2022-2023学年辽宁省沈阳市铁西区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

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2022-2023学年辽宁省沈阳市铁西区八年级（下）期末数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 当x=1时，下列分式没有意义的是(    )
A. x+1x B. x−1x C. xx−1 D. xx+1
2. 下列四个图案中，是中心对称图形的是(    )
A. B.
C. D.
3. 一个多边形的内角和是540°，那么这个多边形的边数为(    )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
4. 不等式7−x>1的最大正整数解为(    )
A. 1 B. 5 C. 6 D. 7
5. 下列因式分解正确的是(    )
A. x2−x=x(x+1) B. a2−4a+4=(a+2)2
C. a2+2ab−b2=(a−b)2 D. x2−y2=(x+y)(x−y)
6. 已知四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，下列结论错误的是(    )
A. OA=OC，OB=OD
B. 当AB=CD时，四边形ABCD是菱形
C. 当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形
D. 当AC=BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形
7. 在平面直角坐标系中，将点P(4,5)向左平移6个单位长度得到点Q，则点Q所在的象限为(    )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
8. 如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=3，△ABO的周长比△BOC的周长小1，则▱ABCD的周长是(    )


A. 10 B. 12 C. 14 D. 16
9. 若关于x的分式方程3xx−2=m2−x+5的解为正数，则m的取值范围为(    )
A. m<−10 B. m≤−10
C. m≥−10且m≠−6 D. m>−10且m≠−6
10. 如图，平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴的正半轴上，点B，C在第一象限，若∠AOC=60°，OA=4 3，则对角线交点D的坐标为(    )

A. (3 3,3) B. (3,3 3) C. (3, 3) D. ( 3,3)
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 因式分解：4ax2−4ax+a=______．
12. 已知菱形ABCD的边长为8，其中一条对角线AC=12，则另一条对角线BD的长为______ ．
13. 如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线DE分别与AB边和AC边交于点D和点E，BC边的垂直平分线FG分别与BC边和AC边交于点F和点G，若△BEG的周长为10，且GE=1，则AC的长为______ ．


14. 小明要从甲地到乙地，两地相距2千米.已知小明步行的平均速度为100米/分，跑步的平均速度为200米/分，若要在不超过15分钟的时间内到达乙地，至少需要跑步多少分钟？设小明需要跑步x分钟，根据题意可列不等式为______ ．
15. 如图，在△ABC中，AB=12，点D，E分别是AB，AC的中点，点F在DE上，且DF=3EF，当AF⊥BF时，BC的长是______ ．

16. 已知∠ABC=∠ABD=30°，点C，D在边AB的异侧，若AC=AD= 10，AB=6，则CD= ______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
分解因式：(x−1)2+2(x−5)．
18. (本小题8.0分)
解不等式组：3(1−x)<−2x+51−2x−13>x+22．
19. (本小题8.0分)
先化简，再求值：(x+2)(x2−4x+4)x2−4，其中x=13．
20. (本小题8.0分)
如图，点E，F在▱ABCD的对角线AC上，若AE=EF=CD，∠ADF=90°，∠BCD=54°，求∠ADE的度数．

21. (本小题8.0分)
如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G.若BG=3，CG=2，求CE的长．

22. (本小题10.0分)
如图，某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单(如下表)已被墨水污染．
进货单
商品
单价(元)
数量(件)
总金额(元)
甲


7200
乙


3200
商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下：
李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高50%．
王师傅：甲商品比乙商品的数量多40件．
请你求出乙商品的进价．
23. (本小题10.0分)
如图，BD是▱ABCD的对角线，过点A，C分别作AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F．
(1)求证：四边形AFCE是平行四边形；
(2)若AD=13，AE=12，AB=20，请直接写出点C到边AB的距离为______ ．

24. (本小题12.0分)
如图，在△ABC中，点P是边AC上一个动点，过点P作直线EF//BC分别交∠ACB，∠ACD的平分线于点E，F．
(1)若CE=9，CF=12，求PC的长；
(2)连接AE，AF，若四边形AECF是矩形，请直接写出AP与AC的数量关系．

25. (本小题12.0分)
在等腰△ABC中，AB=AC=3+ 3，点D，E分别在射线AB，AC上，且AD=AE，连接BE，CD交于点P，连接AP．
(1)若点D，E分别在边AB，AC上，
①求证：∠ABE=∠ACD；
②求证：AP是∠BAC的平分线；
(2)若∠BAC=60°，∠CPE=30°，请直接写出线段CE的长．


答案和解析

1.【答案】C 
【解析】解：A、当x=1时，分式有意义，故此选项不符合题意；
B、当x=1时，分式有意义，故此选项不符合题意；
C、当x=1时，分母x−1=0，分式无意义，故此选项符合题意；
D、当x=1时，分母x+1=2，分式有意义，故此选项不符合题意．
故选：C．
本题主要考查分式没有意义的条件：分母等于0，因而把x=1代入各式的分母检验一下就可以得解．
本题考查的是分式没有意义的条件，熟知分式无意义的条件是分母等于零是解题的关键．

2.【答案】B 
【解析】解：选项A、C、D均不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形；
选项B能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形；
故选：B．
根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
此题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

3.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题主要考查了多边形的内角和公式，一元一次方程的解法，熟记公式是解题的关键．
根据多边形的内角和公式(n−2)⋅180°列式进行计算即可求解．
【解答】
解：设多边形的边数是n，则
(n−2)⋅180°=540°，
解得n=5．
故选：B．  
4.【答案】B 
【解析】解：7−x>1，
−x>1−7，
−x>−6，
x<6，
∴该不等式的最大整数解为：5，
故选：B．
按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．

5.【答案】D 
【解析】解：x2−x=x(x−1)，
则A不符合题意；
a2−4a+4=(a−2)2，
则B不符合题意；
a2+2ab−b2无法因式分解，
则C不符合题意；
x2−y2=(x+y)(x−y)，
则D符合题意；
故选：D．
将各项因式分解后判断即可．
本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．

6.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题考查了正方形的判定，矩形的判定、平行四边形的性质及菱形的判定方法，牢记判定方法是解答本题的关键．
根据正方形的判定，矩形的判定、菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】
解：A、根据平行四边形的性质得到OA=OC，OB=OD，该结论正确，此选项不符合题意；
B、当AB=CD时，四边形ABCD还是平行四边形，原来的结论错误，此选项符合题意；
C、根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可以判断原来的结论正确，此选项不符合题意；
D、当AC=BD且AC⊥BD时，根据对角线相等可判断四边形ABCD是矩形，根据对角线互相垂直可判断四边形ABCD是菱形，故四边形ABCD是正方形，该结论正确，此选项不符合题意；
故选B．  
7.【答案】B 
【解析】解：平移后点Q的坐标为(4−6,5)，即Q(−2,5)，
∴点Q所在的象限是第二象限，
故选：B．
根据平移规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减即可得．
此题主要考查了坐标与图形变化−平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．掌握点的坐标的变化规律是解题的关键．

8.【答案】C 
【解析】解：∵△AOB的周长比△BOC的周长小1，
∴BC−AB=1，
∵AB=3，
∴BC=4，
∴AB+BC=7，
∴平行四边形的周长为14，
故选：C．
根据平行四边形的性质可知，平行四边形的对角线互相平分，由于△AOB的周长比△BOC的周长小1，则BC比AB大1，所以可以求出BC，进而求出周长．
此题主要考查平行四边的性质：平行四边形的两组对边分别相等且平行四边形的对角线互相平分．

9.【答案】D 
【解析】
【分析】
此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键．
分式方程去分母化为整式方程，表示出方程的解，由分式方程的解为正数且x≠2列式求出m的范围即可．
【解答】
解：去分母得：3x=−m+5(x−2)，
解得：x=m+102，
由方程的解为正数且x≠2，得到m+102>0，且m+102≠2，
解得m>−10且m≠−6，
故选：D  
10.【答案】A 
【解析】解：过点D作DE⊥OA于点E，

∵四边形OABC是菱形，∠AOC=60°，
∴∠AOD=12∠AOC=30°，
∵OA=4 3，
∴AD=12OA=2 3，
∴OD= OA2−AD2=6，
∴DE=12DO=3，
∴OE= OD2−DE2= 62−32=3 3，
∴D(3 3,3)，
故选：A．
过点D作DE⊥OA于点E，由菱形的性质得出∠AOD=12∠AOC=30°，由直角三角形的性质及勾股定理可得出答案．
本题考查了菱形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．

11.【答案】a(2x−1)2 
【解析】解：原式=a(4x2−4x+1)=a(2x−1)2，
故答案为：a(2x−1)2
原式提取a，再利用完全平方公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

12.【答案】4 7 
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=12AC，BD=2OD，
∵AC=12，
∴OA=6，
∵AD=8，
∴OD= AD2−OA2=2 7，
∴BD=4 7．
故答案为：4 7．
由菱形的性质推出AC⊥BD，OA=12AC=6，BD=2OD，由勾股定理求出OD=2 7，即可得到BD=4 7．
本题考查菱形的性质，勾股定理，关键是由菱形的性质得到AC⊥BD，OA=6，BD=2OD，由勾股定理即可求解．

13.【答案】8 
【解析】解：∵DE是线段AB的中垂线，GF是线段BC的中垂线，
∴EB=EA，GB=GC，
∵△BEG周长为10，
∴EB+GB+EG=10，
∴EA+GC+EG=10，
∴GA+EG+EG+EG+EC=10，
∴AC+2EG=10，
∵EG=1，
∴AC=8，
故答案为：8．
利用线段的垂直平分线的性质解决问题即可．
本题考查线段的垂直平分线，三角形的周长等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

14.【答案】200x+100(15−x)≥2000 
【解析】解：根据题意列不等式为：200x+100(15−x)≥2000，
故答案为：200x+100(15−x)≥2000．
根据跑步的路程加上步行的路程大于等于两地距离列不等式即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，找出题目中的等量关系是解此题的关键．

15.【答案】16 
【解析】解：∵AF⊥BF，AB=12，
∴∠AFB=90°，
又∵D是AB的中点，
∴DF=12AB=6，
∵DF=3FE，
∴EF=2，
∴DE=4EF=8，
∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC=2DE=16，
故答案为：16．
根据直角三角形的性质求出DF，根据题意求出DE，根据三角形中位线定理计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．

16.【答案】 30 
【解析】解：如图，过点A作AG⊥BC，交BC的延长线于点G，作AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，
∴∠G=∠AEB=∠AED=90°，
∵∠ABC=∠ABD=30°，
∴AG=AE=12AB=3，
∴BG=BE= 3AE=3 3，
∴DE= AD2−AE2= 10−9=1，
∴BD=BE+DE=3 3+1，
∵CG= AC2−AG2= 10−9=1，
∴BC=BG−CG=3 3−1，
∵∠BFC=90°，∠CBF=60°，
∴∠BCF=30°，
∴BF=12BC=3 3−12，
∴DF=BD−BF=3 3+1−3 3−12=3 3+32，
∵CF= 3BF=9− 32，
∵∠DFC=90°，
∴CD= DF2+CF2= (3 3+32)2+(9− 32)2= 30，
∴CD的长为 30．
故答案为： 30．
过点A作AG⊥BC，交BC的延长线于点G，作AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，由勾股定理及直角三角形的性质可求出答案．
本题考查直角三角形30°角的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握直角三角形的性质．

17.【答案】解：原式=x2−2x+1+2x−10
=x2−9
=(x+3)(x−3)． 
【解析】直接利用完全平方公式化简，进而利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．

18.【答案】解：由3(1−x)<−2x+5，得：x>−2，
由1−2x−13>x+22，得：x<27，
则不等式组的解集为−2 【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

19.【答案】解：(x+2)(x2−4x+4)x2−4
=(x+2)(x−2)2(x−2)(x+2)
=x−2，
当x=13时，
原式=13−2
=−53． 
【解析】利用分式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

20.【答案】解：设∠ADE=x°，
∵AE=EF，∠ADF=90°，
∴DE=12AF，
∴DE=AE，
∴∠DAE=∠ADE=x°，
∴∠DEC=∠DAE+∠ADE=2x°，
∵CD=AE，
∴DE=DC，
∴∠DCE=∠DEC=2x°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∵∠BCD=54°，
∴∠ADC=126°，
∵∠ADC+∠DCE+∠DAC=180°，
∴x+2x+126=180，
∴x=18，
∴∠ADE=18°． 
【解析】设∠ADE=x°，由直角三角形斜边中线的性质得到DE=AE，因此∠DAE=∠ADE=x°，由三角形外角的性质得到∠DEC=∠DAE+∠ADE=2x°，而CD=AE，得到DE=DC，因此∠DCE=∠DEC=2x°，由平行线的性质求出∠ADC=126°，由三角形内角和定理得到x+2x+126=180，因此x=18，即可得到∠ADE=18°．
本题考查平行四边形的性质，直角三角形斜边的中线，关键是由直角三角形斜边的中线的性质推出DE=DC，得到∠DCE=∠DEC，由三角形内角和定理列出关于∠ADE的方程．

21.【答案】解：如图，连接EG，

由旋转知，△ADE≌△ABF，
∴AE=AF，DE=BF，
又∵AG⊥EF，
∴H为EF的中点，
∴AG垂直平分EF，
∴EG=FG，
设CE=x，则DE=5−x=BF，
FG=8−x，
∴EG=8−x，
∵∠C=90°，
由勾股定理得，CE2+CG2=EG2，
即x2+22=(8−x)2，
解得x=154，
∴CE的长为154． 
【解析】连接EG，根据线段垂直平分线的性质得出EG=FG，设CE=x，则DE=5−x=BF，FG=8−x，在Rt△CEG中由勾股定理得出方程求解即可．
本题考查了旋转的性质，勾股定理，正方形的性质，线段垂直平分线的性质，明确旋转前后对应边、对应角相等是解题的关键．

22.【答案】解：设乙的进货单价为x元/件，则乙的进货数量为3200x件，则甲的数量为(3200x+40)件，甲的进货单价为(1+50%)x元/件，根据题意得：(3200x+40)×(1+50%)x=7200，
解得：x=40．
经检验：x=40是原方程的解，
答：乙商品的进价为40元/件． 
【解析】设出乙的进货价为x，表示出乙的进货数量，表示出甲的进货数量与进货价，通过甲的进货价×甲的数量=甲的总金额，列出分式方程，解出方程即可．
本题主要考查的是分式方程的应用，解答本题的关键在于表示出相关量，找出等量关系，列出方程．

23.【答案】635 
【解析】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，AD//CB，
∴∠ADE=∠CBF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE//CF，∠AED=90°，∠CFB=90°，
在△ADE和△CBF中，
∠AED=∠CFB=90° ∠ADE=∠CBF AD=CB ，
∴△ADE≌△CBF(AAS)，
∴AE=CF，
又AE//CF，
∴四边形AFCE是平行四边形；
(2)解：如图，过点C作CM⊥AB交AB的延长线于点M，则CM为点C到边AB的距离，

∵AD=13，AE=12，AB=20，AE⊥BD，
∴DE= AD2−AE2= 132−122=5，BE= AB2−AE2= 202−122=16，
∴BD=DE+BE=21，
∵▱ABCD的面积=2S△ABD=AB⋅CM，S△ABD=12BD⋅AE=12×21×12=126，
∴20CM=126×2，
∴CM=635，
故答案为：635．
(1)根据平行四边形的性质得出AD=CB，AD//CB，进而得出∠ADE=∠CBF，根据垂直的定义及平行线的判定得出AE//CF，∠AED=90°，∠CFB=90°，利用AAS证明△ADE≌△CBF，根据全等三角形的性质得到AE=CF，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可得解；
(2)根据勾股定理及线段的和差求出BD=21，再根据▱ABCD的面积=2S△ABD=AB⋅CM求解即可．
此题考查了平行四边形的判定与性质，熟记平行四边形的判定定理与性质定理是解题的关键．

24.【答案】解：(1)∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠ECB=12∠ACB，
∵CF平分∠ACD，
∴∠ACF=∠FCD=12∠ACD，
∴∠ECF=12∠ACB+12∠ACD=12×180°=90°，
在Rt△ECF中，EF= CE2+CF2= 92+122=15，
∵EF//BD，
∴∠ACE=∠ECB=∠FEC，
∴PE=PC，
同理PC=PF，
∴PC=PE=PF=12EF=152；
(2)连接AE、AF，如图所示，
∵四边形AECF是矩形，
∴AP=CP，
∴AP=12AC． 
【解析】(1)根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠PEC=∠PCE，∠PFC=∠PCF，证出PE=PC=PF，∠ECF=90°，由勾股定理求出EF，即可得出答案；
(2)根据矩形的性质得出即可．
此题考查了矩形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、平行四边形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键．

25.【答案】(1)证明：①在Rt△ABE和Rt△ACD中，
AB=AC∠BAE=∠CADAE=AD，
∴△ABE≌△ACD(SAS)，
∴∠ABE=∠ACD；
②∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
由①得：∠ABE=∠ACD，
∴∠ABC−∠ABE=∠ACB−∠ACD，
∴∠PBC=∠PCB，
∴PB=PC，
在Rt△ABP和△ACP中，
AB=ACAP=APBP=CP，
∴△ABP≌△ACP(SSS)，
∴∠BAP=∠CAP，
∴AP是∠BAC的平分线；
(2)解：如图：过点P作PF⊥AC，垂足为F，

∴∠AFP=∠CFP=90°，
∵∠BAC=60°，∠BAP=∠CAP，
∴∠BAP=∠CAP=12∠BAC=30°，
在△ADP和△AEP中，
AD=AE∠DAP=∠EAPAP=AP，
∴△ADP≌△AEP(SAS)，
∴∠APD=∠APE，
∵∠CPE=30°，
∴∠APD=∠APE=180°−∠CPE2=75°，
∴∠AEP=180°−∠CAP−∠APE=75°，
∴∠APE=∠AEP=75°，
∴AP=AE，
设PF=x，
在Rt△APF中，∠PAE=30°，
∴∠APF=90°−∠PAE=60°，AP=2PF=2x，AF= 3PF= 3x，
∴AE=AP=2x，
在Rt△CPF中，∠CPF=180°−∠APD−∠APF=45°，
∴CF=PF=x，
∵AF+CF=AC，
∴ 3x+x=3+ 3，
解得：x= 3，
∴CE=AC−AE=3+ 3−2x=3+ 3−2 3=3− 3，
∴线段CE的长为3− 3． 
【解析】(1)①利用SAS证明△ABE≌△ACD，然后利用全等三角形的性质可得∠ABE=∠ACD，即可解答；
②利用等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB，再利用等式的性质可得∠PBC=∠PCB，从而可得PB=PC，然后利用SSS可证△ABP≌△ACP，从而利用全等三角形的性质可得∠BAP=∠CAP，即可解答；
(2)过点P作PF⊥AC，垂足为F，根据垂直定义可得∠AFP=∠CFP=90°，再利用(1)的结论可得∠BAP=∠CAP=30°，然后利用SAS可证△ADP≌△AEP，从而利用全等三角形的性质可得∠APD=∠APE=75°，进而利用三角形内角和定理可得∠APE=∠AEP=75°，再利用等角对等边可得AP=AE，最后设PF=x，在Rt△APF中，利用含30度角的直角三角形的性质求出AP，AF的长，再在Rt△CPF中，利用等腰直角三角形的性质可得CF=PF=x，从而根据AF+CF=AC，列出关于x的方程，进行计算即可解答．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，等腰直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．