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江西省萍乡市2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试卷(含答案)
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这是一份江西省萍乡市2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．已知向量，则与方向相反的单位向量的坐标为( )
A.B.C.D.
2．已知角α的终边经过点，则( )
A.B.C.D.
3．设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则( )
A.B.C.D.
4．在梯形中，，，，则( )
A.-1B.1C.D.
5．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则( )
A.B.C.D.
6．在中，点D为边的中点，点E在边上，且，则( )
A.B.C.D.
7．在中，点D为边的中点，，，则的最小值为( )
A.B.C.D.
8．函数在上存在零点，且在上单调，则ω的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列说法正确的是( )
A.在中，若，则B.在中，若，，且该三角形有两解，则a的取值范围为C.若向量，，则在方向上的投影向量的坐标为D.若扇形的周长是，面积是，则该扇形的圆心角的弧度数为3
10．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积可能为( )
A.1B.C.D.2
11．函数，下列结论正确的是( )
A.的图象关于直线对称
B.的一个周期为
C.函数的图象与直线为常数在区间上不可能存在3个交点
D.在上单调递增
三、填空题
12．如图，A，B两地之间隔了一个湖，在与A，B同一平面内取一点C，测得，，，则A，B两地之间的距离为______.
13．点G是的重心，点M，N分别在边和上，且满足，其中若，与的面积之比是，则______.
四、双空题
14．已知函数与y轴交点的纵坐标为1，且恒成立，则函数是______填“奇”或“偶”函数；当时，______.
五、解答题
15．在，两个条件中任选一个补充到下面的问题中，并解答.已知角，且_____.求的值；求的值.
16．已知：、、是同一平面内的三个向量，其中若，且，求的坐标；若，且与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
17．如图，在中，，，.求的值；设D，E分别是边，上的点，记，，，若的面积总保持是面积的一半，求z的最小值.
18．筒车发明于隋而盛于唐，是山地灌溉中一种古老的提水设备，距今已有多年的历史，它以水流作动力，取水灌田如图，为了打造传统农耕文化，某景区的景观筒车直径12米，有24个盛水筒均匀分布，分别寓意一年12个月和24节气，筒车转一周需48秒，其最高点到水面的距离为10米，每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，盛水筒A视为质点的初始位置到水面的距离为7米.
盛水筒A经过t秒后到水面的距离为h米，求筒车转动一周的过程中，h关于t的函数解析式；为了把水引到高处，在筒车中心O正上方距离水面8米处正中间设置一个宽4米的水平盛水槽，筒车受水流冲击转到盛水槽正上方后，把水倒入盛水槽，求盛水筒A转一圈的过程中，有多长时间能把水倒入盛水槽参考数据：
19．定义域为R的函数满足：对任意，都有，则称具有性质P.分别判断以下两个函数是否具有性质P：和；函数，判断是否存在实数ω，φ，使具有性质P？若存在，求出ω，φ，的值；若不存在，请说明理由；在结论下，若方程(a为常数在区间上恰有三个实数根，，，求的值.
参考答案
1．答案：A
解析：向量，则与方向相反的单位向量的坐标为.故选：A.根据已知条件，结合向量模公式，以及向量共线的性质，即可求解.本题主要考查向量模公式，以及向量共线的性质，是基础题.
2．答案：B
解析：角α的终边经过点，则，则.故选：B.根据三角函数定义和诱导公式即可得.本题考查任意角三角函数的定义，属于基础题.
3．答案：B
解析：，由正弦定理可知，，B为三角形的内角，则，故，即.故选：B.结合正弦定理，即可求解.本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题.
4．答案：C
解析：如图，在梯形中，，，，则.故选：C.由题意画出图形，展开数量积公式，再由数量积的几何意义得答案.本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查数量积的几何意义，是中档题.
5．答案：D
解析：函数的图象向右平移个单位长度，得到；由于得到的函数图象与的图象重合，且，故.故选：D.直接利用函数图象的平移变换和三角函数的诱导公式求出结果.本题考查的知识点：函数的图象的平移变换，三角函数的诱导公式，主要考查学生的运算能力，属于基础题.
6．答案：D
解析：在中，点D为边的中点，点E在边上，且，.故选：D.根据向量的线性运算，即可求解.本题考查向量的线性运算，属基础题.
7．答案：A
解析：因为为中线，，，所以，两边平方可得，即，即，由余弦定理可得，可得，，所以，可得，即的最小值为2.故选：A.由中线的向量表示，再由余弦定理可得的表达式，进而可得的最小值.本题考查中线的向量应用及余弦定理，基本不等式的应用，属于中档题.
8．答案：B
解析：当时，，在上存在零点，所以，，又在上单调，此时，，解得，综上，.故选：B.由已知结合函数零点存在条件及正弦函数的单调性即可求解.本题主要考查了正弦函数单调性及零点存在条件的应用，属于中档题.
9．答案：BC
解析：令，，满足，但，故A错误；，，且该三角形有两解，则，即，故B正确；向量，，，，则在方向上的投影向量的坐标为：，故C正确；设扇形的半径为r，弧度数为α，扇形的周长是，面积是，则，解得或，故D错误.故选：BC.结合特殊值法，三角形有两解边之间的关系，投影向量公式，扇形面积、周长公式，即可求解.本题主要考查命题的真假判断与应用，属于基础题.
10．答案：ABC
解析：因为，，由余弦定理可得，当且仅当时取等号，可得，所以，即故选：ABC.由余弦定理和基本不等式可得的范围，进而求出面积的范围，即可得答案.本题考查余弦定理及基本不等式的性质的应用，属于中档题.
11．答案：ABD
解析：A中，因为，，所以，所以函数关于对称，所以A正确；B中，因为，所以函数的一个周期为，所以B正确；C中，当时，与有三个交点的横坐标分别为，，，所以C错误；D中，因为时，，所以单调递增，单调递减，所以单调递减，所以单调递增，即在上单调递增，所以D正确.故选：ABD.分别由函数的对称性及周期性判断出A，B的真假；举例时，可得存在3个交点，判断出C的真假；再由函数的单调性，判断出D的真假.本题考查三角函数的性质应用，属于中档题.
12．答案：
解析：因为，，，由余弦定理可得.故答案为：.由题意及余弦定理可得的距离.本题考查余弦定理的应用，属于基础题.
13．答案：或
解析：G是的重心，，又点M，N分别在边和上，且，设，，，，，又与的面积之比为，联立解得或.故答案为：或.根据的重心的性质，向量的线性运算，向量共线定理，方程思想，即可求解.本题考查向量的线性运算，向量共线定理的应用，方程思想，属中档题.
14．答案：奇；
解析：函数与y轴交点的纵坐标为1，可得，又，解得，由恒成立，可得，即，解得，，即，又，可得，所以，即是奇函数；当时，即，可得，，解得，，则.故答案为：奇；.由条件可得，解得，再由恒成立，解得，代入结合奇函数定义即可判断奇偶性，最后由，求得，，代入即可得到.本题考查了三角函数的图像和性质，是中档题.
15．答案：若选：因为，所以，解得：或，因为角，所以，故；若选：因为，，所以，所以，所以；由知，，所以.
解析：若选，结合同角平方关系进行1的代换，然后结合同角商的关系进行化简即可求；若选，结合同角平方关系先求出，然后结合同角商的关系即可求；利用诱导公式先化简，即可求解.本题主要考查了同角基本关系及诱导公式在三角化简求值中的应用，属于中档题.
16．答案：，，故可设，由，可得，解得，或.，，，与的夹角为锐角，，，.而当与共线且方向相同时，，，解得，故的取值范围为.
解析：本题主要考查两个向量的数量积公式，两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，两个向量夹角公式的应用，属于中档题.设，由，可得，解方程求得值.求出，由与的夹角为锐角可得，解得的范围，而当与共线且方向相同时，求出对应的的值，从而得到的取值范围.
17．答案：（1）中，，，，由余弦定理得：，则，由正弦定理得：，即，解得；（2）由题知，，即，解得：，由余弦定理得：，，则，，当，即时，且，所以.
解析：在中，由题意及余弦定理可得的值，再由正弦定理可得的值；因为，可得的表达式，再由余弦定理可得函数y的表达式，进而可得z的解析式，由二次函数的性质可得z的最小值.本题考查正弦定理，余弦定理及二次函数的性质的应用，属于中档题.
18．答案：以筒车中心O为原点，与水面平行的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示：由题意知，A是圆周上的点，所以，因为筒车的半径为6，点的纵坐标为3，所以，所以，由题意知，，解得，，所以，；作弦平行且等于盛水槽，在中，，，，所以，所以距离水面的高度为，盛水筒转到盛水槽的正上方即之间时，能把水倒入盛水槽中，即当时符合题意，所以，解得，即，又，所以盛水筒A转一圈的过程中，能把水倒入盛水槽的时间为秒.
解析：以筒车中心O为原点，与水面平行的直线为x轴建立平面直角坐标系，写出h关于t的解析式，即可求解；作弦平行且等于盛水槽，求出距离水面的高度，列不等式求解即可.本题考查了三角函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题.
19．答案：根据题意可得：，，故，则函数不具有性质P；，，故，则函数具有性质P；若具有性质P，则，则，因为，所以，则，由得：，若，则存在，使得，而，上式不成立，故，即，因为，所以，则，即，则，验证：当，时，，则对任意，，，等式成立，故存在，，使函数具有性质P；由知，，又在区间上恰有三个实数根，，，所以在区间上恰有三个实数根，，，令，所以在区间上恰有三个实数根，，，由函数的图象知：，，则，即，所以，所以.
解析：根据新定义分别验证即可；根据题意及新定义，建立方程，即可求解；将方程的根转化成函数图形交点的横坐标，结合三角函数的性质，即可求解.本题考查新定义问题，三角函数的性质，化归转化思想，运算能力，属中档题.
一、选择题
1．已知向量，则与方向相反的单位向量的坐标为( )
A.B.C.D.
2．已知角α的终边经过点，则( )
A.B.C.D.
3．设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则( )
A.B.C.D.
4．在梯形中，，，，则( )
A.-1B.1C.D.
5．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则( )
A.B.C.D.
6．在中，点D为边的中点，点E在边上，且，则( )
A.B.C.D.
7．在中，点D为边的中点，，，则的最小值为( )
A.B.C.D.
8．函数在上存在零点，且在上单调，则ω的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列说法正确的是( )
A.在中，若，则B.在中，若，，且该三角形有两解，则a的取值范围为C.若向量，，则在方向上的投影向量的坐标为D.若扇形的周长是，面积是，则该扇形的圆心角的弧度数为3
10．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积可能为( )
A.1B.C.D.2
11．函数，下列结论正确的是( )
A.的图象关于直线对称
B.的一个周期为
C.函数的图象与直线为常数在区间上不可能存在3个交点
D.在上单调递增
三、填空题
12．如图，A，B两地之间隔了一个湖，在与A，B同一平面内取一点C，测得，，，则A，B两地之间的距离为______.
13．点G是的重心，点M，N分别在边和上，且满足，其中若，与的面积之比是，则______.
四、双空题
14．已知函数与y轴交点的纵坐标为1，且恒成立，则函数是______填“奇”或“偶”函数；当时，______.
五、解答题
15．在，两个条件中任选一个补充到下面的问题中，并解答.已知角，且_____.求的值；求的值.
16．已知：、、是同一平面内的三个向量，其中若，且，求的坐标；若，且与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
17．如图，在中，，，.求的值；设D，E分别是边，上的点，记，，，若的面积总保持是面积的一半，求z的最小值.
18．筒车发明于隋而盛于唐，是山地灌溉中一种古老的提水设备，距今已有多年的历史，它以水流作动力，取水灌田如图，为了打造传统农耕文化，某景区的景观筒车直径12米，有24个盛水筒均匀分布，分别寓意一年12个月和24节气，筒车转一周需48秒，其最高点到水面的距离为10米，每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，盛水筒A视为质点的初始位置到水面的距离为7米.
盛水筒A经过t秒后到水面的距离为h米，求筒车转动一周的过程中，h关于t的函数解析式；为了把水引到高处，在筒车中心O正上方距离水面8米处正中间设置一个宽4米的水平盛水槽，筒车受水流冲击转到盛水槽正上方后，把水倒入盛水槽，求盛水筒A转一圈的过程中，有多长时间能把水倒入盛水槽参考数据：
19．定义域为R的函数满足：对任意，都有，则称具有性质P.分别判断以下两个函数是否具有性质P：和；函数，判断是否存在实数ω，φ，使具有性质P？若存在，求出ω，φ，的值；若不存在，请说明理由；在结论下，若方程(a为常数在区间上恰有三个实数根，，，求的值.
参考答案
1．答案：A
解析：向量，则与方向相反的单位向量的坐标为.故选：A.根据已知条件，结合向量模公式，以及向量共线的性质，即可求解.本题主要考查向量模公式，以及向量共线的性质，是基础题.
2．答案：B
解析：角α的终边经过点，则，则.故选：B.根据三角函数定义和诱导公式即可得.本题考查任意角三角函数的定义，属于基础题.
3．答案：B
解析：，由正弦定理可知，，B为三角形的内角，则，故，即.故选：B.结合正弦定理，即可求解.本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题.
4．答案：C
解析：如图，在梯形中，，，，则.故选：C.由题意画出图形，展开数量积公式，再由数量积的几何意义得答案.本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查数量积的几何意义，是中档题.
5．答案：D
解析：函数的图象向右平移个单位长度，得到；由于得到的函数图象与的图象重合，且，故.故选：D.直接利用函数图象的平移变换和三角函数的诱导公式求出结果.本题考查的知识点：函数的图象的平移变换，三角函数的诱导公式，主要考查学生的运算能力，属于基础题.
6．答案：D
解析：在中，点D为边的中点，点E在边上，且，.故选：D.根据向量的线性运算，即可求解.本题考查向量的线性运算，属基础题.
7．答案：A
解析：因为为中线，，，所以，两边平方可得，即，即，由余弦定理可得，可得，，所以，可得，即的最小值为2.故选：A.由中线的向量表示，再由余弦定理可得的表达式，进而可得的最小值.本题考查中线的向量应用及余弦定理，基本不等式的应用，属于中档题.
8．答案：B
解析：当时，，在上存在零点，所以，，又在上单调，此时，，解得，综上，.故选：B.由已知结合函数零点存在条件及正弦函数的单调性即可求解.本题主要考查了正弦函数单调性及零点存在条件的应用，属于中档题.
9．答案：BC
解析：令，，满足，但，故A错误；，，且该三角形有两解，则，即，故B正确；向量，，，，则在方向上的投影向量的坐标为：，故C正确；设扇形的半径为r，弧度数为α，扇形的周长是，面积是，则，解得或，故D错误.故选：BC.结合特殊值法，三角形有两解边之间的关系，投影向量公式，扇形面积、周长公式，即可求解.本题主要考查命题的真假判断与应用，属于基础题.
10．答案：ABC
解析：因为，，由余弦定理可得，当且仅当时取等号，可得，所以，即故选：ABC.由余弦定理和基本不等式可得的范围，进而求出面积的范围，即可得答案.本题考查余弦定理及基本不等式的性质的应用，属于中档题.
11．答案：ABD
解析：A中，因为，，所以，所以函数关于对称，所以A正确；B中，因为，所以函数的一个周期为，所以B正确；C中，当时，与有三个交点的横坐标分别为，，，所以C错误；D中，因为时，，所以单调递增，单调递减，所以单调递减，所以单调递增，即在上单调递增，所以D正确.故选：ABD.分别由函数的对称性及周期性判断出A，B的真假；举例时，可得存在3个交点，判断出C的真假；再由函数的单调性，判断出D的真假.本题考查三角函数的性质应用，属于中档题.
12．答案：
解析：因为，，，由余弦定理可得.故答案为：.由题意及余弦定理可得的距离.本题考查余弦定理的应用，属于基础题.
13．答案：或
解析：G是的重心，，又点M，N分别在边和上，且，设，，，，，又与的面积之比为，联立解得或.故答案为：或.根据的重心的性质，向量的线性运算，向量共线定理，方程思想，即可求解.本题考查向量的线性运算，向量共线定理的应用，方程思想，属中档题.
14．答案：奇；
解析：函数与y轴交点的纵坐标为1，可得，又，解得，由恒成立，可得，即，解得，，即，又，可得，所以，即是奇函数；当时，即，可得，，解得，，则.故答案为：奇；.由条件可得，解得，再由恒成立，解得，代入结合奇函数定义即可判断奇偶性，最后由，求得，，代入即可得到.本题考查了三角函数的图像和性质，是中档题.
15．答案：若选：因为，所以，解得：或，因为角，所以，故；若选：因为，，所以，所以，所以；由知，，所以.
解析：若选，结合同角平方关系进行1的代换，然后结合同角商的关系进行化简即可求；若选，结合同角平方关系先求出，然后结合同角商的关系即可求；利用诱导公式先化简，即可求解.本题主要考查了同角基本关系及诱导公式在三角化简求值中的应用，属于中档题.
16．答案：，，故可设，由，可得，解得，或.，，，与的夹角为锐角，，，.而当与共线且方向相同时，，，解得，故的取值范围为.
解析：本题主要考查两个向量的数量积公式，两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，两个向量夹角公式的应用，属于中档题.设，由，可得，解方程求得值.求出，由与的夹角为锐角可得，解得的范围，而当与共线且方向相同时，求出对应的的值，从而得到的取值范围.
17．答案：（1）中，，，，由余弦定理得：，则，由正弦定理得：，即，解得；（2）由题知，，即，解得：，由余弦定理得：，，则，，当，即时，且，所以.
解析：在中，由题意及余弦定理可得的值，再由正弦定理可得的值；因为，可得的表达式，再由余弦定理可得函数y的表达式，进而可得z的解析式，由二次函数的性质可得z的最小值.本题考查正弦定理，余弦定理及二次函数的性质的应用，属于中档题.
18．答案：以筒车中心O为原点，与水面平行的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示：由题意知，A是圆周上的点，所以，因为筒车的半径为6，点的纵坐标为3，所以，所以，由题意知，，解得，，所以，；作弦平行且等于盛水槽，在中，，，，所以，所以距离水面的高度为，盛水筒转到盛水槽的正上方即之间时，能把水倒入盛水槽中，即当时符合题意，所以，解得，即，又，所以盛水筒A转一圈的过程中，能把水倒入盛水槽的时间为秒.
解析：以筒车中心O为原点，与水面平行的直线为x轴建立平面直角坐标系，写出h关于t的解析式，即可求解；作弦平行且等于盛水槽，求出距离水面的高度，列不等式求解即可.本题考查了三角函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题.
19．答案：根据题意可得：，，故，则函数不具有性质P；，，故，则函数具有性质P；若具有性质P，则，则，因为，所以，则，由得：，若，则存在，使得，而，上式不成立，故，即，因为，所以，则，即，则，验证：当，时，，则对任意，，，等式成立，故存在，，使函数具有性质P；由知，，又在区间上恰有三个实数根，，，所以在区间上恰有三个实数根，，，令，所以在区间上恰有三个实数根，，，由函数的图象知：，，则，即，所以，所以.
解析：根据新定义分别验证即可；根据题意及新定义，建立方程，即可求解；将方程的根转化成函数图形交点的横坐标，结合三角函数的性质，即可求解.本题考查新定义问题，三角函数的性质，化归转化思想，运算能力，属中档题.
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