5)，所以cs α＝eq \f(3,5)，
因为π<α<2π，
所以eq \f(3π,2)<α<2π，
所以sin α＝－eq \f(4,5)．
所以sin(α－3π)＋cs(α－π)＝－sin(3π－α)＋cs(π－α)＝－sin(π－α)＋(－cs α)＝－sin α－cs α＝－(sin α＋cs α)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)＋\f(3,5)))＝eq \f(1,5)．]
14．已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin πx x<0，,fx－1－1 x>0，))则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(11,6)))＝________，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,6)))＝________．
eq \f(1,2) －eq \f(5,2) [因为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(11,6)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(11π,6)))
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2π＋\f(π,6)))＝sin eq \f(π,6)＝eq \f(1,2)，
f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,6)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,6)))－1＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,6)))－2＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))－2
＝－eq \f(1,2)－2＝－eq \f(5,2)．]
15．已知f(x) ＝eq \f(cs2nπ＋xsin2nπ－x,cs2[2n＋1π－x])(n∈Z)．
(1)化简f(x) 的表达式；
(2)求f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2 023π,3)))．
[解] (1)当n为偶数，即n＝2k(k∈Z)时，
f(x) ＝eq \f(cs22kπ＋x·sin22kπ－x,cs2[2×2k＋1π－x])
＝eq \f(cs2x·sin2－x,cs2π－x)＝eq \f(cs2x·－sin x2,－cs x2)＝sin2x；
当n为奇数，即n＝2k＋1(k∈Z)时，
f(x) ＝eq \f(cs2[2k＋1π＋x]·sin2[2k＋1π－x],cs2{[2×2k＋1＋1]π－x})
＝eq \f(cs2π＋x·sin2π－x,cs2π－x)＝eq \f(－cs x2sin2x,－cs x2)＝sin2x，
综上得f(x) ＝sin2x．
(2)由(1)知f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2 023π,3)))＝sin2eq \f(2 023π,3)＝sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(674π＋\f(π,3)))＝sin2eq \f(π,3)＝eq \f(3,4)．