2023-2024学年广东省广州八十九中高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省广州八十九中高一（下）期中数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知复数z满足(−3i)z=4−5i，则z的虚部为( )
A. 4i3B. 43C. −43D. −4i3
2.平面向量a=(−2,k)，b=(2,4)，若a⊥b，则|a−b|=( )
A. 2 6B. 6C. 2 5D. 5
3.在△ABC中，若(a+b+c)(c+b−a)=bc，则A=( )
A. 5π6B. 2π3C. π3D. π6
4.如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′=6,O′C′=2，则原图形OABC的面积为( )
A. 24 2B. 12 2C. 48 2D. 20 2
5.若圆锥高为3，体积为3π，则该圆锥的侧面积为( )
A. 4πB. 5πC. 6πD. 7π
6.如图，在△ABC中，已知B=45°，D是BC边上的一点，AD=10，AC=14，DC=6，则AB的长为( )
A. 5 3B. 5 6C. 6 2D. 10
7.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若AB=mAM，AC=nAN(m,n>0)，则1m+4n的最小值为( )
A. 2
B. 3
C. 92
D. 5
8.“阿基米德多面体”这称为半正多面体(semi−regularslid)，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体.已知AB=3 22，则该半正多面体外接球的表面积为( )
A. 18π
B. 16π
C. 14π
D. 12π
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题为真命题的是( )
A. 复数2−2i对应的点在第二象限
B. 若i为虚数单位，则i2023=−i
C. 在复数集C中，方程x2+x+1=0的两个解分别为−12+ 32i和−12− 32i
D. 复平面内满足条件|z+i|≤2的复数z所对应的点Z的集合是以点(0,1)为圆心，2为半径的圆
10.G是△ABC的重心，AB=2，AC=4，∠CAB=120°，P是△ABC所在平面内的一点，则下列结论正确的是( )
A. GA+GB+GC=0B. AB在AC上的投影向量等于−12AC
C. |AG|=2 33D. AP⋅(BP+OP)的最小值为−32
11.某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台O1O2，在轴截面ABCD中，AB=AD=BC=2cm，且CD=2AB，下列说法正确的有( )
A. 该圆台轴截面ABCD面积为3 3cm2
B. 该圆台的体积为14π3cm3
C. 该圆台的侧面积为6πcm2
D. 沿着该圆台表面，从点C到AD中点的最短距离为5cm
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.将一个棱长为6的正方体铁块磨制成一个球体零件，求可能制作的最大零件的体积为______．
13.已知e1和e2是两个不共线的向量，a=e1−2e2，b=2e1+ke2，且a与b是共线向量，则实数k的值是______．
14.已知△ABC中，AB=2BC=2，AB边上的高与AC边上的中线相等，则tanB= ______．
四、解答题：本题共4小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a=(−1,2)，b=(3,−1)．
(1)若(a+λb)⊥a，求实数λ的值；
(2)若c=2a−b，d=a+2b，求向量c与d的夹角．
16.(本小题15分)
六角螺帽也叫做六角螺母，一般螺帽有很多种类，有六角螺帽，有圆螺帽，方型螺帽等等，而不同种类的螺帽也有不同的尺寸标准.已知某种六角螺帽是一个在正六棱柱内部挖去一个圆柱得到的几何体，它的尺寸(单位：cm)如图所示．
(1)求该六角螺帽的体积；
(2)求该六角螺帽的表面积．
17.(本小题15分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin2A+sinAsinB=cs2B−cs2C.
(1)求角C的大小；
(2)若sinA=2sinB，c= 7，求△ABC的面积．
18.(本小题17分)
在①sinAsinB+sinBsinA+1=c2ab；②(a+2b)csC+ccsA=0；③ 3asinA+B2=csinA，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且_____．
(1)求角C的大小；
(2)若c=4，求△ABC周长的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：复数z满足(−3i)z=4−5i，
则z=4−5i−3i=(−5−4i)i−3i=53+43i．
故z的虚部为43．
故选：B．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：已知平面向量a=(−2,k)，b=(2,4)，
∵a⊥b，
∴−2×2+4k=0，
∴k=1，
即a−b=(−4,−3)，
则|a−b|= (−4)2+(−3)2=5．
故选：D．
由平面向量数量积的运算，结合平面向量的模的运算求解即可．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的模的运算，属基础题．
3.【答案】B
【解析】解：(a+b+c)(c+b−a)=bc，
则(b+c+a)(b+c−a)=(b+c)2−a2=b2+c2+2bc−a2=bc，
故a2=b2+c2+bc，
∵a2=b2+c2−2bccsA，
∴−2csA=1，解得csA=−12，
∵A∈(0,π)，
∴A=2π3．
故选：B．
根据已知条件，结合余弦定理，即可求解．
本题主要考查余弦定理，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查平面图形的直观图，属于较易题．
根据所给的数据求出直观图形的面积，根据直观图的面积：原图的面积= 2 ： 4得到原图形的面积是12÷ 24，得到结果．
【解答】
解：∵矩形O′A′B′C′是一个平面图形的直观图，其中O′A′=6,O′C′=2，
∴直观图的面积是6×2=12，
∵直观图的面积：原图的面积= 2 ： 4，
∴原图形的面积是12÷ 24=24 2．
故选A．
5.【答案】C
【解析】解：设圆锥的底面半径为r，由已知可得，13πr2⋅3=3π，得r= 3．
可得圆锥的母线长l= h2+r2= 9+3=2 3．
∴圆锥的侧面积S=πrl=π× 3×2 3=6π，
故选：C．
由已知求出圆锥的底面半径，再求出母线长，即可求解圆锥的侧面积．
本题考查圆锥侧面积与体积的求法，是基础题．
6.【答案】B
【解析】解：在△ADC中，cs∠ADC=102+62−1422×10×6=−12，
因为0<∠ADC<π，所以∠ADC=2π3，
∴∠ADB=π3，
在△ADB中，ABsin∠ADB=ADsinB⇒AB=5 6．
故选：B．
利用余弦定理正弦定理可得答案．
本题主要考查了余弦定理和正弦定理的应用，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：AO=12(AB+AC)
=m2AM+n2AN，
∵M、O、N三点共线，
∴m2+n2=1，
∴1m+4n=(1m+4n)(m2+n2)=52+n2m+2mn≥52+2=92．
故选：C．
由三点共线时，以任意点为起点，这三点为终点的三向量，其中一向量可用另外两向量线性表示，其系数和为1得到m2+n2=1，然后利用基本不等式求最值．
本题考查了共线向量基本定理的应用，考查了利用基本不等式求最值，关键是“1”的用法，是中档题．
8.【答案】A
【解析】解：如图，在正方体EFGH−E1F1G1H1中，取正方体、正方形E1F1G1H1的中心O、O1，连接E1G1，OO1，OA，O1A，
∵A，B分别为E1H1，H1G1的中点，则E1G1=2AB=3 2，
∴正方体的棱长为EF=3，
故OO1=O1A=32，可得OA= OO12+O1A2=3 22，
根据对称性可知：点O到该半正多面体的顶点的距离相等，则该半正多面体外接球的球心为O，半径R=OA=3 22，
故该半正多面体外接球的表面积为S=4πR2=4π×(3 22)2=18π．
故选：A．
根据正方体的对称性可知：该半正多面体外接球的球心为正方体的中心O，进而可求球的半径和表面积．
本题主要考查了多面体外接球问题，考查了学生的空间想象能力，属于中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：复数2−2i对应的点的坐标为(2,−2)，在第四象限，故A错误；
i4×505+3=i3=−i，故B正确；
∵x2+x+1=(x+12)2+34=(x+12+ 32i)(x+12− 32i)，
因此在复数集C中，方程x2+x+1=0有两个解，依次为−12+ 32i和−12− 32i，故C正确；
复平面内满足条件|z+i|≤2的复数z对应的点Z的集合是以点(0,−1)为圆心，2为半径的圆面，故D错误．
∴真命题的是BC．
故选：BC．
根据复数的代数表示法及其几何意义可判断A；根据i的性质可判断B；根据复数方程的根可判断C；根据复数的几何意义可判断D．
本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数的运算，属于基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：选项A中，以GB，GC为邻边作平行四边形GBDC，GD，BC交于点O，O是BC的中点，
因为G是△ABC的重心，所以A，G，O三点共线，且AG=2GO，
所以GB+GC=GD=2GO，GA=−AG=−2GO，
所以GA+GB+GC=0，选项A正确；
选项B中，AB在AC上的投影向量为|AB|cs120°⋅AC|AC|=−14AC，选项B错误；
选项C中，因为AO=12(AB+AC)，所以AO2=14(AB2+AC2+2AB⋅AC)=14×[4+16+2×2×4×(−12)]=3，
所以|AO|= 3，
因为点G是△ABC的重心，所以|AG|=23|AO|=2 33，选项C正确；
选项D中，取BC的中点O，连结PO，PA，取AO中点M，
则PA+PO=2PM，AO=12(AB+AC)，
则AO2=14(AB2+2AB⋅AC+AC2)=14×(4−8+16)=3，
则AP⋅(BP+CP)=PA⋅(PB+PC)=2PA⋅PO=2×14[(PA+PO)2−(PA−PO)2]，
=2PM2−12OA2=2PM2−32，
当P，M重合时，PM2=0，AP⋅(BP+CP)取最小值−32，选项D正确．
故选：ACD．
根据向量的线性运算，并结合重心的性质，即可判断A，根据投影向量的定义，判断B；根据向量数量积公式，以及重心的性质，判断C；根据向量数量积的运算率，结合图形转化，即可判断D．
本题考查了平面向量数量积的运算问题，也考查了平面向量的线性运算，是中档题．
11.【答案】ACD
【解析】解：对于A，由AB=AD=BC=2，且CD=2AB，
可得CD=4，高O1O2= 4−(4−22)2= 3，
则圆台轴截面ABCD的面积为12×(2+4)× 3=3 3cm2，故A正确；
对于B，圆台的体积为V=13π(1+2+4)× 3=7 33πcm3，故B错误；
对于C，圆台的侧面积为S侧=π(1+2)×2=6π，故C正确；
对于D，由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为4cm，底面半径为2cm，
侧面展开图的圆心角θ=2π⋅24=π，
设AD的中点为P，连接CP，可得∠COP=90°，OC=4，OP=2+1=3，
则CP= 42+32=5．
所以沿着该圆台表面，从点C到AD中点的最短距离为5cm，故D正确．
故选：ACD．
求出圆台的高，由梯形的面积公式可判断选项A；由台体的体积公式可判断选项B；由台体的侧面积公式可判断选项C；将圆台补成圆锥，侧面展开，取AD的中点为P，连接CP，可判断选项D．
本题考查圆台的轴截面面积的求解，圆台体积的求解，圆台的侧面积的求解，化归转化思想，属中档题．
12.【答案】36π
【解析】【分析】本题考查了球的切接，球的体积公式，是基础题．
先求出球的半径，然后利用球的体积公式求解即可．
【解答】解：由题意知，球内切于正方体，∴2R=6，∴R=3．
所以球的体积V=43πR3=43π⋅33=36π，
即可制作的最大零件的体积为36π．
13.【答案】−4
【解析】解：以e1和e2为基底，利用坐标表示a=e1−2e2=(1,−2)，b=2e1+ke2=(2,k)，
由a与b是共线向量，得k−(−2)×2=0，解得k=−4．
故答案为：−4．
根据平面向量的共线定理，列方程求解即可．
本题考查了平面向量的共线定理应用问题，是基础题．
14.【答案】− 3
【解析】解：如图所示，设AB边上的高为CE，AC边上的中线为BF，
在Rt△BCE中，CE=BCsin∠ABC=sin∠ABC，
所以BF=CE=sin∠ABC，
由BF=12(BA+BC)，平方可得
BF2=14(BA2+BC2+2|BA||BC|cs∠ABC)，
又AB=2BC=2，
则有4(1−cs2∠ABC)=4+1+2×2×1×cs∠ABC，
化简得4cs2∠ABC+4cs∠ABC+1=0，
解得cs∠ABC=−12，
又因为0<∠ABC<π，所以∠ABC=2π3，
所以tan∠ABC=− 3．
故答案为：− 3．
通过已知条件得到BF=sin∠ABC，通过平方关系对BF=12(BA+BC)进行转化，解得cs∠ABC=−12，即可得到答案．
本题考查三角形中的几何计算，属中档题．
15.【答案】解：(1)因为(a+λb)⊥a，
所以(a+λb)⋅a=a2+λa⋅b=0，
所以5+λ(−1×3−2×1)=0，
所以λ=1，
(2)由题意可得，c=(−5,5)，d=(5,0)，
c⋅d=(2a−b)⋅(a+2b)=−25，
csθ=c⋅d|c||d|=−255 2×5=− 22，
∴θ=3π4
【解析】(1)由已知结合向量数量积的性质的坐标表示即可求解；
(2)由已知结合向量夹角公式的坐标表示即可求解．
本题主要考查了向量数量积的性质的简单应用，属于基础试题．
16.【答案】解：(1)六角螺帽的体积为正六棱柱的体积减去圆柱的体积：
V=12×6×6×sinπ3×6×4−π×32×4=216 3−36π；
(2)六角螺帽的表面积：
S=6×4×6+(12×6×6×sinπ3×6−π×32)×2+6π×4=144+108 3+6π．
【解析】(1)六角螺帽的体积为正六棱柱的体积减去圆柱的体积，计算即可；
(2)根据棱柱和圆柱的表面积公式计算六角螺帽的表面积得到答案．
本题考查了棱柱和圆柱的表面积与体积的计算，属于中档题．
17.【答案】解：(1)∵sin2A+sinAsinB=cs2B−cs2C=1−sin2B−(1−sin2C)=sin2C−sin2B，
∴在△ABC中，由正弦定理得a2+ab=c2−b2，即a2+b2−c2=−ab，
∴csC=a2+b2−c22ab=−ab2ab=−12，
又C∈(0,π)，∴C=2π3；
(2)∵sinA=2sinB，∴由正弦定理得a=2b①，
又a2+b2−7=−ab②，
联立①②得a=2，b=1，
∴S△ABC=12absinC=12×2×1×sin2π3= 32．
【解析】(1)先将条件中的等式全部变为正弦，然后利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求角，即可得出答案；
(2)先利用正弦定理将sinA=2sinB转化为a，b的关系，再结合(1)中的条件求出a，b，最后利用三角形的面积公式求解，即可得出答案．
本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)选择条件①：由sinAsinB+sinBsinA+1=c2ab及正弦定理，得：ab+ba+1=c2ab，
即a2+b2−c2=−ab，由余弦定理，得csC=a2+b2−c22ab=−ab2ab=−12，
因为0选择条件②：由(a+2b)csC+ccsA=0及正弦定理，
得：(sinA+2sinB)csC+sinCcsA=0，
即sinAcsC+csAsinC=−2sinBcsC．
即sin(A+C)=−2sinBcsC．
在△ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+C)=sin(π−B)=sinB，
即sinB=−2csCsinB，因为0因为0选择条件③：由 3asinA+B2=csinA及正弦定理，
得： 3sinAsinA+B2=sinCsinA，
因为0在△ABC中，A+B+C=π，则sinA+B2=csC2，
故 3csC2=2sinC2csC2．
因为0故C=2π3；
(2)在△ABC中应用余弦定理得：c2=a2+b2−2abcsC，
所以16=a2+b2+ab，因为a2+b2=(a+b)2−2ab，
所以(a+b)2=ab+16.因为ab≤(a+b)24，
所以(a+b)2≤(a+b)24+16，解得：(a+b)2≤192，
又因为a+b>c，
所以8所以周长的取值范围是：(8,8 3+4]．
【解析】(1)若选择①，利用正弦定理，化角为边后，结合余弦定理求角；
若选择②，利用正弦定理，化边为角，结合三角恒等变换，求角；
如选择③，利用正弦定理，将边化角，利用诱导公式，和二倍角公式，即可求角；
(2)利用余弦定理，结合基本不等式，即可求三角形周长的取值范围．
本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查了基本不等式的应用，属于中档题．