专题04 赵爽弦图（解析版）

【结论1】  如图所示，在正方形ABCD的四边AB、BC、CD、AD上分别取点E、F、G、H中，使得BE=CF=DG=AH，则四边形EFGH为正方形。

【结论2】  如图所示，EQ//NG，FM//HP，则四边形PQMN为正方形。

【结论3】

               S正方形ABCD=4S△EAH+S正方形EFGH

                              S正方形EFGH=4S△EQH+S正方形PQMN

                             2S正方形EFGH= S正方形ABCD+S正方形PQMN

方法点拨

一、解决方法：

①赵爽弦图可以证明勾股定理也可以研究如何拼正方形；

②一个小正方形加上四个全等的直角三角形能拼成一个大正方形

③大正方形的边长为直角三角形的斜边，小正方形的边长为直角三角形长直角边减去短直角边

。

1．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝60，则S2的值是（　　）

A．12 B．15 C．20 D．30

【解答】解：设每个小直角三角形的面积为m，则S1＝4m+S2，S3＝S2﹣4m，

因为S1+S2+S3＝60，

所以4m+S2+S2+S2﹣4m＝60，

即3S2＝60，

解得S2＝20．

故选：C．

1．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连接EG，BD相交于点O，BD与HC相交于点P．若GO＝GP，则的值是（　　）

A．1+ B．2+ C．5﹣ D．

【解答】解：∵四边形EFGH为正方形，

∴∠EGH＝45°，∠FGH＝90°，

∵OG＝GP，

∴∠GOP＝∠OPG＝67.5°，

∴∠PBG＝22.5°，

又∵∠DBC＝45°，

∴∠GBC＝22.5°，

∴∠PBG＝∠GBC，

∵∠BGP＝∠BGC＝90°，BG＝BG，

∴△BPG≌△BCG（ASA），

∴PG＝CG．

设OG＝PG＝CG＝x，

∵O为EG，BD的交点，

∴EG＝2x，FG＝x，

∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，

∴BF＝CG＝x，

∴BG＝x+x，

∴BC2＝BG2+CG2＝＝，

∴＝．

故选：B．

2．如图，已知正方形ABCD的边长为20，以A为圆心，AD长为半径作，点E在上，∠DEC＝135°，则△DEC的面积为（　　）

A．20 B．40 C．20 D．20

【解答】解：如图，取BC的中点T，连接AT交BE于J，连接AE，ET，延长CE交AD于P，过点D作DH⊥CP于H．

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝∠BAD＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝20，

∵AB＝AE＝AD，

∴∠ABE＝∠AEB，∠AED＝∠ADE，

∴∠BED＝∠AEB+∠AED＝（180°﹣∠BAE）+（180°﹣∠EAD）＝135°，

∵∠CED＝135°，

∴∠BEC＝360°﹣135°﹣135°＝90°，

∵BT＝CT，

∴TE＝TB＝TC，

∵AB＝AE，

∴AT垂直平分线段BE，

∵CE⊥BE，

∴AT∥CP，

∵AP∥CT，

∴四边形ATCP是平行四边形，

∴AP＝CT＝10，

∴PD＝AP＝10，

∴PC＝＝＝10，

∵DH⊥PC，

∴•CD•PD＝×PC×DH，

∴DH＝4，

∵∠BCE+∠DCH＝90°，∠DCH+∠CDH＝90°，

∴∠BCE＝∠CDH，

在△BEC和△CHD中，

，

∴△BEC≌△CHD（AAS），

∴EC＝DH＝4，

∴S△DEC＝•EC•DH＝40．

故选：B．

3．如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，EF＝2，那么AH等于（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8

【解答】解：∵AB＝10，EF＝2，

∴大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，

∴四个直角三角形面积和为100﹣4＝96，设AE为a，DE为b，即4×ab＝96，

∴2ab＝96，a2+b2＝100，

∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝100+96＝196，

∴a+b＝14，

∵a﹣b＝2，

解得：a＝8，b＝6，

∴AE＝8，DE＝6，

∴AH＝8﹣2＝6．

故选：C．

4．如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形．如果AB＝13，EF＝7，那么AH等于　5　．

【解答】解：∵AB＝13，EF＝7，

∴大正方形的面积是169，小正方形的面积是49，

∴四个直角三角形面积和为169﹣49＝120，设AE为a，DE为b，即4×ab＝120，

∴2ab＝120，a2+b2＝169，

∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝169+120＝289，

∴a+b＝17，

∵a﹣b＝7，

解得：a＝12，b＝5，

∴AE＝12，DE＝5，

∴AH＝12﹣7＝5．

故答案为：5．

5．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3． 若S1+S2+S3＝15，则S2的值是　5　．

【解答】解：∵图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，

∴CG＝NG，CF＝DG＝NF，

∴S1＝（CG+DG）2

＝CG2+DG2+2CG•DG

＝GF2+2CG•DG，

S2＝GF2，

S3＝（NG﹣NF）2＝NG2+NF2﹣2NG•NF，

∵S1+S2+S3＝15＝GF2+2CG•DG+GF2+NG2+NF2﹣2NG•NF＝3GF2，

∴S2的值是：5．

故答案为：5．

6．四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为4的小正方形EFGH，已知AM为Rt△ABM的较长直角边，AM＝EF，则正方形ABCD的面积为　32　．

【解答】解：设AM＝2a，BM＝b，则正方形ABCD的面积＝4a2+b2，

由题意可知EF＝（2a﹣b）﹣2（a﹣b）＝2a﹣b﹣2a+2b＝b，

∵正方形EFGH的面积为4，

∴b2＝4，

∵AM＝EF，

∴2a＝b，

∴a＝b，

∴正方形ABCD的面积＝4a2+b2＝8b2＝32，

故答案为：32．

7．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式c2＝，化简便得结论a2+b2＝c2．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面两个问题

（1）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝3，BC＝4，求CD的长度．

（2）如图3，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值．

【解答】解：（1）在Rt△ABC中…（2分）

由面积的两种算法可得：…（4分）

解得：CD＝…（5分）

（2）在Rt△ABD中AD2＝42﹣x2＝16﹣x2…（6分）

在Rt△ADC中AD2＝52﹣（6﹣x）2＝﹣11+12x﹣x2…（8分）

所以16﹣x2＝﹣11+12x﹣x2…（9分）

解得＝（10分）

1．（2019无锡）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，D为边AB上一动点（B点除外），以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则△BDE面积的最大值为　8　．

【解答】解：过点C作CG⊥BA于点G，作EH⊥AB于点H，作AM⊥BC于点M．

∵AB＝AC＝5，BC＝4，

∴BM＝CM＝2，

∴△AMB∽△CGB，

∴，

即

∴GB＝8，

设BD＝x，则DG＝8﹣x，

∵ED＝DC，∠EHD＝∠DGC，∠HED＝∠GDC，

∴△EDH≌△DCG（AAS），

∴EH＝DG＝8﹣x，

∴S△BDE＝＝＝，

当x＝4时，△BDE面积的最大值为8．

故答案为8．