河南省信阳市息县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

这是一份河南省信阳市息县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题，共20页。试卷主要包含了 如图，在中，，则的周长是， 陈老师在黑板上写了一个式子等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.本试卷共4页，三个大题，23个小题．满分120分，考试时间100分钟．
2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效．
一、选择题（每小题3分，共30分）在所给出的选项中，只有一项是正确的.
1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据最简二次根式是被开方数不含分母，被开方数不含开的尽方的因数或因式，可得答案．
【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意；
B、的被开方数含有开的尽的因数4，故不是最简二次根式，不符合题意；
C、的被开方数含有分母，故不是最简二次根式，不符合题意；
D、=，故不是最简二次根式，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查最简二次根式，熟知最简二次根式满足的条件是解答的关键．
2. 下列计算，正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式的运算法则逐个计算即可．
【详解】解：A、，所以A选项错误；
B、原式＝，所以B选项正确；试卷源自 每日更新，汇集全国来这里 全站资源一元不到！各地小初高最新试卷。C、原式＝，所以C选项错误；
D、原式＝，所以D选项错误．
故选B．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题关键是熟练掌握二次根式的运算法则，能够准确进行计算．
3. 如图，在中，，则的周长是（ ）
A. 20B. 25C. 28D. 32
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的对角线互相平分，求出的长，再根据周长公式，进行求解即可．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∴的周长是；
故选A．
4. 陈老师在黑板上写了一个式子：，“□”中的运算符号没有给出，如果要求运算结果是有理数，那么“□”中的运算符号可能是（ ）
A. 或B. 或C. 或D. -或
【答案】A
【解析】
【分析】将“”、“”、“”、“”代入计算，即可求解．
【详解】解：，是有理数，符合题意；
，是无理数，不符合题意，
，是有理数，符合题意；，是无理数，不符合题意，
故“□”中的运算符号可能是：或，
故选：A．
【点睛】本题考查二次根式运算，熟练掌握运算法则是解决问题的关键．
5. 在单位长度为1的正方形网格中，各三角形的顶点都在格点上，下面的三角形是直角三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查直角三角形的判定，先根据勾股定理求出各边长，再根据勾股定理逆定理进行判断即可
【详解】解：A、选项中的三角形三边长分别为，，3；而，
∴选项中的三角形不是直角三角形，故选项A不符合题意；
B、选项中的三角形三边长分别为，，；而，
∴选项中的三角形不是直角三角形，故选项B不符合题意；
C、选项中的三角形三边长分别为，，；而，
∴选项中的三角形是直角三角形，故选项C不符合题意；
D、选项中的三角形三边长分别为，，；而，
∴选项中的三角形不是直角三角形，故选项D不符合题意；
故选：C
6. 如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD⊥AB，垂足为D，AD＝1，则BD的长为( )
A. B. 2C. D. 3
【答案】C
【解析】
【详解】在△ABC中，∠A=45°，CD⊥AB
∴△ACD是等腰直角三角形
∴CD=AD=1
又∵∠B=30°
∴Rt△BCD中，BC=2CD=2
∴BD=
故选C．
7. 《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？”题意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的正中央有一根芦苇，高出水面部分为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的（如图），则水深和芦苇长各多少尺？若设这根芦苇的长度为x尺，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】在中，用勾股定理求解即可．【详解】解：设这根芦苇的长度为x尺，
由题意得：尺，尺，
∵水面是一个边长为10尺的正方形，芦苇在水池的正中央，
∴尺，
∴在中，由勾股定理得：，
即，
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理得应用，熟记公式是解题关键．
8. 如图，在中，点D在上，，于点M，N是的中点，连接，若，则为（ ）
A. 3B. 4C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查三线合一，三角形的中位线定理．根据三线合一，得到为的中点，进而得到，进行求解即可．
【详解】解：∵，于点M，
∴，
∵N是的中点，
∴；
故选D．
9. 顺次连接平面上A、B、C、D四点得到一个四边形，从①AB∥CD②BC=AD③∠A=∠C④∠B=∠D四个条件中任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况共有（ ）
A. 5种B. 4种C. 3种D. 1种
【答案】C
【解析】【分析】根据平行四边形的判定定理可得出答案．
【详解】当①③时，四边形ABCD为平行四边形；
当①④时，四边形ABCD平行四边形；
当③④时，四边形ABCD为平行四边形，
故选C．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
10. 如图，在中，，，，点为上任意一点，连结，以，为邻边作平行四边形，连结，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设PQ与AC交于点O，作⊥于，首先求出，当P与重合时，PQ的值最小，PQ的最小值=2．
【详解】设与AC交于点O，作⊥于，如图所示：
在Rt△ABC中，∠BAC=90，∠ACB=45，
∴，
∵四边形PAQC是平行四边形，
∴，
∵⊥，∠ACB=45，
∴，
当与重合时，OP的值最小，则PQ的值最小，
∴PQ的最小值故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质以及垂线段最短的性质，利用垂线段最短求线段的最小值是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 已知n是正整数，是整数，则n的最小值是_________．
【答案】3
【解析】
【分析】由n为正整数，也正整数，知3n是一个完全平方数，从而得出结果．
【详解】解：n为正整数，也是正整数，
则3n是一个完全平方数，
所以n的最小值是3．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，涉及的知识点：如果是正整数，那么a是一个完全平方数．
12. 若式子有意义，则的取值范围是______．
【答案】且
【解析】
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于，分母不等于，就可以求解．
【详解】解： 根据二次根式有意义，分式有意义
得：
解得：且．
故答案为：且．【点睛】本题考查了分式有意义，分母不为，解决本题的关键是掌握二次根式的被开方数是非负数．
13. 如图，将面积为7的正方形和面积为9的正方形分别绕原点O顺时针旋转，使，落在数轴上，点A，D在数轴上对应的数字分别为a，b，则______．

【答案】
【解析】
【分析】分别求出两个正方形的边长，从而得到a，b的值，代入计算即可．
【详解】∵正方形的面积为7，正方形的面积为9
∴，
即，
∴
故答案为：
【点睛】本题考查算术平方根的意义，在数轴上表示实数，正确求出算术平方根是解题的关键．
14. 如图，在中，，在同侧分别以为直径作三个半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，若，则阴影部分的面积为__________．
【答案】24
【解析】
【分析】本题考查勾股定理，利用勾股定理求出的长，利用三角形的面积加上两个小半圆的面积减去大半圆的面积进行求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，∴阴影部分的面积
；
故答案为：24．
15. 在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为，，若以O，A，P，B为顶点的四边形为平行四边形，则点P的坐标为______．
【答案】或或
【解析】
【分析】设，分三种情况①当为对角线时；②当为对角线时；③当为对角线时，利用平行四边形的对角线互相平分和中点坐标公式求解即可．
【详解】解：设，分三种情况：
①当为对角线时，则，，
解得，，
∴；
②当为对角线时，则，,
解得，，
∴；③当为对角线时，则，，
解得，，
∴，
综上，满足条件的点P坐标为或或，
故答案为：或或．
【点睛】本题考查坐标与图形、平行四边形的性质，中点坐标公式，解答的关键是熟练掌握平行四边形的性质和中点坐标公式：设，，则的中点坐标为．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. 计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
【答案】（1）20 （2）
（3）10 （4）
（5）
（6）
【解析】
【分析】本题考查二次根式的乘法、除法、乘除混合运算，以及二次根式的性质化简，熟练掌握二次根式相关运算法则是解题的关键．
（1）直接利用二次根式的性质化简计算得出答案；（2）直接化简二次根式进而计算得出答案；
（3）直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案；
（4）直接利用二次根式除法运算法则计算得出答案；
（5）直接利用二次根式的化简计算得出答案；
（6）直接利用二次根式的乘除混合运算法则计算得出答案．
【小问1详解】
解：；
【小问2详解】
解：；
【小问3详解】
解：；
【小问4详解】
解：；
【小问5详解】
解：；
【小问6详解】
解：．
17. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先将各个二次根式化简，再进行合并即可；（2）先根据完全平方公式和平方差公式展开，再合并即可．
【小问1详解】
解：原式
【小问2详解】
解：原式
．
【点睛】本题考查二次的加减及二次根式的混合运算，掌握二次根式混合运算法则是解题关键．
18. 如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1，小正方形的顶点称为格点，在正方形网格中分别画出下列图形：
(1)长为的线段PQ，其中P、Q都在格点上；
(2)面积为13的正方形ABCD，其中A、B、C、D都在格点上．

【答案】(1)见解析；(2)见解析.
【解析】
【分析】（1）由勾股定理可知当直角边为1和3时，则斜边为，由此可得线段PQ；
（2）由勾股定理可知当直角边为2和3时，则斜边为，把斜边作为正方形的边长即可得到面积为13的正方形ABCD．
【详解】(1)(2)如图所示：
【点睛】本题考查了勾股定理的运用，本题需仔细分析题意，结合图形，利用勾股定理即可解决问题．19. 如图，在平行四边形中，点E，F对角线上，且，连接、、、、求证：四边形是平行四边形．

【答案】证明见解析
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质，得到，，进而得到，即可证明四边形是平行四边形．
详解】证明：连接交于点O，

四边形为平行四边形，
，，
，
，
四边形为平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握相关性质与判定定理是解题关键．
20. 我国某巨型摩天轮的最低点距离地面，圆盘半径为．摩天轮的圆周上均匀地安装了若干个座舱（本题中将座舱视为圆周上的点），游客在距离地面最近的位置进舱．小明、小丽先后从摩天轮的底部入舱出发开始观光，当小明观光到点P时，小丽到点Q，此时，且小丽距离地面．
（1）与全等吗？为什么？
（2）求此时两人所在座舱距离地面的高度差．
【答案】（1），理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）分别证明，，即可利用证明；
（2）由全等三角形的性质可得，再根据线段之间的关系求出，进而利用勾股定理求出，则，由此可得两人所在座舱距离地面的高度差为．
【小问1详解】
解：，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴
【小问2详解】
解：∵，
∴，∵小丽到点Q，且小丽距离地面，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴两人所在座舱距离地面的高度差为．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．
21. 要证明一个几何命题，一般要经历以下步骤：

试按照以上步骤证明：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
已知：如图，在中，_______
求证：_______

证明：
【答案】见详解
【解析】
【分析】把命题的结论作为求证的内容，延长至，使，连接，通过证明和证明四边形是平行四边形即可证明三角形的中位线平行于三角形的第三边并且等于第三边的一半．
【详解】已知：如图，在中，、分别为边、的中点
求证：且
证明：延长至，使，连接，
是中点，
，
在和中，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
，，
，．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理的证明，掌握等三角形的判定和全等三角形的性质以及平行四边形的判定和性质是解题的关键．
22. 如图所示，在中，点D，E分别为，的中点，点H在线段上，连接，点G，F分别为，的中点．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
（1）由三角形中位线定理得，，，，则，，再由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得，再由勾股定理求出的长，再根据为中点即可求答案．
【小问1详解】
证明：点D、E分别为，的中点，点G、F分别为，的中点，
是的中位线，是的中位线，
，，，，
，，
四边形为平行四边形；
【小问2详解】
解：四边形为平行四边形，
，
，
，
，
为中点，
即线段的长度为．
23. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6，BC=16，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．
（1）当运动时间t为多少秒时，PQ∥CD．
（2）当运动时间t为多少秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
【答案】（1）当运动时间t为1.5秒时，PQ∥CD；（2）当运动时间t为1或3.5秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
【解析】
【分析】根据题意得：AP=t，CQ=3t，（1）根据平行四边形性质得6-t=3t；（2）①当Q运动到E和B之间，设运动时间为t，则得：3t-8=6-t；②当Q运动到E和C之间，设运动时间为t，则得：8-3t=6-t.
【详解】根据题意得：AP=t，CQ=3t，
∵AD=6，BC=16，
∴PD=AD-AP=6-t；
（1）∵AD∥BC，
∴当PD=CQ时，四边形CDPQ是平行四边形，此时PQ∥CD，
∴6-t=3t，
解得：t=1.5；
∴当运动时间t为1.5秒时，PQ∥CD．
（2）∵E是BC的中点，
∴BE=CE=BC=8，
①当Q运动到E和B之间，设运动时间为t，则得：
3t-8=6-t，
解得：t=3.5；
②当Q运动到E和C之间，设运动时间t，则得：
8-3t=6-t，
解得：t=1，
∴当运动时间t为1或3.5秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
​【点睛】考核知识点：平行四边形的判定和性质.根据题意列出方程是关键.