人教版八年级数学下学期题型模型培优专题练专题04二次根式的大小比较-原卷版+解析

这是一份人教版八年级数学下学期题型模型培优专题练专题04二次根式的大小比较-原卷版+解析，共21页。


◎方法一 根式变形法
依据：当时， = 1 \* GB3 ①如果，则； = 2 \* GB3 ②如果，则。
方法：将根号外的正因式移入根号内，转化比较被开方数的大小。
适用题型：与之间比较大小问题。
1．（2022春·广东东莞·八年级校考阶段练习）比较：（ ）
A．大于B．小于C．等于D．无法确定
2．（2023春·全国·八年级专题练习）2、、15三个数的大小关系是（ ）
A．2＜15＜B．＜15＜2
C．2＜＜15D．＜2＜15
3．（2021春·湖北黄石·八年级统考期末）比较的大小，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2020秋·四川达州·八年级校考阶段练习）两个数，5的大小关系是 （ ）
A．B．C．D．无法比较
◎方法二 平方法
依据：当时， = 1 \* GB3 ①如果，则； = 2 \* GB3 ②如果，则。
方法：将两个根式同时平方，转化比较幂的大小．
5．（2020春·辽宁营口·八年级统考期中）比较大小：4与5的结果是（ ）
A．4=5B．4＞5C．4＜5D．无法确定
6．（2020春·四川南充·八年级校考期中）下面不等关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．（2019秋·九年级课时练习）设，，，则、、的大小关系是( )
A．B．C．D．
8．（2019春·全国·八年级专题练习）比较大小:4与5的结果是( )
A．前者大B．一样大
C．后者大D．无法确定
◎方法三 分母有理化法
依据：分式的性质。
方法：通过分母有理化，利用分子的大小来比较。
9．（2019秋·陕西西安·八年级校考阶段练习）若，，则（ ）
A．B．C．D．无法确定
10．（2021春·八年级课时练习）已知，，则a与b的大小关系是（ ）．
A．B．C．D．无法确定
11．（2023春·八年级单元测试）设x＝，y＝，则x，y的大小关系是（ ）
A．x＞yB．x≥yC．x＜yD．x＝y
12．（2020春·八年级统考课时练习）设a＝－，b＝－1，c＝，则a，b，c之间的大小关系是( )
A．c＞b＞aB．a＞c＞bC．b＞a＞cD．a＞b＞c
◎方法四 分子有理化法
依据：分式的性质。
方法：通过分子有理化，利用分母的大小来比较。
13．（2023春·全国·八年级期中）已知，，，那么a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
14．（2022春·浙江杭州·八年级统考阶段练习）设，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
15．（2019·浙江杭州·九年级）已知：，，，则、、的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
16．（2023春·重庆长寿·八年级重庆市长寿中学校校考阶段练习）已知 ， ， ，则下列大小关系正确的是( )
A．a＞b＞cB．c＞b＞aC．b＞a＞cD．a＞c＞b
◎方法五 作差比较法
依据： = 1 \* GB3 ①； = 2 \* GB3 ②.
方法：求出两个根式的差，然后判断差值与0的关系．
17．（2022春·上海闵行·七年级上海市七宝中学校考期中）比较大小：___________（用“>”、“<”或“=”填空）
18．（2023·全国·九年级专题练习）比较大小（填“>、<或＝”）：_______2 _______
19．（2022秋·全国·八年级阶段练习）估算比较大小：_______；______．
20．（2021·湖南怀化·统考中考真题）比较大小： __________（填写“＞”或“＜”或“＝”）．
◎方法六 作商比较法
依据：当，时，则： = 1 \* GB3 ①； = 2 \* GB3 ②.
方法：求出两个根式的商，然后判断商值与1的关系．
21．（2023秋·四川乐山·九年级统考期末）比较下列两个数的大小：___________．（用“>”或“<”
22．（2023春·全国·七年级专题练习）比较大小： _____．（填“＞”“＝”或“＜”）
23．（2022春·安徽滁州·八年级统考期末）比较大小：______．（填“＞”“＝”或“＜”）
24．（2022春·河南漯河·八年级统考期中）比较大小：______．
◎方法七 中间值比较法
依据：，且，则.
方法：适当选择介于两个数之间的中间值，利用传递性进行比较.
25．（2023春·八年级课时练习）估计与最接近的整数是（ ）
A．B．C．D．
26．（2023春·八年级课时练习）估算的值应在（ ）．
A．4和5之间B．5和6之间
C．6和7之间D．7和8之间．
27．（2023春·八年级课时练习）比较大小错误的是（ ）
A．＜B．＋2＜﹣1
C．＞﹣6D．|1－|＞－1
28．（2021秋·山东临沂·八年级统考期末）在ABC中，AB＝，BC＝，下列选项中，可以作为AC长度的是（ ）
A．2B．4C．5D．6
◎方法八 特殊值法
方法：可以在许可的条件下设定特殊值进行比较
29．（2020秋·河北邢台·八年级校考阶段练习）已知，则、、、的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
30．（2019·北京昌平·八年级校考期中）已知0<<1，则、 、 、的大小关系是（ ）
A．<<C．<<31．（2015·四川成都·统考一模）已知0＜a＜b，x=，y=，则x，y的大小关系是（ ）
A．x＞yB．x=yC．x＜yD．与a、b的取值有关
培优专题04 二次根式的大小比较的方法
【考法导图】
◎方法一 根式变形法
依据：当时， = 1 \* GB3 ①如果，则； = 2 \* GB3 ②如果，则。
方法：将根号外的正因式移入根号内，转化比较被开方数的大小。
适用题型：与之间比较大小问题。
1．（2022春·广东东莞·八年级校考阶段练习）比较：（ ）
A．大于B．小于C．等于D．无法确定
【答案】B
【分析】把二次根式变形后比较被开方数即可.
【详解】解：=，=，
∵45<75，
∴<．
即<，
故选：B
【点睛】此题考查了二次根式的大小比较，掌握被开方数越大，算数平方根就越大是解决此题的关键.
2．（2023春·全国·八年级专题练习）2、、15三个数的大小关系是（ ）
A．2＜15＜B．＜15＜2
C．2＜＜15D．＜2＜15
【答案】A
【分析】将分别化成，再进行比较即可．
【详解】且
即
故选：A．
【点睛】本题考查了实数的比较大小，比较被开方数，是常用的比较实数大小的方法．
3．（2021春·湖北黄石·八年级统考期末）比较的大小，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】将根号外边的数移入到根号里面可进行大小比较．
【详解】解：，
，
即：；
故选：A．
【点睛】此题考查了实数的大小比较．注意：两个负数，绝对值大的反而小．
4．（2020秋·四川达州·八年级校考阶段练习）两个数，5的大小关系是 （ ）
A．B．C．D．无法比较
【答案】A
【分析】把两数都化为只有根式的形式，再根据根号里面的数比较大小.
【详解】∵,5=
则＜
∴＜5
故答案为A.
【点睛】本题考查了无理数的大小比较，解题关键在于通过比较被开方数的大小去比较无理数的大小.
◎方法二 平方法
依据：当时， = 1 \* GB3 ①如果，则； = 2 \* GB3 ②如果，则。
方法：将两个根式同时平方，转化比较幂的大小．
5．（2020春·辽宁营口·八年级统考期中）比较大小：4与5的结果是（ ）
A．4=5B．4＞5C．4＜5D．无法确定
【答案】C
【分析】首先求出4与5的平方各是多少，然后根据：两个正实数，平方大的这个数也大，判断出4与5的大小关系即可．
【详解】解：，，
∵48＜50，
∴4＜5
故选：C．
【点睛】此题主要考查了实数的大小比较，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：两个正实数，平方大的这个数也大．
6．（2020春·四川南充·八年级校考期中）下面不等关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】比较两个正的二次根式，平方大的二次根式比较大，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，据此逐一作出判断，即可解答．
【详解】解：A. ∵，∴，故选项判断错误，不合题意；
B. ∵，，∴，故选项判断正确，符合题意；
C. ∵，∴，故选项判断错误，不合题意；
D. ∵，，∴，故选项判断错误，不合题意．
故选：B
【点睛】本题考查了二次根式大小的判断，先比较符号，正数大于0，0大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小；两个正的二次根式比较大小，平方大的二次根式较大．
7．（2019秋·九年级课时练习）设，，，则、、的大小关系是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】对a、b、c分别进行变形，然后进行比较即可.
【详解】解：由，，
∵14＜15.5＜16
∴ ，即a＜c＜b
故答案为B.
【点睛】本题主要考查了二次根式的比较，解题的突破口是将他们化为相同的形式，然后进行比较.
8．（2019春·全国·八年级专题练习）比较大小:4与5的结果是( )
A．前者大B．一样大
C．后者大D．无法确定
【答案】C
【详解】∵(4)2=48, (52=50,
∴4<5.
故选C.
◎方法三 分母有理化法
依据：分式的性质。
方法：通过分母有理化，利用分子的大小来比较。
9．（2019秋·陕西西安·八年级校考阶段练习）若，，则（ ）
A．B．C．D．无法确定
【答案】C
【详解】∵;
∴a-b=;
∴a-b<0;
∴a故选C．
10．（2021春·八年级课时练习）已知，，则a与b的大小关系是（ ）．
A．B．C．D．无法确定
【答案】B
【分析】将，进行分母有理化，再比较即可．
【详解】解：，
，
∵，
∴，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查了分母有理化，不等式的性质，实数比较大小等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．
11．（2023春·八年级单元测试）设x＝，y＝，则x，y的大小关系是（ ）
A．x＞yB．x≥yC．x＜yD．x＝y
【答案】A
【分析】把x的值分母有理化，再比较．
【详解】x==3-，3-＞−3，
所以x=-y且x＞y．
故选A．
【点睛】此题考查了分母有理化和比较实数的大小，化简，判断与−3两者互为相反数是解决本题的关键．
12．（2020春·八年级统考课时练习）设a＝－，b＝－1，c＝，则a，b，c之间的大小关系是( )
A．c＞b＞aB．a＞c＞bC．b＞a＞cD．a＞b＞c
【答案】D
【详解】a=－=（-1），b=-1；c===×（-1），
∵＞1＞，
∴a＞b＞c．
故选D．
◎方法四 分子有理化法
依据：分式的性质。
方法：通过分子有理化，利用分母的大小来比较。
13．（2023春·全国·八年级期中）已知，，，那么a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先把化为再结合从而可得答案．
【详解】解：∵，
，
，
而
∴
故选A．
【点睛】本题考查的是二次根式的大小比较，二次根式的混合运算，掌握“二次根式的大小比较的方法”是解本题的关键．
14．（2022春·浙江杭州·八年级统考阶段练习）设，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先将a、b、c的值分子有理化，然后根据分数的比较大小方法即可得出结论．
【详解】解：=
∵＞＞
∴＞＞
∴
故选A．
【点睛】此题考查的是二次根式比较大小，掌握分子有理化是解题关键．
15．（2019·浙江杭州·九年级）已知：，，，则、、的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先利用平方差公式进行二次根式的运算，再比较大小即可．
【详解】
即
故选：D．
【点睛】本题考查了平方差公式、二次根式的运算，掌握二次根式的运算是解题关键．
16．（2023春·重庆长寿·八年级重庆市长寿中学校校考阶段练习）已知 ， ， ，则下列大小关系正确的是( )
A．a＞b＞cB．c＞b＞aC．b＞a＞cD．a＞c＞b
【答案】A
【分析】将a，b，c变形后，根据分母大的反而小比较大小即可．
【详解】解:∵，，，
又，
∴．
故选：A.
【点睛】此题考查了二次根式的大小比较，将根式进行适当的变形是解本题的关键．
◎方法五 作差比较法
依据： = 1 \* GB3 ①； = 2 \* GB3 ②.
方法：求出两个根式的差，然后判断差值与0的关系．
17．（2022春·上海闵行·七年级上海市七宝中学校考期中）比较大小：___________（用“>”、“<”或“=”填空）
【答案】
【分析】通过作差与比较大小即可得出结论．
【详解】解：
，
又，
，即，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查比较两个实数的大小，涉及到作差法比较实数大小、二次根式比较大小的方法等知识点，熟练掌握作差法比较大小的恒等变形判定符号是解决问题的关键．
18．（2023·全国·九年级专题练习）比较大小（填“>、<或＝”）：_______2 _______
【答案】 > >
【分析】根据二次根式比较大小的方法：作差法及平方法进行求解即可．
【详解】解：∵，22=4，
∴5>4，
∴>2；
∵，>2，
∴>0，
∴，
故答案为：>；>．
【点睛】本题考查了二次根式的大小比较，解题的关键是熟练掌握二次根式的大小比较的方法．
19．（2022秋·全国·八年级阶段练习）估算比较大小：_______；______．
【答案】 > <
【分析】①二次根式比较大小，可比较其平方的大小；
②二者作差与作比较，可比较二者的大小．
【详解】解：①，，
故答案为：．
②，
故答案为：．
【点睛】本题考查了根式的大小比较．解题的关键在于识别根式适用的方法．常用的方法有：平方法、作差法、作商法、分子有理化、分母有理化等．
20．（2021·湖南怀化·统考中考真题）比较大小： __________（填写“＞”或“＜”或“＝”）．
【答案】＞
【分析】直接用，结果大于0，则大；结果小于0，则大．
【详解】解：，
∴，
故答案为：＞．
【点睛】本题主要考查实数的大小比较，常用的比较大小的方法有作差法、作商法、平方法等，正确理解和记忆方法背后的知识点是解题关键．
◎方法六 作商比较法
依据：当，时，则： = 1 \* GB3 ①； = 2 \* GB3 ②.
方法：求出两个根式的商，然后判断商值与1的关系．
21．（2023秋·四川乐山·九年级统考期末）比较下列两个数的大小：___________．（用“>”或“<”号填空）
【答案】
【分析】根据二次根式比较大小的方法求解即可．
【详解】解：，，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了比较二次根式的大小，正确化简两个二次根式是解题的关键．
22．（2023春·全国·七年级专题练习）比较大小： _____．（填“＞”“＝”或“＜”）
【答案】
【分析】利用平方运算比较 与的大小，即可解答．
【详解】解：，， ，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的大小比较，不等式的基本性质，掌握二次根式的大小比较的基本方法是解题的关键.
23．（2022春·安徽滁州·八年级统考期末）比较大小：______．（填“＞”“＝”或“＜”）
【答案】＞
【分析】先利用二次根式的性质变形，再比较大小．
【详解】解：∵，，27>20，
∴＞，
故答案为：＞．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
24．（2022春·河南漯河·八年级统考期中）比较大小：______．
【答案】＞
【分析】根据平方法比较大小即可．
【详解】解：（5）2=25×4=100，（4）2=16×5=80，
∵100＞80，
∴5＞4，
故答案为：＞．
【点睛】此题考查了比较二次根式的大小，当两数为大于零的二次根式时，则有a2＞b2⇔a＞b，运用平方法比较二次根式的大小是一种简便的方法．
◎方法七 中间值比较法
依据：，且，则.
方法：适当选择介于两个数之间的中间值，利用传递性进行比较.
25．（2023春·八年级课时练习）估计与最接近的整数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的性质，先估算出的范围，再求出与中点与比较大小，进而得到最接近的整数
【详解】解：，，，
，即，
，且，
，
，即，
与最接近的整数是，
故选：C．
【点睛】本题考查利用二次根式的性质估算无理数的范围，得出的范围是，并取与得中点与比较大小是解决问题的关键．
26．（2023春·八年级课时练习）估算的值应在（ ）．
A．4和5之间B．5和6之间
C．6和7之间D．7和8之间．
【答案】D
【分析】首先把原式化成一个系数为1的二次根式，再分别与比较，即可得到解答．
【详解】解：∵原式= 且49<54<64，
∴ 即，
故选D．
【点睛】本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题关键．
27．（2023春·八年级课时练习）比较大小错误的是（ ）
A．＜B．＋2＜﹣1
C．＞﹣6D．|1－|＞－1
【答案】D
【分析】利用比较实数大小的方法逐项判断正误即可．
【详解】A、由于5<7，则＜，故正确；
B、由于＋2<6+2=8，而8=9-1<－1，则＋2＜﹣1，故正确；
C、由于，则，故正确；
D、由于，故错误．
故选：D
【点睛】本题考查了实数大小的比较，涉及二次根式的比较，不等式的性质等知识，其中掌握二次根式大小的比较是关键．
28．（2021秋·山东临沂·八年级统考期末）在ABC中，AB＝，BC＝，下列选项中，可以作为AC长度的是（ ）
A．2B．4C．5D．6
【答案】A
【分析】根据三角形三边关系，两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，可以得到AC的长度的取值范围，从而得到答案．
【详解】解：∵在△ABC中，AB＝，BC＝，
∴﹣＜AC＜+，
∵（+）2＝8+4＜8+4×2＝16＝42，
∴+＜4，
∵＞，
∴﹣＞0，
∴0＜AC＜4，
∴AC的长度可以是2，
故选项A正确，选项B、C、D不正确，
故选：A．
【点睛】本题考查三角形三边关系以及二次根式的比较大小，解答本题的关键是明确题意，利用三角形三边关系解答．
◎方法八 特殊值法
方法：可以在许可的条件下设定特殊值进行比较
29．（2020秋·河北邢台·八年级校考阶段练习）已知，则、、、的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由，则设代入计算，再分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：∵0＜x＜1，
∴设，
则；
；
；
∵，
∴；
故选：C．
【点睛】本题考查了实数的比较大小，以及二次根式的性质，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简．
30．（2019·北京昌平·八年级校考期中）已知0<<1，则、 、 、的大小关系是（ ）
A．<<C．<<【答案】C
【分析】可根据条件，运用取特殊值的方法比较大小．
【详解】∵0＜x＜1，
∴设x＝，
则x2＝（）2＝，
＝1÷＝1×2＝2．
＝，
∴<<<
故选C．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，利用特殊值比较一些式子的大小是有效的方法．
31．（2015·四川成都·统考一模）已知0＜a＜b，x=，y=，则x，y的大小关系是（ ）
A．x＞yB．x=yC．x＜yD．与a、b的取值有关
【答案】C
【详解】试题分析：x-y=，
∵0＜a＜b，
∴＜4b
∴＜0，
∴x-y＜0．
故选C．
考点：二次根式的化简求值．