2022-2023学年辽宁省沈阳市铁西区七年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年辽宁省沈阳市铁西区七年级（下）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年辽宁省沈阳市铁西区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列运算不正确的是(    )
A. x2⋅x3=x5 B. (2xy2)2=4x2y4
C. a(a−3)=a2−3a D. (−2x)3=8x3
2. 已知某新型感冒病毒的直径约为0.000000823米，将0.000000823用科学记数法表示为(    )
A. 8.23×10−6 B. 8.23×10−7 C. 8.23×106 D. 8.23×107
3. 下列图形：直角三角形、等边三角形、长方形、圆，其中轴对称图形有(    )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4. 从标号分别为1，2，3，4，5的5张卡片中，随机抽取1张．下列事件中，必然事件是(    )
A. 标号小于6 B. 标号大于6 C. 标号是奇数 D. 标号是3
5. 如图，已知∠DCE=∠B，则下列结论正确的是(    )
A. AB//CD
B. AC//DE
C. AB//DE
D. AC//CD
6. 如图是由9个全等的小正方形组成的图案，假设可以随意在图中(不包括边界线)取点，那么这个点取在空白部分的概率是(    )
A. 49
B. 59
C. 45
D. 1
7. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=65°，点D是BC边上任意一点，过点D作DF//AB交AC于点E，则∠FEC的度数是(    )
A. 120°
B. 130°
C. 140°
D. 150°
8. 已知△ABC，按图示痕迹做△A′B′C′，得到△ABC≌△A′B′C′.则在作图时，这两个三角形满足的条件是(    )


A. AB=A′B′，AC=A′C′
B. ∠B=∠B′，AB=A′B′
C. ∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′
D. AB=A′B′，AC=A′C′，BC=B′C′
9. 一列火车从A站行驶3公里到B处以后，以每小时90公里的速度前进.则离开B处t小时后，火车离A站的路程s与时间t的关系是(    )
A. s=3+90t B. s=90t C. s=3t D. s=90+3t
10. 如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，点E，F是边BC上的三等分点，分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是(    )
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 计算：(a−1)2=______．
12. 若从A，B，C三个直播间随机选1个直播间听沈阳市八年级“名师在线”直播课堂，则选中A直播间的概率为______ ．
13. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为斜边AB上的一点，连接CD，将△BCD沿CD翻折，使点B落在点E处，点F为直角边AC上一点，连接DF，将△ADF沿DF翻折，点A恰好与点E重合，则∠CEF的度数为______．


14. 如图，在条件：①∠A=∠ACE；②∠A=∠ECD；③∠B=∠BCA；④∠B=∠ACE中，能判断AB//CE的条件是______ ．


15. 如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，延长CD至点E，使DE=12CD.连接BE，若AC=2BC，△BDE的面积为2，则△ABC的面积是______ ．

16. 在△ABC中，AB=AC，∠B=70°，在直线BC上取一点P，使CP=CA，连接AP，则∠BAP的度数为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
先化简，再求值：(x−2)2−4x(x−1)+(2x+1)(2x−1)，其中x=3．
18. (本小题8.0分)
尺规作图(不写作法，保留作图痕迹)：
已知：如图，线段a，c，α，求作：△ABC，使BC=a，AB=c，∠ABC=α．

19. (本小题8.0分)
如图，已知AB//CD，△ACE是等边三角形，∠DCE=40°，求∠EAB的度数．

20. (本小题8.0分)
一个不透明的袋子中有两个小球，上面分别写着数字“1”、“2”，除数字外两个小球无其他差别.从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，求两次记录的数字之和为3的概率．
21. (本小题8.0分)
如图，已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC，过点A作AE⊥AB，并截取AE=BD，连接DC、DE、CE，请判断△CDE的形状并证明．

22. (本小题10.0分)
如图，在长方形ABCD中，AB=12厘米，AD=8厘米，点P，Q都从点A出发，点P沿线段AB运动，点Q沿线段AD运动(其中一点停止运动，另一点也随之停止).设AP=AQ=x厘米，在这个变化过程中，图中阴影部分的面积y(厘米 2)也随之变化．
(1)求y与x之间的关系式；
(2)当x=8厘米时，图中阴影部分的面积y= ______ 厘米 2．

23. (本小题10.0分)
如图，已知点O在直线AB上，射线OE平分∠AOC，过点O作OD⊥OE，过点D作DF⊥射线OB于点F，连接CD．
(1)请判断∠AOE与∠ODF是否相等，并说明理由；
(2)若∠ODF=∠C，试判断CD与OE的位置关系，并说明理由．

24. (本小题12.0分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G，且点G恰好为BD的中点，点F为AB边上一点，连接CF，∠ACF=∠CBG．
(1)判断CF与BG的数量关系，并说明理由；
(2)请直接写出CF与DE的数量关系．

25. (本小题12.0分)
如图，△ABC和△ADE中，AB=AD，BC=DE，∠B=∠D，边AD与边BC交于点P(不与点B，C重合)，点B，E在AD的异侧，MA，MC分别是∠PAC，∠ACP的角平分线．
(1)判断∠BAD与∠CAE是否相等，并说明理由；
(2)当AB⊥AC时，
①若AB=8，AC=6，则PD的最大值为______ ；
②若∠B=30°，设∠BAP=α，请直接写出∠AMC的度数(用含α的式子表示)．


答案和解析

1.【答案】D 
【解析】解：A、x2⋅x3=x5，故A不符合题意；
B、(2xy2)2=4x2y4，故B不符合题意；
C、a(a−3)=a2−3a，故C不符合题意；
D、(−2x)3=−8x3，故D符合题意；
故选：D．
利用单项式乘多项式的法则，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查单项式乘多项式，积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

2.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题考查用科学记数法表示较小的数，绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．据此解答即可．
【解答】
解：0.000000823=8.23×10−7．
故选B．  
3.【答案】C 
【解析】解：在图形：直角三角形、等边三角形、长方形和圆中，
轴对称图形的有：等边三角形、长方形和圆，
共三个．
故选：C．
结合轴对称图形的概念进行求解即可．
本题考查了轴对称图形的概念，掌握判断轴对称图形是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合是关键．

4.【答案】A 
【解析】解：A、是一定发生的事件，是必然事件，故选项正确；
B、是不可能发生的事件，故选项错误；
C、是随机事件，故选项错误；
D、是随机事件，故选项错误．
故选A．
必然事件就是一定发生的事件，根据定义即可判断．
解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．

5.【答案】A 
【解析】解：∵∠DCE=∠B，
∴AB//CD．
故选：A．
由平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行，即可判断．
本题考查平行线的判定，关键是掌握平行线的判定方法．

6.【答案】A 
【解析】解：设空白部分的面积是4x，则整个图形的面积是9x，
则这个点取在阴影部分的概率是4x9x=49．
故选：A．
设空白部分的面积是4x，得出整个图形的面积是9x，再根据几何概率的求法即可得出答案．
本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件(A)；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件(A)发生的概率．

7.【答案】B 
【解析】解：∵AB=AC，∠C=65°，
∴∠B=∠C=65°，
∵DF//AB，
∴∠CDE=∠B=65°，
∴∠FEC=∠CDE+∠C=65°+65°=130°．
故选：B．
由等腰三角形的性质得出∠B=∠C=65°，由平行线的性质得出∠CDE=∠B=65°，再由三角形的外角性质即可得出答案．
本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质以及三角形的外角性质；熟练掌握等腰三角形的性质和平行线的性质是解题的关键．

8.【答案】D 
【解析】解：由作图可知，B′A′=BA，B′C′=BC，A′C′=AC，
在△ABC和△A′B′C′中，
AB=A′B′AC=A′C′BC=B′C′,
∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)，
故选：D．
根据SSS证明三角形全等即可．
本题考查作图−复杂作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．

9.【答案】A 
【解析】解：火车离A站的距离等于先行的3公理，加上后来t小时行驶的距离可得，
s=3+90t，
故选：A．
根据路程、速度、时间之间的关系可得关系式．
本题考查函数关系式，理解路程、速度、时间之间的关系是解决问题的前提．

10.【答案】C 
【解析】解：∵点E，F是边BC上的三等分点，
∴BC=3EF，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵DE//AB，DF//AC，
∴∠DEF=∠B=60°，∠DFE=∠C=60°，
∴∠EDF=180°−∠DEF−∠DFE=60°，
∴△DEF是等边三角形，
∴DE=EF=DF，
∴△DEF的周长=3EF=BC=6．
故选：C．
由△ABC是等边三角形，得到∠B=∠C=60°，由平行线的性质得到∠DEF=∠B=60°，∠DFE=∠C=60°，即可推出△DEF是等边三角形，得到△DEF的周长=3EF=BC=6．
本题考查等边三角形的性质，平行线的性质，关键是由以上知识点证明△DEF是等边三角形．

11.【答案】a2−2a+1 
【解析】
【分析】
本题考查了完全平方公式，熟记公式是解题的关键．直接利用完全平方公式计算即可解答．
【解答】
解：(a−1)2=a2−2a+1．
故答案为a2−2a+1．  
12.【答案】13 
【解析】解：∵直播间有A，B，C三个，
∴选中A直播间的概率为13．
故答案为：13．
根据概率公式直接计算即可．
本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

13.【答案】90° 
【解析】解：∵将△BCD沿CD翻折，使点B落在点E处，
∴∠B=∠CED，
∵将△ADF沿DF翻折，点A恰好与点E重合，
∴∠A=∠DEF，
∴∠CEF=∠DEF+∠CED=∠A+∠B=90°，
故答案为：90°．
根据折叠的性质即可得到结论．
本题考查翻折变换、三角形内角和定理，解题的关键是掌握翻折的性质．

14.【答案】① 
【解析】解：∵∠A=∠ACE，
∴AB//CE.(内错角相等，两直线平行)
由②∠A=∠ECD；③∠B=∠BCA；④∠B=∠ACE，都不能判断AB//CE，
故答案为：①．
根据平行线的判定方法：内错角相等两直线平行，即可判断AB//CE．
此题考查了平行线的判定，平行线的判定方法有：同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行，熟练掌握平行线的判定是解本题的关键．

15.【答案】12 
【解析】解：如图，过点D作DG⊥AC于G，DH⊥CB于H，

∵DE=12CD，△BDE的面积为2，
∴S△BCD=2S△BDE=4，
∵CD是∠ACB的平分线，DH⊥CB，DG⊥AC，
∴DG=DH，
∵AC=2BC，S△ACD=12AC⋅GD，S△BCD=12BC⋅DH，
∴S△ACD=2S△BCD，
∴S△ACD=8，
∴S△ABC=S△ACD+S△BCD=8+4=12，
故答案为：12．
由角平分线的性质可得DG=DH，由三角形的面积关系可求解．
本题考查了角平分线的性质，三角形的面积公式，添加恰当辅助线是解题的关键．

16.【答案】15°或75° 
【解析】解：如图所示，
当点P在点B的左侧时，
∵AB=AC，∠ABC=70°，
∴∠ACB=∠ABC=70°，
∴∠BAC=180°−∠ACB−∠ABC=180°−70°−70°=40°，
∵CA=CP1，
∴∠CAP1=∠CP1A=180°−∠ACP12=180°−70°2=55°，
∴∠BAP1=∠CAP1−∠CAB=55°−40°=15°；
当点P在点C的右侧时，
∵AB=AC，∠ABC=70°，
∴∠ACB=∠ABC=70°，
∴∠BAC=180°−∠ACB−∠ABC=180°−70°−70°=40°，
∵CA=CP2，
∴∠CAP2=∠CP2A=∠ACB2=12×70°=35°，
∴∠BAP2=∠CAP2+∠CAB=35°+40°=75°；
由上可得，∠BAP的度数是15°或75°，
故答案为：15°或75°．
根据等腰三角形的性质可以得到△ABC各内角的关系，然后根据题意，画出图形，利用分类讨论的方法求出∠BAP的度数即可．
本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，解答本题的关键是正确画出图形，利用分类讨论的方法解答．

17.【答案】解：(x−2)2−4x(x−1)+(2x+1)(2x−1)
=x2−4x+4−4x2+4x+4x2−1
=x2+3，
当x=3时，
原式=32+3
=9+3
=12． 
【解析】先去括号，再合并同类项，然后把x的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了整式的混合运算−化简求值，掌握整式的混合运算−化简求值是解题的关键．

18.【答案】解：如图，△ABC为所作．
 
【解析】先作∠MBN=∠α，再在BM上截取BC=a，在BN上截取BA=c，则△ABC满足条件．
本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．

19.【答案】解：∵△ACE是等边三角形，
∴∠ACE=∠CAE=60°，
∵CD//AB，
∴∠DCE+∠ACE+∠CAE+∠EAB=180°，
∵∠DCE=40°，
∴∠EAB=20°． 
【解析】由△ACE是等边三角形，得到∠ACE=∠CAE=60°，由平行线的性质得到∠DCE+∠ACE+∠CAE+∠EAB=180°，又∠DCE=40°，即可求出∠EAB=20°．
本题考查平行线的性质，等边三角形的性质，关键是由平行线的性质得到∠DCE+∠ACE+∠CAE+∠EAB=180°．

20.【答案】解：根据题意，作树状图如下：

由树状图可知，共有4种等可能的结果，其中两次记录的数字之和为3的有2种结果，
所以，两次记录的数字之和为3的概率为P=24=12． 
【解析】根据题意作出树状图，结合树状图即可获得答案．
本题主要考查了列举法求概率，正确作出树状图是解题关键．

21.【答案】解：△CDE是等腰直角三角形，理由如下：
∵AE⊥AB，∠ABC=90°，
∴∠EAD=90°=∠DBC，
在△EAD与△DBC中，
AD=BC ∠EAD=∠DBC AE=BD ，
∴△FAD≌△DBC(SAS)，
∴ED=DC，
∴△CDE是等腰三角形，
∵△EAD≌△DBC，
∴∠EDA=∠DCB，
∵∠BDC+∠DCB=90°，
∴∠BDC+∠EDA=90°，
∴∠EDC=90°，
∴△CDE是等腰直角三角形． 
【解析】利用SAS证明△FAD和△DBC全等即可，利用全等三角形的性质得出ED=DC，∠EDC=90°，即可判断三角形的形状．
此题考查了全等三角形的判定与性质的运用，等腰直角三角形的判定，解答时证明三角形全等是关键．

22.【答案】160 
【解析】解：(1)由题意可得，y=12×8−x⋅x2=96−12x2(0≤x≤8)，
即y与x之间的关系是：y=96−12x2(0≤x≤8)，
(2)当x=8时，y=12×16−12×82=160，
即AP为8cm时，图中阴影部分的面积是160cm2．
故答案为：160．
(1)根据题意和图象可以列出y与x之间的关系；
(2)将x=8cm，代入第一问求得的关系式即可求得图中阴影部分的面积．
本题考查矩形的性质，动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，列出相应的函数解析式，利用数形结合的思想解答问题．

23.【答案】(1)∠AOE=∠ODF，
理由：∵OD⊥OE，
∴∠EOC+∠COD=∠AOE+∠DOF=90°，
∵∠ODF+∠DOF=90°，
∴∠AOE=∠ODF；
(2)CD//OE，理由如下：
由(1)得∠AOE=∠ODF，
∵射线OE平分∠AOC，
∴∠AOE=∠EOC，
∵∠ODF=∠C，
∴∠EOC=∠C，
∴CD//OE． 
【解析】(1)由OD⊥OE得到∠EOC+∠COD=∠AOE+∠DOF=90°，再利用等角的余角相等即可证明∠AOE=∠ODF；
(2)证明∠EOC=∠C，利用内错角相等两直线平行，即可证明CD//OE．
本题考查了角平分线定义，垂直的定义，平行线的判定，等角的余角相等，正确识图是解题的关键．

24.【答案】解：(1)CF=BG，理由如下：
∵∠ACB=90°，AC=BC，CG平分∠ACB，
∴∠CAF=∠CBA=45°，∠BCG=∠ACG=45°，
∴∠BCG=∠CAF=45°
在△BCG与△CAF中，
∠BCG=∠CAF=45°BC=CA∠CBG=∠ACF，
∴△BCG≌△CAF(ASA)，
∴BG=CF；
(2)CF=2DE，理由如下：
如图，延长CG交AB于H，
∵CG平分∠ACB，AC=BC，
∴CH⊥AB，CH平分AB，
∵AD⊥AB，
∴AD//CG，
∴∠D=∠EGC，
在△ADE与△CGE中，
∠AED=∠CEG∠D=∠EGC∈AE=CE，
∴△ADE≌△CGE(AAS)，
∴DE=GE，
∴DG=2DE，
∵AD//CG，CH平分AB，
∴DG=BG，
∵CF=BG，
∴CF=2DE． 
【解析】(1)证明△AFC≌△CBG即可解决问题；
(2)延长CG交AB于H，则CH⊥AB，H平分AB，继而证得CH//AD，得出DG=BG和△ADE与△CGE全等，从而证得CF=2DE．
本题考查了三角形全等的判定和性质、等腰三角形的性质、平行线的判定及性质，三角形全等是解本题的关键．

25.【答案】3.2 
【解析】解：(1)∠BAD=∠CAE，
理由：在△ABC和△ADE中，
AB=AD∠B=∠DBC=DE，
∴△ABC≌△ADE(SAS)，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC−∠PAC=∠DAE−∠PAC，
∴∠BAD=∠CAE；
(2)①∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
∵AB=8，AC=6，
∴BC= AB2+AC2= 82+62=10，
∵AB=AD=8，
∴当AP⊥BC时，AP有最小值，此时PD有最大值，
∵△ABC的面积=12BC⋅AP=12AB⋅AC，
∴BC⋅AP=AB⋅AC，
∴10AP=6×8，
∴AP=4.8，
∴PD=AD−AP=8−4.8=3.2，
∴当AP取最小值=4.8时，PD的最大值为3.2，
故答案为：3.2；
②∠AMC的度数为105°+12α，
理由：∵∠B=30°，∠BAP=α，
∴∠APC=∠B+∠BAP=30°+α，
∵MA，MC分别是∠PAC，∠ACP的角平分线，
∴∠MAC=12∠PAC，∠MCA=12∠ACP，
∴∠AMC=180°−(∠MAC+∠MCA)
=180°−12(∠PAC+∠ACP)
=180°−12(180°−∠APC)
=180°−90°+12∠APC
=90°+12(30°+α)
=90°+15°+12α
=105°+12α，
∴∠AMC的度数为105°+12α.
(1)根据手拉手模型−旋转型全等可证△ABC≌△ADE，然后利用全等三角形的性质可得∠BAC=∠DAE，从而利用等式的性质进行计算即可解答；
(2)①根据垂直定义可得∠BAC=90°，然后在Rt△ABC中，利用勾股定理求出BC的长，再根据垂线段最短可得当AP⊥BC时，AP有最小值，此时PD有最大值，最后根据面积法可求出AP的长，从而求出PD的长，即可解答；
②先利用三角形的外角性质可得∠APC=30°+α，再根据角平分线的定义可得∠MAC=12∠PAC，∠MCA=12∠ACP，然后利用三角形的内角和定理以及等量代换可得∠AMC=90°+12∠APC，进行计算即可解答．
本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，列代数式，垂线段最短，熟练掌握手拉手模型−旋转型全等是解题的关键．