2023年广东省江门市新会区中考数学一模试卷（含解析）

2023年广东省江门市新会区中考数学一模试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各数中，是无理数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  水是由氢原子和氧原子组成的，其中氧原子的直径是米，用科学记数法可表示为(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

4.  有名同学，男女，现随机抽人参加课外学习小组活动，其中一定抽到女同学的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  不等式组的解集在以下数轴表示中正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  右图是某几何体的三视图，这个几何体是(    )

A. 圆柱
B. 三棱柱
C. 球
D. 圆锥

7.  已知、是方程的两个实数根，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在平行四边形中，的平分线交于点，的平分线交于点，若，，则的长是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，矩形的面积为，它的对角线与双曲线相交于点，且：：，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  在中，，点是斜边边上一点，以为圆心，为半径作圆，恰好与边相切于点，连接若，的半径为，则的长度为(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  已知方程组，则______．

12.  两位同学在描述同一反比例函数的图象时，甲同学说：“这个反比例函数图象上任意一点到两坐标轴的距离之积是”乙同学说：“这个反比例函数图象与直线有两个交点”你认为这两个同学所描绘的反比例函数对应的解析式是______ ．

13.  半径为的半圆围成一个圆锥，则这个圆锥的高是_____．

14.  如图，是的一条半径，点是延长线上一点，过点作的切线，点为切点若，，则 ______ ．

15.  在九章算术“割圆术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种由有限到无限的转化思想比如在求的和中，“”代表按此规律无限个数相加不断求和我们可设则有，即，解得，故．
类似地，请你计算： ______ 直接填计算结果即可

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

16.  解方程：

四、解答题（本大题共7小题，共67.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点，点的横坐标为．
根据图象信息可得关于的方程的解为______；
求一次函数的解析式．

19.  本小题分
为了解市民对江门市创建全国文明城市工作的满意程度，某学校数学兴趣小组在骏景湾小区内进行了调查统计将调查结果分为不满意，一般，满意，非常满意四类，回收、整理好全部问卷后，有意隐去了一些数据，得到不完整的统计图表，设计了一道数学题．

请结合图中的信息，解决下列问题：
请求出接受问卷调查的人数，并补全条形统计图；
请求出扇形统计图中“满意”部分的圆心角度数；
该兴趣小组准备从调查结果为“不满意”的位市民中随机选择位进行回访，已知这位市民中有位男性，位女性请用画树状图或列表的方法求出选择回访的市民为“一男一女”的概率．

20.  本小题分
某商城销售一新款耳机，每件进价为元，经过试销发现，该耳机每天的销售量件与销售单价元之间满足如下关系：．
求该商店销售这款耳机每天获得的利润元与之间的函数关系式；
销售单价定为多少时，每天能获得最大的利润？每天利润的最大值是多少元？

21.  本小题分
如图，已知：梯形中，，为的中点，连接并延长交于点，连接．
求证：；
在原有条件不变的情况下，请你再添加一个条件不再增添辅助线，使四边形成为菱形，并说明理由．

22.  本小题分
如图，是的内接三角形，为的直径，过点的直线交的延长线于点，连接，且，．
求证：是的切线；
若，，，求和的长度．

23.  本小题分
如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点在点左侧，点的坐标为，点的坐标为为．

求抛物线的函数关系式；
若点是轴上的一点，在抛物线上是否存在点，使以、、、为顶点且以为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；
B、是无理数，故此选项符合题意；
C、是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；
D、，是整数，属于有理数，故此选项不符合题意．
故选：．
分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，每两个之间依次多个等形式．
 

2.【答案】 

【解析】解：，故本选项不合题意；
B.，故本选项不合题意；
C.，故本选项不合题意；
D.，故本选项符合题意；
故选：．
选项A、分别根据合并同类项法则判断，选项C根据同底数幂的除法法则判断，选项D根据幂的乘方运算法则判断即可．
本题考查了合并同类项，同底数幂的除法以及幂的乘方，掌握相关运算法则是解答本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据题意画树状图：

共有种可能的结果，一定抽到女同学的情况有种，
一定抽到女同学的概率为：，
故选：．
根据题意画出树状图，由树状图求得一定抽到女同学的情况，再利用概率公式即可求得答案．
本题考查的是用画树状图法求概率．画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．概率所求情况数与总情况数之比．熟练掌握画树状图、灵活运用求概率的公式是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
如图，在数轴上表示不等式、的解集，可知所求不等式组的解集是：．

故选：．
解两个一元一次不等式，再在数轴上画出两个不等式的解集．
本题考查了解一元一次不等式组，解不等式组的关键是确定两个不等式解集的公共部分．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱，
故选B．
由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．
此题主要考查了由三视图判断几何体，主视图和左视图的大致轮廓为长方形的几何体为柱体，俯视图为几边形就是几棱柱．
 

7.【答案】 

【解析】解：、是方程的两个实数根，
，，
，
故选：．
根据一元二次方程根与系数的关系得到，，再由进行求解即可．
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若，是该方程的两个实数根，则．
 

8.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
又平分，
，
，
；
同理可得：，
，
，
，
．
故选：．
根据平行四边形的性质证明，，进而可得和的长，然后可得答案．
本题主要考查了平行四边形的性质，解决本题的关键是在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可利用等腰三角形的性质解题．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，连接，过点作于，

矩形的面积为，
，
：：，
，
，，
，
，
，
双曲线图象过点，
，
又双曲线图象在第二象限，
，
，
故选：．
由矩形的性质求出的面积，由平行线分线段成比例可求，可求的面积，由反比例函数的性质可求解．
本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，平行线分线段成比例等知识，求出的面积是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：连接，则，
，
与边相切于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
连接，可证明，进而证明，则，所以，，于是得到问题的答案．
此题重点考查等腰三角形的性质、切线的性质、平行线的性质、直角三角形的两个锐角互余、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：两方程相加得：，
则．
故答案为：．
两方程相加，变形即可求出的值．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：加减消元法与代入消元法．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
，
又图象与直线有两个交点，
，
故反比例函数的解析式是．
故答案为：．
根据反比例函数中的几何意义，再根据图象与直线有两个交点，可知反比例函数图象在一、三象限，即可判断的值
本题考查反比例函数的几何意义，判断反比例函数的象限是关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：半径为的半圆围成一个圆锥，
圆锥的母线，圆锥底面半径，
圆锥的高．
故答案为：．
由半圆的半径可得出圆锥的母线及底面半径的长度，利用勾股定理即可求出圆锥的高．
本题考查了圆锥的计算，利用勾股定理求出圆锥的高是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意得，，，，
是直角三角形，
设，则，
在中，，根据勾股定理得，，
，
解得：，
则半径的长为，
，
，
故答案为：．
由题意得，是直角三角形，设，则，在中，，根据勾股定理得，，解得，进而根据正弦的定义即可求解．
本题考查了切线的性质，勾股定理，求角的正弦值，熟练掌握切线的性质，正弦的定义是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：设，
则，
，
解得．
故答案为：．
设，仿照例题进行求解即可．
本题考查数字的变化类及解一元一次方程，理解题意，正确列出方程是解题的关键．
 

16.【答案】解：方程两边同乘以，
得，
，
．
经检验：是原方程的根． 

【解析】本题考查了分式方程的解法，解分式方程的基本思想是“转化思想”，方程两边都乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程一定注意要代入最简公分母验根．两边都乘以最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．
 

17.【答案】解：

． 

【解析】根据特殊角的三角函数值，分母有理化，二次根式的性质，有理数的乘方进行计算即可求解．
本题考查了实数的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值，分母有理化，二次根式的性质，有理数的乘方是解题的关键．
 

18.【答案】或 

【解析】解：根据图象可知方程的解即为一次函数图象在反比例函数图象交点的横坐标，
点的横坐标为，点的横坐标为，
关于的方程的解为或，
故答案为：或；
反比例函数的图象与一次函数的图象交于，
，
，
点的横坐标为，
点的纵坐标为，
把，的坐标代入得
，
解得：，
．
根据图象可知方程的解即为一次函数图象在反比例函数图象交点的横坐标，结合、点的横坐标可得出答案．
首先把点于代入，求出的值，因为点的横坐标为，所以可代入反比例函数的解析式求出其纵坐标，再把，的坐标代入一次函数的解析式求出和的值即可．
本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，解题的关键是先由点的坐标求函数解析式，然后解由解析式组成的方程组求出交点的坐标，体现了数形结合的思想．
 

19.【答案】解：人，
满意的人数为：人
补全图形如下：

，
画树状图得：

共有种等可能的结果，其中是“一男一女”的有种情况，
一男一女的概率为． 

【解析】由非常满意的有人，占，即可求得此次调查中接受调查的人数．用总人数减去不满意人数、一般人数、非常满意人数，即可求得此次调查中结果为满意的人数，进而补全统计图．
根据乘以满意的人数的占比即可求解．
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与“一男一女”的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形与扇形统计图的知识．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

20.【答案】解：依题意，；
每天获得的利润元与之间的函数关系式为；
，
，
当时，取得最大值，最大值为元，
答：销售单价定为元时，每天能获得最大的利润，每天利润的最大值是元． 

【解析】根据总利润等于每个耳机的利润乘销售量可得答案；
根据的解析式，根据二次函数的性质求得最大值即可求解．
本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系，掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

21.【答案】证明：在和中，
，
，．
又为的中点，
．
≌．
．

添加．
证明：，
又，
四边形为平行四边形．
又，
四边形为菱形． 

【解析】，，为的中点，利用证得≌；
若四边形成为菱形，则应证四边形是平行四边形，因而加一组邻边相等即可，如：．
本题利用了：两直线平行，内错角相等；全等三角形的判定和性质；平行四边形和菱形的判定．
 

22.【答案】证明：如图，连接，

为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：如图，过点作于点，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
为的直径，
，
，，
，
在中，，
，
，． 

【解析】连接，根据直径所对的圆周角为直角可得，再说明，即可说明，从而解决问题；
过点作于点，首先根据，，得，再解即可．
本题主要考查了切线的判定与性质，含角的直角三角形的性质，解三角形等知识，将问题转化为解是解题的关键．
 

23.【答案】解：抛物线过点，，
，
解得：
抛物线的函数关系式为；

在抛物线上存在点，使以，，，为顶点且以为一边的四边形是平行四边形．理由：
如图，当点在轴下方时，则：，

点的纵坐标为，
令，则，
解得，，
点的坐标为；
如图，当点在轴上方时，
平行四边形的对角线分平行四边形为面积相等的两个三角形，点到轴的距离为，

点到轴的距离为，
令，则，
解得，
，，
综上可得，在抛物线上存在点，使以，，，为顶点且以为一边的四边形是平行四边形，点的坐标为或或． 

【解析】待定系数法求出函数解析式即可；
分点在轴上方和轴下方，两种情况进行讨论求解．
本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键．