2023-2024学年辽宁省沈阳市铁西区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

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这是一份2023-2024学年辽宁省沈阳市铁西区八年级（下）期中数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列数学经典图形中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.如果xA. −x−1<−y−1B. x+1>y+1
C. −2x<−2yD. 2x<2y
3.因式分解：x2+2x=( )
A. x(x+2)B. x(x−2)C. 2(x+2)D. 2(x−2)
4.如图，由图形a通过平移可以得到的图形是( )
A.
B.
C.
D.
5.不等式x+1≥2的解集在数轴上表示为( )
A. B.
C. D.
6.阅读以下作图步骤：
①在OA和OB上分别截取OC，OD，使OC=OD；
②分别以C，D为圆心，以大于12CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点M；
③作射线OM，连接CM，DM，如图所示．
根据以上作图，一定可以推得的结论是( )
A. ∠1=∠2且CM=DMB. ∠1=∠3且CM=DM
C. ∠1=∠2且OD=DMD. ∠2=∠3且OD=DM
7.小霞原有存款52元，小明原有存款70元.从这个月开始，小霞每月存15元零花钱，小明每月存12元零花钱，设经过n个月后小霞的存款超过小明，可列不等式为( )
A. 52+15n>70+12nB. 52+15n<70+12n
C. 52+12n>70+15nD. 52+12n<70+15n
8.如图，在△ABC中，若AB=AC，AD=BD，∠CAD=24°，则∠C的度数为( )
A. 45°
B. 50°
C. 52°
D. 55°
9.如图，把△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，点B，C的对应点分别是点D，E，且点E在BC的延长线上，连接BD，则下列结论一定正确的是( )
A. ∠CAE=∠BED
B. AB=AE
C. ∠ACE=∠ADE
D. CE=BD
10.如图，在△ABC中，点O是角平分线AD，BE的交点，若AB=AC=10，BC=12，则ODOA的值是( )
A. 12
B. 35
C. 45
D. 34
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.不等式4x−8>0的解集为______．
12.分解因式：3a2+12a+12= ______．
13.将数字“6”旋转180°得到数字“9”；将数字“9”旋转180°得到数字“6”.现将数字“69”按上面的方法旋转180°得到的数字是______．
14.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，若∠B=72°，∠C=36°，AB=4，则DC的长是______．
15.如图，在△ABC中，∠B=30°，点D是BC的中点，过点D作DE⊥BC交边AB于点E，点O在DE上，OA=OC，OD=1，OE=2.5，则AE= ______．
三、解答题：本题共7小题，共63分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
(1)因式分解：36(m−n)2−9(m+n)2；
(2)已知xy=2，x−3y=3，求2x3y−12x2y2+18xy3的值．
17.(本小题8分)
解不等式组3(x−1)<5x+232x−7≤−12x+1，写出它的正整数解．
18.(本小题9分)
如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(2,−1)，B(1,−2)，C(3,−3)．
(1)将△ABC向上平移4个单位，再向右平移1个单位，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
(2)请画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2；
(3)求A1A2的长．
19.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=9，点D为AC上一点，若BD是∠ABC的角平分线，求AD的长．
20.(本小题8分)
某品牌护眼灯的进价为240元，商店以320元的价格出售.“五一”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价多少元？
21.(本小题8分)
习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气.”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得茅盾文学奖的甲，乙两种书共100本，已知购买2本甲种书和1本乙种书共需100元；购买3本甲种书和2本乙种书共需165元．
(1)求甲，乙两种书的单价分别为多少元；
(2)若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？
22.(本小题12分)
以△ABC的边AB，AC为腰分别向外作等腰直角△ABE，△ACD，∠BAE=∠CAD=90°，AB=AE，AC=AD，连接ED．
(1)如图1，当AB=AC=BC时，求∠AED的度数；
(2)如图2，若AB=3，AC=4，BC=6，过点A作直线AN⊥BC于点N，交线段DE于点M，求DE的长．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、图形是中心对称图形，符合题意；
B、图形不是中心对称图形，不符合题意；
C、图形不是中心对称图形，不符合题意；
D、图形不是中心对称图形，不符合题意．
故选：A．
根据中心对称图形的概念解答即可．
本题考查的是中心对称图形，熟知把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：A、在不等式x−y，两边再同时减去1，即−x−1>−y−1，不符合题意；
B、在不等式xC、在不等式x−2y，不符合题意；
D、在不等式x故选：D．
根据不等式的性质进行分析判断．
本题主要考查了不等式的性质．不等式的性质1：不等式的两边都加(或减)同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．据此逐一判断即可．
3.【答案】A
【解析】解：x2+2x=x(x+2)．
故选：A．
提取公因式x即可．
本题考查了因式分解，能选择适当的方法分解因式是解此题的关键，注意：因式分解的方法有提取公因式法，公式法，十字相乘法等．
4.【答案】B
【解析】解：由图形a通过平移可以得到的图形是B．
故选：B．
根据图形平移的性质解答即可．
本题考查的是平移的性质，熟知把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：x+1≥2，
解得：x≥1，
在数轴上表示，如图所示：
．
故选：B．
直接解一元一次不等式，再将解集在数轴上表示即可．
此题主要考查了解一元一次不等式，正确解不等式是解题关键．
6.【答案】A
【解析】解：A、以C，D为圆心画弧的半径相等，因此CM=DM，又OC=OD，OM=OM，因此△OCM≌△ODM(SSS)得到∠1=∠2，故A符合题意；
B、因为OC、CM的长在变化，所以OC和CM不一定相等，因此∠1不一定等于∠3，故B不符合题意；
C、因为OD、DM的长在变化，所以OD和DM不一定相等，故C不符合题意；
D、CM的位置在变化，所以CM和OB不一定平行，因此∠2不一定等于∠3，故D不符合题意．
故选：A．
由△OCM≌△ODM(SSS)推出∠1=∠2；OC和CM不一定相等，因此∠1不一定等于∠3；OD和DM不一定相等；CM和OB不一定平行，因此∠2不一定等于∠3．
本题考查作图—基本作图，全等三角形的判定和性质，关键是由作图得到△OCM≌△ODM(SSS)．
7.【答案】A
【解析】解：由题意可得：52+15n>70+12n．
故选：A．
利用小霞原来存款数+15×月数n>小明原来存款数+12×月数n，求出即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，得到两人存款数的关系式是解决本题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵AB=AC，AD=BD，
∴∠B=∠C，∠B=∠BAD，
∴∠B=∠C=∠BAD，
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=∠CAD+∠BAD，
∵∠CAD=24°，
∴180°−2∠C=24°+∠C，
∴∠C=52°，
故选：C．
由等腰三角形的性质可知∠C=∠B=∠BAD，利用三角形内角和定理得出180°−2∠C=24°+∠C，解得∠C=52°．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：如图，设AD与BE的交点为O，
∵把△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，
∴∠ABC=∠ADE，∠BAD=∠CAE，
又∵∠AOB=∠DOE，
∴∠BED=∠BAD=∠CAE，
故选：A．
由旋转的性质可得∠ABC=∠ADE，∠BAD=∠CAE，由三角形内角和定理可得∠BED=∠BAD=∠CAE．
本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：在△ABC中，点O是角平分线AD、BE的交点，AB=AC=10，BC=12，
∴AD⊥BC，BD=12BC=6，
∴AD= AB2−BD2=8，
过点O作OG⊥AB，OH⊥AC，则OG=OH=OD，
连接OC，
∵S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC，
∴12BC⋅AD=12AB⋅OG+12BC⋅OD+12AC⋅OH=12(AB+BC+AC)⋅OD，
∴BC⋅AD=(AB+BC+AC)⋅OD，
即：12×8=(10+10+12)×OD，
∴OD=3，
∴OA=AD−OD=5，
∴ODOA=35，
故选：B．
过点O作OG⊥AB，OH⊥AC，易得OG=OH=OD，利用三线合一，得到AD⊥BC，BD=12BC=6，连接CO，利用等积法求出OD的长，即可得解．
本题考查等腰三角形的性质，角平分线的性质．熟练掌握等腰三角形三线合一，角平分线上的点到角两边的距离相等，是解题的关键．
11.【答案】x>2
【解析】解：移项，可得：4x>8，
把x的系数化为1，可得：x>2．
故答案为：x>2．
根据解一元一次不等式的步骤，求出不等式4x−8>0的解集即可．
此题主要考查了解一元一次不等式的方法，解一元一次不等式的基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
12.【答案】3(a+2)2
【解析】解：原式=3(a2+4a+4)
=3(a+2)2．
故答案为：3(a+2)2．
直接提取公因式3，再利用完全平方公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
13.【答案】69
【解析】解：现将数字“69”旋转180°，得到的数字是：69．
故答案为：69．
直接利用中心对称图形的性质结合69的特点得出答案．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
14.【答案】4
【解析】解：∵DE垂直平分AC，
∴AD=CD，
∴∠DAC=∠C=36°，
∴∠ADB=∠DAC+∠C=36°×2=72°，
∵∠B=72°，
∴∠B=∠ADB，
∴AD=AB=4，
∴CD=AD=4．
故答案为：4．
先根据线段垂直平分线的性质得到AD=CD，则根据等腰三角形的性质得到∠DAC=∠C=36°，再利用三角形的外角性质计算出∠ADB=72°，所以∠B=∠ADB，则AD=AB=CD=4．
本题考查了线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线垂直且平分其所在线段；线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
15.【答案】92
【解析】解：∵DE⊥BC，∠B=30°，
∴BE=2DE=2(1+2.5)=7，
过O作OF⊥AB于F，
∵点D是BC的中点，
∴OC=OB，
∵OC=OA，
∴OB=OA，
∴BF=AF，
∵∠FEO=60°，
∴EF=12OE=54，
∴BF=234，
∴AF=BF=234，
∴AE=92．
故答案为：92．
根据直角三角形的性质得到BE=2DE=2(1+2.5)=7，过O作OF⊥AB于F，根据等腰三角形的性质得到BF=AF，根据直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
16.【答案】解：(1)原式=(6m−6n)2−(3m+3n)2
=(6m−6n+3m+3n)(6m−6n−3m−3n)
=(9m−3n)(3m−9n)
=9(3m−n)(m−3n)；
(2)原式=2xy(x2−6xy+9y2)
=2xy(x−3y)2，
∵xy=2，x−3y=3，
∴原式=2×2×32=36．
【解析】(1)根据平方差公式进行整理变形即可；
(2)利用提公因式法和完全平方公式将原式变形为2xy(x−3y)2，再将xy=2，x−3y=3代入计算即可．
本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
17.【答案】解：3(x−1)<5x+2①32x−7≤12x+1②
解①得：x>−52，
解②得：x≤4，
不等式组的解集为：−52则它的正整数解为1，2，3，4．
【解析】分别解出两个不等式的解集，再根据解集的规律：大小小大中间找确定不等式组的解集，然后再确定它的正整数解．
此题主要考查了一元一次不等式组的解法，关键是掌握不等式组确定解集的方法．
18.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
(2)如图，△A2B2C2即为所求．

(3)由勾股定理得，A1A2= 52+42= 41．
【解析】(1)根据平移的性质作图即可．
(2)根据轴对称的性质作图即可．
(3)利用勾股定理计算即可．
本题考查作图−平移变换、轴对称变换、勾股定理，熟练掌握平移的性质、轴对称的性质、勾股定理是解答本题的关键．
19.【答案】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E．

在Rt△ABC中，AC=12，BC=9，
由勾股定理可得AB= AC2+BC2=15，
∵BD，是ABC的平分线，∠BED=∠C=90°，
∴DC=DE，
又BD=BD，
Rt△BCD≌Rt△BED ( HL)，
∴BE=BC=9，AE=15−9=6，
∴DE=x，
则AD=12−x，在Rt△ADE中，
由勾股定理得AD2=DE2+AE2，即(12−x)2=x2+62，
解得x=92，
∴AD=12−x=152．
AD的长为152．
【解析】过点D作DE⊥AB于点E，先根据勾股定理求出AB的长，再证明Rt△BCD≌Rt△BED，再在Rt△ADE中，利用勾股定理计算即可．
本题考查勾股定理，正确记忆相关知识点是解题关键．
20.【答案】解：设该护眼灯降价x元，
根据题意得：320−x−240≥240×20%，
解得：x≤32，
∴x的最大值为32．
答：该护眼灯最多可降价32元．
【解析】设该护眼灯降价x元，利用利润=售价−进价，结合利润率不低于20%，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
21.【答案】解：(1)设甲种书的单价是x元，乙种书的单价是y元，
根据题意得：2x+y=1003x+2y=165，
解得：x=35y=30．
答：甲种书的单价是35元，乙种书的单价是30元；
(2)设该校购买甲种书m本，则购买乙种书(100−m)本，
根据题意得：35m+30(100−m)≤3200，
解得：m≤40，
∴m的最大值为40．
答：该校最多可以购买甲种书40本．
【解析】(1)设甲种书的单价是x元，乙种书的单价是y元，根据“购买2本甲种书和1本乙种书共需100元；购买3本甲种书和2本乙种书共需165元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设该校购买甲种书m本，则购买乙种书(100−m)本，利用总价=单价×数量，结合总价不超过3200元，可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
22.【答案】解：(1)∵∠BAE=∠CAD=90°，
∴∠DAE+∠BAC=360°−(∠BAE+∠CAD)=180°，
当AB=AC=BC时，△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠DAE=180°−∠BAC=120°，
又∵AB=AE，AC=AD，
∴AD=AE，
∴∠AED=∠ADE=12(180°−∠DAE)=12×(180°−120°)=30°；
(2)过点D作DP//AE交AM的延长线于P，连接PE，过点D作DH⊥AP于H，如下图所示：

∴∠ADP+∠DAE=180°，
由(1)可知：∠DAE+∠BAC=180°，
∴∠ADP=∠BAC，
∵AB=3，AC=4，BC=6，
∴AB=AE=3，AC=AD=4，
∵∠CAD=90°，AN⊥BC，
∴∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
在△DPA和△ABC中，
∠ADP=∠BACAC=AD∠1=∠2，
∴△DPA≌△ABC(ASA)，
∴DP=AB=AE=3，AP=BC=6，
又∵DP//AE，
∴四边形ADPE为平行四边形，
∴DM=EM，AM=PM=12AP=3，
设HM=x，则PD=PM−HM=3−x，AH=AM+HM=3+x，
在Rt△DPH中，由勾股定理得：DH2=DP2−PH2=9−(3−x)2，
在Rt△DAH中，由勾股定理得：DH2=AD2−AH2=16−(3+x)2，
∴9−(3−x)2=16−(3+x)2，
解得：x=712，
在Rt△DMH中，由勾股定理得：DM= DH2+HM2= 9−(3−x)2+x2= 6x，
即DM= 6×712= 142，
∴DE=2DM= 14．
【解析】(1)根据∠BAE=∠CAD=90°得∠DAE+∠BAC=180°，当AB=AC=BC时，△ABC为等边三角形，则∠BAC=60°，从而得∠DAE=120°，再证AD=AE，然后根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠AED的度数；
(2)过点D作DP//AE交AM的延长线于P，连接PE，过点D作DH⊥AP于H，证△DPA和△ABC全等得DP=AB=AE=3，AP=BC=6，进而得四边形ADPE为平行四边形，则DM=EM，AM=PM=3，设HM=x，则PD=PM−HM=3−x，AH=AM+HM=3+x，由勾股定理得DH2=DP2−PH2=9−(3−x)2，DH2=AD2−AH2=16−(3+x)2，由此得x=712，再由勾股定理求出DM，进而可得DE的长．
此题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理等，理解等腰三角形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键．

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