2023-2024学年辽宁省沈阳市协作体八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年辽宁省沈阳市协作体八年级（下）期中数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“清明”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.若m>n，则下列各式中错误的是( )
A. m−5>n−5B. 6m>6nC. −13m>−13nD. m3>n3
3.下列等式从左向右的变形是因式分解的为( )
A. x3−x=x(x−1)(x+1)B. 3ab(a2+2b)=3a3b+6ab2
C. x2−3x−4=x(x−3)−4D. (a−2b)(a−2b)=(a−2b)2
4.不等式2−3x>2x−8的正整数解有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
5.一次函数y=kx+b(k≠0)的图象如图所示，点A(−1,4)在该函数的图象上，则不等式kx+b>4的解集为( )
A. x≥−1
B. x<−1
C. x≤−1
D. x>−1
6.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC的长是( )
A. 3B. 4C. 6D. 5
7.如图，线段AB平移得到线段CD，则a+b的值为( )
A. −1
B. 0
C. 1
D. 2
8.若关于x的不等式2x−a<0的解集中存在正数解，但不存在正整数解，则a的取值范围是( )
A. 09.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=BD，E为BD上一点，连接AE，CE，CE=CD，∠BAE=∠CBD，若AE=8，则四边形ABCD的面积为( )
A. 70
B. 64
C. 40 3
D. 40 2
10.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=2，BC= 7，以点B为圆心任意长为半径画弧交BA，BC分别于点M，N，再以点M，N为圆心AC长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，D为BC上一点，E为BP上一动点，连接CE，DE，若BD=1，则CE+DE的最小值为( )
A. 3B. 2 2C. 2D. 3
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.等腰三角形有一个内角等于110°，则它的底角等于______度．
12.如图，直线y=x+b与直线y=kx+6交于点P(2,4)，则关于x的不等式kx+613.如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点都在格点上，每个小方格都是边长为1的正方形．△DEF是由△ABC旋转得到的，则旋转中心的坐标为______．
14.直角三角形的两条直角边为a和b，斜边长为6，若a+b=8，则a3b+ab3= ______．
15.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠BAC=60°，AB=2，点D在AC的垂直平分线上，E是AC上一动点，△CDE沿DE折叠得到△C′DE，当△AC′D是直角三角形时，则C′E的长为______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
解不等式组
(1)2x−1>2−x3−x>3x−5；
(2)5(x−1)>4x−7x3+x−22≥4．
17.(本小题12分)
因式分解：
(1)x2−2x+1；
(2)2x3−8x；
(3)(4x−3y)2−4y2；
(4)(a2+2a)2+2(a2+2a)+1．
18.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(−1,0)，B(−2,−2)，C(−4,−1)．
(1)请画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1；
(2)将△ABC绕点O逆时针旋转90°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；
(3)若在△ABC内有一点P(a,b)，将△ABC按照(2)的方式旋转之后的对应点为P2，则P2的坐标为______．
19.(本小题9分)
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△DBE(旋转角小于180° )，点A和点D是对应点；AC和DE所在直线相交
于点F．
(1)求证：EF=CF；
(2)如图2，当∠CFE=60°时，若AC=2，求线段DF的长．
20.(本小题9分)
锦州市时辽西地区的中心城市，锦州的美食闻名各地.其中锦州的“什锦小菜”和“北镇猪蹄”是被大家喜爱的两种食品.已知2盒“什锦小菜”和3盒“北镇猪蹄”的售价共360元，3盒“什锦小菜”和2盒“北镇猪蹄”的售价共340元．
(1)请求出“什锦小菜”和“北镇猪蹄”的售价；
(2)某公司计划购买“什锦小菜”和“北镇猪蹄”共100盒.其中“什锦小菜”的数量不多于“北镇猪蹄”的2倍，该公司如何设计购买方案，所需费用最低？求出最低费用．
21.(本小题8分)
教科书中这样写道：“形如a2±2ab+b2的式子称为完全平方式“，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法.配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题．
例如：分解因式：x2+2x−3
解：原式=(x2+2x+1)−4=(x+1)2−4=(x+1+2)(x+1−2)=(x+3)(x−1)
再如：求代数式2x2+4x−6的最小值．
解：2x2+4x−6=2(x2+2x−3)=2(x+1)2−8
∵2(x+1)2≥0
∴2(x+1)2−8≥−8
∴当x=−1时，2x2+4x−6有最小值，最小值是−8．
根据阅读材料，用配方法解决下列问题：
(1)分解因式：x2+6x−7 (应用配方法)
(2)当x为何值时，多项式−2x2−4x+5有最大值？并求出这个最大值．
(3)利用配方法，尝试求出等式a2+5b2−4ab−2b+1=0中a，b的值．
22.(本小题9分)
阅读材料：
在数轴上，x=2表示一个点；在平面直角坐标系中，x=2表示一条直线；以二元一次方程x+y=2的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数y=−x+2的图象，它也是一条直线．
如图1，在平面直角坐标系中，不等式x≤2表示一个平面区域，即直线x=2及其左侧的部分；如图2，不等式y≤−x+2也表示一个平面区域，即直线y=−x+2及其下方的部分．
请根据以上材料回答问题：
(1)图3阴影部分(含边界)表示的是______(填写不等式)表示的平面区域；
(2)如图4，请求出表示阴影部分平面区域(含边界)的不等式组；
(3)如图5，点A在x轴上，点B的坐标为(0,1)，且∠ABO=60°，点P为△ABO内部一点(含边界)，过点P分别作PC⊥OA，PD⊥AB，PE⊥BO，垂足分别为C，D，E，若PC≤PE≤PD，则所有点P组成的平面区域的面积为______．
23.(本小题12分)
数学老师做了一节关于中点问题专题课，喜欢钻研数学的小明同学，借助本节课的所得所获，结合老师课堂所讲习题尝试进行改编，然后交给老师审阅，老师进行了简单修改后，将本题在数学课上分享给全班同学，并对小明同学的钻研精神提出表扬．
【问题展示】
如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，G为BC中点，F是AC延长线上一点，连接BF，AD⊥BF于点D，以点A为圆心AD长为半径画弧交DG延长线于点E.求证：AD⊥AE．
小刚和小强同学结合课堂所学知识，经过自己的分析得出解题方法，如下：
【经验分享】
小刚同学的解题方法：由G为BC中点，可以构造“平行八字型”，如图2，过点C做CM⊥AD于点M，交DE于点N，同时也得到了“一线三等角”模型，通过两个模型的转化，就可得到AD和AE的位置关系；
小强同学的解题方法：由G为BC中点，结合等腰三角形的性质“三线合一”，可以连接AG得到等腰直角三角形ABG，结合手拉手模型的特征，如图3，过点G作GM⊥GD交AD于点M；推得△ADE的形状，进而得到AD和AE的位置关系；请结合小刚或小强同学的解题方法写出一种解题过程．
【能力提升】
如图4，在△ABC中，∠BAC=120°，将AB绕点A逆时针旋转90°得到AE，将AC绕点A顺时针旋转90°得到AD，BC交射线AE、AD于点M、N，连接DE，取DE中点O，连接AO交BC于点F，连接OM，ON，当AF=14BC.求证：∠MON=12∠BAC．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：选项A、B、C都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：D．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2.【答案】C
【解析】解：A.不等式m>n的两边都减去5，不等号的方向不变，故本选项正确，不符合题意；
B.不等式m>n的两边都乘6，不等号的方向不改变，故本选项正确，不符合题意；
C.不等式m>n的两边都乘−13，不等号的方向改变，故本选项错误，符合题意；
D.不等式m>n的两边都变为三次方，不等号的方向不变，故本选项正确，不符合题意．
故选：C．
依据不等式的基本性质进行判断，即可得出结论．
本题考查了不等式的基本性质．解题的关键是掌握不等式的基本性质：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．等式的两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
3.【答案】A
【解析】解：A、符合因式分解的定义，故此选项符合题意；
B、从左向右的变形是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、从左向右的变形不符合因式分解的定义，故此选项不符合题意；
D、从左向右的变形不符合因式分解的定义，故此选项不符合题意．
故选：A．
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可．
此题考查了因式分解的定义，解题的关键是掌握因式分解的定义，注意因式分解后一定是几个因式相乘的形式．
4.【答案】A
【解析】解：∵2−3x>2x−8，
∴−3x−2x>−8−2，
−5x>−10，
则x<2，
∴其正整数解为1，
故选：A．
根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得答案．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
5.【答案】B
【解析】解：由图象可得：当x<−1时，kx+b>4，
所以不等式kx+b>4的解集为x<−1，
故选：B．
观察函数图象得到即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
6.【答案】A
【解析】解：过点D作DF⊥AC于F，
∵AD是的角平分线，DE⊥AB，
∴DE=DF=2，
∴S△ABC=S△ABD+S△ADC=12AB⋅DE+12AC⋅DF=12×4×2+12AC×2=7，
解得AC=3．
故选：A．
过点D作DF⊥AC于F，然后利用的面积公式列式计算即可得解．
本题考查角平分线的性质，即角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：平移前后点A(−2,0)的对应点C(−4,b)，点B(0,1)的对应点C(a,2)可知平移的方向和距离，
即将AB先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，
所以a=−2，b=1，
所以a+b=−1．
故选：A．
根据平移前后对应点的坐标得到平移的方向和距离，进而确定a、b的值，再代入计算即可．
本题考查平移的性质，掌握平移的定义，理解平移前后对应点坐标的变化规律是掌握解答的关键．
8.【答案】B
【解析】解：2x−a<0，
2xx<0.5a，
∵关于x的不等式2x−a<0的解集中存在正数解，但不存在正整数解，
∴0<0.5a≤1，
∴0故选：B．
先解一元一次不等式可得：x<0.5a，然后根据题意可得：0<0.5a≤1，从而进行计算即可解答．
本题考查了一元一次不等式的整数解，解一元一次不等式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：过点C作CF⊥DE于F，如下图所示：

∵CE=CD，CF⊥DE．
∴EF=DF，∠BFC=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠CBD=90°，
∵∠BAE=∠CBD，
∴∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠AEB=90°，
∴∠AEB=∠BFC=90°，
在△ABE和△BCF中，
∠BAE=∠CBD∠AEB=∠BFC=90°AB=BC，
∴△ABE≌△BCF，
∴AE=BF=8，BE=CF，
设EF=DF=x，则BE=BF−EF8−x，BD=BF+DF=8+x，
∴AB=BD=8+x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2−BE2=AE2，
即(8+x)2−(8−x)2=82，
解得：x=2，
∴BD=8+x=10，BE=CF=8−x=6，
∴S△ABD=12BD⋅AE=12×10×8=40，S△CBD=12BD⋅CF=12×10×6=30，
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△CBD=40+30=70．
故选：A．
过点C作CF⊥DE于F，先证∠AEB=90°，再证△ABE和△BCF全等得AE=BF=8，BE=CF，设EF=DF=x，则BE=BF−EF8−x，BD=BF+DF=8+x，AB=BD=8+x，然后在Rt△ABE中由勾股定理求出x=2，进而得BD=8+x=10，BE=CF=8−x=6，由此可分别求出S△ABD=12BD⋅AE=40，S△CBD=12BD⋅CF=30，进而可得四边形ABCD的面积．
此题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理和三角形的面积，理解等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全熟练掌握等三角形的判定和性质，勾股定理和三角形的面积公式是解决问题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=2，BC= 7，
∴AC= BC2−AB2= 3，
由作图知，射线BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠CBP，
作点C关于BP的对称点F，过F作FD⊥BC于D交BP于E，
则此时，CE+DE的值最小，且CE+DE的最小值=DF，
∵BP垂直平分CF，
∴BF=BC，
∵∠BAC=∠BDF=90°，∠ABC=∠FBD，
∴△ABC≌△DBF(AAS)，
∴DF=AC= 3，
∴CE+DE的最小值为 3，
故选：D．
根据勾股定理得到AC= BC2−AB2= 3，由作图知，射线BP平分∠ABC，得到∠ABP=∠CBP，作点C关于BP的对称点F，过F作FD⊥BC于D交BP于E，则此时，CE+DE的值最小，且CE+DE的最小值=DF，根据线段垂直平分线的性质得到BF=BC，根据全等三角形的性质得到DF=AC= 3，于是得到CE+DE的最小值为 3，
本题考查了作图−基本作图，全等三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的定义，熟练掌握垂线段最短是解题的关键．
11.【答案】35
【解析】解：∵等腰三角形的一个内角等于110°，
∴等腰三角形的顶角为110°，
∴等腰三角形的底角为35°，
故答案为：35．
根据等腰三角形的性质，内角和定理即可得到每个底角的度数．
本题考查了等腰三角形的性质，关键是根据腰三角形的性质，内角和定理得出底角解答．
12.【答案】x>2
【解析】解：由函数图象可知，当x>2时，不等式kx+6故答案为：x>2．
直接根据函数图象即可得出结论．
本题考查的是一次函数与一元一次不等式，两条直线相交或平行问题，能利用函数图象直接得出不等式的解集是解题的关键．
13.【答案】(3,2)
【解析】解：设旋转中心为M点．
∵△DEF是由△ABC旋转得到的，
∴M在线段AD的中垂线上，
∵A(1,0)，D(1,4)，
∴点M在直线y=2上，即点M的纵坐标为2．
设M(x,2)，
∵M在线段BE的中垂线上，
∴ME=MB，
∵E(1,3)，B(2,0)，
∴(x−1)2+(2−3)2=(x−2)2+(2−0)2，
解得x=3．
∴旋转中心M的坐标为(3,2)．
故答案为(3,2)．
设旋转中心为M点．根据旋转中心必然在一组对应点的中垂线上，可得M在线段AD的中垂线上，所以点M的纵坐标为2.设M(x,2)，又M在线段BE的中垂线上，所以ME=MB，依此列出方程，求解即可．
本题考查了坐标与图形变化−旋转，掌握旋转的性质：旋转中心在一组对应点的中垂线上是解题的关键．也考查了两点间的距离公式．
14.【答案】504
【解析】解：∵直角三角形的两条直角边为a和b，斜边长为6，
∴a2+b2=62=36，
∵a+b=8，
∴2ab=(a+b)2−a2−b2=64−36=28，
∴ab=14，
∴a3b+ab3
=ab(a2+b2)
=14×36
=504，
故答案为：504．
根据题意，可得a2+b2=62=36，因而2ab=(a+b)2−a2−b2=64−36=28，求出ab=14，因此a3b+ab3=ab(a2+b2)=14×36=504．
本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
15.【答案】2−23 3或2+23 3
【解析】解：∵点D在AC的垂直平分线上，△CDE沿DE折叠得到△C′DE，
∴DC=DA=DC′，
∴∠DAC′=∠DC′A，
∵△AC′D是直角三角形，
∴只能是∠ADC′=90°，如图，
在Rt△ABC中，
∵∠B=90°，∠BAC=60°，AB=2，
∴AC=4，∠C=30°，
∵DC=DA，
∴∠C=∠DC′E=∠DAC=30°，
∴∠EFC′=∠AFD=60°，
∴∠C′EF=90°，
在Rt△ADB中，
BD=12AD，
由勾股定理，得AD2=BD2+AB2，
即AD2=(12AD)2+22，
解得AD2=163，
在Rt△ADC′中，
由勾股定理，得AC′2=AD2+C′D2=323，
设C′E=x，则CE=x，AE=AC−CE=4−x，
在Rt△AC′E中，
由勾股定理，得C′E2+AE2=AC′2，
即x2+(4−x)2=323，
解得x=2±23 3，
故答案为：2−23 3或2+23 3．
先判断出当△AC′D是直角三角形时，只能是∠ADC′=90°，再推出∠C′EF=90°，求出AC，AC′，在Rt△AC′E中，利用勾股定理列方程即可求出C′E的长．
本题考查翻折变换，线段垂直平分线的性质，含30°角直角三角形的性质，勾股定理，能够得出∠C′EA=90°是解题的关键．
16.【答案】解：(1)2x−1>2−x①3−x>3x−5②，
由①得，x>1，
由②得，x<2，
∴不等式组的解集为1(2)5(x−1)>4x−7①x3+x−22≥4②，
由①得，x>−2，
由②得，x≥6，
∴不等式组的解集为x≥6．
【解析】分别求出各个不等式的解集，再寻找解集的公共部分即可．
本题考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式组的方法．
17.【答案】解：(1)x2−2x+1=(x−1)2；
(2)2x3−8x
=2(x2−4)
=2(x+2)(x−2)；
(3)(4x−3y)2−4y2
=(4x−3y+2y)(4x−3y−2y)
=(4x−y)(4x−5y)；
(4)(a2+2a)2+2(a2+2a)+1
=(a2+2a+1)2
=[(a+1)2]2
=(a+1)4．
【解析】(1)利用完全平方公式进行分解，即可解答；
(2)先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答；
(3)利用平方差公式进行分解，即可解答；
(4)先利用完全平方公式，再利用完全平方公式继续分解，即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
18.【答案】(−b,a)
【解析】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
(2)如图，△A2B2C2即为所求．
(3)由题意得，P2的坐标为(−b,a)．
故答案为：(−b,a)．
(1)根据中心对称的性质作图即可．
(2)根据旋转的性质作图即可．
(3)结合旋转的性质可得答案．
本题考查作图−旋转变换、中心对称，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键．
19.【答案】(1)证明：连接BF，

由旋转可知，
BC=BE，∠E=∠ACB=90°，
∴∠BCF=∠E=90°．
在Rt△BCF和Rt△BEF中，
BF=BFBC=BE
∴Rt△BCF≌Rt△BEF(HL)，
∴EF=CF．
(2)解：过点D作AF的垂线，垂足为M，

∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴∠A=60°．
由旋转可知，
∠BDE=∠A=60°，
又∵∠CFE=60°，
∴∠CFE=∠BDE，
∴BD/​/CF．
∵∠BCF=90°，
∴∠DBC=90°，
∴四边形BDMC是矩形，
∴DM=BC．
在△ABC和△FDM中，
∠A=∠F∠ACB=∠DMFBC=DM，
∴△ABC≌△FDM(AAS)，
∴MF=AC=2，
又∵∠MDF=90°−60°=30°，
∴DF=2MF=4．
【解析】(1)连接BF，利用HL证明三角形全等即可解决问题．
(2)由∠F与∠BDE相等，得出BD/​/CF，过点D作CF的垂线，再根据∠CFE=60°即可解决问题．
本题考查旋转的性质，熟知图形旋转的性质及全等三角形的判定是解题的关键．
20.【答案】解：(1)设每盒“什锦小菜”的售价是x元，每盒“北镇猪蹄”的售价是y元．
根据题意，得2x+3y=3603x+2y=340，
解得x=60y=80，
∴每盒“什锦小菜”的售价是60元，每盒“北镇猪蹄”的售价是80元．
(2)设该公司购买“什锦小菜”m盒，则购买“北镇猪蹄”(100−m)盒．
根据题意，得m≤2(100−m)，
解得m≤2003；
设所需费用为W元，则W=60m+80(100−m)=−20m+8000，
∵−20<0，
∴W随m的增大而减小，
∵m≤2003且m为整数，
∴当m=66时W的值最小，W最小=−20×66+8000=6680，此时购买“北镇猪蹄”100−66=34(盒)，
∴该公司购买“什锦小菜”66盒、“北镇猪蹄”34盒所需费用最低，最低费用是6680元．
【解析】(1)设每盒“什锦小菜”的售价是x元，每盒“北镇猪蹄”的售价是y元，根据题意列方程并求解即可；
(2)设该公司购买“什锦小菜”m盒，则购买“北镇猪蹄”(100−m)盒，根据题意列关于m的一元一次不等式并求解；写出所需费用W关于m的函数关系式，根据该函数的增减性和m的取值范围，确定当m取何值时W的值最小，求出W的最小值和此时(100−m)的值即可．
本题考查一次函数、二元一次方程组、一元一次不等式的应用，掌握一次函数的增减性、二元一次方程组和一元一次不等式的解法是解题的关键．
21.【答案】解：(1)原式=x2+6x+9−18
=(x+3)2−18
=(x+3+3 2)(x+3−3 2)；
(2)∵−2x2−4x+5
=−2(x2+2x+1−1)+5
=−2(x+1)2+2+5
=−2(x+1)2+7
∵−2(x+1)2≤0
∴−2(x+1)2+7≤7
∴当x=−1时，多项式−2x2−4x+5有最大值，最大值是7；
(3)∵a2+5b2−4ab−2b+1=0，
∴a2−4ab+4b2+b2−2b+1=0，
∴(a2−4ab+4b2)+(b2−2b+1)=0，
∴(a−2b)2+(b−1)2=0，
∵(a−2b)2≥0，(b−1)2≥0，
∴a−2b=0，b−1=0，
解得：a=2，b=1．
【解析】(1)利用配方法，把所求整式写成一个完全平方式和一个常数差的形式，再利用平方差公式进行分解因式即可；
(2)利用配方法把所求整式写成一个完全平方式与一个常数和的形式，然后根据偶次方的非负性，求出答案即可；
(3)利用分组法把等式的左边分解因式，然后根据偶次方的非负性，列出关于a，b的方程，求出a，b即可．
本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握利用配方法和分组法分解因式．
22.【答案】y≥x+2 3− 312
【解析】解：(1)设经过(−2,0)，(0,2)的直线为y=kx+2，
∴−2k+2=0，
解得k=1，
∴经过(−2,0)，(0,2)的直线为y=x+2，
观察图象可知，图3阴影部分(含边界)表示的是y≥x+2表示的平面区域；
故答案为：y≥x+2；
(2)设直线m解析式为y=k1x+3，把(6,0)代入得：
6k1+3=0，
解得k1=−12，
∴直线m解析式为y=−12x+3，
设直线n解析式为y=k2x+3，将(−1,0)代入得：
−k2+3=0，
解得k2=3，
∴直线n解析式为y=3x+3，
观察图象可知，阴影部分平面区域(含边界)的不等式组为y≤−12x+3y≥x+3；
(3)作∠AOB的平分线交AB于R，∠OBA的平分线交OA于K，∠BAO的平分线交OB于T，BK，OR，AT交于G，如图：
满足条件的P在△OGK内(包括边界)，即图中阴影部分，
在Rt△BOK中，∠OBK=12ABO=30°，
∴OK=OB 3=1 3= 33．
∵∠EOG=∠COG=12∠AOB=45°，
∴OE=GE，OC=CG，
∵∠EOC=∠GEO=∠GCO=90°，
∴四边形EOCG是正方形，
设OE=OC=CG=EG=x，则BE= 3x，
∴BE+OE= 3x+x=1，
∴x= 3−12，
∴CG= 3−12，
∴S△OGK=12OK⋅CG=12× 33× 3−12=3− 312，
故答案为：3− 312．
(1)求出经过(−2,0)，(0,2)的直线为y=x+2，可得图3阴影部分(含边界)表示的是y≥x+2表示的平面区域；
(2)用待定系数法求出直线m解析式为y=−12x+3，直线n解析式为y=3x+3，即得阴影部分平面区域(含边界)的不等式组为y≤−12x+3y≥x+3；
(3)作∠AOB的平分线交AB于R，∠OBA的平分线交OA于K，∠BAO的平分线交OB于T，BK，OR，AT交于G，满足条件的P在△OGK内(包括边界)，再求出OK=OB 3=1 3= 33，列方程求得CG= 3−12，用三角形面积公式可得答案．
本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，不等式(组)，三角形面积等知识，解题的关键是数形结合思想的应用．
23.【答案】证明：【经验分享】小刚解法：如图2，连接CE，
∵AD⊥BF，∠BAC=90°，CM⊥AD，
∴∠BAC=∠ADB=∠CMA=∠CMD=90°，
∴∠BAD+∠CAD=∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAD=∠ABD，
∵AB=AC，
∴△ABD≌△CAM(AAS)，
∴CM=AD，BD=AM，
∵∠ADB=∠CMD，

∴CM//BD，
∴∠DBG=∠NCG，∠BDG=∠CNG，
∵G为BC中点，
∴BG=CG，
∴△DBG≌△NCG(AAS)，
∴DB=NC=AM，DG=GN，
∴AD−AM=CM−CN，
即DM=MN，
∴∠MDN=∠MND=45°，
依题意知AD=AE，
∴∠MDG=∠DEA=45°，
∴∠DAE=90°，
即AD⊥AE；
小强解法：如图3，AD与BC相交于点O，
∵AB=AC，G为BC中点，
∴BG=CG，AG⊥BC，∠GAB=12∠BAC=45°，
∵MG⊥DE，AD⊥BF，
∴∠AGB=∠MGD=90°=∠ADB，
∴∠AGB−∠MGB=∠MGD−∠MGB.即∠AGM=∠BGD，
∵∠AGB=∠ADB，∠AOG=∠BOD，
∴∠GAM=∠GBD，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠GBA=∠GCA=45°=∠GAB，

∴GB=GA，
∴△GAM≌△GBD(AAS)，
∴GM=GD，BD=AM，
∵∠MGD=90°，
∴∠MDG=45°，
依题知AD=AE，
∴∠MDG=∠DEA=45°，
∴∠DAE=90°，
即AD⊥AE；
【能力提升】延长AO到点P，使OP=AO，连接DP，

依题知∠BAE=∠CAD=90°，AB=AE，AC=AD，
∴∠DAE=∠BAE+∠CAD−∠BAC=60°，
∵O为DE中点，
∴OD=OE，
∵OP=AO，∠AOE=∠DOP，
∴△POD≌△AOE(SAS)，
∴PD=AE=AB，∠P=∠EAO，
∴DP//AE，
∴∠PDA=180°−∠DAE=120°=∠BAC，
∵AC=AD，PD=AB，
∴△PDA≌△BAC(SAS)，
∴PA=BC=2AO，∠DAP=∠C，
∴∠C+∠CAF=∠DAP+∠CAF=90°，∠AFC=90°，即AO⊥BC，
∴AF=14BC，
∴AF=12AO，
∴BC垂直平分AO，
∴AM=MO，AN=NO，
∴∠MAO=∠MOA，∠NAO=∠NOA，
∴∠MAO+∠NAO=∠MOA+∠NOA.即∠NAM=∠MON=60°，
∴∠MON=12∠BAC．
【解析】【经验分享】小刚解法：如图2，连接CE，证明△ABD≌△CAM(AAS)，得到CM=AD，BD=AM，进一步证明△DBG≌△NCG(AAS)，通过角的关系推导出DAE=90°，进而得证；
小强解法：如图3，AD与BC相交于点O，证明△GAM≌△GBD(AAS)，得到GM=GD，BD=AM，进一步推导出∠MDG=45°，∠MDG=∠DEA=45°，得到∠DAE=90°，进而得证；
【能力提升】延长AO到点P，使OP=AO，连接DP，首先推导出△POD≌△AOE(SAS)，得到PD=AE=AB，∠P=∠EAO，进一步推导出△PDA≌△BAC(SAS)，得到PA=BC=2AO，推导出∠AFC=90°，即AO⊥BC，由AF=14BC，AF=12AO，得到BC垂直平分AO，进一步推导出∠NAM=∠MON=60°，进而得到∠MON=12∠BAC．
本题属于几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．