河北省邢台市威县第三中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：1．仔细审题，工整作答，保持卷面整洁．
2．考生完成试卷后，务必从头到尾认真检查一遍．
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下面能准确描述石家庄市地理位置的是（ ）
A. 河北省
B. 与邢台相邻
C. 在保定市南偏西方向上，且距离保定处
D. 北纬
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了直角坐标系的定义，解题关键是熟记概念并与生活实际相结合．
在直角坐标系中，对于平面上的任意一点，都有唯一的一个有序数对与之对应，能准确表示位置．
【详解】解：．在河北省大体确定位置，故选项错误，不符合题意；
B．与邢台相邻粗略确定位置，故选项错误，不符合题意；
C、在保定市南偏西方向上，且距离保定处精准确定坐标位置，故选项正确，符合题意．
D．北纬大概确定位置，故选项错误，不符合题意．
故选：C．
2. 若，则下列说法正确的是（ ）
A. a是x的平方根B. x是a的平方根
C. x是a的算术平方根D. a是x的算术平方根
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是平方根的定义．根据平方根及算术平方根的定义解答即可．
【详解】解：，
是的平方根．
故选：B．
3. 如图，当剪刀口增大时，的度数（ ）
A. 减小B. 减小C. 增大D. 不变
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是对顶角，熟记对顶角相等是解题的关键．
根据对顶角相等解答即可．
【详解】解：∵与是对顶角，
，
当增大时，的度数也增大，
故选：C．
4. 下列选项正确的是（ ）
A. 4的平方根是2B.
C. D. 的算术平方根是2
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个数的平方根和算术平方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，据此求解即可．
【详解】解：A、4的平方根是，原说法错误，不符合题意；
B、，原式计算正确，符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、的算术平方根是，原说法错误，不符合题意；
故选：B．
5. “歼－20”是我国自主研制的第五代战斗机．如图，小明将一张“歼－20”一飞冲天的图片放入网格中，若图片上点B的坐标为，点C的坐标为，则点A的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形，解题的关键是根据已知点的坐标，建立平面直角坐标系．
根据点的坐标为，点的坐标为建立平面直角坐标系，得出点的坐标即可．
【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为，
∴建立如图所示的平面直角坐标系，
∴点的坐标为，故A正确．
故选：A．
6. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 点到x轴的距离是3
B. 在平面直角坐标系中，点和点表示同一个点
C. 若，则点在y轴上
D. 在平面直角坐标系中，第三象限内点的横坐标与纵坐标同号
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了点的坐标，正确掌握点的坐标特点是解题关键．
直接利用各象限内点的坐标特点，分别分析得出答案．
【详解】解：A．点到轴距离2，故此选项不合题意；
B．在平面直角坐标系中，点和点不是同一个点，故此选项不合题意；
C．若，则点在轴上，故此选项不合题意；
D．在平面直角坐标系中，第三象限内点的横坐标与纵坐标同号，故此选项符合题意．
故选：D．
7. 如图，将三角形平移到三角形的位置，对下列说法判断正确的是（ ）
甲：连接，则；
乙：平移的方向一定是点A到点D的方向；
丙：平移的最短距离为线段的长
A. 甲对丙错B. 甲错丙对C. 乙对丙错D. 乙错丙对
【答案】D
【解析】
【分析】该题考查了平移的性质，解题的关键是掌握平移前后物体的形状、大小均没有变化，平移物体的各部分移动方向一致，移动的距离相等．
根据移动的距离相等可判断甲；根据平移方向也可上下左右运动判断乙；根据平移方式可判断丙；
【详解】根据平移前后物体的形状、大小均没有变化，平移物体的各部分移动方向一致，移动的距离相等可知甲说法正确；
平移的方向不一定是点A到点D的方向，也可能是先向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，故乙说法错误；
平移最短距离为线段的长度， 故丙说法正确；
故选：D．
8. 如图，，，点D是射线上的一个动点，则线段的长度不可能是（ ）
A. 5.5B. 6C. 8D. 15
【答案】A
【解析】
【分析】根据垂线段最短解题即可．
详解】解：根据垂线段最短，可知，
故选A．
【点睛】本题考查垂线段最短，掌握垂线段最短是解题的关键．
9. 在平面直角坐标系中，轴，，若点，则点B的坐标是（ ）
A. B. 或C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查平面直角坐标系，与x轴平行的直线上的点的纵坐标相等，当时，点B可能在点A的左侧，也可能在点A的右侧，由此求解即可，注意分情况讨论是解题的关键．
【详解】解：轴，点，
点B的纵坐标是，
，
当点B在点A的左侧时，点B的横坐标是，
当点B在点A的右侧时，点B的横坐标是，
点B的坐标是或．
故选D．
10. 图1是某品牌自行车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中，都与地面l平行，，，要使，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质．熟练掌握平行线的性质是解题的关键．由题意知，，则，要使，则，求出，最后计算求解即可．
【详解】解：∵，都与地面l平行，
∴，
∴，
要使，则，
∴，
∴，
∴要使，的度数为，
故选：B．
11. 已知整数n满足：，参考下表数据，判断n的值为（ ）
A. 43B. 44C. 45D. 46
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了无理数的估算，利用夹逼法比较是关键．
根据得到即可比较．
【详解】解：∵，
∴，
∵整数满足：，
∴，
故选：B．
12. 已知题目：“直线，直线，垂足为A，l交a于点B，点C在直线b上，且在直线l的左侧．在直线a上取一点D，连接，过点D作，交直线l于点E．若，求的度数．”嘉嘉画出了如图所示的图形，并求出，而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全”，下列判断正确的是（ ）
A. 淇淇说得对，且的另一个值是
B. 淇淇说的不对，就得
C. 嘉嘉求的结果不对，应得
D. 两人都不对，应有3个不同值
【答案】A
【解析】
【分析】该题主要考查了平行线的性质，解题的关键是画出对应的图形．
根据题意分别画出对应的两种图形根据平行线的性质解答即可；
【详解】根据嘉嘉画出的图形，
，
∴，
∵，
，
，
当点D在如图所示位置时，
，
，
∵，
∴，
．
故选：A．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13. 计算：________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了求一个数的立方根，根据立方根的定义，即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
14. 要说明命题“带根号的数是无理数”是假命题，请举出一个反例：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题；经过推理、论证得到的真命题称为定理．根据命题举出使得命题不成立的例子即可．
【详解】解：依题意，是有理数；
∴说明命题“带根号的数是无理数”是假命题．
故答案为：（答案不为一）．
15. 如图，将长方形纸片沿直线折叠．若，则______．

【答案】##100度
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质以及折叠的性质，由正方形的性质得出，由平行的性质得出，由叠的性质可知：，再由平角的定义即可求出．
【详解】解：∵是正方形，
∴，
∴，
由折叠的性质可知：，
∴，
故答案为：．
16. 如图，将点先向右平移1个单位长，再向上平移1个单位长，得到点；将点向上平移1个单位长，再向右平移2个单位长，得到点；将点向上平移2个单位长，再向右平移4个单位长，得到点；将点向上平移4个单位长，再向右平移8个单位长，得到点；…按这个规律平移得到点，则点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形变化-平移、规律型问题等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
先求出点的横坐标和纵坐标，再从特殊到一般探究出规律，然后利用规律即可解决问题．
【详解】解：点的横坐标为，纵坐标为，
点的横坐为标，纵坐标为，
点的横坐标为，纵坐标为，
点的横坐标为，纵坐标为，
，
按这个规律平移得到点的横坐标为，纵坐标为，
∴点的横坐标为，纵坐标为，
∴．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 按要求完成下列各小题．
（1）计算：；
（2）已知，，计算a，b的值，并比较大小．
【答案】（1）3 （2）；；
【解析】
【分析】该题主要考查了算术平方根和立方根，实数的乘法运算以及有理数比较大小，解题的关键是掌握实数的相关运算法则．
（1）先根据平方根和立方根计算每一项，再合并即可；
（2）先化简，再根据有理数比较即可；
【小问1详解】
；
【小问2详解】
，，
∵，
．
18. 三角形在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）分别写出下列各点的坐标：A______，B______，C______；
（2）若三角形是由三角形平移得到的，点的位置如图9所示，画出三角形；点是三角形内部一点，则点P在三角形内的对应点的坐标为______．
【答案】（1）；；
（2）作图见详解；
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形变化-平移，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．
（1）根据的位置写出坐标即可．
（2）先确定平移的方式，再利用平移变换的规律解决问题即可．
【小问1详解】
解：根据题意得；
故答案为：；；；
【小问2详解】
由题图可知：三角形向左平移4个单位，再向下平移5个单位得三角形，画图如图所示：
∴三角形内部点向左平移4个单位，再向下平移5个单位得三角形内部的对应点，
故答案为：．
19. 如图,有如下三个论断:①AD∥BC,②∠B=∠C,③AD平分∠EAC.
⑴请从这三个论断中选择两个作为条件,余下的一个作为结论,构成一个真命题．试用“如果…那么…”的形式写出来.(写出所有的真命题，不要说明理由)⑵请你在上述真命题中选择一个进行证明.
已知：
求证：
证明：
【答案】（1）如果①②，那么③…如果①③，那么②如果②③，那么①;（2）详见解析.
【解析】
【分析】（1）答案一：如果①，②，那么③；答案二：如果②、③，那么①；答案三：如果①，③，那么 ②；
（2）利用平行线的性质和判定可以一一证明；
【详解】解：（1）答案一：如果①，②，那么③；
答案二：如果②、③，那么①；
答案三：如果①，③，那么 ②；
（2）答案一：如果①，②，那么 ③：
∵AD∥BC，
∴∠B=∠DAE，∠C=∠CAD，
∵∠B=∠C，
∴∠DAE =∠CAD,
即AD平分∠EAC；
答案二：如果②、③，那么 ①：
∵∠B+∠C=180°-∠BAC，∠CAE=180°-∠BAC，
∴∠CAE =∠B+∠C，
∵AD平分∠EAC,
∴∠EAD=∠CAD，
∵∠B=∠C，
∴∠B=∠EAD，
∴AD∥BC．
答案三：如果 ①，③，那么②：
∵AD∥BC，
∴∠B=∠DAE，∠C=∠CAD，
∵AD平分∠EAC,
∴∠DAE =∠CAD，
∴∠C=∠B.
【点睛】本题考查命题与定理、平行线的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
20. 阅读材料，解答问题：
材料：，
∴，即，
∴的整数部分是2，小数部分为．
问题：已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分．
（1）求的小数部分；
（2）求的平方根．
【答案】（1）小数部分
（2）
【解析】
【分析】本题考查了无理数的估算、立方根、算术平方根、平方根，熟练掌握以上知识点，准确进行计算是解此题的关键．
（1）先估算出的范围，得出的整数部分，即可得到小数部分；
（2）先根据立方根、算术平方根的定义、无理数的估算求出的值，从而求出的值，再根据平方根的定义得出答案．
【小问1详解】
解：，
，
∴整数部分为3 ，小数部分；
【小问2详解】
解：的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分，
，，，
，，，
，
的平方根为：．
21. 如图，直线相交于点O，平分，．
（1）若，求的度数；
（2）猜想与之间的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）
（2），见解析
【解析】
【分析】此题主要考查了垂线，角平分线的定义，平角的定义，掌握这几个知识点的综合应用是解题关键．
（1）由平角的定义可得，由角平分线的定义可得，最后由平角定义可得结论；
（2）根据角平分线的定义，平角的定义可得结论．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
【小问2详解】
，理由如下：
设，，则，，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴．
22. 如图，在的小正方形组成的网格中有一个正方形．每个小正方形的边长为1，点A表示的数为1．
（1）正方形的面积为多少？它的边长为多少？这个值在哪两个连续整数之间？
（2）若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，我们把点B滚到数轴上的点P时，记为第一次翻滚，点C翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚，以此类推．
①点P表示的数为多少？
②是否存在正整数n，使得该正方形n次翻滚后，其顶点A，B，C，D中的某个点与2024重合？
【答案】（1）面积为10；它的边长为，在3和4之间
（2）①1+；②不存在
【解析】
【分析】本题考查实数与数轴，算术平方根，正方形的面积，无理数的估算．掌握等面积法是解决（1）的关键，（2）中需注意小数部分分原数正整数部分．
（1）根据阴影部分的面积等于正方形的面积减去四周四个小直角三角形的面积列式计算，再利用算术平方根的定义求出边长，最后利用无理数的估算方法即可得到答案；
（2）①根据点表示的数和正方形的边长即可得到点表示的数；②判断是否是正方形边长的整数倍，即可得出结论．
【小问1详解】
解：正方形的面积为，
∴正方形的边长为；
∵，
∴，
∴这个值在3与4之间；
【小问2详解】
①∵点表示的数为1，正方形的边长为，
∴点表示的数为：．
②不存在．
理由：假设存在正整数，则，，
∵为正整数，
∴为有理数，而为无理数，
∴上式等号不成立．即不存在正整数．
23. 在综合与实践课上，老师让同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线，，且，直角三角尺中，，．
（1）【操作发现】
如图（1），当三角尺的顶点B在直线b上时，若，则 °；
（2）【探索证明】
如图（2），当三角尺的顶点C在直线b上时，请写出∠1与∠2间的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展应用】
如图（3），把三角尺的顶点B放在直线上且保持不动，旋转三角尺，点A始终在直线（D为直线上一点）的上方，若存在，请直接写出射线与直线a所夹锐角的度数．
【答案】（1）35 （2），理由见解析
（3）或
【解析】
【分析】（1）过点作直线，先证，从而得，，则，再根据，可求出的度数；
（2）先求出，由（1）可知，再由平角的定义得，据此可得与间的数量关系；
（3）依题意可分为以下两种情况：①当在直线的上方时，先求出，设，则，由平角的定义得，即由此求出，进而得，然后根据平行线的性质可求出的度数；②当在直线的下方时，同理得，设，则，进而得，由平角的定义得，即，由此解出，进而得，然后根据平行线的性质可求出的度数；综上所述可得射线与直线所夹锐角的度数．
此题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．
【小问1详解】
解：过点作，如图1所示：
直线，
，
，，
，
，
，，
，
故答案为：35．
【小问2详解】
解：与间的数量关系是：，理由如下：
如图2所示：
，，
，
由（1）可知：，
，
，
，
，
即，
【小问3详解】
解：依题意有以下两种情况：
①当在直线的上方时，如图3所示：
，，
，
设，
则，
点在直线上且保持不动，
，
，
解得：，
，
直线，
，
，
②当在直线的下方时，如图4所示：
同理得：，
设，
则，
，
点在直线上且保持不动，
，
，
解得：，
，
直线，
，
，
综上所述：射线与直线所夹锐角的度数为或．
24. 如图1，已知点，点位于第二象限且是由点A沿与x轴垂直的方向向上平移一定单位长度得到的．
（1）直接写出一个符合条件的点B的坐标；并求的长在什么范围？
（2）若，以为边作正方形，如图2所示，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路运动到点A停止．
①当运动3秒时，求点P的坐标；
②在运动过程中，当点P到x轴的距离大于或等于1个单位长度时，求点P运动的时长；
③在运动过程中，求点P运动多少秒时，以点P，O，A为顶点的三角形的面积等于1？
【答案】（1）点符合条件，的长大于1
（2）①；②4；③7
【解析】
【分析】该题主要考查了坐标与图形，点运动规律，解答的关键是理解题意，数形结合，
（1）根据点位于第二象限且是由点A沿与x轴垂直的方向向上平移一定单位长度得到的即可求解；
（2）①根据点P从点A出发，以每秒2个单位长度运动得出点P的坐标；
②根据P到x轴的距离大于或等于1个单位长度时，得出点P在或上运动，得出运动的路程为8，即可算出运动的时长；
③设点P运动的时间为t秒．分为当点P在边上时，当点P在边上时，当点P在上时，当点P在边上时，分别列方程解答即可；
【小问1详解】
解：根据题意得点B的横坐标为，纵坐标大于0，
点符合条件，的长大于1；
【小问2详解】
①点P运动的路程为，
∴此时点P的坐标为；
②P到x轴的距离大于或等于1个单位长度时，点P运动的路程为8，运动的时长为；
③设点P运动时间为t秒．
如图1，当点P在边上时，由，得；
如图2，当点P在边上时，，
解得；
如图3，当点P在上时，，
解得；
如图4，当点P在边上时，，
得．
m
43
44
45
46
1849
1936
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2116