2023-2024学年广东省广州十七中高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省广州十七中高二（下）期中数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列函数求导正确的是( )
A. (sinx)′=−csxB. (csx)′=sinxC. (2x)′=x⋅2x−1D. (1x)′=−1x2
2.函数f(x)=lnx−x在(0,e]上的最大值为( )
A. −1B. 1C. 0D. e
3.已知数列{an}满足a1=1，an+1=an2an+1，则a5=( )
A. 17B. 18C. 19D. 110
4.如图，洛书(古称龟书)，是阴阳五行术数之源.在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图像，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数.若从四个阴数和五个阳数中随机选取3个数，则选取的3个数之和为奇数的方法数为
( )
A. 30B. 40C. 44D. 70
5.函数f(x)=x3−3x在区间(−2,m)上有最大值，则m的取值范围是( )
A. (−1,+∞)B. (−1,1]C. (−1,2)D. (−1,2]
6.若点P是曲线y=x2−lnx上任意一点，则点P到直线y=x−2的最小距离为( )
A. 1B. 2C. 22D. 3
7.若函数f(x)=x2+ax+1x在(12,+∞)是增函数，则a的取值范围是( )
A. [−1,0]B. [−1,+∞)C. [0,3]D. [3,+∞)
8.若函数f(x)=xlnx−kx2−x在定义域内有两个极值点，则实数k的取值范围为( )
A. (−∞,12e)B. (−∞,1e)C. (0,1e)D. (0,12e)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数中，存在极值点的是( )
A. y=x−1xB. y=−2x3−xC. y=xlnxD. y=xsinx
10.丹麦数学家琴生(Jensen)是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果，设函数f(x)在(a,b)上的导函数为f′(x)，f′(x)在(a,b)上的导函数为f″(x)，若在(a,b)上f″(x)<0恒成立，则称函数f(x)在(a,b)上为“凸函数”，以下四个函数在(0,π2)上是凸函数的是( )
A. f(x)=sinx+csxB. f(x)=lnx−2x
C. f(x)=−x3+2x−1D. f(x)=−xe−x
11.在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；…；第n(n∈N*)次得到数列1，x1，x2，x3.2；…记an=1+x1+x2+⋯+xk+2，数列{an}的前n项为Sn，则( )
A. k+1=2nB. an+1=3an−3
C. an=32(n2+3n)D. Sn=34(3n+1+2n−3)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若数列{an}中，a1=3，且an+1=3an，则其前n项和Sn=______．
13.某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有______种(用数字作答)．
14.已知函数f(x)=2x+lnx，若过点(0,−1)的直线与曲线y=f(x)相切，则该直线斜率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}为等比数列，a1=b1=1，a2+b2=4，S3=6．
(1)求{an}，{bn}的通项公式；
(2)求数列{1Sn}的前n项和Tn．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=x3−2x2−4x+2．
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)求f(x)在[−1,3]上的最值．
17.(本小题15分)
设函数f(x)=x3−3ax+b(a>0)．
(1)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程是y=3x+2，求a，b的值；
(2)求函数f(x)的单调区间及极值．
18.(本小题17分)
已知数列{an}的首项a1=35，an+1=3an2an+1，n=1，2，…．
(1)求证：数列{1an−1}为等比数列；
(2)记Sn=1a1+1a2+…+1an，若Sn<100，求最大的正整数n．
(3)是否存在互不相等的正整数m，s，n，使m，s，n成等差数列且am−1，as−1，an−1成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=2x−lnx．
(1)当x≥1时，证明：f(x)≥x+1x；
(2)若f(x)+ae3x+lna≥0，求a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【解答】
解：(sinx)′=csx，(csx)′=−sinx，(2x)′=ln2⋅2x，(1x)′=−1x2，
故选：D．
【分析】
根据基本导数公式判断即可
本题主要考查基本导数公式，关键是掌握这些公式，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：f′(x)=1x−1=1−xx，
当x∈(0,1)时，f′(x)>0，当x∈(1,e)时，f′(x)<0，
所以f(x)在(0,1)上递增，在(1,e)上递减，
故当x=1时f(x)取得极大值，也为最大值，f(1)=−1．
故选：A．
利用导数研究函数f(x)在(0,e]上的单调性，由单调性转化求解函数的最大值．
本题考查利用导数研究函数在区间上的最值问题，属基础题，准确求导，熟练运算，是解决该类问题的基础．
3.【答案】C
【解析】解：已知数列{an}满足a1=1，an+1=an2an+1，
则1an+1=1an+2，
又1a1=1，
即数列{1an}是以1为首项，2为公差的等差数列，
即1a5=1+4×2=9，
则a5=19．
故选：C．
由题意可得：数列{1an}是以1为首项，2为公差的等差数列，然后结合等差数列的通项公式的求法求解即可．
本题考查了利用数列递推式求数列的通项公式，重点考查了等差数列的通项公式的求法，属基础题．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．
根据题意，分2种情况讨论：①选出的3个数都是奇数，②选出的3个数是2个偶数和1个奇数，由加法原理计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，四个阴数即4个偶数：2、4、6、8，五个阳数即5个奇数：1、3、5、7、9，
从中任选3个，使选出的3个数和为奇数，有2种情况，
①选出的3个数都是奇数，有C53=10种选法，
②选出的3个数是2个偶数和1个奇数，有C42C51=30种选法，
一共有30+10=40种选法，
故选：B．
5.【答案】D
【解析】解：f′(x)=3x2−3=3(x2−1)，
所以f(x)在(−∞,−1)，(1,+∞)上单调递增，在(−1,1)上单调递减，
因为在(−2,m)上有最大值，
所以极大值−1∈(−2,m)，
f(−1)=2，当x3−3x=2时，x=2或x=−1，所以−1故选：D．
因为所给区间为开区间，所以最值只能在极大值点处取得，根据函数的单调性求出m的范围即可．
本题主要考查利用导数求函数的极值与最值，属于中档题．
6.【答案】B
【解析】解：过点P作y=x−2的平行直线，且与曲线
y=x2−lnx相切，
设P(x0,x02−lnx0)则有
k=y′|x=x0=2x0−1x0．
∴2x0−1x0=1，∴x0=1或x0=−12(舍去)．
∴P(1,1)，
∴d=|1−1−2| 1+1= 2．
故选：B．
设出切点坐标，利用导数在切点处的函数值，就是切线的斜率，求出切点，然后再求点P到直线y=x−2的最小距离．
本题考查点到直线的距离，导数的应用，考查计算能力，是基础题．
7.【答案】D
【解析】解：∵f(x)=x2+ax+1x在(12,+∞)上是增函数，
故f′(x)=2x+a−1x2≥0在(12,+∞)上恒成立，
即a≥1x2−2x在(12,+∞)上恒成立，
令h(x)=1x2−2x，
则h′(x)=−2x3−2，
当x∈(12,+∞)时，h′(x)<0，则h(x)为减函数．
∴h(x)∴a≥3．
故选：D．
由函数f(x)=x2+ax+1x在(12,+∞)上是增函数，可得f′(x)=2x+a−1x2≥0在(12,+∞)上恒成立，进而可转化为a≥1x2−2x在(12,+∞)上恒成立，构造函数求出1x2−2x在(12,+∞)上的最值，可得a的取值范围．
本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，恒成立问题，是导数的综合应用，难度中档．
8.【答案】D
【解析】解：∵f(x)=xlnx−kx2−x在定义域内有两个极值点，
∴f′(x)=lnx−2kx=0在(0,+∞)上有两个不相等的实数根，
即k=lnx2x在(0,+∞)上有两个不相等的实数根．
令g(x)=lnx2x，则g′(x)=1−lnx2x2>0⇒0∴g(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减．
又当x∈(0,1)时，g(x)<0；g(e)=12e；当x∈(1,+∞)时，g(x)>0，
∴实数k的取值范围为(0,12e)．
故选：D．
f′(x)=lnx−2kx=0在(0,+∞)上有两个不相等的实数根，即k=lnx2x在(0,+∞)上有两个不相等的实数根，令g(x)=lnx2x，求出g(x)的单调区间即可．
本题考查了利用导数研究函数的极值，属于中档题．
9.【答案】CD
【解析】解：对于A，函数的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，
其导数y′=1+1x2>0，则函数y=x−1x在(−∞,0)和(0,+∞)上单调递增，没有极值点，故A错误；
对于B，y=−2x3−x在定义域R上单调递减，没有极值点，故B错误；
对于C，y=xlnx，定义域为(0,+∞)，
其导数y′=lnx+1，再x∈(0,1e)时，y′<0，函数单调递减，
再x∈(1e,+∞)时，y′>0，函数单调递增，
则当x=1e时，函数取得极小值，故C正确；
对于D，y=xsinx，定义域为R，
其导数y′=sinx+xcsx，当x∈(−π2,0)时，y′<0，函数单调递减，
当x∈(0,π2)时，y′>0，函数单调递增，
则当x=0时，函数取得极小值，故D正确．
故选：CD．
根据极值的定义以及导数符号对选项一一验证即可．
本题主要考查利用导数求函数的单调性和极值，属于中档题．
10.【答案】ABC
【解析】解：对于A，由f(x)=sinx+csx，得f′(x)=csx−sinx，则f″(x)=−sinx−csx=−(sinx+csx)，
∵x∈(0,π2)，∴sinx>0，csx>0，f″(x)=−(sinx+csx)<0，∴此函数是凸函数；
对于B，由f(x)=lnx−2x，得f′(x)=1x−2，则f″(x)=−1x2，
∵x∈(0,π2)，∴f″(x)=−1x2<0，∴此函数是凸函数；
对于C，由f(x)=−x3+2x−1，得f′(x)=−3x2+2，则f″(x)=−6x，
∵x∈(0,π2)，∴f″(x)=−6x<0，∴此函数是凸函数；
对于D，由f(x)=−xe−x，得f′(x)=−e−x+xe−x，则f″(x)=e−x+e−x−xe−x=(2−x)e−x，
∵x∈(0,π2)，∴f″(x)=(2−x)e−x>0，∴此函数不是凸函数．
故选：ABC．
根据凸函数的定义，求导，即可根据二阶导数的正负判断．
本题主要考查函数恒成立问题，新函数的定义，导数的运算，考查运算求解能力，属于中档题．
11.【答案】ABD
【解析】解：由题意可知，第1次得到数列1，3，2，此时k=1，
第2次得到数列1，4，3，5，2，此时k=3，
第3次得到数列1，5，4，7，3，8，5，7，2，此时 k=7，
第4次得到数列1，6，5，9，4，11，7，10，3，11，8，13，5，12，7，9，2，此时k=15，
第n次得到数列1，x1，x2，x3.2；…，此时k=2n−1，
所以k+1=2n，故A项正确；
结合A项中列出的数列可得：a1=3+3a2=3+3+9a3=3+3+9+27a4=3+3+9+27+81
⇒an=3+31+32+⋯+3n(n∈N*)，
用等比数列求和可得an=3+3(3n−1)2，
则 an+1=3+3(3n+1−1)2=3+3n+2−32=3n+22+32，
又 3an−3=3[3+3(3n−1)2]−3=9+3n+22−92−3=3n+22+32，
所以an+1=3an−3，故B项正确；
由B项分析可知an=3+3(3n−1)2=32(3n+1)，
即an≠32(n2+3n)，故C项错误；
Sn=a1+a2+a3+⋯+an
=(322+332+⋯+3n+12)+32n=32(1−3n)1−32+32n
=3n+24+3n2−94=34(3n+1+2n−3)，故D项正确．
故选：ABD．
根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，再进行推理运算即可．
本题主要考查了归纳推理，考查了等比数列的通项公式和前n项和公式，属于中档题．
12.【答案】32(3n−1)
【解析】解：由题意知，数列{an}是等比数列，且首项a1=3，公比q=3，
所以Sn=3⋅(1−3n)1−3=32(3n−1)．
故答案为：32(3n−1)．
由等比数列的前n项和公式，得解．
本题考查数列的求和，熟练掌握等比数列的概念与前n项和公式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
13.【答案】64
【解析】解：若选2门，则只能各选1门，有C41C41=16种，
如选3门，则分体育类选修课选2，艺术类选修课选1，或体育类选修课选1，艺术类选修课选2，
则有C41C42+C42C41=24+24=48，
综上共有16+48=64种不同的方案．
故答案为：64．
利用分类计数原理进行计算即可．
本题主要考查简单的计数问题，利用分类计数原理进行计算是解决本题的关键，是基础题．
14.【答案】3
【解析】解：设切点为(m,2m+lnm)，
函数f(x)=2x+lnx的导数为f′(x)=2+1x，可得切线的斜率为k=2+1m，
即2+1m=2m+lnm−(−1)m，
解得m=1，即有k=2+1=3．
故答案为：3．
设出切点的坐标，求得f(x)的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率，再由两点的斜率公式解方程可得所求值．
本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
15.【答案】解：(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，
由a1=b1=1，a2+b2=4，S3=6，可得1+d+q=4，3+3d=6，
即d+q=3，d=1，q=2，
则an=1+n−1=n，bn=2n−1；
(2)Sn=12n(n+1)，可得1Sn=2n(n+1)=2(1n−1n+1)，
则Tn=2(1−12+12−13+...+1n−1n+1)=2(1−1n+1)=2nn+1．
【解析】(1)由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，进而得到所求；
(2)由等差数列的求和公式和数列的裂项相消求和，计算可得所求和．
本题考查等差数列和等比数列的通项公式、求和公式，以及数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
16.【答案】解：(1)因为f(x)=x3−2x2−4x+2．
所以f′(x)=3x2−4x−4=(3x+2)(x−2)，
由f′(x)=0，可得x=−23或x=2，f′(x)，f(x)的变化情况如下：
所以函数f(x)的单调递增区间为(−∞,−23)，(2,+∞)；
(2)由(1)知，f(x)在[−1,−23]上单调递增，在[−23,2]上单调递减，在[2,3]上单调递增．
所以x=−23为极大值点，x=2为极小值点，
又f(−1)=3，f(−23)=9427，f(2)=−6，f(3)=−1，
所以f(x)在[−1,3]上的值域为[−6,9427]．
【解析】(1)根据已知条件，利用导数研究函数的单调性，即可求解；
(2)根据已知条件，利用导数求出该函数的极值，再求出端点的函数值，通过比较大小，即可求解．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查转化能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程是y=3x+2，
所以f′(2)=3，f(2)=8，又f′(x)=3x2−3a
则3×22−3a=323−3a×2+b=8，
解得a=3b=18；
(2)f′(x)=3x2−3a(a>0)．
由f′(x)=0，解得x=± a，
当x∈(−∞,− a)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，
当x∈(− a, a)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，
当x∈( a,+∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．
此时x=− a是f(x)的极大值点，x= a是f(x)的极小值点，
f(x)的极大值为f(− a)=2a a+b，f(x)的极小值为f( a)=−2a a+b．
函数f(x)的单调增区间为(−∞,− a)和( a,+∞)，函数f(x)的单调减区间为(− a, a).
【解析】(1)求出函数的导数，求得切线的斜率和切点，由已知切线方程，可得a，b的方程组，即可解得a，b；
(2)求出函数的导数，令导数大于0，可得增区间，令导数小于0，可得减区间，即可得到极值．
本题考查利用导数求切线方程和单调区间、极值，考查分类讨论的思想和运算求解能力，属于中档题．
18.【答案】(1)证明：∵an+1=3an2an+1，a1=35≠0，
∴an≠0，
取倒得1an+1=23+13an，
∴1an+1−1=13an−13=131an−1，
∵1a1−1=23≠0，∴1an−1≠0(n∈N*)，
∴1an−1=23×(13)n−1，
∴数列{1an−1}为等比数列．
(2)解：由(1)知1an−1=23×(13)n−1，
∴1an=2×(13)n+1，
Sn=1a1+1a2+⋯+1an
=n+2(13+132+⋯+13n)
=n+2⋅13−13n+11−13=n+1−13n，
若Sn<100，则n+1−13n<100，
∴nmax=99．
(3)解：假设存在，则m+n=2s，(am−1)⋅(an−1)=(as−1)2，
由(1)得an=3n3n+2，
∴(3n3n+2−1)⋅(3m3m+2−1)=(3s3s+2−1)2．
化简得：3m+3n=2⋅3s，
∵2⋅3s=3m+3n≥2⋅ 3m+n，当且仅当m=n时等号成立．
又m，n，s互不相等，
∴不存在．
【解析】本题考查了等比数列的判定、前n项和的求法以及不等式的解法，属于较难题．
(1)根据an+1和an关系式进行化简即可证明；
(2)先由(1)得出数列{1an}的通项公式，然后根据分组求和法求出Sn，解不等式Sn<100即可；
(3)假设存在正整数m，s，n，根据等比数列性质得出(am−1)⋅(an−1)=(as−1)2并化简，再根据a+b≥2 ab，确定是否存在．
19.【答案】解：(1)要证f(x)=2x−lnx≥x+1x，即证明：x−lnx−1x≥0在x≥1恒成立，
构造函数g(x)=x−lnx−1x，g′(x)=1−1x+1x2=x2−x+1x2=(x−12)2+34x2，
故g′(x)>0在x≥1恒成立，
故g(x)≥g(1)=0，
故x−lnx−1x≥0在x≥1恒成立得证；
(2)原不等式等价于2x−lnx+ae3x+lna≥0，(a>0)，
将不等式化简为2x−lnx+e3x+lna+lna≥0⇒e3x+lna+3x+lna≥x+lnx，
构造h(x)=ex+x，则原不等式等价于h(3x+lna)≥h(lnx)，
又因为h(x)在R上单调递增，故等价于3x+lna≥lnx，
即：lna≥lnx−3x，构造φ(x)=lnx−3x,φ′(x)=1x−3，
令φ′(x)>0，解得0故φ(x)在x=13处取最大值φ(13)=ln13−1=−1−ln3，
故lna≥−1−ln3，解得：a≥13e，
故a的取值范围是[13e,+∞)．
【解析】(1)将原不等式转化为x−lnx−1x≥0，从而构造函数研究其最值即可；
(2)将原不等式等价转化为e3x+lna+3x+lna≥x+lnx，构造函数h(x)=ex+x，利用h(x)单调性求解即可．
本题主要考查利用导函数研究函数单调性及参数范围，属于中档题．x
(−∞,−23)
−23
(−23,2)
2
(2,+∞)
f′(x)
+
0
−
0
+
f(x)
递增
9427
递减
−6
递增