2023-2024学年北京市贸大附中高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年北京市贸大附中高二（下）期中数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.曲线y=ex+2x在点(0,1)处的切线方程为( )
A. y=x+1B. y=x−1C. y=3x+1D. y=−x+1
2.盒中装有10个乒乓球，其中6个新球，4个旧球，不放回地依次取出2个球使用，在第一次取出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为( )
A. 35B. 110C. 59D. 25
3.若奇函数f(x)在[−6,−2]上是减函数，且最小值是1，则它在[2,6]上是( )
A. 增函数且最小值是−1B. 增函数且最大值是−1
C. 减函数且最大值是−1D. 减函数且最小值是−1
4.若从0，1，2，3，4，5这六个数字中选3个数字，组成没有重复数字的三位偶数，则这样的三位数一共有( )
A. 20个B. 48个C. 52个D. 120个
5.( x−2)5的展开式中，x2的系数为( )
A. −5B. 5C. −10D. 10
6.函数f(x)= 10+9x−x2lg(x−1)的定义域为( )
A. [1,10]B. [1,2)∪(2,10]C. (1,10]D. (1,2)∪(2,10]
7.设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y=f(x)和y=f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是( )
A. B.
C. D.
8.“2a>2b”是“lg2a>lg2b”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
9.若函数f(x)=13x3−12ax2+x在区间(0,1)内为增函数，则实数a的取值范围是( )
A. [2,+∞)B. (0,2)C. (−∞,2)D. (−∞,2]
10.已知函数f(x)=12−(x− e)(x−12)(其中x∈(0,+∞))，g(x)=lnx和函数h(x)=f(x)f(x)≥g(x)g(x)f(x)A. (0,12)B. (0, e2e)C. ( e2e,1e)D. (1e, ee)
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.二项式(x+1 x)6的展开式中的常数项为______．
12.袋中有大小相同、质量相等的3个白球和2个黑球，若每次抽取1个球，有放回地连续抽取3次，则恰有1次取到黑球的概率为 (1) ；取到黑球的个数X的数学期望 (2) ．
13.已知随机变量ξ服从正态分布N(0,σ2)，且P(−2≤ξ≤2)=0.4，则P(ξ>2)=______．
14.已知函数f(x)=lnx−ax+1恰有两个零点，则实数a的取值范围是 ．
15.已知函数f(x)=xx2+1关于函数f(x)的性质，有以下四个推断：
①f(x)的定义域是(−∞,+∞)；②f(x)的值域是[−12,12]；③f(x)是奇函数； ④f(x)是区间(0,2)上的增函数．
其中推断正确的题号是______．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题13分)
设R为全集，集合A={x|a+1≤x≤2a+1}，B={y|y=x2+2x−2,0≤x≤2}．
(1)若a=3，求A∩B，(∁RA)∩B；
(2)若A⊆B，求实数a的取值范围．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=x3+ax2+bx+5(其中常数a，b∈R)，f′(1)=3，x=−2是函数f(x)的一个极值点．
(Ⅰ)求f(x)的解析式；
(Ⅱ)求f(x)在[0,1]上的最大值和最小值．
18.(本小题15分)
某商场举行有奖促销活动，凡10月13日当天消费每超过400元(含400元)，均可抽奖一次，抽奖箱里有6个形状、大小、质地完全相同的小球(其中红球有3个，白球有3个)，抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案．
方案一：从抽奖箱中，一次性摸出2个球，若摸出2个红球，则打6折；若摸出1个红球，则打8折；若没摸出红球，则不打折．
方案二：从抽奖箱中，有放回地每次摸取1个球，连摸2次，每摸到1次红球，立减100元．
(1)若小方、小红均分别消费了400元，且均选择抽奖方案一，试求他们其中有一人享受6折优惠的概率．
(2)若小勇消费恰好满600元，试比较说明小勇选择哪种方案更划算．
19.(本小题15分)
某区为检测各校学生的体质健康状况，依照中小学生《国家学生体质健康标准》进行测试．参加测试的学生统一从学生学籍档案管理库(简称“CIMS系统”)中随机选取本次测试要求每校派出30人，其中男女学生各15人，参加八个项目的测试．八项测试的平均分为该学生的综合成绩满分为100分．测试按照分数给学生综合成绩定等级，分数在[90,100]内为“优秀”，[80,90)为“良好”，[60,80)为“及格”，[0,60)为“不及格”如表为某学校30名学生本次测试综合成绩的数据：
(I)分别求出该学校男、女生综合成绩的优秀率；
(Ⅱ)从表中综合成绩等级为“良好”的学生中随机抽取3人进行后续监控，若X表示抽取3人中的女生人数．求X的分布列及其数学期望；
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，当这3名学生综合成绩的方差取得最大值时请直接写出所有符合条件的3名学生的综合成绩．
20.(本小题17分)
已知函数f(x)=1−ax2ex，a∈R．
(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于直线y=x，求该切线方程；
(Ⅱ)若a=1，求证：当x>0时，f(x)>0；
(Ⅲ)若f(x)恰有两个零点，求a的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查导数的几何意义，考查切线方程，属于基础题．
求导函数，确定曲线y=ex+2x在点(0,1)处的切线斜率，从而可求切线方程．
【解答】
解：求导函数可得y′=ex+2，
当x=0时，y′=ex+2=3，
∴曲线y=ex+2x在点(0,1)处的切线方程为y=3x+1，
故选：C．
2.【答案】C
【解析】解：在第一次取出新球的条件下，盒子中还有9个球，这9个球中有5个新球和4个旧球，
故第二次也取到新球的概率为59，
故选：C．
在第一次取出新球的条件下，盒子中还有9个球，这9个球中有5个新球和4个旧球，再利用古典概率及其计算公式求得第二次也取到新球的概率．
本题主要考查古典概率及其计算公式，体现了转化的数学思想，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：∵奇函数f(x)在[−6,−2]上是减函数，且最小值是1
∴函数f(x)在[2,6]上是减函数且最大值是−1，
故选：C
根据奇函数和单调性之间的关系，即可得到结论．
本题主要考查函数奇偶性与单调性之间的性质的应用，比较检查．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查排列、组合的应用，涉及分类、分步计数原理的应用，解题需要注意偶数的末位数字以及0不能在首位等性质．
由于0不能在首位数字，则分2种情况讨论：①、若0在个位，此时0一定不在首位，由排列公式即可得此时三位偶数的数目，②、若0不在个位，此时0可能在首位，由分步计数原理可得此情况下三位偶数的数目，综合2种情况，由分类计数原理计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，分2种情况讨论：
①、若0在个位，
此时只须在1，2，3，4，5中任取2个数字，作为十位和百位数字即可，有A52=20个没有重复数字的三位偶数；
②、若0不在个位，
此时必须在2或4中任取1个，作为个位数字，有2种取法，
0不能作为百位数字，则百位数字有4种取法，十位数字也有4种取法，
此时共有2×4×4=32个没有重复数字的三位偶数；
综合可得，共有20+32=52个没有重复数字的三位偶数；
故选：C．
5.【答案】C
【解析】解：由题意二项式的展开式的通项公式为Tr+1=C5r( x)5−r(−2)r=C5r⋅(−2)rx5−r2，r=0，1，…，5，
令5−r2=2，解得r=1，
所以x2的系数为C51⋅(−2)=−10．
故选：C．
求出展开式的通项公式，然后令x的指数为2，进而可以求解．
本题查了二项式定理的应用，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：要使原函数有意义，则10+9x−x2≥0x−1>0x−1≠1，解得：1∴函数f(x)= 10+9x−x2lg(x−1)的定义域为(1,2)∪(2,10]．
故选：D．
由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不等于0，对数式的真数大于0联立不等式组求解．
本题考查函数的定义域及其求法，考查了不等式的解法，是基础题．
7.【答案】D
【解析】【分析】
考查函数的单调性问题，属于基础题．
本题可以考虑排除法，容易看出选项D不正确，因为D的图象，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f(x)和y=f′(x)在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数．
【解答】
A选项：直线表示f′(x)，曲线表示f(x)，检验符合；
B选项：恒大于0的曲线表示f′(x)，另一个表示f(x)，检验符合；
C选项：恒大于0的曲线表示f′(x)，另一个表示f(x)，检验符合；
不存在选项D的图象所对应的函数，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f(x)和y=f′(x)在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数，
故选：D．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查对数函数的单调性，必要条件、充分条件与充要条件的判断，是基础题．
分别解出2a>2b，lg2a>lg2b中a，b的关系，然后根据a，b的范围，确定充分条件，还是必要条件．
【解答】
解：当a<0或b<0时，如a=1，b=−1，满足“2a>2b”，但不能得到lg2a>lg2b，
反之由lg2a>lg2b即：a>b>0可得2a>2b成立，
∴“2a>2b”是“lg2a>lg2b”的必要不充分条件，
故选B．
9.【答案】D
【解析】解：由f(x)=13x3−12ax2+x，得
f′(x)=x2−ax+1，
∵函数f(x)=13x3−ax2+x在区间(0,1)内为增函数，
∴f′(x)=x2−ax+1≥0对任意x∈(0,1)恒成立，
即a≤x2+1x在x∈(0,1)上恒成立，
∵x2+1x=x+1x在(0,1)上为减函数，
∴x2+1x=x+1x>2，
则a≤2．
∴实数a的取值范围是(−∞,2]．
故选D．
10.【答案】C
【解析】解：作出h(x)的函数图象如图所示：
设直线y=kx与曲线g(x)=lnx相切，切点为(x0,y0)，
则有y0=kx0y0=lnx01x0=k，解得k=1e．
∵h(x)=kx有四个不同的解，
∴直线y=kx与f(x)有2个交点，y=kx与g(x)有2个交点，
∴k<1e，排除D，
设f(x)与g(x)的交点为A，显然A在第一象限，即kOA>0，
∴k>kOA.排除A，B．
故选C．
作出函数图象，求出切线斜率，根据交点个数得出k的范围．
本题考查了函数的图象与性质，导数的几何意义，属于中档题．
11.【答案】15
【解析】解：展开式的通项为Tr+1=C6rx6−r(1 x)r=C6rx6−32r
令6−32r=0得r=4，
所以展开式的常数项为C64=15，
故答案为：15
利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为0，求出展开式的常数项．
本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，本题解题的关键是写出二项式的通项，本题是一个基础题．
12.【答案】54125；65
【解析】解：根据题意，这是有放回抽样，每一次取到黑球的概率均为25，
则前3次恰有1次取到黑球的概率为C31(25)⋅( 35)2=54125．
由题意可得，取到黑球的个数X满足X∽B(3,25).
X的期望为：E(X)=3×25=65．
故答案为：54125；65．
根据题意，从中每次取1个球记下颜色后再放回箱中，这是有放回抽样，每一次取到黑球的概率都相等；计算可得每一次取到黑球的概率，再有n次独立重复试验恰有k次发生的概率公式，计算可得答案．
本题考查n次独立重复试验恰有k次发生的概率公式，注意其中每次试验中，事件的发生的概率必须相等，这是前提条件．
13.【答案】0.3
【解析】解：∵随机变量ξ服从正态分布N(0,σ2)，P(−2≤ξ≤2)=0.4，
∴P(ξ>2)=12[1−P(−2≤ξ≤2)]=0.3，
故答案为：0.3．
本题考查正态分布曲线的性质，随机变量ξ服从正态分布N(0,σ2)，利用P(−2≤ξ≤2)=0.4，答案易得．
本题考查正态分布曲线的重点及曲线所表示的意义，解题的关键是正确正态分布曲线的重点及曲线所表示的意义，由曲线的对称性求出概率，本题是一个数形结合的题，识图很重要．
14.【答案】(0,1)
【解析】【分析】
本题考查函数的零点问题，考查构造函数法，运用导数判断单调性，考查数形结合的思想方法，注意运用转化思想，属于中档题．
由题意可得a=lnx+1x有两个不等的实数解，令g(x)=lnx+1x，求出导数和单调性和最值，画出图象，通过图象即可得到结论．
【解答】
解：函数f(x)=lnx−ax+1，a∈R有两个零点，
等价为方程f(x)=0即a=lnx+1x有两个不等的实数解，
令g(x)=lnx+1x，g′(x)=−lnxx2，
当x>1时，g′(x)<0，g(x)单调递减；
当00，g(x)单调递增，
则g(x)在x=1处取得极大值，且为最大值1，
当x>1e时，g(x)>0，且x→+∞，y→0；x→0，y→−∞，
画出函数y=g(x)的图象，
由图象可得0即方程有两个不等实数解，f(x)有两个零点．
故答案为：(0,1)．
15.【答案】①②③
【解析】【解答】
解：①∵函数f(x)=xx2+1，
∴f(x)的定义域是(−∞,+∞)，
故①正确；
②f(x)=1x+1x，
x>0时：f(x)≤12，
x<0时：f(x)≥−12，
故f(x)的值域是[−12,12]，
故②正确；
③f(−x)=−f(x)，f(x)是奇函数，
故③正确；
④由f′(x)=1−x2(x2+1)2，
令f′(x)>0，解得：−1令f′(x)<0，解得：x>1或x<−1，
∴f(x)在区间(0,2)上先增后减，
故④错误；
故答案为：①②③．
【分析】
根据f(x)的表达式求出其定义域，判断①正确；根据基本不等式的性质求出f(x)的值域，判断②正确；根据奇偶性的定义，判断③正确；根据函数的单调性，判断④错误．
本题考察了函数的定义域、值域问题，考察函数的奇偶性和单调性，是一道中档题．
16.【答案】解：(1)由题意可知B={y|−2≤y≤6}，
当a=3时，A={x|4≤x≤7}，所以A∩B={x|4≤x≤6}，
因为∁RA={x|x<4，或x>7}，
所以(∁RA)∩B={x|−2≤x<4}；
(2)由(1)知，B={y|−2≤y≤6}，
若A=⌀，即2a+1若A≠⌀，欲使A⊆B，需2a+1≥a+1a+1≥−22a+1≤6，
解得0≤a≤52，
综上，所求实数a的取值范围是{a|a≤52}．
【解析】(1)先求出集合A，B，然后结合集合的交集及补集运算即可求解；
(2)由已知结合集合的包含关系对A是否为空集进行分类讨论可求．
本题主要考查了集合的交集及补集运算，还考查了集合包含关系的应用，属于中档题．
17.【答案】解：(1)∵f′(x)=3x2+2ax+b，
∴f′(−2)=3×(−2)2+2a×(−2)+b=0，
化简得：12−4a+b=0 ①
又f′(1)=3+2a+b=3 ②
联立①②得：a=2，b=−4，
∴f(x)=x3+2x2−4x+5；
(2)∴f′(x)=3x2+4x−4=(3x−2)(x+2)，
x∈[0,1]时，f′(x)，f(x)的变化情况如下：

由上表可知，f(x)在[0,1]上的最大值是5，最小值是9527．
【解析】求出f′(x)，由函数在x=−2处取得极值得到f′(−2)=0，又f′(1)=3，联立两个关于a、b的二元一次方程，求出a和b，得到解析式；再求出函数x∈[0,1]时的单调性，即可求函数f(x)的最大值与最小值．
本题考查利用导数研究函数最值的能力；函数在某点处有极值，那么导函数在此的函数值为0．
18.【答案】解：(1)由题意，设顾客享受到6折优惠为事件A，则P(A)=C32C62=15．
∴小方、小红两人其中有一人享受6折优惠的概率为P=C21⋅P(A)⋅[1−P(A)]=2×15×(1−15)=825．
(2)若小勇选择方案一，设付款金额为X元，则X可能的取值为360，480，600．
则P(X=360)=C32C62=15，P(X=480)=C31C31C62=35，P(X=600)=C32C62=15．
故X的分布列为
∴E(X)=360×15+480×35+600×15=480(元)．
若小勇选择方案二，设摸到红球的个数为Y，付款金额为Z元，则Z=600−100Y．
由已知，可得Y～B(2,12)，故E(Y)=2×12=1，
∴E(Z)=E(600−100Y)=600−100E(Y)=600−100=500(元)．
由上知：E(X)【解析】(1)设顾客享受到6折优惠为事件A，求出概率，然后小方、小红两人其中有一人享受6折优惠的概率即可．
(2)X可能的取值为360，480，600.求出概率，得到分布列，然后求解期望．小勇选择方案二，求解期望，判断结果即可．
本题考查离散型随机变量分布列以及期望的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
19.【答案】解：(Ⅰ)由表可知，男生成绩优秀的人数为6人，女生成绩优秀的人数为7人，
则该学校男生综合成绩的优秀率为615=25，女生综合成绩的优秀率为715；
(Ⅱ)表中成绩良好的男生5人，女生4人，共9人，
从中随机抽取3人，女生人数X为0，1，2，3．
则P(X=0)=C53C93=542，P(X=1)=C41C52C93=1021，P(X=2)=C42C51C93=514，P(X=3)=C43C93=121．
∴X的分布列为：
E(X)=1×1021+2×514+3×121=43；
(Ⅲ)3名学生的综合成绩为88，87，80．
【解析】(Ⅰ)由表求出男生与成绩优秀的人数，分别除以15得答案；
(Ⅱ)表中成绩良好的男生5人，女生4人，共9人，从中随机抽取3人，女生人数X为0，1，2，3.分别求得概率，可得分布列及期望；
(Ⅲ)直接写出3名学生的综合成绩为：88，87，80．
本题考查离散型随机变量的期望与方差，考查古典概型概率的求法，是中档题．
20.【答案】解：(Ⅰ)因为f′(x)=ax(x−2)ex，
所以f′(1)=−ae=1，故a=−e，
所以f(1)=1−ae=2，
所以切线方程为y−2=x−1，即y=x+1．
(Ⅱ)当a=1时，f(x)=1−x2ex，f′(x)=x(x−2)ex，
当x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当x∈(2,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以f(x)的最小值为f(2)=1−4e2>0，
故x>0时，f(x)>0．
(Ⅲ)对于函数f(x)=1−ax2ex，a∈R，
①当a≤0时，f(x)>0，f(x)没有零点，
②当a>0时，f(x)=ax(x−2)ex，
当x∈(−∞,0)时，f′(x)>0，所以f(x)在区间(−∞,0)上单调递增，
当x∈(0,2)时，f′(x)<0，所以f(x)在区间(0,2)上单调递减，
当x∈(2,+∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在区间(2,+∞)上单调递增，
所以f(0)=1是函数的极大值，f(2)=1−4ae2是f(x)的极小值，
因为f(−1 a)=1−a(−1 a)2e−1 a=1−1e−1 a=1−e1 a<0，
所以f(x)在(−∞,0)上有且只有一个零点，
由f(2)=1−4ae2，
①若f(2)>0，即a②若f(2)=0，即a=e24，f(x)在区间(0,+∞)上只有一个零点．
③若f(2)<0，即a>e24，由于f(0)=1，所以f(x)在区间(0,2)上有一个零点．
由(Ⅱ)知，当x>0时，ex>x2，
所以f(4a)=1−16a3e4a=1−16a3(e2a)2>1−16a3(2a)2=1−1a>0，
故f(x)在区间(2,4a)上有一个零点，
因此a>e24时，f(x)在区间(0,+∞)上有两个零点，
综上，当f(x)有两个零点时，a=e24．
【解析】(Ⅰ)对f(x)求导得f′(x)，由导数的几何意义可得k切=f′(1)，进而由点斜式写出切线的方程．
(Ⅱ)当a=1时，f(x)=1−x2ex，对f(x)求导得f′(x)，分析f′(x)的正负，f(x)单调性，进而可得f(x)的最小值f(2)=1−4e2>0，即可证明．
(Ⅲ)对于函数f(x)=1−ax2ex，a∈R，分两种情况①当a≤0时，②当a>0时，分析f(x)的单调性，最值，进而得函数f(x)的零点．
本题考查导数的综合应用，解题中注意分类讨论思想的应用，属于中档题．男生
98
92
92
91
90
90
88
87
87
85
82
79
77
67
57
女生
97
99
96
93
92
91
90
87
85
81
80
77
76
76
48
X
360
480
600
P
15
35
15
X
0
1
2
3
P
542
1021
514
121