人教版八年级数学下学期题型模型培优专题练专题11378和578模型-原卷版+解析

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当两个三角形的三边长分别为 3，7，8 和 5，7，8 时，我们对于这两组数字不敏感，但如果将这两个三角形拼在一起，你将惊喜地发现这是一个边长为 8的等边三角形.

◎结论：当两个三角形的边长分别为3，7，8和5，7，8时，
①这两个三角形的面积63、103.
②3、8与5、8夹角都是60°
【证明】

①过A作AE⊥BC于E,
∵△ABC为等边三角形，
可求出AE的长为43，
∴△ABD的面积为12BD AE ＝63，△ACD的面积为103。
②有上面△ABC是等边三角形可知，∠B＝∠C＝60°，
∴3、8与5、8夹角都是60°
方法技巧：此模型在各大资料上并不多见，属于偏题，这个模型大家只需作简单了解，指导相关辅助线的作法即可求解。
1．（（专题）勾股定理相关模型）已知在△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，则∠C＝（ ）．
A．45°B．37°C．60°D．90°
2．（（专题）勾股定理相关模型）已知在△ABC中，AB＝8，AC＝7，BC＝3，则∠B＝（ ）．
A．45°B．37°C．60°D．90°
3．（湖北省武汉市蔡甸区2018-2019学年八年级下学期期末数学试题）已知△ABC的边长分别为5，7，8，则△ABC的面积是（ ）
A．20B．10C．10D．28
4．（2017年初中毕业升学考试（湖北武汉卷）数学（带解析））已知一个三角形的三边长分别为5，7，8．则其内切圆的半径为（ ）
A．B．C．D．
5．（河南省安阳市2020-2021学年九年级上学期期末数学试题）已知的三边长分别为4、6、8，与它相似的的最短边长为6，则的最长边的长为（ ）
A．8B．12C．10D．9
6．（沪科版九年级数学下册24.5三角形的内切圆）已知：如图，△ABC三边BC=a，CA=b，AB=c，它的内切圆O的半径长为r．求△ABC的面积S．
7．（山东省淄博市临淄区第一中学（五四学制）2018-2019学年八年级下学期期中质量检测数学试题）我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为： ①（其中a，b，c为三角形的三边长，S为面积．）而古希腊也有求三角形面积的海伦公式：，② (其中．) 若已知三角形的三边长分别为5，7，8，试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积S.
8．（青海省2019年中考数学试题）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了“三斜求积术”，三斜即指三角形的三条边长，可以用该方法求三角形面积．若改用现代数学语言表示，其形式为：设为三角形三边，为面积，则，这是中国古代数学的瑰宝之一．而在文明古国古希腊，也有一个数学家海伦给出了求三角形面积的另一个公式，若设（周长的一半），则
（1）尝试验证．这两个公式在表面上形式很不一致，请你用以为三边构成的三角形，分别验证它们的面积值；
（2）问题探究．经过验证，你发现公式①和②等价吗？若等价，请给出一个一般性推导过程（可以从或者）；
（3）问题引申．三角形的面积是数学中非常重要的一个几何度量值，很多数学家给出了不同形式的计算公式．请你证明如下这个公式：如图，的内切圆半径为，三角形三边长为，仍记，为三角形面积，则．
9．（（专题）勾股定理相关模型）如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长度分别为3，7，8，则△ABC的内切圆Ⅰ的半径为_________．
培优专题11 378和578模型
【模型讲解】
当两个三角形的三边长分别为 3，7，8 和 5，7，8 时，我们对于这两组数字不敏感，但如果将这两个三角形拼在一起，你将惊喜地发现这是一个边长为 8的等边三角形.

◎结论：当两个三角形的边长分别为3，7，8和5，7，8时，
①这两个三角形的面积63、103.
②3、8与5、8夹角都是60°
【证明】

①过A作AE⊥BC于E,
∵△ABC为等边三角形，
可求出AE的长为43，
∴△ABD的面积为12BD AE ＝63，△ACD的面积为103。
②有上面△ABC是等边三角形可知，∠B＝∠C＝60°，
∴3、8与5、8夹角都是60°
方法技巧：此模型在各大资料上并不多见，属于偏题，这个模型大家只需作简单了解，指导相关辅助线的作法即可求解。
1．（（专题）勾股定理相关模型）已知在△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，则∠C＝（ ）．
A．45°B．37°C．60°D．90°
【答案】C
【分析】过点A作AD⊥BC于D，设CD＝x，则BD＝BC−CD＝5−x，由勾股定理得72−（5−x）2＝82−x2，得出CD＝4，则CD＝AC，再证∠CAD＝30°，即可求解．
【详解】解：过点A作AD⊥BC于D，如图所示：
设CD＝x，
则BD＝BC−CD＝5−x，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD2＝AB2−BD2，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2＝AC2−CD2，
∴AB2−BD2＝AC2−CD2，
即：72−（5−x）2＝82−x2，
解得：x＝4，
∴CD＝4，
∴CD＝AC，
∴∠CAD＝30°，
∴∠C＝90°−30°＝60°，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理、含30°角的直角三角形的判定、三角形内角和定理等知识；熟练掌握勾股定理，证出∠CAD＝30°是解题的关键．
2．（（专题）勾股定理相关模型）已知在△ABC中，AB＝8，AC＝7，BC＝3，则∠B＝（ ）．
A．45°B．37°C．60°D．90°
【答案】C
【分析】过点A作 交BC延长线于点D，设CD=x，则BC=3+x，在和中，利用勾股定理求出 ，可求出CD的长，从而得到BD的长，然后利用直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：如图，过点A作 交BC延长线于点D，
∵在△ABC中，AB＝8，AC＝7，BC＝3，
可设CD=x，则BC=3+x，
在 中，
，
在中，
，
∴，
解得： ，
∴BC=3+x=4，
∴在中， ，
∴ ，
∴ ．
故选 C．
【定睛】本题主要考查了勾股定理及直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中若一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的锐角等于 是解题的关键．
3．（湖北省武汉市蔡甸区2018-2019学年八年级下学期期末数学试题）已知△ABC的边长分别为5，7，8，则△ABC的面积是（ ）
A．20B．10C．10D．28
【答案】C
【分析】过A作AD⊥BC于D，根据勾股定理列方程得到BD，然后根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】如图，
∵AB=5，AC=7，BC=8，
过A作AD⊥BC于D，
∴AB2-BD2=AC2-CD2=AD2，
∴52-BD2=72-（8-BD）2，
解得：BD=，
∴AD=，
∴△ABC的面积=10，
故选C．
【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
4．（2017年初中毕业升学考试（湖北武汉卷）数学（带解析））已知一个三角形的三边长分别为5，7，8．则其内切圆的半径为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】试题解析：如图，AB=7，BC=5，AC=8
过A作AD⊥BC于D，
设BD=x，则CD＝5-x
由勾腰定理得：72-x2=82-（5-x）2
解得：x=1
∴AD=4
设ΔABC的内切圆的半径为r，则有：
（5r+7r+8r）= ×5×4
解得：r=
故选C.
考点：三角形的内切圆.
5．（河南省安阳市2020-2021学年九年级上学期期末数学试题）已知的三边长分别为4、6、8，与它相似的的最短边长为6，则的最长边的长为（ ）
A．8B．12C．10D．9
【答案】B
【分析】设的最长边的长为x，根据相似三角形对应边成比例计算即可．
【详解】解：设的最长边的长为x，
∵的三边长分别为4、6、8，与它相似的的最短边长为6，
∴，
解得：，
则的最长边的长为12．
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形对应边成比例计算，注意要找对对应边．
6．（沪科版九年级数学下册24.5三角形的内切圆）已知：如图，△ABC三边BC=a，CA=b，AB=c，它的内切圆O的半径长为r．求△ABC的面积S．
【答案】S=(a+b+c)r
【分析】设△ABC与⊙O相切与点D、E、F．连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，根据S△ABC=S△AOB+S△OBC+S△OAC，即可求解
【详解】如图，设△ABC与⊙O相切与点D、E、F．连接OA、OB、OC、OD、OE、OF．
则OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC．
∵S△AOB=AB•OD=cr，同理，S△OBC=ar，S△OAC=br．
∵S△ABC=S△AOB+S△OBC+S△OAC，即S=cr+ar+br=(a+b+c)r
【点睛】本题考查了三角形的内切圆的计算，正确作出辅助线，把△ABC的面积的计算分解成几个三角形的面积的计算是关键.
7．（山东省淄博市临淄区第一中学（五四学制）2018-2019学年八年级下学期期中质量检测数学试题）我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为： ①（其中a，b，c为三角形的三边长，S为面积．）而古希腊也有求三角形面积的海伦公式：，② (其中．) 若已知三角形的三边长分别为5，7，8，试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积S.
【答案】；.
【分析】直接利用已知公式将相关数据代入得出答案；
【详解】 ．
又．
所以
【点睛】考查了三角形面积的海伦公式的用法，也培养了学生的推理和计算能力．
8．（青海省2019年中考数学试题）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了“三斜求积术”，三斜即指三角形的三条边长，可以用该方法求三角形面积．若改用现代数学语言表示，其形式为：设为三角形三边，为面积，则，这是中国古代数学的瑰宝之一．而在文明古国古希腊，也有一个数学家海伦给出了求三角形面积的另一个公式，若设（周长的一半），则
（1）尝试验证．这两个公式在表面上形式很不一致，请你用以为三边构成的三角形，分别验证它们的面积值；
（2）问题探究．经过验证，你发现公式①和②等价吗？若等价，请给出一个一般性推导过程（可以从或者）；
（3）问题引申．三角形的面积是数学中非常重要的一个几何度量值，很多数学家给出了不同形式的计算公式．请你证明如下这个公式：如图，的内切圆半径为，三角形三边长为，仍记，为三角形面积，则．
【答案】（1）；（2）公式和等价；推导过程见解析；（3）见解析．
【分析】分别将5,7,8代入两个公式计算验证即可；
求出，把①中根号内的式子可化为：
，即可得出结论；
连接，，由三角形面积公式即可得出结论．
【详解】解：由得：，
由得：，
；
公式和等价；推导过程如下：
，
，
中根号内的式子可化为：
，
；
连接，如图所示：
．
【点睛】本题考查三角形的内切圆、数学常识以及三角形面积公式；熟练掌握三角形面积的计算方法是解题的关键．
9．（（专题）勾股定理相关模型）如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长度分别为3，7，8，则△ABC的内切圆Ⅰ的半径为_________．
【答案】
【分析】先过点B作BD⊥AC，用勾股定理求出AD和BD，再用等面积求出IE即可．
【详解】解：如图，过点B作BD⊥AC，
∵△ABC的三边AB，BC，CA的长度分别为3，7，8，
∴设AD＝x，则CD＝8−x，
在△ABD与△CBD中，BD2＝AB2−AD2＝BC2−CD2，
∴32−x2＝72−（8−x）2，
解得：x＝，
∴AD＝，
∴BD＝
过点I作IE垂直BC于E，
∵I为△ABC的内心，
∴△ABC的三边AB，BC，CA上的高都等于IE，
∵S△ABC＝AC•BD＝ (AC＋BC＋AB)•IE，
∴，
∴IE＝，
∴△ABC的内切圆I的半径为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形的内切圆、勾股定理、等面积法，过点B作BD⊥AC，用勾股定理求出AD和BD是本题的关键．