人教版八年级数学下学期题型模型培优专题练专题12垂美四边形模型-原卷版+解析

这是一份人教版八年级数学下学期题型模型培优专题练专题12垂美四边形模型-原卷版+解析，共10页。

【概念】 对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.

【结论】如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD，
则①AB²＋CD²＝AD²＋BC². ②S四ABCD＝ 12 AC·BD

【证明】
①∵AB²＝a²＋b²
CD²＝c²＋d²
∴AB²＋CD²＝a²＋b²＋c²＋d²
∵BC²＝a² ＋ d²
AD²＝ b²＋c²
∴BC²＋AD²＝a² ＋b²＋c²＋ d²
∴AB²＋CD²＝AD²＋BC².
② S四ABCD＝ 12 BD·a＋ 12 BD·c＝ 12 BD(a＋c)＝12 AC·BD
方法技巧：垂美四边形模型在各种资料书上还是比较多见的，大题小题都有，小题掌握住结论即可直接运用；大题掌握住结论的推理过程和垂美四边形的构造方法即可运用。
1．（2020·四川雅安·中考真题）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则__________．
2．（2022春·山西忻州·八年级统考期末）（1）【知识感知】如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形，在我们学过的：①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，能称为垂美四边形是______ （只填序号）
（2）【概念理解】如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．
（3）【性质探究】如图1，垂美四边形ABCD的两对角线交于点O，试探究AB，CD，BC，AD之间有怎样的数量关系？写出你的猜想__________________；
（4）【性质应用】如图3，分别以的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE已知AC＝8，AB＝10，求GE长．
3．（2021春·江西赣州·八年级统考期末）如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图，在四边形中，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由．
（2）性质探究：试探究垂美四边形两组对边，与，之间的数量关系，写出证明过程（先画出图形）
（3）问题解决：如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，已知，，求的长．
培优专题12 垂美四边形
【模型讲解】
【概念】 对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.

【结论】如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD，
则①AB²＋CD²＝AD²＋BC². ②S四ABCD＝ 12 AC·BD

【证明】
①∵AB²＝a²＋b²
CD²＝c²＋d²
∴AB²＋CD²＝a²＋b²＋c²＋d²
∵BC²＝a² ＋ d²
AD²＝ b²＋c²
∴BC²＋AD²＝a² ＋b²＋c²＋ d²
∴AB²＋CD²＝AD²＋BC².
② S四ABCD＝ 12 BD·a＋ 12 BD·c＝ 12 BD(a＋c)＝12 AC·BD
方法技巧：垂美四边形模型在各种资料书上还是比较多见的，大题小题都有，小题掌握住结论即可直接运用；大题掌握住结论的推理过程和垂美四边形的构造方法即可运用。
1．（2020·四川雅安·中考真题）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则__________．
【答案】20
【分析】由垂美四边形的定义可得AC⊥BD，再利用勾股定理得到AD2+BC2=AB2+CD2，从而求解.
【详解】∵四边形ABCD是垂美四边形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，
由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AD2+BC2=AB2+CD2，
∵AD=2，BC=4，
∴AD2+BC2=22+42=20，
故答案为：20.
【点睛】本题主要考查四边形的应用，解题的关键是理解新定义，并熟练运用勾股定理.
2．（2022春·山西忻州·八年级统考期末）（1）【知识感知】如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形，在我们学过的：①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，能称为垂美四边形是______ （只填序号）
（2）【概念理解】如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．
（3）【性质探究】如图1，垂美四边形ABCD的两对角线交于点O，试探究AB，CD，BC，AD之间有怎样的数量关系？写出你的猜想__________________；
（4）【性质应用】如图3，分别以的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE已知AC＝8，AB＝10，求GE长．
【答案】（1）③④；（2）是，理由见解析；（3）AD2+BC2＝AB2+CD2，理由见解析；
（4）
【分析】（1）根据菱形和正方形的对角线互相垂直、垂美四边形的概念判断即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质、垂美四边形的概念判断即可；
（3）根据垂美四边形的概念、勾股定理计算，得到答案；
（4）证明△GAB≌△CAE，进而得出CE⊥BG，根据（3）的结论计算即可．
【详解】解：（1）∵在①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形中，两条对角线互相垂直的四边形是③菱形，④正方形，
∴③菱形，④正方形一定是垂美四边形，
故答案为：③④；
（2）四边形ABCD是垂美四边形，
理由如下：如图2，∵AB＝AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上，
∵CB＝CD，
∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线，
∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；
（3）AD2+BC2＝AB2+CD2，
证明如下：如图①，∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AD2+BC2＝AB2+CD2；
（4）如图3，连接BE、CG，设AB与CE交于点M，
∵∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，
在△GAB和△CAE中，
，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG＝∠AEC，
∵∠AEC+∠AME＝90°，
∴∠ABG+∠BMC＝90°，即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形，
∴CG2+BE2＝CB2+GE2，
∵AB＝10，AC＝8，
∴BC2＝AB2﹣AC2＝36，CG2＝AC2+AG2＝128，BE2＝AB2+AE2＝200，
∴GE2＝128+200﹣36＝292，
则GE＝2．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
3．（2021春·江西赣州·八年级统考期末）如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图，在四边形中，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由．
（2）性质探究：试探究垂美四边形两组对边，与，之间的数量关系，写出证明过程（先画出图形）
（3）问题解决：如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，已知，，求的长．
【答案】（1）是，理由见解析；（2）垂美四边形的两组对边的平方和相等，证明见解析；（3）
【分析】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可；
（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；
（3）先判断出△GAB≌△CAE，得出∠ABG＝∠AEC，进而根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算．
【详解】解：（1）四边形是垂美四边形．
证明：连接AC、BD交于点E ，
∵，
∴点在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点在线段的垂直平分线上，
∴直线是线段的垂直平分线，
∴，即四边形是垂美四边形；
（2）猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等．
如图2，已知四边形中，，垂足为，
求证：
证明：∵，
∴，
由勾股定理得，，
，
∴；
（3）连接、，
∵，
∴，即，
∵
∴，
∴，又，
∴，即，
∴四边形是垂美四边形，
由（2）得，，
∵，，
∴，，
∴，
∴
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．