2023-2024学年吉林省长春市朝阳区七年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年吉林省长春市朝阳区七年级（下）期中数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各式中，属于方程的是( )
A. −12x−3B. 3x+1=4C. x+1>1D. −2+5=3
2.下列方程中，解为x=2的是( )
A. x+2=0B. 1−2x=3C. x+1=3(x−1)D. 0.2x=1
3.不等式的解集x<2在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
4.A、B、C三人去公园玩跷跷板，根据以下两个示意图可以判断三人体重的大小关系是( )
A. C5.已知x、y满足方程组x+2y=82x+y=7，则x−y的值是( )
A. −1B. 0C. 1D. 2
6.学校的篮球数比排球数的2倍少3个，篮球数与排球数的比是3：2，求两种球各有多少个？若设篮球有x个，排球有y个，根据题意得方程组( )
A. x=2y−33x=2yB. x=2y+33x=2yC. x=2y+32x=3yD. x=2y−32x=3y
7.从甲地到乙地，公共汽车原来需要行驶7小时，开通高速公路后，路程缩短了20千米，车速平均每小时增加了40千米，只需要4小时即可到达，则甲、乙两地之间高速公路的路程是( )
A. 320千米B. 380千米C. 400千米D. 420千米
8.“曹冲称象”是流传很广的故事，如图．按照他的方法：先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出．然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置，如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置．已知搬运工体重均为120斤，设每块条形石的重量是x斤，则正确的是( )
A. 依题意3×120=x−120
B. 依题意20x+3×120=(20+1)x+120
C. 该象的重量是5040斤
D. 每块条形石的重量是260斤
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.若a10.已知二元一次方程−x+2y=4，用含x的代数式表示y= ______．
11.若x=2y=−1是二元一次方程2x−my=1的一个解，则m的值为______．
12.一次普法知识竞赛共有20道题.评分标准为：答对1题给5分，答错或不答1题扣2分.在这次竞赛中，若小明总分不低于85分，则他至少答对了______道题．
13.若关于x的一元一次不等式x−1≤m只有2个正整数解，则m的取值范围是______．
14.如图是由6块小正方形拼成的长方形.若中间小正方形的边长是1，则这个长方形的面积是______．
三、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题6分)
解方程：5x+2=7x+8．
16.(本小题6分)
解不等式：x+24−2x−16≤1．
17.(本小题6分)
解方程组：4x−y=92x+3y=1．
18.(本小题7分)
解不等式组2x−12<5x6−2x3≥0，并把解集在数轴上表示出来．
19.(本小题7分)
小华今年13岁，爷爷今年60岁，求经过几年后，爷爷的年龄比小华年龄的4倍少1岁．
20.(本小题7分)
已知等式y=kx+b，当x=−1时，y=6；当x=3时，y=−2．
(1)求k、b的值．
(2)当y≥0时，若x为非负整数，求x的值．
21.(本小题8分)
某文具商店首次购进了甲、乙两种畅销笔记本.已知每个甲种笔记本的进价比每个乙种笔记本的进价多4元，且购进150个甲种笔记本比购进200个乙种笔记本多花400元．
(1)求本次购进甲、乙两种笔记本的进价分别是每个多少元？
(2)为满足更多学生需求，该超市准备再次购进甲、乙两种笔记本共200个，若购进这200个笔记本的总金额不超过1150元，求最多购进多少个甲种笔记本？
22.(本小题9分)
【教材呈现】华师版数学教材七年级下册第61页．
请填写以上问题的答案：
(1) ______；(2) ______；(3) ______．
【类比探究】方程4a−2=1的解是a=34，不等式4a−2>1的解集是a> ______；
方程2a−3=−1的解是a=1，不等式2a−3>−1的解集是a> ______；
方程−x−2=0的解是x=−2，不等式−x−2>0的解集是x ______−2；
方程−2x+1=−5的解是x=3，不等式−2x+1>−5的解集是x ______3.
【拓展应用】(1)已知关于x的一元一次方程2x+m=5x+n的解是x=−1，那么关于x的不等式2x+m≥5x+n的解集是______．
(2)若关于x的不等式a1x+b1k，则a1与a2的大小关系是a1 ______a2．
23.(本小题10分)
已知在数轴上，点A、B、C分别表示2−m、m+4、2m−3．
(1)当点A与点B重合时，求m的值．
(2)在点A、B、C中，任意两点互不重合，若其中一点到另外两点的距离相等，求m的值．
(3)若点C到点B的距离小于点C到点A的距离，直接写出m的取值范围．
24.(本小题12分)
用若干张规格为6dm×6dm的大纸板剪裁成图①所示的A型长方形纸板和B型正方形纸板，再制作成图②所示的横式和竖式两种无盖长方体纸盒.已知一张大纸板可以恰好裁成6张A型长方形纸板或者恰好裁成9张B型正方形纸板．
(1)制作一个横式纸盒需要A型长方形纸板______张，制作一个竖式纸盒需要A型长方形纸板______张.
(2)若用8张大纸板裁成A型长方形纸板，用3张大纸板剪裁B型正方形纸板，且裁成的A、B两种型号纸板恰好都用完，求可以制作横式纸盒和竖式纸盒各多少个？
(3)如果制作横式纸盒和竖式纸盒均为m个，若可用于剪裁的大纸板不超过18张，求m的最大值．
(4)如果一张大纸板既可以恰好裁成6张A型长方形纸板或者恰好裁成9张B型正方形纸板，也可以同时裁出若干张A型长方形纸板和B型正方形纸板.若要用20张大纸板，剪裁后再制作成横式纸盒，在充分利用大纸板的情况下，最多可以制作横式纸盒______个.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、−12x−3不是等式，故不是方程，不符合题意；
B、3x+1=4是方程，符合题意；
C、x+1>1不是等式，故不是方程，不符合题意；
D、−2+5=3不含有未知数，故不是方程，不符合题意．
故选：B．
根据方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是方程的定义，熟知含有未知数的等式叫方程是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A.把x=2代入方程x+2=0，得左边=2+2=4，右边=0，左边≠右边，
所以x=2不是方程x+2=0的解，故本选项不符合题意；
B.把x=2代入方程1−2x=3，得左边=1−2×2=−3，右边=−3，左边≠右边，
所以x=2不是方程1−2x=3的解，故本选项不符合题意；
C.把x=2代入方程x+1=3(x−1)，得左边=2+1=3，右边=3×(2−1)=3，左边=右边，
所以x=2是方程x+1=3(x−1)的解，故本选项符合题意；
D.把x=2代入方程0.2x=1，得左边=0.2×2=0.4，右边=1，左边≠右边，
所以x=2不是方程0.2x=1的解，故本选项不符合题意．
故选：C．
把x=2代入每个方程，看看方程左右两边是否相等即可．
本题考查了一元一次方程的解，能熟记方程的解的定义(使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解)是解此题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：x<2在数轴上表示2左边部分，且在2处用空心圆点表示；
故选：A．
x<2表示数轴上2左边的部分，且2处是空心点，据此来判断．
本题考查了在数轴上表示不等式解集，注意区分方向和实心、空心点．
4.【答案】D
【解析】解：根据题意得：A>BA∴B故选：D．
观察图形，可得出A>B，A本题考查了一元一次不等式组的应用以及不等式的性质，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：x+2y=8①2x+y=7②，
②−①得：x−y=−1，
故选A．
方程组中两方程相减即可求出x−y的值．
此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握用加减消元法解方程组是解本题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：根据学校的篮球数比排球数的2倍少3个，得方程x=2y−3；
根据篮球数与排球数的比是3：2，得方程x：y=3：2，即2x=3y．
可列方程组x=2y−32x=3y．
故选：D．
此题中的等量关系有：
①学校的篮球数比排球数的2倍少3个；
②篮球数与排球数的比是3：2．
找准等量关系是解决应用题的关键，注意能够根据比例的基本性质把第二个比例式转化为等积式．
7.【答案】C
【解析】解：设甲、乙两地之间高速公路的路程是x千米，
由题意可得：x+207+40=x4，
解得x=400，
答：甲、乙两地之间高速公路的路程是400千米，
故选：C．
先设甲、乙两地之间高速公路的路程是x千米，然后根据从甲地到乙地，公共汽车原来需要行驶7小时，开通高速公路后，路程缩短了20千米，车速平均每小时增加了40千米，只需要4小时即可到达，即可列出相应的方程，求解即可．
本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．
8.【答案】B
【解析】解：由题意得出等量关系为：
20块等重的条形石的重量+3个搬运工的体重=21块等重的条形石的重量+1个搬运工的体重，
已知搬运工体重均为120斤，设每块条形石的重量是x斤，
20x+3×120=(20+1)x+120，
所以A选项不正确，B选项正确；
由题意可知：一块条形石的重量=2个搬运工的体重，
每块条形石的重量是：2×120=240斤，
所以大象的体重为20×240+3×120=5160斤，
所以C选项不正确；
因为每块条形石的重量是240斤，
所以D选项不正确；
综上，正确的选项为：B．
故选：B．
利用题意找出等量关系，将等量关系中的量用已知数和未知数的代数式替换即可得出结论．
本题主要考查了一元一次方程的应用，利用题意正确找出等量关系是解题的关键．
9.【答案】>
【解析】解：∵a∴−2a>−2b，
故答案为：>．
应用不等式的基本性质判断即可．
此题主要考查了不等式的基本性质：(1)不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；(2)不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变；(3)不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．
10.【答案】x+42
【解析】解：−x+2y=4，
2y=x+4，
y=x+42．
故答案为：y=x+42．
根据等式的性质方程两边都加x，再根据等式的性质方程两边都除以2即可．
本题考查了解二元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．
11.【答案】−3
【解析】解：把x=2y=−1代入方程2x−my=1，得4+m=1，
解得：m=−3．
故答案为：−3．
把x=2y=−1代入方程2x−my=1得出4+m=1，再求出方程的解即可．
本题考查了二元一次方程的解，能根据题意得出关于m的方程4+m=1是解此题的关键．
12.【答案】18
【解析】解：设小明答对了x道题，则答错或不答(20−x)道题，
根据题意得：5x−2(20−x)≥85，
解得：x≥1257，
又∵x为正整数，
∴x的最小值为18，即他至少答对了18道题．
故答案为：18．
设小明答对了x道题，则答错或不答(20−x)道题，利用总分=5×答对题目数−2×答错或不答题目数，结合总分不低于85分，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
13.【答案】1≤m<2
【解析】解：x−1≤m，
x≤m+1，
∵关于x的一元一次不等式x−1≤m只有2个正整数解，
∴2≤m+1<3，
解得：1≤m<2，
故答案为：1≤m<2．
先解关于x的不等式，再根据关于x的一元一次不等式x−1≤m只有2个正整数解，列出关于m的不等式，解不等式即可．
本题主要考查了解一元一次不等式，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤．
14.【答案】143
【解析】解：设正方形①的边长为x，则正方形②的边长为x，正方形③的边长为x+1，正方形④的边长为x+2，正方形⑤的边长为x+3，
由图可得：(x+2)+(x+3)=(x+1)+x+x，
解得x=4，
∴长方形的长为(4+2)+(4+3)=13，宽为：(4+2)+(4+1)=11，
∴这个长方形的面积为：13×11=143，
故答案为：143．
先设正方形①的边长为x，然后即可表示出其他正方形的边长，再根据图形可知正方形④和⑤的边长之和等于正方形①②③的边长之和，从而可以列出方程，求出x的值，再求出长方形的长和宽，即可计算出这个长方形的面积．
本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用数形结合的思想解答．
15.【答案】解：移项得：5x−7x=8−2，
合并得：−2x=6，
解得：x=−3．
【解析】方程移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解．
此题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解本题的关键．
16.【答案】解：x+24−2x−16≤1
去分母得：3(x+2)−2(2x−1)≤12
去括号得：3x+6−4x+2≤12
系数化为1得：x≥−4
【解析】先去分母，再去括号，移项、合并同类项，把x的系数化为1即可．
本题考查的是解一元一次不等式，熟知去分母，再去括号，移项、合并同类项，把x的系数化为1是解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．
17.【答案】解：4x−y=9①2x+3y=1②，
②×2，得4x+6y=2③，
③−①，得7y=−7，
解得：y=−1，
把y=−1代入①，得4x−(−1)=9，
解得：x=2，
所以方程组的解是x=2y=−1．
【解析】②×2得出4x+6y=2③，③−①得出7y=−7，求出y=−1，再把y=−1代入①求出x即可．
本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
18.【答案】解：2x−12<5x①6−2x3≥0②，
解不等式①，得x>−4；
解不等式②，得x≤3；
所以不等式组的解集是−4该不等式组的解集在数轴上表示为：
．
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19.【答案】解：经过x年后，爷爷的年龄是(60+x)岁，小华的年龄是(13+x)岁，
根据题意得：4(13+x)−(60+x)=1，
解得：x=3．
答：经过3年后，爷爷的年龄比小华年龄的4倍少1岁．
【解析】经过x年后，爷爷的年龄是(60+x)岁，小华的年龄是(13+x)岁，根据爷爷的年龄比小华年龄的4倍少1岁，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
20.【答案】解：(1)根据题意，可得−k+b=6①3k+b=−2②，
①−②，可得−4k=8，
解得k=−2，
把k=−2代入①，可得：−(−2)+b=6，
解得b=4，
∴原方程组的解是k=−2b=4．
(2)由(1)，知y=−2x+4，
当y≥0时，−2x+4≥0，
解得x≤2，
又∵x为非负整数，
∴x的值为0，1，2．
【解析】(1)根据题意，可得−k+b=6①3k+b=−2②，应用加减消元法，求出k、b的值即可；
(2)把求出的k、b的值代入y=kx+b，根据y≥0，可得kx+b≥0，据此求出x的取值范围，再根据x为非负整数，求出x的值即可．
此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用是关键．
21.【答案】解：(1)设甲种笔记本的进价是x元/个，乙种笔记本的进价是y元/个，
根据题意得：x−y=4150x−200y=400，
解得：x=8y=4．
答：甲种笔记本的进价是8元/个，乙种笔记本的进价是4元/个；
(2)设购进m个甲种笔记本，则购进(200−m)个乙种笔记本，
根据题意得：8m+4(200−m)≤1150，
解得：m≤1752，
又∵m为正整数，
∴m的最大值为87．
答：最多购进87个甲种笔记本．
【解析】(1)设甲种笔记本的进价是x元/个，乙种笔记本的进价是y元/个，根据“每个甲种笔记本的进价比每个乙种笔记本的进价多4元，且购进150个甲种笔记本比购进200个乙种笔记本多花400元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设购进m个甲种笔记本，则购进(200−m)个乙种笔记本，利用总价=单价×数量，结合总价不超过1150元，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
22.【答案】a>−14 a=−14 a<−14 34 1 < < x≤−1 <
【解析】解：【教材呈现】(1)∵代数式4a+2>1，
∴4a>−1，
∴a>−14；
(2)∵代数式4a+2=1，
∴4a=−1，
∴a=−14；
(3)∵代数式4a+2<1，
∴4a<−1，
∴a<−14，
故答案为：(1)a>−14；(2)a=−14；(3)a<−14．
【类比探究】∵方程4a−2=1的解是a=34，
∴不等式4a−2>1的解集是a>34，
故答案为：34．
∵方程2a−3=−1的解是a=1，
∴不等式2a−3>−1的解集是a>1，
故答案为：1．
∵方程−x−2=0的解是x=−2，
不等式−x−2>0的解集是x<−2，
故答案为：<．
∵方程−2x+1=−5的解是x=3，
不等式−2x+1>−5的解集是x<3．
故答案为：<．
【拓展应用】(1)∵方程2x+m=5x+n的解是x=−1，
∴−2+m=−5+n，
∴n−m=3，
对于不等式2x+m≥5x+n，
移项得：2x−5x≥n−m，
∴−3x≥3，
∴x≤−1，
故答案为：x≤−1．
(2)对于不等式a1x+b1移项得：(a1−a2)x∴不等式a1x+b1k，
∴a1−a2<0，
∴a1故答案为：<．
【教材呈现】(1)根据4a+2>1可得出答案；(2)根据4a+2=1可得出答案；(3)根据4a+2<1可得出答案；
【类比探究】利用类比方法可得出答案；
【拓展应用】(1)根据方程2x+m=5x+n的解是x=−1得n−m=3，对于不等式2x+m≥5x+n，移项得2x−5x≥n−m，则−3x≥3，由此可得出答案；
(2)对于不等式a1x+b1k得a1−a2<0，由此可得出答案．
此题主要考查了一元一次方程和一元一次不等式，熟练掌握一元一次方程和一元一次不等式之间的关系，解一元一次不等式是解决问题的关键，注意体会类比思想在解题中的应用．
23.【答案】解：(1)当点A与点B重合时，则2−m=m+4，
解得m=−1；
(2)当点A到点B、C的距离相等时，2(2−m)=m+4+2m−3，解得m=35；
当点B到点A、C的距离相等时，2(m+4)=2−m+2m−3，解得m=−9；
当点C到点A、B的距离相等时，2(2m−3)=m+4+2−m，解得m=3．
故m的值为35或−9或3；
(3)由题意得|2m−3−(m+4)|<|2m−3−(2−m)|，
当2m−3−(m+4)<2m−3−(2−m)时，解得m>−1；
当2m−3−(m+4)<2−m−(2m−3)时，解得m<6．
故m的取值范围为m>−1或m<6．
【解析】(1)根据点A与点B重合得到关于m的方程，解方程即可；
(2)分三种情况讨论，点A到点B、C的距离相等时，2(2−m)=m+4+2m−3，解得m=35；当点B到点A、C的距离相等时，2(m+4)=2−m+2m−3，解得m=−9；当点C到点A、B的距离相等时，解得m=3．
(3)由题意得|2m−3−(m+4)|<|2m−3−(2−m)|，解不等式即可．
本题考查了解一元一次方程、一元一次不等式，根据题意得到方程、得到不等式是解题的关键．
24.【答案】3 4 27
【解析】解：(1)由题意可得，
1个横式无盖长方体纸盒需要3张A型和2张B型，1个竖式无盖长方体纸盒需要4张A型和1张B型，
故答案为：3，4；
(2)设制作横式纸盒x个，竖式纸盒y个，根据题意得，
3x+4y=8×62x+y=3×9，解得x=12t=3，
答：制作横式纸盒12个，竖式纸盒3个；
(3)解：根据题意，得3m+4m6+2m+m9≤18(或7m6+3m9≤18)．
解得m≤12．
∵m为非负整数，
∴m的最大值为12；
(4)设可以制作横式纸盒n个．
∵1个横式无盖长方体纸盒需要3张A型和2张B型，
∴需要3t张A型和2t张B型，
∴3t6+2t9≤20，解得t≤36013，
∴在充分利用大纸板的情况下，最多可以制作横式纸盒27个．
故答案为：27．
(1)根据图②所示的横式和竖式两种无盖长方体纸盒可得答案；
(2)根据题意可以列出相应的二元一次方程组，即可求解；
(3)根据题意可以列出相应的不等式，从而可以求得m的最大值；
(4)根据题意可以列出相应的不等式，即可解答本题．
本题考查一元一次不等式的应用、二元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用方程和不等式的性质解答．a分别取什么值时，代数式4a+2的值满足下列要求？
(1)大于1；
(2)等于1；
(3)小于1．