2021-2022学年北京市房山区高二（下）期中数学试卷

这是一份2021-2022学年北京市房山区高二（下）期中数学试卷，共17页。试卷主要包含了解答题共6小题，共75分等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知等差数列{an}的通项公式an＝﹣n+5，则它的公差为（ ）
A．1B．﹣1C．5D．﹣5
2．（5分）已知数列{an}满足2an+1＝an，且a1＝2，则数列{an}的前四项和S4的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（5分）下列求导运算正确的是（ ）
A．（csx）′＝﹣sinxB．
C．（x2•ex）′＝2xexD．（e2x）′＝e2x
4．（5分）函数的单调递增区间是（ ）
A．（﹣∞，e）B．（e，+∞）C．（0，）D．（0，e）
5．（5分）函数y＝f（x）的图象如图所示，则f'（1）与f'（3）的大小关系是（ ）
A．f'（1）＜f'（3）B．f'（1）＝f'（3）
C．f'（1）＞f'（3）D．f'（1）+f'（3）＞0
6．（5分）若函数f（x）＝x2﹣mx+10在（﹣2，1）上是增函数，则实数m的取值范围是（ ）
A．[2，+∞）B．[﹣4，+∞）C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，﹣4]
7．（5分）我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问次日织几何？其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，请问第二天织布的尺数是（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）已知函数y＝ax3﹣x2+3ax+5有极大值和极小值，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．（﹣3，3）
9．（5分）若函数y＝f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f（x）具有T性质．下列函数中具有T性质的是（ ）
A．y＝exB．y＝lnxC．y＝x2D．y＝x3
10．（5分）对于数列{an}，a1＝1，a5＝﹣2，an+2＝an+1﹣an，则a2022＝（ ）
A．1B．2C．﹣1D．﹣2
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，S10＝75，则a10＝ ．
12．（5分）函数f（x）的定义域为[0，4]，函数f（x）与f'（x）的图象如图所示，则不等式f（x）＞0的解集为 ．
13．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，若点（n，Sn）在函数f（x）＝x2﹣2x的图象上，则数列{an}的通项公式an＝ ．
14．（5分）无穷数列{an}满足①an＞an+1，②an＞0，写出一个同时满足这两个条件的通项公式an＝ ．
15．（5分）2020年5月1日，北京市开始全面实施垃圾分类，家庭厨余垃圾的分出量不断增加．已知甲、乙两个小区在[0，t]这段时间内的家庭厨余垃圾的分出量Q与时间t的关系如图所示．给出下列四个结论：
①甲小区在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]三段时间中，在[t2，t3]的平均分出量最大；
②在[t1，t2]这段时间内，甲小区的平均分出量比乙小区的平均分出量大；
③在[t2，t3]这段时间内，乙小区的平均分出量比甲小区的平均分出量大；
④在t2时刻，甲小区的分出量比乙小区的分出量增长的慢．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．（12分）已知函数f（x）＝sinx在x＝0处的切线为l．
（Ⅰ）求切线l的方程；
（Ⅱ）画出切线l，以及函数f（x）＝sinx在区间[﹣π，π]上的图象．
17．（12分）已知数列{an}为等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且满足a1＝b1＝1，a3+b3＝1．
（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）令cn＝an+bn，求数列{cn}的前n项的和Sn．
18．（13分）已知函数f（x）＝lnx+ax2﹣3x，若函数f（x）在x＝1处的切线与x轴平行．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值；
（Ⅲ）判断函数f（x）的零点个数，并说明理由．
19．（13分）已知数列{an}为等差数列，公差d≠0，前n项和为Sn，a1＝2，且a2，a4，a8成等比数列．设数列{bn}满足．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求证数列{bn}是等比数列；
（Ⅲ）求数列{bn}的前n项的乘积Tn．
20．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，n＝1，2，3，⋯，从条件①、条件②和条件③中选择两个能够确定一个数列的条件，并完成解答．
（条件①：a5＝5；条件②：an+1﹣an＝2；条件③：S2＝﹣4．）
选择条件_______和_______．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{bn}满足bn＝|an|，并求数列{bn}的前n项的和Tn．
21．（13分）已知函数f（x）＝ax﹣ex（a∈R）．
（Ⅰ）如果曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率是2，求此时的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）设，求证：当x∈[0，1]时，f（x）≤g（x）恒成立．
2021-2022学年北京市房山区高二（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（5分）已知等差数列{an}的通项公式an＝﹣n+5，则它的公差为（ ）
A．1B．﹣1C．5D．﹣5
【分析】利用等差数列的定义求解．
【解答】解：∵等差数列{an}的通项公式an＝﹣n+5，
∴它的公差d＝a2﹣a1＝（﹣2+5）﹣（﹣1+5）＝﹣1，
故选：B．
【点评】本题主要考查了等差数列的定义，属于基础题．
2．（5分）已知数列{an}满足2an+1＝an，且a1＝2，则数列{an}的前四项和S4的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由题意可得an+1＝an，则{an}是以q＝为公比的等比数列，进一步根据等比数列前n项和公式即可求出S4．
【解答】解：由2an+1＝an，得an+1＝an，
所以{an}是以q＝为公比的等比数列，
又a1＝2，则S4＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查等比数列的前n项和公式，考查学生归纳推理和运算求解的能力，属于基础题．
3．（5分）下列求导运算正确的是（ ）
A．（csx）′＝﹣sinxB．
C．（x2•ex）′＝2xexD．（e2x）′＝e2x
【分析】根据导数的公式即可得到结论．
【解答】解：对于A：（csx）′＝﹣sinx，故A正确，
对于B：（ln5）'＝0，故B错误，
对于C：（x2•ex）′＝2x•ex+x2•ex＝xex（2+x），故C错误，
对于D：（e2x）′＝2e2x，故D错误，
故选：A．
【点评】本题主要考查导数的基本运算，比较基础．
4．（5分）函数的单调递增区间是（ ）
A．（﹣∞，e）B．（e，+∞）C．（0，）D．（0，e）
【分析】求导得f′（x）＝，令f′（x）＞0，即可求得函数的单调递增区间．
【解答】解：∵的定义域为（0，+∞），
∴f′（x）＝，
令f′（x）＞0，得0＜x＜e，
∴函数的单调递增区间是（0，e），
故选：D．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于基础题．
5．（5分）函数y＝f（x）的图象如图所示，则f'（1）与f'（3）的大小关系是（ ）
A．f'（1）＜f'（3）B．f'（1）＝f'（3）
C．f'（1）＞f'（3）D．f'（1）+f'（3）＞0
【分析】由导数的几何意义和函数的图象可得结论．
【解答】解：f'（1）与f'（3）分别表示f（x）在x＝1处和x＝3处的切线的斜率，
由图象可得f'（1）＜0，f'（3）＜0，且f（x）在x＝1处的切线的倾斜角比x＝3处的切线的倾斜角小，
所以f′（1）＜f′（3），
故选：A．
【点评】本题考查函数的导数的运用：求切线的斜率，以及函数的图象的运用，考查数形结合思想和推理能力，属于基础题．
6．（5分）若函数f（x）＝x2﹣mx+10在（﹣2，1）上是增函数，则实数m的取值范围是（ ）
A．[2，+∞）B．[﹣4，+∞）C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，﹣4]
【分析】利用二次函数的单调性求解即可．
【解答】解：函数f（x）＝x2﹣mx+10的对称轴为x＝且开口向上，
∵函数f（x）在（﹣2，1）上是增函数，
∴≤﹣2，∴m≤﹣4，
∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣4]．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的单调性，属于基础题．
7．（5分）我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问次日织几何？其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，请问第二天织布的尺数是（ ）
A．B．C．D．
【分析】设第二天织布的x尺，由等比数列的性质写出每天织布尺数，从而建立方程求解．
【解答】解：设第二天织布的x尺，则由题意得，
x+x+2x+4x+8x＝5，
解得x＝，
故选：C．
【点评】本题考查了等比数列性质的应用，属于基础题．
8．（5分）已知函数y＝ax3﹣x2+3ax+5有极大值和极小值，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．（﹣3，3）
【分析】求出导函数y'，由函数有极大值和极小值，可得y'＝0有两个不同解，由此得到a≠0且Δ＞0，再求出a的取值范围即可．
【解答】解：由y＝ax3﹣x2+3ax+5，得y'＝3ax2﹣2x+3a，
因为函数有极大值和极小值，
所以y'＝3ax2﹣2x+3a＝0有两个不同解，
所以a≠0且Δ＝4﹣36a2＞0，
解得a∈．
故选：B．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的极值，考查了转化思想，属基础题．
9．（5分）若函数y＝f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f（x）具有T性质．下列函数中具有T性质的是（ ）
A．y＝exB．y＝lnxC．y＝x2D．y＝x3
【分析】y＝f（x）具有T性质，转化为存在x1，x2，使得f′（x1）f′（x2）＝﹣1，然后对四个选项逐一分析得答案．
【解答】解：由题意函数y＝f（x）具有T性质，则存在x1，x2，使得f′（x1）f′（x2）＝﹣1．
对于选项A，y＝ex的导数y′＝ex＞0，不存在x1，x2，使得f′（x1）f′（x2）＝﹣1；
对于选项B，y＝lnx的导数为y′＝＞0，不存在x1，x2，使得f′（x1）f′（x2）＝﹣1；
对于选项C，y＝x2的导数为y′＝2x，存在x1＝1，x2＝﹣，使得f′（x1）f′（x2）＝﹣1；
对于选项D，y＝x3的导数为y′＝3x2≥0，不存在x1，x2，使得f′（x1）f′（x2）＝﹣1．
综上，具有性质T的函数为C．
故选：C．
【点评】本题考查新定义的理解和应用，考查化归与转化思想，考查运算能力，是中档题．
10．（5分）对于数列{an}，a1＝1，a5＝﹣2，an+2＝an+1﹣an，则a2022＝（ ）
A．1B．2C．﹣1D．﹣2
【分析】利用递推公式可得数列{an}是以6为周期的周期数列，从而可求a2022的值．
【解答】解：由an+2＝an+1﹣an，得a3＝a2﹣a1＝a2﹣1，a4＝a3﹣a2＝（a2﹣1）﹣a2＝﹣1，
a5＝a4﹣a3＝﹣1﹣（a2﹣1）＝﹣a2＝﹣2，a2＝2，
故数列为1，2，1，﹣1，﹣2，﹣1，1，2，1，﹣1，﹣2，﹣1，1⋯，
故数列{an}是以6为周期的周期数列，故a2022＝a337×6＝﹣1，
故选：C．
【点评】本题考查利用递推公式求数列中的项，属中档题．
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，S10＝75，则a10＝ 14 ．
【分析】由等差数列前n项和公式得S10＝，由此能求出a10．
【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S10＝75，
又S10＝，
∴75＝5（1+a10），
解得a10＝14．
故答案为：14．
【点评】本题考查等差数列的运算，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12．（5分）函数f（x）的定义域为[0，4]，函数f（x）与f'（x）的图象如图所示，则不等式f（x）＞0的解集为 （3，4） ．
【分析】由函数的导数与函数的单调性的关系和已知图象，可得结论．
【解答】解：由函数的导数与函数的单调性的关系，
结合图象可得实线表示的是导数f′（x）的图象，虚线表示的是f（x）的图象．
且f（x）在（0，2）递减，在（2，4）递增，
当0＜x＜2时，f′（x）＜0；2＜x＜4时，f′（x）＞0，
所以f（x）＞0的解集为（3，4）．
故答案为：（3，4）．
【点评】本题考查函数的图象的运用，以及函数的导数和函数的单调性的关系，考查数形结合思想和推理能力，属于基础题．
13．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，若点（n，Sn）在函数f（x）＝x2﹣2x的图象上，则数列{an}的通项公式an＝ 2n﹣3 ．
【分析】利用关系式：，求通项．
【解答】解：∵点（n，Sn）在函数f（x）＝x2﹣2x的图象上，
∴，
∴①当n＝1时，a1＝S1＝﹣1；
②当n≥2时，＝2n﹣3，检验a1＝﹣1也满足，
∴an＝2n﹣3，n∈N*，
故答案为：2n﹣3．
【点评】本题考查由数列前n项和求通项，属基础题．
14．（5分）无穷数列{an}满足①an＞an+1，②an＞0，写出一个同时满足这两个条件的通项公式an＝ ． ．
【分析】利用已知条件，判断数列的特征，写出一个通项公式即可．
【解答】解：无穷数列{an}满足①an＞an+1，②an＞0，
可知数列是递减数列，数列的项为正数，所以同时满足这两个条件的通项公式可以为：an＝．
故答案为：．
【点评】本题考查数列的通项公式的求法，数列的简单性质的应用，是基础题．
15．（5分）2020年5月1日，北京市开始全面实施垃圾分类，家庭厨余垃圾的分出量不断增加．已知甲、乙两个小区在[0，t]这段时间内的家庭厨余垃圾的分出量Q与时间t的关系如图所示．给出下列四个结论：
①甲小区在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]三段时间中，在[t2，t3]的平均分出量最大；
②在[t1，t2]这段时间内，甲小区的平均分出量比乙小区的平均分出量大；
③在[t2，t3]这段时间内，乙小区的平均分出量比甲小区的平均分出量大；
④在t2时刻，甲小区的分出量比乙小区的分出量增长的慢．
其中所有正确结论的序号是 ③④ ．
【分析】利用平均变化率和瞬时变化率的含义，结合图表，即可进行选项的判断．
【解答】解：有图可知甲小区在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]三段时间中平均分出量基本相等，故①错．
在[t1，t2]这段时间内，甲小区的增长量小于乙小区增长量，所以甲的平均分出量比乙小区的平均分出量小，故②错．
在[t2，t3]这段时间内，乙小区增长量高于甲小区，所以乙的平均分出量比甲小区的平均分出量大，故③对．
在t2时刻，乙的图像比甲陡，瞬时增长率大，所以④对．
故答案为：③④．
【点评】本题考查合情推理，考查学生的推理能力，属于中档题．
三、解答题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．（12分）已知函数f（x）＝sinx在x＝0处的切线为l．
（Ⅰ）求切线l的方程；
（Ⅱ）画出切线l，以及函数f（x）＝sinx在区间[﹣π，π]上的图象．
【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，得到f′（0），再求出f（0），利用直线方程的斜截式得答案；
（Ⅱ）利用两点作图法作直线l的图象，利用五点作图法作f（x）＝sinx的图象．
【解答】解：（Ⅰ）由f（x）＝sinx，得f′（x）＝csx，
∴f′（0）＝cs0＝1，又f（0）＝sin0＝0，
∴切线l的方程为y＝x；
（Ⅱ）画出切线l，以及函数f（x）＝sinx在区间[﹣π，π]上的图象如图：
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查函数图象的作法，是中档题．
17．（12分）已知数列{an}为等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且满足a1＝b1＝1，a3+b3＝1．
（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）令cn＝an+bn，求数列{cn}的前n项的和Sn．
【分析】（I）设等差数列{an}的公差为d，{bn}是公比为2的等比数列，且满足a1＝b1＝1，a3+b3＝1，利用通项公式代入1+2d+22＝1，解得d，利用通项公式即可得出an，bn．
（Ⅱ）cn＝an+bn＝3﹣2n+2n﹣1．利用求和公式即可得出数列{cn}的前n项的和Sn．
【解答】解：（I）设等差数列{an}的公差为d，{bn}是公比为2的等比数列，且满足a1＝b1＝1，a3+b3＝1，
∴1+2d+22＝1，解得d＝﹣2，
∴an＝1﹣2（n﹣1）＝3﹣2n，bn＝2n﹣1．
（Ⅱ）cn＝an+bn，
∴数列{cn}的前n项的和Sn＝n﹣2×+
＝2n﹣n2+2n﹣1．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
18．（13分）已知函数f（x）＝lnx+ax2﹣3x，若函数f（x）在x＝1处的切线与x轴平行．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值；
（Ⅲ）判断函数f（x）的零点个数，并说明理由．
【分析】（Ⅰ）对f（x）求导，由f'（1）＝0求a的值；
（Ⅱ）在（0，+∞）判断f′（x）的符号，进而判断f（x）的区间单调性，即可得极值；
（Ⅲ）由（Ⅱ）所得的区间单调性，结合零点存在性定理判断零点的个数．
【解答】解：（Ⅰ）由题设，又f'（1）＝2a﹣2＝0，所以a＝1．
（Ⅱ）由（Ⅰ），f（x）＝lnx+x2﹣3x且x＞0，则，
所以上f'（x）＞0，上f'（x）＜0，
则f（x）在上递增，在上递减，在（1，+∞）上递增，
所以f（x）有极大值，有极小值f（1）＝﹣2．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，在上且递增，无零点；
在上f（x）＜0恒成立，故无零点；
在（1，+∞）上f（1）＝﹣2，f（3）＝ln3＞0且递增，有一个零点；
综上，f（x）在定义域上有且仅有一个零点．
【点评】本题考查了应用导数研究函数的单调性与极值，函数的零点，考查了转化思想，属于中档题．
19．（13分）已知数列{an}为等差数列，公差d≠0，前n项和为Sn，a1＝2，且a2，a4，a8成等比数列．设数列{bn}满足．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求证数列{bn}是等比数列；
（Ⅲ）求数列{bn}的前n项的乘积Tn．
【分析】（I）公差d≠0，a1＝2，且a2，a4，a8成等比数列，利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．
（II）由（I）可得＝22n，n≥2时，证明为非0常数．
（Ⅲ）利用指数幂的运算性质、等差数列的求和公式解看得出结论．
【解答】解：（I）∵公差d≠0，a1＝2，且a2，a4，a8成等比数列，
∴＝a2•a8，∴（2+3d）2＝（2+d）（2+7d），化为：d2＝2d≠0，
解得d＝2．
∴an＝2+2（n﹣1）＝2n．
（II）证明：由（I）可得＝22n＝4n，
∴n≥2时，＝＝4，
∴数列{bn}是等比数列，首项为4，公比为4．
（Ⅲ）数列{bn}的前n项的乘积Tn＝4×42×…×4n＝41+2+…+n＝＝2n（n+1）．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、指数幂的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，n＝1，2，3，⋯，从条件①、条件②和条件③中选择两个能够确定一个数列的条件，并完成解答．
（条件①：a5＝5；条件②：an+1﹣an＝2；条件③：S2＝﹣4．）
选择条件_______和_______．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{bn}满足bn＝|an|，并求数列{bn}的前n项的和Tn．
【分析】（I）选①③：a5＝5；S2＝﹣4，无法确定一个数列．
选①②a5＝5，an+1﹣an＝2，利用等差数列的通项公式即可得出an．
选②③：an+1﹣an＝2，S2＝﹣4．利用等差数列的通项公式即可得出an．
（Ⅱ）由（I）可得：Sn＝a1+a2+a3+a4+…+an．设数列{bn}满足bn＝|an|，n＝1时，T1＝3；n＝2时，T2＝4；n≥3时，数列{bn}的前n项的和Tn＝﹣a1﹣a2+a3+a4+…+an＝Sn﹣2S2．
【解答】解：（I）选①③：a5＝5；S2＝﹣4，无法确定一个数列．
选①②a5＝5，an+1﹣an＝2，
则数列{an}是等差数列，公差d＝2，则a1+4×2＝5，
解得a1＝﹣3，
∴an＝﹣3+2（n﹣1）＝2n﹣5．
选②③：an+1﹣an＝2，S2＝﹣4．
则数列{an}是等差数列，公差d＝2，则2a1+2＝﹣4，
解得a1＝﹣3，
∴an＝﹣3+2（n﹣1）＝2n﹣5．
（Ⅱ）由（I）可得：Sn＝a1+a2+a3+a4+…+an＝＝n2﹣4n．
设数列{bn}满足bn＝|an|，
n＝1时，T1＝|﹣3|＝3；
n＝2时，T2＝|﹣3|+|﹣1|＝4；
n≥3时，数列{bn}的前n项的和Tn＝﹣a1﹣a2+a3+a4+…+an＝Sn﹣2S2＝n2﹣4n﹣2×4＝n2﹣4n﹣8．
综上可得：n＝1时，T1＝3；n＝2时，T2＝4；n≥3时，Tn＝n2﹣4n﹣8．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21．（13分）已知函数f（x）＝ax﹣ex（a∈R）．
（Ⅰ）如果曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率是2，求此时的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）设，求证：当x∈[0，1]时，f（x）≤g（x）恒成立．
【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，由f′（1）＝2求解a，则切线方程可求；
（Ⅱ）由此原函数的导函数，对a分类求解原函数的单调区间；
（Ⅲ）设h（x）＝f （x）﹣g（x），整理后利用两次求导可得函数h（x）的单调性，证明h（x）≤0得结论．
【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝a﹣ex，由题意知，f′（1）＝2，∴a﹣e＝2，∴a＝2+e．
又f（1）＝a﹣e＝2，∴切线方程为y﹣2＝2（x﹣1），即y＝2x；
（Ⅱ）函数f（x）的定义域为R，f′（x）＝a﹣ex，
当a≤0时，f′（x）＝a﹣ex＜0恒成立，∴函数在R上单调递减；
当a＞0时，由f′（x）＝a﹣ex＞0，得x＜lna，此时函数f（x）递增，
由f′（x）＝a﹣ex＜0，得x＞lna，此时函数f（x）递减．
综上，当a≤0时，函数f （x）的单调递减区间为（﹣∞，+∞），无单调增区间；
当a＞0时，函数f （x）的单调递增区间为（﹣∞，lna），单调递减区间为（lna，+∞）；
证明：（Ⅲ）设h（x）＝f （x）﹣g（x）＝，则h'（x）＝3x﹣ex，
设H（x）＝h′（x），则H'（x）＝3﹣ex．
∵x∈[0，1]，∴ex∈[1，e]，∴H′（x）＝3﹣ex＞0恒成立．
∴当x∈[0，1]时，H（x）＝h'（x）单调递增．
又∵h'（0）＝﹣1＜0，h'（1）＝3﹣e＞0，
∴存在唯一的x0∈（0，1），使得h'（x0）＝0．
列表如下：
当x∈[0，1]时，．
∴当x∈[0，1]时，h（x）≤0，则有f（x）﹣g（x）≤0，
即f（x）≤g（x）恒成立．
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，利用导数研究函数的单调性，训练了利用导数求极值、最值，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，属难题．
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0
（0，x0）
x0
（x0，1）
1
h'（x）
﹣1
﹣
0
+
3﹣e
h（x）
0
极小值