2023年广东省江门市江海区中考数学一模试卷（含解析）

2023年广东省江门市江海区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  年全国两会政府报告指出：人民生活进一步改善，全国居民人均可支配收入实际增长，快于经济增速，扶贫攻坚力度加大，农村贫困人口减少人其中，数据用科学记数法表示应为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列垃圾分类标识的图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  某校九年级班名同学在“二十大知识”竞赛中的成绩如表所示：，，，，，，，，，则这个班学生成绩的众数、中位数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

5.  如图所示的电路图，同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知直线，将一块含角的直角三角板，按如图所示方式放置，其中、两点分别落在直线、上，若，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在中，是直径，是弦若，则(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在矩形中，，，分别以点、为圆心，、为半径画弧，交于点，交于点，则图中阴影部分的面积是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  因式分解：          ．

12.  点关于原点的对称点的坐标为          ．

13.  把函数的图象向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，平移后图象的函数解析式为______ ．

14.  已知，满足方程组，则的值为______ ．

15.  如图，二次函数图象的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，给出下列结论：；图象与轴的另一个交点为：当时，随的增大而增大；，正确结论的序号是______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：．

17.  本小题分
先化简，再求值，其中．

18.  本小题分
如图，在中，，．
尺规作图：作的平分线交于点；不写作法，保留作图痕迹
若，求的长．

19.  本小题分
年月广东省体育局、广东省教育厅印发关于深化体教融合，促进青少年健康发展的实施意见意见明确：中小学每天上午安排不少于分钟的课间体育活动，当天没有体育课的，下午安排不少于分钟的课外体育锻炼某学校为了解学生运动时间情况，对部分同学进行了调查，并绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答下列问题：

本次调查一共抽取了        名学生，请通过计算后补全条形统计图；
       ，扇形统计图中“”所在扇形的圆心角为        ；
若该校共有名学生，试估计该校学生平均每天体育运动时间不低于分钟的学生人数．

20.  本小题分
为做好疫情防控工作，确保师生生命安全，学校门口安装一款红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射的能量对进入测温区域的人员进行快速体温检测，无需人员停留和接触如图所示，是水平地面，其中是测温区域，测温仪安装在校门上的点处，已知，．

       度，        度
学生身高米，当摄像头安装高度米时，求出图中的长度；结果保留根号
为了达到良好的检测效果，测温区的长不低于米，请计算得出设备的最低安装高度是多少？结果保留位小数，参考数据：

21.  本小题分
某超市计划购进甲、乙两种水果进行销售，经了解，甲种水果和乙种水果的进价与售价如表所示：

已知用元购进甲种水果的重量与用元购进乙种水果的重量相同．
求甲、乙两种水果的进价；
若该超市购进这两种水果共千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的倍，若全部卖完所购进的这两种水果，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？

22.  本小题分
如图，以线段为直径作，交射线于点，平分交于点，过点作直线于点，交的延长线于点连接并延长交于点．
求证：直线是的切线；
求证：；
若，，求的长．

23.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交，轴于点、，抛物线经过点、，点为第四象限内抛物线上的一个动点．
写出点、点的坐标；
求此抛物线对应的函数表达式；
如图，过点作轴，分别交直线、轴于点、，若以点、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的倒数是．
故选：．
乘积是的两数互为倒数，由此即可得到答案．
本题考查倒数，关键是掌握倒数的意义．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种表示数的方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．
本题考查科学记数法表示较大的数，科学记数法是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
 

3.【答案】 

【解析】解：既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
B.既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

4.【答案】 

【解析】解：从小到大排列此数据为：，，，，，，，，，，数据出现了三次最多为众数，，处在第位和第位，所以本题这组数据的中位数是，
故选：．
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
本题考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
 

5.【答案】 

【解析】解：把、、分别记为、、，
画树状图如下：

共有种可能的结果，其中同时闭合两个开关能形成闭合电路的结果有种，即、、、．
所以同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率为．
故选：．
画树状图，可知共有种可能的结果，其中同时闭合两个开关能形成闭合电路的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

6.【答案】 

【解析】解：一元二次方程，
移项得：，
配方得：，
变形得：．
故选：．
方程移项，配方变形后得到结果，即可作出判断．
此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：


，
，
．
故选：．
由平行线的性质：两直线平行，内错角相等直接可得：，得出．
本题主要考查平行线的性质，准确判断角的位置关系是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：是的直径，
，
，，
，
，
，
故选：．
根据圆周角定理得出，根据角的和差求出，再根据圆周角定理求解即可．
此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
，
由旋转的性质可知，为等腰直角三角形，
．
故选：．
首先在中可结合“所对的直角边等于斜边的一半”求出，再结合旋转的性质可知为等腰直角三角形，从而求解即可．
本题考查直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半，以及旋转的性质，掌握直角三角形中的“斜中半”定理，熟练运用旋转的性质是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：矩形，
，
，
故选：．
用矩形的面积减去半圆的面积即可求得阴影部分的面积．
本题考查了扇形的面积的计算及矩形的性质，能够了解两个扇形构成半圆是解答本题的关键，难度不大．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
直接利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．
【解答】
解：．
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】

【分析】
根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接得到答案．
此题主要考查了两个点关于原点对称时，关键是掌握点的坐标的变化规律．
【解答】
解：点关于原点的对称点的坐标为，
故答案为：．  

13.【答案】 

【解析】解：把函数图象向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，平移后图象的函数解析式为：．
故答案为：．
直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：
解法一：

，得：，
，
故答案为：．
解法二：
，
，得：，
，得：，
把代入，得，
解得：，
方程组的解为，
，
故答案为：．
用整体思想凑出或其整数倍，然后求解；或者用加减消元法解二元一次方程组，然后求解．
本题考查解二元一次方程组，掌握消元法解方程组的步骤准确计算是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向下，
，
图象的对称轴为直线，
，
，
抛物线与轴的交点在轴的正半轴，
，
，所以错误；
抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点为，
抛物线与轴的另一个交点为，所以正确；
抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下，
在对称轴左侧，随的增大而增大，
当时，随的增大而增大，所以正确；
抛物线开口向下，图象的对称轴为直线，
当时，有最大值，
，所以正确．
故答案为：．
利用抛物线开口方向确定，利用对称轴可确定，利用抛物线与轴的交点位置确定，从而可对进行判断；利用抛物线的对称性可对进行判断；根据二次函数的性质可对进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置．当与同号时即，对称轴在轴左侧；当与异号时即，对称轴在轴右侧．常数项决定抛物线与轴交点位置：抛物线与轴交于抛物线与轴交点个数由决定：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点．
 

16.【答案】解：原式

． 

【解析】先化简二次根式和，以及，再结合即可求值．
本题考查最简二次根式以及二次根式的减法运算、负指数的运算法则以及特殊角的三角函数值等知识内容，正确掌握法则，其中，为整数是解题的关键．
 

17.【答案】解：


，
当时，原式． 

【解析】先算括号内的加法，再算括号外的除法，然后将的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式加法和除法的运算法则．
 

18.【答案】解：如图射线即为所求；


，，
，
平分，
，
，
，
． 

【解析】利用尺规作出的平分线交于点；
只要证明，求出即可解决问题；
本题考查基本作图，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

19.【答案】     

【解析】解：本次调查一共抽取的学生有名，
则运动时间为的学生有名，
补全统计图如下，

故答案为：；
，
，
“”所在扇形的圆心角为；
故答案为：，；
名，
该校学生平均每天体育运动时间不低于分钟的学生人数有名．
根据“”的人数除以所占的百分比，即可求出调查的总人数，再算出“”的人数，补全条形统计图即可；
用“”的人数除以总人数，即可求出，先算出所占的百分比，再乘以即可求解；
用乘以平均每天体育运动时间不低于分钟的学生人数所占的百分比即可求解．
本题主要考查条形统计图、用样本估计总体、扇形统计图，从统计图中获取数量和数量关系是正确计算的前提，样本估计总体是统计中常用的方法．
 

20.【答案】   

【解析】解：依题意，，
，．
，
；，
故答案为：；；
，，
，
在中，，
米，
，
图中的长度为米；
，，
，
米，
米，
设备的最低安装高度是米．
根据题意得出，进而根据直角三角形的两个锐角互余即可求解；
根据题意，先求得，解即可求解；
根据题意得出，解，得出，然后根据，即可求解．
本题考查了解直角三角形的的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
 

21.【答案】解：设甲种水果进价为元千克，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，
答：甲的进价是元千克，乙的进价是元千克；
设购买甲种水果千克，则购买乙种水果千克，总利润是元．
，
，
，
，
越小，越大，
即时，最大，为元．
答：当超市购进甲种水果千克，乙种水果千克时，利润最大是元． 

【解析】根据用元购进甲种水果的重量与用元购进乙种水果的重量相同列出分式方程，解之即可；
设购进甲种水果千克，则乙种水果千克，利润为，列出关于的表达式，根据甲种水果的重量不低于乙种水果重量的倍，求出的范围，再利用一次函数的性质求出最大值．
本题考查了分式方程和一次函数的实际应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数表达式．
 

22.【答案】证明：连接，则，
，
平分，
，
，
，
，
，
是的半径，且，
直线是的切线．
证明：线段是的直径，
，
，
，，
，
，
．
解：，，
，
是等边三角形，
，
，，
，
，
，
，
，
． 

【解析】此题重点考查切线的判定、直径所对的圆周角是直角、等角的余角相等、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
连接，由证明，得，即可证明直线是的切线；
由线段是的直径证明，再根据等角的余角相等证明，则；
由，证明，则是等边三角形，所以，则，所以，再证明，得．
 

23.【答案】解：令，得，则，
令，解得，则，
把，代入中，
得，
解得．
抛物线的解析式为：；
轴，
．
，
以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形相似，存在两种情况：
当时，如图，过作轴于，

，
，
，
∽．
．
设的坐标为．
，化简得．
解得舍去或．
；
当时，如图，则轴，所以和是对称点．

所以当时，则，解得舍去或．
．
综上，点的坐标或． 

【解析】分别令，或，即可得答案；
本题所求二次函数的解析式含有两个待定字母，一般需要两个点的坐标建立方程组，现在可代入、点坐标，列方程组可解答；
根据，，可知相似存在两种情况：当时，如图，过作轴于，证明∽，列比例式可得结论；当时，如图，则和是对称点，可得的纵坐标为，代入抛物线的解析式可得结论．
此题是二次函数的综合题，是中考的压轴题，难度较大，计算量也大，主要考查了待定系数法求解析式，还考查了三角形的面积，相似三角形的性质与判定，并学会构造相似三角形解决问题．