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浙江省宁波市2023-2024学年第二学期八年级数学期末复习试卷解析版
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第I卷（选择题共30分）
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．）
1 .下列中国品牌新能源车的车标中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
【详解】解：A．该图不是中心对称图形，故不符合题意；
B．该图是中心对称图形，故符合题意；
C．该图不是中心对称图形，故不符合题意；
D．该图不是中心对称图形，故不符合题意；
故选：B．
2. 在函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥0且x≠-2B．x≥-2且x≠0C．x≥0D．x≥-2
【答案】B
【分析】由分式有意义的条件，二次根式有意义的条件进行计算，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，
，
∴；
故选B．
3 .某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了颗葡萄，
每品种质量的平均数（单位：千克）及方差如表：
已知乙品种质量最稳定，且乙品种的颗葡萄质量不都一样，则的值可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．根据“乙品种产量最稳定，且乙的棵果树的产量不都一样“，即可得到结论．
【详解】解：乙品种产量最稳定，
，
乙的棵果树的产量不都一样，
，
故选：．
4. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据配方法求解即可．
【详解】解：
，
，
．
故选A．
5．如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件能判断四边形ABCD是平行四边形（ ）
A．∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADCB．AB＝CD，AD＝AC
C．AD∥BC，AB＝CDD．OA＝CD，OB＝OD
【答案】A
【分析】根据平行四边形的判定条件逐一判断即可．
【详解】解：A、∵∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，∠BAD+∠BCD+∠ABC+∠ADC=360°，
∴∠BAD＝+∠ABC=180°，
∴，
同理可证，
∴四边形ABCD是平行四边形，故A符合题意；
B、由AB＝CD，AD＝AC不能判定四边形ABCD是平行四边形，故B不符合题意；
C、由AD∥BC，AB＝CD不能判定四边形ABCD是平行四边形，故C不符合题意；
D、由OA＝CD，OB＝OD不能判定四边形ABCD是平行四边形，故D不符合题意；
故选A．
6. 用反证法证明命题“四边形中，至少有一个内角大于或等于”时，首先应假设（ ）
A. 四个内角都小于B. 至少有一个内角不大于
C. 至多有一个内角大于D. 至多有一个内角不大于
【答案】A
【解析】
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行解答．
【详解】解：反证法证明命题“四边形中，至少有一个内角大于或等于”时，首先应假设四个内角都小于．
故选：A．
如图，是五边形的外角，且，
则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了多边形的外角和定理，邻补角的性质，由多边形的外角和定理可得，进而根据邻补角性质即可求出的度数，掌握多边形的外角和等于是解题的关键．
【详解】解：由多边形的外角和定理可得，，
∵，
∴，
∴，
故选：．
8.如图，点M是函数与的图象在第一象限内的交点，，则k的值为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【分析】作MN⊥x轴于N，设M（x，x），在Rt△OMN中，由勾股定理得出方程，解方程即可求出x，进一步即可求出k的值．
【详解】解：作MN⊥x轴于N，如图所示：
∵点M是函数与的图象在第一象限内的交点，∴设M（x，x），
在Rt△OMN中，由勾股定理得：x2+（x）2＝22，解得：x＝1（x=－1舍去）.
∴M（1，），代入得：k＝1×＝；
故选：B．
9 .如图，二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点，且．
则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的图像开口方向，对称轴位置，二次函数的图像与轴交点位置判断A，根据二次函数的图像与轴交点个数可得，从而判断B，由可得点坐标为，从而判断C和D．
【详解】解：∵二次函数的图像开口向下，
∴，
∵二次函数的图像的对称轴在轴右侧，
∴，
∴，
∵二次函数的图像与轴的交点在轴的上方，
∴，
∴，故A选项不符合题意；
∵二次函数的图像与轴有个交点，
∴，
∴，故B选项不符合题意；
∵二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点，
∴，，
∵，
∴点坐标为，
∴，
∴，
∴，故D选项符合题意；
∵，
∴，
即，故C选项不符合题意．
故选：D．
如图，在平行四边形ABCD中，以和为斜边分别向内作等腰和等腰，
延长和分别交和于点H和F，直线分别交和于点和．
若四边形是正方形，平行四边形ABCD的面积为，
下列哪条线段的长度不能用来表示（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设，，根据平行四边形的性质和等腰直角三角形的性质可得，根据全等三角形的判定和性质可得，根据勾股定理可得，根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质可得，根据勾股定理可得，根据等腰直角三角形的判定和性质以及勾股定理可得，，推得，根据平行四边形的面积可得；根据面积公式逐项分析即可．
【详解】解：设，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵和都是等腰直角三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在中，，
即，
∵四边形是正方形，
∴和都是等腰直角三角形，
∴，
在中，，
∵，
∴和都是等腰直角三角形，
在中，，
∴，
∴，
∵平行四边形的面积为；
∵，
故，故选项B符合题意；
∵，，，
故，故选项C符合题意；
∵，
故，故选项D符合题意；
故选：A．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11 .已知，则化简 ．
【答案】
【分析】先判断出，再根据二次根式的化简法则即可得．
【详解】解：，
，
，
故答案为：．
12. 若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是______．
【答案】或
【解析】
【分析】根据题意可得一元二次方程根的判别式，即可得出关于的方程，解之即可求出的值．
【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：，，
∴的值是或．
故答案为：或．
13 . 小恒同学对6月1日至7日的最高气温进行统计分析制作成统计图（如图所示），
则这七天最高气温的众数是______，中位数是______．
【答案】 ①. 33 ②. 27
【解析】
【分析】结合折线统计图，根据中位数、众数的定义判断即可，众数是指出现次数最多的数据．
【详解】解：将6月1日至7日的最高气温按从小到大的顺序排列，
可得，，，，，，，
∴中位数为，
在这组数据中，33℃出现的次数最多，
∴众数为，
故答案为：33，27．
14 . 如图，在中，，分别是，的中点，，平分，交于点．
若，则的长度是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据三角形中位线定理得到，，根据题意求出，根据平行线的性质、角平分线的定义得到，得到，进而求出．
【详解】解：∵，分别是，的中点，，
∴是中位线，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴的长度是．
故答案为：．
如图，点是反比例函数（）的图象上一点，轴，
与反比例函数的图象交于点，点，在轴上．若四边形是正方形，
则点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】设点A的坐标为，即可表示出点B的坐标为，根据正方形的性质可得，进而可得关于m的方程，解方程求出m即得答案．
【详解】解：设点A的坐标为，
∵轴，
∴点B的坐标为，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
解得：，负值已舍去，
∴点A的坐标为；
故答案为：．
如图，正方形的边长为6，点E，F分别在，上，，
连接、，与相交于点G，连接，取的中点H，连接，则的长为 ．
【答案】
【分析】先证明，进而得，再利用勾股定理求得的值，即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点H是的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
解答题（本题有8小题，第17~19题每题6分，第20、21题每题8分，
第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
17 .解下列方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了配方法，因式分解法求解方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键．
（1）利用配方法求解即可．
（2）利用因式分解法法求解即可．
【详解】（1）解：原方程变形得：，
配方得：，
即，
直接开平方得：，
解得：．
（2）原方程变形得：，
因式分解得：，
即，
解得：．
18 .用适当的方法下列方程：
(1)
(2)
【答案】(1)，；
(2)，
【分析】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法并灵活选择是解题的关键．
（1）利用公式法解方程即可；
（2）变形后利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）
由题意得，，
则，
∴，
即，；
（2）
可变为，
则或
解得，；
19．“知识改变命运，科技繁荣祖国”．我市中小学每年都要举办一届科技运动会．下图为我市某校2009年参加科技运动会航模比赛（包括空模、海模、车模、建模四个类别）的参赛人数统计图：
（1）该校参加车模、建模比赛的人数分别是 人和 人；
（2）该校参加航模比赛的总人数是 人，空模所在扇形的圆心角的度数是 °，
并把条形统计图补充完整；（温馨提示：作图时别忘了用0.5毫米及以上的黑色签字笔涂黑）
从全市中小学参加航模比赛选手中随机抽取80人，其中有32人获奖．
今年我市中小学参加航模比赛人数共有2485人，请你估算今年参加航模比赛的获奖人数约是多少人？
【答案】（1）4人，6人；（2）24， 120°，见解析（3）994人
【详解】解：（1）由条形统计图可得：该校参加车模、建模比赛的人数分别是4人，6人；
（2）该校参加航模比赛的总人数：6÷25%＝24，
空模所在扇形的圆心角的度数是：（24−6−6−4）÷24×360°＝120°，
参加空模比赛的人数24−6−6−4=8（人），
补充条形统计图如下：
（3）32÷80＝0.4，0.4×2485＝994（人），
答：今年参加航模比赛的获奖人数约是994人
20. 如图，二次函数的图象经过点，．
（1）求，的值；
（2）结合图象，求当时的取值范围；
（3）平移该二次函数图象，使其顶点为点．请说出平移的方法，
并求平移后图象所对应的二次函数的表达式．
【答案】（1），
（2）
（3）先向下平移4个单位，再向左平移2个单位；
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）由（1）得出抛物线解析式，在求出抛物线与轴的交点，结合图象求出的取值范围；
（3）先确定顶点坐标，再利用点和顶点的坐标特征确定平移的方向与距离，然后利用顶点式写出平移后的抛物线解析式．
【小问1详解】
解：把，代入得，
，
解得，
，；
【小问2详解】
解：由（1）知，抛物线解析式为，
令，则，
解得或，
当时的取值范围为；
【小问3详解】
解：，
抛物线顶点为，
，
将抛物线顶点先向左平移2单位长度，再行下平移4个单位长度得到，
平移后抛物线的解析式为．
21. 如图，在平行四边形中，，分别为边，的中点，连结，，．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若，则四边形是什么特殊四边形？请证明你的结论．
【答案】(1)证明详见解析；
(2)菱形，证明详见解析．
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，以及菱形的判定．
（1）根据平行四边形的性质得到，，根据平行四边形的判定定理即可得到结论；
（2）直角三角形中，是斜边上的中线，因此，进而可得出四边形是个菱形．
【详解】（1）四边形为平行四边形，
，，
、分别为边、的中点，
，，
四边形为平行四边形；
（2）若，则四边形是菱形．
证明：，
是直角三角形，且．
是的中点，
．
在▱中，，分别为边，的中点，
且，
四边形是平行四边形．
∵，
四边形是菱形．
22．2022年北京冬季奥运会于2月4日至2月20日在北京市和河北省张家口市联合举行，冬奥会吉祥物为“冰墩墩”．
(1)据市场调研发现，某工厂今年二月份共生产500个“冰墩墩”，为增大生产量，该工厂平均每月生产量增长率相同，四月份该工厂生产了720个“冰墩墩”，求该工厂平均每月生产量增长率是多少？
(2)已知某商店“冰墩墩”平均每天可销售20个，每个盈利40元，在每个降价幅度不超过10元的情况下，每下降2元，则每天可多售10件．如果每天要盈利1440元，则每个“冰墩墩”应降价多少元？
【答案】(1)该工厂平均每月生产量的增长率为
(2)每个“冰墩墩”应降价4元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设该工厂平均每月生产量增长率为x，利用该工厂四月份生产“冰墩墩”的数量＝该工厂二月份生产“冰墩墩”的数量（该工厂平均每月生产量的增长率），即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设每个“冰墩墩”降价y元，则每个盈利元，平均每天可售出个，利用总利润每个的销售利润日销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【详解】（1）设该工厂平均每月生产量的增长率为x，
依题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：该工厂平均每月生产量的增长率为．
（2）设每个“冰墩墩”降价y元，则每个盈利元，平均每天可售出个，
依题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：每个“冰墩墩”应降价4元．
23. 如图1，两个全等的直角三角形和的斜边和在同一直线上，，将沿直线平移，并连接，．
基础巩固】
（1）求证：在沿直线平移过程中，四边形平行四边形；
【操作思考】
（2）如图2，已知，，当沿平移到某一个位置时，四边形为菱形，求此时的长；
【拓展探究】
（3）如图3，连接，若四边形为菱形，且，求的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）根据全等三角形的性质可得，，由平行线的判定可得，即可得证；
（2）如图2，作于，根据勾股定理可得，根据三角形的面积公式可得，可得，由勾股定理可得，根据菱形的性质得到，由等腰三角形的三线合一性质可得，最后由可得答案；
（3）延长交于点，证明，得，所以是等腰直角三角形，然后根据菱形的性质即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵，
∴，，
∴，
∴四边形为平行四边形．
（2）解：如图2，作于，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∴．
（3）如图3，延长与交于点，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在菱形中，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的度数的．
24．如图，在矩形中，，，连接，点为的中点，点为边上的一个动点，连接，作，交边于点．已知点从点开始，以的速度在线段上移动，设运动时间为．解答下列问题：
（1）当为何值时，？
（2）连接，设的面积为，求与的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
（4）连接，在运动过程中，是否存在某一时刻，使恰好将分成面积比为的两部分？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）3；（2）；（3）或；（4）
【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理列式得方程，求解即可；
（2）证明△，求得，分和两种情况，结合求解即可；
（3）根据列出方程求解即可；
（4）分两种情况讨论，利用相似三角形的性质和三角形的面积公式可求解．
【详解】解：（1）∵
∴
∴
解得，
∴当时，；
（2）取AB的中点M，BC的中点N，连接OM，ON，如图①
∵
∴，，
∴∠，∠
∴四边形OMBN是矩形
∴∠
∴∠，∠
∴∠
∴△
∴
∵，
∴
①当时，，（如图①）
∴，
∴，
，
∴
=
=
∴；
②当时，如图②
此时，，，
∴
∴
∴
=
=
∴
综上所述，
（3）∵
∴
解得，
∴当或时，；
（4）当时，即，作，如图③
∵∠，∠
∴△
∴，则
∴，则
∵∠，∠
∴
∴，则
∴
∵
∴
解得，
当时，即，如图④，
同上可得，，
∵
∴
解得，
综上所述，甲
乙
丙
丁
平均数
方差
第I卷（选择题共30分）
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．）
1 .下列中国品牌新能源车的车标中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
【详解】解：A．该图不是中心对称图形，故不符合题意；
B．该图是中心对称图形，故符合题意；
C．该图不是中心对称图形，故不符合题意；
D．该图不是中心对称图形，故不符合题意；
故选：B．
2. 在函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥0且x≠-2B．x≥-2且x≠0C．x≥0D．x≥-2
【答案】B
【分析】由分式有意义的条件，二次根式有意义的条件进行计算，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，
，
∴；
故选B．
3 .某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了颗葡萄，
每品种质量的平均数（单位：千克）及方差如表：
已知乙品种质量最稳定，且乙品种的颗葡萄质量不都一样，则的值可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．根据“乙品种产量最稳定，且乙的棵果树的产量不都一样“，即可得到结论．
【详解】解：乙品种产量最稳定，
，
乙的棵果树的产量不都一样，
，
故选：．
4. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据配方法求解即可．
【详解】解：
，
，
．
故选A．
5．如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件能判断四边形ABCD是平行四边形（ ）
A．∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADCB．AB＝CD，AD＝AC
C．AD∥BC，AB＝CDD．OA＝CD，OB＝OD
【答案】A
【分析】根据平行四边形的判定条件逐一判断即可．
【详解】解：A、∵∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，∠BAD+∠BCD+∠ABC+∠ADC=360°，
∴∠BAD＝+∠ABC=180°，
∴，
同理可证，
∴四边形ABCD是平行四边形，故A符合题意；
B、由AB＝CD，AD＝AC不能判定四边形ABCD是平行四边形，故B不符合题意；
C、由AD∥BC，AB＝CD不能判定四边形ABCD是平行四边形，故C不符合题意；
D、由OA＝CD，OB＝OD不能判定四边形ABCD是平行四边形，故D不符合题意；
故选A．
6. 用反证法证明命题“四边形中，至少有一个内角大于或等于”时，首先应假设（ ）
A. 四个内角都小于B. 至少有一个内角不大于
C. 至多有一个内角大于D. 至多有一个内角不大于
【答案】A
【解析】
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行解答．
【详解】解：反证法证明命题“四边形中，至少有一个内角大于或等于”时，首先应假设四个内角都小于．
故选：A．
如图，是五边形的外角，且，
则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了多边形的外角和定理，邻补角的性质，由多边形的外角和定理可得，进而根据邻补角性质即可求出的度数，掌握多边形的外角和等于是解题的关键．
【详解】解：由多边形的外角和定理可得，，
∵，
∴，
∴，
故选：．
8.如图，点M是函数与的图象在第一象限内的交点，，则k的值为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【分析】作MN⊥x轴于N，设M（x，x），在Rt△OMN中，由勾股定理得出方程，解方程即可求出x，进一步即可求出k的值．
【详解】解：作MN⊥x轴于N，如图所示：
∵点M是函数与的图象在第一象限内的交点，∴设M（x，x），
在Rt△OMN中，由勾股定理得：x2+（x）2＝22，解得：x＝1（x=－1舍去）.
∴M（1，），代入得：k＝1×＝；
故选：B．
9 .如图，二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点，且．
则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的图像开口方向，对称轴位置，二次函数的图像与轴交点位置判断A，根据二次函数的图像与轴交点个数可得，从而判断B，由可得点坐标为，从而判断C和D．
【详解】解：∵二次函数的图像开口向下，
∴，
∵二次函数的图像的对称轴在轴右侧，
∴，
∴，
∵二次函数的图像与轴的交点在轴的上方，
∴，
∴，故A选项不符合题意；
∵二次函数的图像与轴有个交点，
∴，
∴，故B选项不符合题意；
∵二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点，
∴，，
∵，
∴点坐标为，
∴，
∴，
∴，故D选项符合题意；
∵，
∴，
即，故C选项不符合题意．
故选：D．
如图，在平行四边形ABCD中，以和为斜边分别向内作等腰和等腰，
延长和分别交和于点H和F，直线分别交和于点和．
若四边形是正方形，平行四边形ABCD的面积为，
下列哪条线段的长度不能用来表示（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设，，根据平行四边形的性质和等腰直角三角形的性质可得，根据全等三角形的判定和性质可得，根据勾股定理可得，根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质可得，根据勾股定理可得，根据等腰直角三角形的判定和性质以及勾股定理可得，，推得，根据平行四边形的面积可得；根据面积公式逐项分析即可．
【详解】解：设，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵和都是等腰直角三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在中，，
即，
∵四边形是正方形，
∴和都是等腰直角三角形，
∴，
在中，，
∵，
∴和都是等腰直角三角形，
在中，，
∴，
∴，
∵平行四边形的面积为；
∵，
故，故选项B符合题意；
∵，，，
故，故选项C符合题意；
∵，
故，故选项D符合题意；
故选：A．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11 .已知，则化简 ．
【答案】
【分析】先判断出，再根据二次根式的化简法则即可得．
【详解】解：，
，
，
故答案为：．
12. 若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是______．
【答案】或
【解析】
【分析】根据题意可得一元二次方程根的判别式，即可得出关于的方程，解之即可求出的值．
【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：，，
∴的值是或．
故答案为：或．
13 . 小恒同学对6月1日至7日的最高气温进行统计分析制作成统计图（如图所示），
则这七天最高气温的众数是______，中位数是______．
【答案】 ①. 33 ②. 27
【解析】
【分析】结合折线统计图，根据中位数、众数的定义判断即可，众数是指出现次数最多的数据．
【详解】解：将6月1日至7日的最高气温按从小到大的顺序排列，
可得，，，，，，，
∴中位数为，
在这组数据中，33℃出现的次数最多，
∴众数为，
故答案为：33，27．
14 . 如图，在中，，分别是，的中点，，平分，交于点．
若，则的长度是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据三角形中位线定理得到，，根据题意求出，根据平行线的性质、角平分线的定义得到，得到，进而求出．
【详解】解：∵，分别是，的中点，，
∴是中位线，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴的长度是．
故答案为：．
如图，点是反比例函数（）的图象上一点，轴，
与反比例函数的图象交于点，点，在轴上．若四边形是正方形，
则点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】设点A的坐标为，即可表示出点B的坐标为，根据正方形的性质可得，进而可得关于m的方程，解方程求出m即得答案．
【详解】解：设点A的坐标为，
∵轴，
∴点B的坐标为，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
解得：，负值已舍去，
∴点A的坐标为；
故答案为：．
如图，正方形的边长为6，点E，F分别在，上，，
连接、，与相交于点G，连接，取的中点H，连接，则的长为 ．
【答案】
【分析】先证明，进而得，再利用勾股定理求得的值，即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点H是的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
解答题（本题有8小题，第17~19题每题6分，第20、21题每题8分，
第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
17 .解下列方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了配方法，因式分解法求解方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键．
（1）利用配方法求解即可．
（2）利用因式分解法法求解即可．
【详解】（1）解：原方程变形得：，
配方得：，
即，
直接开平方得：，
解得：．
（2）原方程变形得：，
因式分解得：，
即，
解得：．
18 .用适当的方法下列方程：
(1)
(2)
【答案】(1)，；
(2)，
【分析】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法并灵活选择是解题的关键．
（1）利用公式法解方程即可；
（2）变形后利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）
由题意得，，
则，
∴，
即，；
（2）
可变为，
则或
解得，；
19．“知识改变命运，科技繁荣祖国”．我市中小学每年都要举办一届科技运动会．下图为我市某校2009年参加科技运动会航模比赛（包括空模、海模、车模、建模四个类别）的参赛人数统计图：
（1）该校参加车模、建模比赛的人数分别是 人和 人；
（2）该校参加航模比赛的总人数是 人，空模所在扇形的圆心角的度数是 °，
并把条形统计图补充完整；（温馨提示：作图时别忘了用0.5毫米及以上的黑色签字笔涂黑）
从全市中小学参加航模比赛选手中随机抽取80人，其中有32人获奖．
今年我市中小学参加航模比赛人数共有2485人，请你估算今年参加航模比赛的获奖人数约是多少人？
【答案】（1）4人，6人；（2）24， 120°，见解析（3）994人
【详解】解：（1）由条形统计图可得：该校参加车模、建模比赛的人数分别是4人，6人；
（2）该校参加航模比赛的总人数：6÷25%＝24，
空模所在扇形的圆心角的度数是：（24−6−6−4）÷24×360°＝120°，
参加空模比赛的人数24−6−6−4=8（人），
补充条形统计图如下：
（3）32÷80＝0.4，0.4×2485＝994（人），
答：今年参加航模比赛的获奖人数约是994人
20. 如图，二次函数的图象经过点，．
（1）求，的值；
（2）结合图象，求当时的取值范围；
（3）平移该二次函数图象，使其顶点为点．请说出平移的方法，
并求平移后图象所对应的二次函数的表达式．
【答案】（1），
（2）
（3）先向下平移4个单位，再向左平移2个单位；
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）由（1）得出抛物线解析式，在求出抛物线与轴的交点，结合图象求出的取值范围；
（3）先确定顶点坐标，再利用点和顶点的坐标特征确定平移的方向与距离，然后利用顶点式写出平移后的抛物线解析式．
【小问1详解】
解：把，代入得，
，
解得，
，；
【小问2详解】
解：由（1）知，抛物线解析式为，
令，则，
解得或，
当时的取值范围为；
【小问3详解】
解：，
抛物线顶点为，
，
将抛物线顶点先向左平移2单位长度，再行下平移4个单位长度得到，
平移后抛物线的解析式为．
21. 如图，在平行四边形中，，分别为边，的中点，连结，，．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若，则四边形是什么特殊四边形？请证明你的结论．
【答案】(1)证明详见解析；
(2)菱形，证明详见解析．
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，以及菱形的判定．
（1）根据平行四边形的性质得到，，根据平行四边形的判定定理即可得到结论；
（2）直角三角形中，是斜边上的中线，因此，进而可得出四边形是个菱形．
【详解】（1）四边形为平行四边形，
，，
、分别为边、的中点，
，，
四边形为平行四边形；
（2）若，则四边形是菱形．
证明：，
是直角三角形，且．
是的中点，
．
在▱中，，分别为边，的中点，
且，
四边形是平行四边形．
∵，
四边形是菱形．
22．2022年北京冬季奥运会于2月4日至2月20日在北京市和河北省张家口市联合举行，冬奥会吉祥物为“冰墩墩”．
(1)据市场调研发现，某工厂今年二月份共生产500个“冰墩墩”，为增大生产量，该工厂平均每月生产量增长率相同，四月份该工厂生产了720个“冰墩墩”，求该工厂平均每月生产量增长率是多少？
(2)已知某商店“冰墩墩”平均每天可销售20个，每个盈利40元，在每个降价幅度不超过10元的情况下，每下降2元，则每天可多售10件．如果每天要盈利1440元，则每个“冰墩墩”应降价多少元？
【答案】(1)该工厂平均每月生产量的增长率为
(2)每个“冰墩墩”应降价4元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设该工厂平均每月生产量增长率为x，利用该工厂四月份生产“冰墩墩”的数量＝该工厂二月份生产“冰墩墩”的数量（该工厂平均每月生产量的增长率），即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设每个“冰墩墩”降价y元，则每个盈利元，平均每天可售出个，利用总利润每个的销售利润日销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【详解】（1）设该工厂平均每月生产量的增长率为x，
依题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：该工厂平均每月生产量的增长率为．
（2）设每个“冰墩墩”降价y元，则每个盈利元，平均每天可售出个，
依题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：每个“冰墩墩”应降价4元．
23. 如图1，两个全等的直角三角形和的斜边和在同一直线上，，将沿直线平移，并连接，．
基础巩固】
（1）求证：在沿直线平移过程中，四边形平行四边形；
【操作思考】
（2）如图2，已知，，当沿平移到某一个位置时，四边形为菱形，求此时的长；
【拓展探究】
（3）如图3，连接，若四边形为菱形，且，求的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）根据全等三角形的性质可得，，由平行线的判定可得，即可得证；
（2）如图2，作于，根据勾股定理可得，根据三角形的面积公式可得，可得，由勾股定理可得，根据菱形的性质得到，由等腰三角形的三线合一性质可得，最后由可得答案；
（3）延长交于点，证明，得，所以是等腰直角三角形，然后根据菱形的性质即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵，
∴，，
∴，
∴四边形为平行四边形．
（2）解：如图2，作于，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∴．
（3）如图3，延长与交于点，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在菱形中，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的度数的．
24．如图，在矩形中，，，连接，点为的中点，点为边上的一个动点，连接，作，交边于点．已知点从点开始，以的速度在线段上移动，设运动时间为．解答下列问题：
（1）当为何值时，？
（2）连接，设的面积为，求与的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
（4）连接，在运动过程中，是否存在某一时刻，使恰好将分成面积比为的两部分？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）3；（2）；（3）或；（4）
【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理列式得方程，求解即可；
（2）证明△，求得，分和两种情况，结合求解即可；
（3）根据列出方程求解即可；
（4）分两种情况讨论，利用相似三角形的性质和三角形的面积公式可求解．
【详解】解：（1）∵
∴
∴
解得，
∴当时，；
（2）取AB的中点M，BC的中点N，连接OM，ON，如图①
∵
∴，，
∴∠，∠
∴四边形OMBN是矩形
∴∠
∴∠，∠
∴∠
∴△
∴
∵，
∴
①当时，，（如图①）
∴，
∴，
，
∴
=
=
∴；
②当时，如图②
此时，，，
∴
∴
∴
=
=
∴
综上所述，
（3）∵
∴
解得，
∴当或时，；
（4）当时，即，作，如图③
∵∠，∠
∴△
∴，则
∴，则
∵∠，∠
∴
∴，则
∴
∵
∴
解得，
当时，即，如图④，
同上可得，，
∵
∴
解得，
综上所述，甲
乙
丙
丁
平均数
方差
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