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人教版八年级数学下学期题型模型培优专题练专题08赵爽弦图模型-原卷版+解析
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这是一份人教版八年级数学下学期题型模型培优专题练专题08赵爽弦图模型-原卷版+解析，共16页。
◎结论1：在正方形ABCD的四边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H，使得BE＝CF＝GD＝AH，则四边形EHGF是正方形.
◎结论2：如图所示，在正方形ABCD的四边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H,使得BE=CF=GD=AH,此外EQ∥BC，HP∥CD，GO∥DA，FR∥AB，
则四边形ORQP是正方形.
◎结论3：如图所示，在正方形ABCD的四边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H，使得BE=CF=GD=AH，此外EQ∥BC，HP∥CD，GO∥DA，FR∥AB， 则:
（1）S正方形 =4S 十S正方形;
（2）S正方形 =4S十S正方形;
（3）S正方形－S正方形＝S正方形－S正方形.
（4）2S正方形=S正方形十S正方形
注：常见的勾股数组合
①3,4,5； ②5,12,13；③6,8,10；④8,15,17；⑤9,12,15;
1．（2023春·四川南充·八年级四川省南充高级中学校考阶段练习）如图所示的“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．该图由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为．若，大正方形面积为，则小正方形边长为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·河北沧州·八年级校考阶段练习）如图，用4个相同的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，若图中直角三角形较短的直角边长是5，小正方形的边长是7，则大正方形的面积是（ ）
A．121B．144C．169D．196
3．（2022秋·福建三明·八年级统考期末）某大会会标如图所示，它是由相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是，小正方形的面积是1，直角三角形中较长的直角边为a，较短的直角边为b，则的值（ ）
A．B．C．D．
4．（2021秋·贵州六盘水·八年级统考阶段练习）如图，这是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF，△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，如果EF＝1，AH＝3，那么AB等于（ ）
A．4B．5C．9D．10
5．（2023春·全国·八年级专题练习）如图是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案．已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，若用a、b表示直角三角形的两直角边（a＞b），则下列说法：①a2+b2=25，②a－b=1，③ab=12，④a+b=7．正确的是（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
6．（2023春·全国·八年级专题练习）用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图，其中四个直角三角形的直角边长分别为，斜边长为．
(1)结合图①，求证：；
(2)如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形．若该图形的周长为48，．求该图形的面积．
7．（2023秋·河南洛阳·八年级统考期末）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
将因式分解．
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式
解法二：原式
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）
【类比】
（1）请用分组分解法将因式分解；
【应用】
（2）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和b（），斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将因式分解，再求值．
8．（2023春·全国·八年级专题练习）我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形（如图1）与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图2）．
(1)利用图2正方形面积的等量关系得出直角三角形勾股的定理，该定理的结论用字母表示： ；
(2)用图1这样的两个直角三角形构造图3的图形，满足，，，，求证（1）中的定理结论；
(3)如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设，，求正方形BDFA的面积．（用m，n表示）
9．（2020秋·广东佛山·八年级统考期中）我们在探索乘法公式时，设置由图形面积的不同表示方法验证了乘法公式．我国著名的数学家赵爽，早在公元世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形（如图①），这个图形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边，与斜边满足关系式，称为勾股定理．
（1）爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图②），也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程．
（2）如图，在每个小正方形边长为的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上．请在图中画出的高，利用上面的结论，求高的长．
10．（2022春·安徽芜湖·八年级统考期中）图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．
（1）在RtC中，AC=a，BC=b，∠ACB=90°，若图①中大正方形的面积为61，小正方形的面积为1，求；
（2）在（1）的条件下，若将图①中的四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，求这个风车的外围周长（图中实线部分）．
培优专题08 赵爽弦图模型
【模型讲解】
◎结论1：在正方形ABCD的四边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H，使得BE＝CF＝GD＝AH，则四边形EHGF是正方形.
◎结论2：如图所示，在正方形ABCD的四边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H,使得BE=CF=GD=AH,此外EQ∥BC，HP∥CD，GO∥DA，FR∥AB，
则四边形ORQP是正方形.
◎结论3：如图所示，在正方形ABCD的四边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H，使得BE=CF=GD=AH，此外EQ∥BC，HP∥CD，GO∥DA，FR∥AB， 则:
（1）S正方形 =4S 十S正方形;
（2）S正方形 =4S十S正方形;
（3）S正方形－S正方形＝S正方形－S正方形.
（4）2S正方形=S正方形十S正方形
注：常见的勾股数组合
①3,4,5； ②5,12,13；③6,8,10；④8,15,17；⑤9,12,15;
1．（2023春·四川南充·八年级四川省南充高级中学校考阶段练习）如图所示的“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．该图由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为．若，大正方形面积为，则小正方形边长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据小正方形的面积等于大正方形的面积减去个全等的三角形的面积，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，
∵大正方形面积为，四个全等的直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，，
∴，，
∴，
∴，即小正方形边长为，
故选：．
【点睛】本题主要考查勾股定理，理解图示的意思，掌握面积法与勾股定理的计算方法是解题的关键．
2．（2023春·河北沧州·八年级校考阶段练习）如图，用4个相同的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，若图中直角三角形较短的直角边长是5，小正方形的边长是7，则大正方形的面积是（ ）
A．121B．144C．169D．196
【答案】C
【分析】直角三角形较短的直角边长是5厘米，即a=5厘米；小正方形的边长是7厘米，则较长直角边为b=5+7=12厘米，最后再根据勾股定理解答即可.
【详解】解：∵直角三角形较短的直角边长是5厘米，即a=5厘米
∴直角三角形较长的直角边长是5+7=12厘米，即b=12厘米
∴c2=52+122=169.
故答案为：C.
【点睛】本题考查了直角三角形的勾股定理，确定直角三角形较长直角边的长度是解答本题的关键.
3．（2022秋·福建三明·八年级统考期末）某大会会标如图所示，它是由相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是，小正方形的面积是1，直角三角形中较长的直角边为a，较短的直角边为b，则的值（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】大正方形的面积是求得，结合小正方形的面积是1求出阴影部分面积即，将变形代入求解即可．
【详解】解：直角三角形中较长的直角边为a，较短的直角边为b，
故斜边长为:
即大正方形边长为:
大正方形的面积是，小正方形的面积是1
阴影部分的面积为：
即
故选：C．
【点睛】本题是以弦图为背景的计算题，考查了勾股定理，图形的面积，关键是用a、b表示面积．
4．（2021秋·贵州六盘水·八年级统考阶段练习）如图，这是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF，△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，如果EF＝1，AH＝3，那么AB等于（ ）
A．4B．5C．9D．10
【答案】B
【分析】根据正方形的性质得到HG＝EF＝1，∠AHB=∠GHE=90°，再由全等三角形的性质得BG＝AH＝3， 则BH＝4，最后根据勾股定理求解即可．
【详解】解：∵四边形EFGH是正方形，EF＝1，
∴HG＝EF＝1，∠AHB=∠GHE=90°，
∵AH＝3，△ABH、△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，
∴BG＝AH＝3，
∴BH＝4，
∴在直角三角形AHB中，由勾股定理得到：，
故选B．
【点睛】此题考查了正方形的性质，勾股定理和全等三角形的性质，解题的关键是得到直角三角形ABH的两直角边的长度．
5．（2023春·全国·八年级专题练习）如图是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案．已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，若用a、b表示直角三角形的两直角边（a＞b），则下列说法：①a2+b2=25，②a－b=1，③ab=12，④a+b=7．正确的是（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
【答案】D
【分析】由大的正方形的边长为结合勾股定理可判断①，由小的正方形的边长为 结合小正方形的面积可判断②，再利用 结合可判断③，再由可判断④，从而可得答案.
【详解】解：由题意得：大正方形的边长为
故①符合题意；
用a、b表示直角三角形的两直角边（a＞b），则小正方形的边长为：
则（负值不合题意舍去）故②符合题意；
而
故③符合题意；
（负值不合题意舍去）故④符合题意；
故选D
【点睛】本题考查的是以勾股定理为背景的几何面积问题，同时考查了完全平方公式的应用，熟练的应用完全平方公式的变形求值是解本题的关键.
6．（2023春·全国·八年级专题练习）用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图，其中四个直角三角形的直角边长分别为，斜边长为．
(1)结合图①，求证：；
(2)如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形．若该图形的周长为48，．求该图形的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)96
【分析】（1）根据图①，外面大正方形面积等于中间小正方形面积与四个完全形同的直角三角形面积的和，列出等式化简即可得到结论；
（2）由图形的周长为48，得到，设，则，在中，由勾股定理列方程得，从而，根据图形即可得到面积为．
【详解】（1）证明：由题意知，，
，即，
；
（2）解：∵，
设，则，
在中，由勾股定理得：，即，
解得：，即在中，，
∴该图形面积为．
【点睛】本题考查几何法证明勾股定理及不规则图形面积求解，数形结合，将图中各个线段长度及面积关系搞清楚是解决问题的关键．
7．（2023秋·河南洛阳·八年级统考期末）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
将因式分解．
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式
解法二：原式
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）
【类比】
（1）请用分组分解法将因式分解；
【应用】
（2）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和b（），斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将因式分解，再求值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）用分组分解法将因式分解即可；
（2）先将因式分解，再求值即可；
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
∵直角三角形的两条直角边长分别是a和，斜边长是3，小正方形的面积是1，
∴，
∴原式．
【点睛】本题主要考查因式分解的知识，熟练掌握因式分解的应用是解题的关键．
8．（2023春·全国·八年级专题练习）我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形（如图1）与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图2）．
(1)利用图2正方形面积的等量关系得出直角三角形勾股的定理，该定理的结论用字母表示： ；
(2)用图1这样的两个直角三角形构造图3的图形，满足，，，，求证（1）中的定理结论；
(3)如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设，，求正方形BDFA的面积．（用m，n表示）
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由大正方形的面积的两种表示列出等式，可求解；
（2）由四边形的面积两种计算方式列出等式，即可求解；
（3）分别求出a，b，由勾股定理可求解．
【详解】（1）解：∵大正方形的面积，大正方形的面积，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）证明：如图：连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵， ，
∴，
∴；
（3）解：由题意可得：，，
∴，，
∴，，
∴，
∴正方形的面积为．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，正方形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
9．（2020秋·广东佛山·八年级统考期中）我们在探索乘法公式时，设置由图形面积的不同表示方法验证了乘法公式．我国著名的数学家赵爽，早在公元世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形（如图①），这个图形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边，与斜边满足关系式，称为勾股定理．
（1）爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图②），也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程．
（2）如图，在每个小正方形边长为的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上．请在图中画出的高，利用上面的结论，求高的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）画图见解析，．
【分析】（1）根据四个全等的直角三角形的面积+阴影部分小正方形的面积=大正方形的面积，代入数值，即可证明；
（2）先根据高的定义画出BD，由（1）中结论求出AC的长，再根据△ABC的面积不变列式，即可求出高BD的长．
【详解】证明：由图②得：整理得：即．
解：的高如图所示．
由图可得：，，边上的高为．
∵，∴．
【点睛】本题考查了用数形结合来证明勾股定理，勾股定理的应用，三角形的高与面积，锻炼了同学们的数形结合的思想方法．
10．（2022春·安徽芜湖·八年级统考期中）图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．
（1）在RtC中，AC=a，BC=b，∠ACB=90°，若图①中大正方形的面积为61，小正方形的面积为1，求；
（2）在（1）的条件下，若将图①中的四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，求这个风车的外围周长（图中实线部分）．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）由题意推出，可得．
（2）由（1）可知，求出a，b的值，再利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）由题意，，
∴，
∴；
（2）由（1）可知，，
∴，
∴，
∴AC=5，BC=6，
∵∠ACB=90°，AC=5，CD=12，
∴AD=，
∴这个风车的外围周长．
【点睛】本题是勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题．读懂题目信息并准确识图是解题的关键．
◎结论1：在正方形ABCD的四边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H，使得BE＝CF＝GD＝AH，则四边形EHGF是正方形.
◎结论2：如图所示，在正方形ABCD的四边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H,使得BE=CF=GD=AH,此外EQ∥BC，HP∥CD，GO∥DA，FR∥AB，
则四边形ORQP是正方形.
◎结论3：如图所示，在正方形ABCD的四边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H，使得BE=CF=GD=AH，此外EQ∥BC，HP∥CD，GO∥DA，FR∥AB， 则:
（1）S正方形 =4S 十S正方形;
（2）S正方形 =4S十S正方形;
（3）S正方形－S正方形＝S正方形－S正方形.
（4）2S正方形=S正方形十S正方形
注：常见的勾股数组合
①3,4,5； ②5,12,13；③6,8,10；④8,15,17；⑤9,12,15;
1．（2023春·四川南充·八年级四川省南充高级中学校考阶段练习）如图所示的“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．该图由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为．若，大正方形面积为，则小正方形边长为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·河北沧州·八年级校考阶段练习）如图，用4个相同的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，若图中直角三角形较短的直角边长是5，小正方形的边长是7，则大正方形的面积是（ ）
A．121B．144C．169D．196
3．（2022秋·福建三明·八年级统考期末）某大会会标如图所示，它是由相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是，小正方形的面积是1，直角三角形中较长的直角边为a，较短的直角边为b，则的值（ ）
A．B．C．D．
4．（2021秋·贵州六盘水·八年级统考阶段练习）如图，这是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF，△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，如果EF＝1，AH＝3，那么AB等于（ ）
A．4B．5C．9D．10
5．（2023春·全国·八年级专题练习）如图是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案．已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，若用a、b表示直角三角形的两直角边（a＞b），则下列说法：①a2+b2=25，②a－b=1，③ab=12，④a+b=7．正确的是（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
6．（2023春·全国·八年级专题练习）用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图，其中四个直角三角形的直角边长分别为，斜边长为．
(1)结合图①，求证：；
(2)如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形．若该图形的周长为48，．求该图形的面积．
7．（2023秋·河南洛阳·八年级统考期末）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
将因式分解．
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式
解法二：原式
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）
【类比】
（1）请用分组分解法将因式分解；
【应用】
（2）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和b（），斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将因式分解，再求值．
8．（2023春·全国·八年级专题练习）我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形（如图1）与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图2）．
(1)利用图2正方形面积的等量关系得出直角三角形勾股的定理，该定理的结论用字母表示： ；
(2)用图1这样的两个直角三角形构造图3的图形，满足，，，，求证（1）中的定理结论；
(3)如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设，，求正方形BDFA的面积．（用m，n表示）
9．（2020秋·广东佛山·八年级统考期中）我们在探索乘法公式时，设置由图形面积的不同表示方法验证了乘法公式．我国著名的数学家赵爽，早在公元世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形（如图①），这个图形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边，与斜边满足关系式，称为勾股定理．
（1）爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图②），也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程．
（2）如图，在每个小正方形边长为的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上．请在图中画出的高，利用上面的结论，求高的长．
10．（2022春·安徽芜湖·八年级统考期中）图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．
（1）在RtC中，AC=a，BC=b，∠ACB=90°，若图①中大正方形的面积为61，小正方形的面积为1，求；
（2）在（1）的条件下，若将图①中的四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，求这个风车的外围周长（图中实线部分）．
培优专题08 赵爽弦图模型
【模型讲解】
◎结论1：在正方形ABCD的四边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H，使得BE＝CF＝GD＝AH，则四边形EHGF是正方形.
◎结论2：如图所示，在正方形ABCD的四边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H,使得BE=CF=GD=AH,此外EQ∥BC，HP∥CD，GO∥DA，FR∥AB，
则四边形ORQP是正方形.
◎结论3：如图所示，在正方形ABCD的四边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H，使得BE=CF=GD=AH，此外EQ∥BC，HP∥CD，GO∥DA，FR∥AB， 则:
（1）S正方形 =4S 十S正方形;
（2）S正方形 =4S十S正方形;
（3）S正方形－S正方形＝S正方形－S正方形.
（4）2S正方形=S正方形十S正方形
注：常见的勾股数组合
①3,4,5； ②5,12,13；③6,8,10；④8,15,17；⑤9,12,15;
1．（2023春·四川南充·八年级四川省南充高级中学校考阶段练习）如图所示的“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．该图由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为．若，大正方形面积为，则小正方形边长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据小正方形的面积等于大正方形的面积减去个全等的三角形的面积，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，
∵大正方形面积为，四个全等的直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，，
∴，，
∴，
∴，即小正方形边长为，
故选：．
【点睛】本题主要考查勾股定理，理解图示的意思，掌握面积法与勾股定理的计算方法是解题的关键．
2．（2023春·河北沧州·八年级校考阶段练习）如图，用4个相同的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，若图中直角三角形较短的直角边长是5，小正方形的边长是7，则大正方形的面积是（ ）
A．121B．144C．169D．196
【答案】C
【分析】直角三角形较短的直角边长是5厘米，即a=5厘米；小正方形的边长是7厘米，则较长直角边为b=5+7=12厘米，最后再根据勾股定理解答即可.
【详解】解：∵直角三角形较短的直角边长是5厘米，即a=5厘米
∴直角三角形较长的直角边长是5+7=12厘米，即b=12厘米
∴c2=52+122=169.
故答案为：C.
【点睛】本题考查了直角三角形的勾股定理，确定直角三角形较长直角边的长度是解答本题的关键.
3．（2022秋·福建三明·八年级统考期末）某大会会标如图所示，它是由相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是，小正方形的面积是1，直角三角形中较长的直角边为a，较短的直角边为b，则的值（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】大正方形的面积是求得，结合小正方形的面积是1求出阴影部分面积即，将变形代入求解即可．
【详解】解：直角三角形中较长的直角边为a，较短的直角边为b，
故斜边长为:
即大正方形边长为:
大正方形的面积是，小正方形的面积是1
阴影部分的面积为：
即
故选：C．
【点睛】本题是以弦图为背景的计算题，考查了勾股定理，图形的面积，关键是用a、b表示面积．
4．（2021秋·贵州六盘水·八年级统考阶段练习）如图，这是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF，△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，如果EF＝1，AH＝3，那么AB等于（ ）
A．4B．5C．9D．10
【答案】B
【分析】根据正方形的性质得到HG＝EF＝1，∠AHB=∠GHE=90°，再由全等三角形的性质得BG＝AH＝3， 则BH＝4，最后根据勾股定理求解即可．
【详解】解：∵四边形EFGH是正方形，EF＝1，
∴HG＝EF＝1，∠AHB=∠GHE=90°，
∵AH＝3，△ABH、△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，
∴BG＝AH＝3，
∴BH＝4，
∴在直角三角形AHB中，由勾股定理得到：，
故选B．
【点睛】此题考查了正方形的性质，勾股定理和全等三角形的性质，解题的关键是得到直角三角形ABH的两直角边的长度．
5．（2023春·全国·八年级专题练习）如图是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案．已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，若用a、b表示直角三角形的两直角边（a＞b），则下列说法：①a2+b2=25，②a－b=1，③ab=12，④a+b=7．正确的是（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
【答案】D
【分析】由大的正方形的边长为结合勾股定理可判断①，由小的正方形的边长为 结合小正方形的面积可判断②，再利用 结合可判断③，再由可判断④，从而可得答案.
【详解】解：由题意得：大正方形的边长为
故①符合题意；
用a、b表示直角三角形的两直角边（a＞b），则小正方形的边长为：
则（负值不合题意舍去）故②符合题意；
而
故③符合题意；
（负值不合题意舍去）故④符合题意；
故选D
【点睛】本题考查的是以勾股定理为背景的几何面积问题，同时考查了完全平方公式的应用，熟练的应用完全平方公式的变形求值是解本题的关键.
6．（2023春·全国·八年级专题练习）用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图，其中四个直角三角形的直角边长分别为，斜边长为．
(1)结合图①，求证：；
(2)如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形．若该图形的周长为48，．求该图形的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)96
【分析】（1）根据图①，外面大正方形面积等于中间小正方形面积与四个完全形同的直角三角形面积的和，列出等式化简即可得到结论；
（2）由图形的周长为48，得到，设，则，在中，由勾股定理列方程得，从而，根据图形即可得到面积为．
【详解】（1）证明：由题意知，，
，即，
；
（2）解：∵，
设，则，
在中，由勾股定理得：，即，
解得：，即在中，，
∴该图形面积为．
【点睛】本题考查几何法证明勾股定理及不规则图形面积求解，数形结合，将图中各个线段长度及面积关系搞清楚是解决问题的关键．
7．（2023秋·河南洛阳·八年级统考期末）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
将因式分解．
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式
解法二：原式
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）
【类比】
（1）请用分组分解法将因式分解；
【应用】
（2）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和b（），斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将因式分解，再求值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）用分组分解法将因式分解即可；
（2）先将因式分解，再求值即可；
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
∵直角三角形的两条直角边长分别是a和，斜边长是3，小正方形的面积是1，
∴，
∴原式．
【点睛】本题主要考查因式分解的知识，熟练掌握因式分解的应用是解题的关键．
8．（2023春·全国·八年级专题练习）我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形（如图1）与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图2）．
(1)利用图2正方形面积的等量关系得出直角三角形勾股的定理，该定理的结论用字母表示： ；
(2)用图1这样的两个直角三角形构造图3的图形，满足，，，，求证（1）中的定理结论；
(3)如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设，，求正方形BDFA的面积．（用m，n表示）
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由大正方形的面积的两种表示列出等式，可求解；
（2）由四边形的面积两种计算方式列出等式，即可求解；
（3）分别求出a，b，由勾股定理可求解．
【详解】（1）解：∵大正方形的面积，大正方形的面积，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）证明：如图：连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵， ，
∴，
∴；
（3）解：由题意可得：，，
∴，，
∴，，
∴，
∴正方形的面积为．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，正方形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
9．（2020秋·广东佛山·八年级统考期中）我们在探索乘法公式时，设置由图形面积的不同表示方法验证了乘法公式．我国著名的数学家赵爽，早在公元世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形（如图①），这个图形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边，与斜边满足关系式，称为勾股定理．
（1）爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图②），也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程．
（2）如图，在每个小正方形边长为的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上．请在图中画出的高，利用上面的结论，求高的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）画图见解析，．
【分析】（1）根据四个全等的直角三角形的面积+阴影部分小正方形的面积=大正方形的面积，代入数值，即可证明；
（2）先根据高的定义画出BD，由（1）中结论求出AC的长，再根据△ABC的面积不变列式，即可求出高BD的长．
【详解】证明：由图②得：整理得：即．
解：的高如图所示．
由图可得：，，边上的高为．
∵，∴．
【点睛】本题考查了用数形结合来证明勾股定理，勾股定理的应用，三角形的高与面积，锻炼了同学们的数形结合的思想方法．
10．（2022春·安徽芜湖·八年级统考期中）图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．
（1）在RtC中，AC=a，BC=b，∠ACB=90°，若图①中大正方形的面积为61，小正方形的面积为1，求；
（2）在（1）的条件下，若将图①中的四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，求这个风车的外围周长（图中实线部分）．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）由题意推出，可得．
（2）由（1）可知，求出a，b的值，再利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）由题意，，
∴，
∴；
（2）由（1）可知，，
∴，
∴，
∴AC=5，BC=6，
∵∠ACB=90°，AC=5，CD=12，
∴AD=，
∴这个风车的外围周长．
【点睛】本题是勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题．读懂题目信息并准确识图是解题的关键．
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