浙江省宁波市江北区2023-2024学年八年级（上）学期期末数学试卷（含解析）

这是一份浙江省宁波市江北区2023-2024学年八年级（上）学期期末数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了5 毫米黑色墨水签字等内容，欢迎下载使用。

生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、
姓名是否一致．
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用 0.5 毫米黑色墨水签字
笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．
3．作图可先使用 2B 铅笔画出，确定后必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．
一、单选题
1．下列四个图形中，不是轴对称图形的为（ ）
A．B．C．D．
2．下列各组线段，不能组成三角形的是（ ）
A．1，2，3B．2，3，4C．3，4，5D．5，12，13
3．由x＜y能得到mx＞my，则（ ）．
A．m＞0B．m≥0C．m＜0D．m≤0
4．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝5，EC＝2，则BC的长是（ ）
A．6B．7C．8D．9
5．能说明命题：“若a＞b，则ac≥bc”是假命题的反例是（ ）
A．c＝﹣1B．c＝0C．c＝2D．c＝m2（m为任意实数）
6．在下面四个命题是真命题的个数有（ ）
（1）互相垂直的两条线段一定相交；
（2）有且只有一条直线垂直于已知直线；
（3）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
（4）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离．
A．3个B．2个C．1个D．0个
7．对于任意实数p、q，定义一种运算：p@q＝p-q＋pq，例如2@3＝2-3＋2×3．请根据上述定义解决问题：若关于x的不等式组有3个整数解，则m的取值范围为是 ( )
A．-8≤m<-5B．-88．一条直线y=kx+b，其中k+b=，kb=，那么该直线经过（ ）
A．第二、四象限B．第一、二、三象限
C．第一、三象限D．第二、三、四象限
9．某人骑自行车t（小时）走了，若步行，则比骑自行车多用3（小时），那么骑自行车每小时比步行多走（ ）．
A．B．C．D．
10．如图，把一个大长方形分割成5小块，其中⑤号是正方形，其余都是长方形，且①号和④号是两个一样的长方形，⑤号的周长是①号的2倍．已知大的长方形的面积，可以求出下列哪一个图形的面积．（ ）
A．①B．②C．③D．⑤
二、填空题
11．如图，活动衣架可以伸缩自如，是利用了四边形的 性质．
12．如图，直角坐标系中，已知A(－2，－1)，B(3，－1)，C(1，2)，请你在y轴上找一点P．使ABP和ABC全等，则点P的坐标是 ．（写出一个即可）
13．如图，正比例函数和一次函数的图象相交于点，当时， （填“>”或“＜”）
14．已知中，斜边，则斜边上的中线的长为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交点于，且，以为边长作等边三角形，过点作平行于轴，交直线于点，以为边长作等边三角形，过点作平行于轴，交直线于点，以为边长作等边三角形，…，按此规律进行下去，则点的横坐标是 ．
16．如图1，在中，，为中点．将沿翻折，得到（如图2），为上一点，再将沿翻折，使得与重合（如图3），给出下列四个命题：①；②；③；④．其中说法正确的是 ．
三、解答题
17．解方程组或解不等式组．
（1）解方程组：
（2）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
18．如图，，，，，垂足分别是，．

(1)求证：；
(2)猜想线段，，之间具有怎样的数量关系，并说明理由．
19．如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中有线段AB，其中点A、B均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中画出以BC为底的钝角等腰三角形ABC，且点C在小正方形的顶点上；
（2）将（1）中的△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△DEC（点A的对应点是点D，点B的对应点是点E），画出△CDE；
（3）在（2）的条件下，连接BE，请直接写出△BCE的面积．
20．如图1，在平面直角坐标系中，正方形的面积等于4，长方形的面积等于8，其中点、在轴上，点在轴上．

（1）请直接写出点，点，点的坐标；
（2）如图2，将正方形沿轴向右平移，移动后得到正方形，设移动后的正方形长方形重叠部分（图中阴影部分）的面积为；
①当时，______；当时，______；当时，______；
②当时，请直接写出的值．
21．某文具店准备购进A、B两种品牌的文具袋进行销售，若购进A品牌文具袋和B品牌文具袋各5个共花费120元，购进A品牌文具袋3个和B品牌文具袋4个共花费88元．
（1）求购进A品牌文具袋和B品牌文具袋的单价；
（2）若该文具店购进了A，B两种品牌的文具袋共100个，其中A品牌文具袋售价为12元，B品牌文具袋售价为23元，设购进A品牌文具袋x个，获得总利润为w元．
①求w关于x的函数关系式；
②要使销售文具袋的利润最大，且所获利润不低于进货价格的45%，请你帮该文具店设计一个进货方案，并求出其所获利润的最大值．
22．如图，两个形状，大小完全相同的含有30°，60°的三角板如图①放置，PA，PB与直线MN重合，且三角板PAC与三角板PBD均可绕点P逆时针旋转。
（1）试说明：∠DPC=90°；
（2）如图②，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转一定度数，PF平分，PE平分，求。
（3）如图③，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为3。/s。同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速为2。/s，在两个三角板旋转过程中（PC转到与PM重合时，三角板都停止转运），问的值是否变化？若不变，求出其值，若变化，说明理由。
23．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于A，B两点，把线段AB绕点B顺时针旋转后得到线段BC，连结AC，OC．

(1)当时，求点的坐标；
(2)当m值发生变化时，△BOC的面积是否保持不变？若不变，计算其大小；若变化，请说明理由；
(3)当S△AOB=2S△BOC时，在轴上找一点P，使得△PAB是等腰三角形，求满足条件的所有P点的坐标．
参考答案：
1．B
【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；依次进行判断即可．
【详解】解：解：根据轴对称图形的意义可知：A、C、D都是轴对称图形，而B不是轴对称图形；
故选：B．
【点睛】此题考查了轴对称图形的意义，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，看图形对折后两部分是否完全重合．
2．A
【详解】A、∵1+2=3，∴1，2，3不能组成三角形，故本选项符合题意；
B、∵2+3=5＞4，∴2，3，4能组成三角形，故本选项不符合题意；
C、∵3+4=7＞5，∴3，4，5能组成三角形，故本选项不符合题意；
D、∵5+12=17＞13，∴5，12，13能组成三角形，故本选项不符合题意．
故选A．
3．C
【分析】根据不等式的基本性质进行求解可得．
【详解】解：∵x＜y，
∴当m＜0时，mx＞my．
故选：C．
【点睛】本题主要考查不等式得性质，应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
4．B
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB＝EA＝5，结合图形计算，得到答案．
【详解】解：∵DE是AB的垂直平分线，AE＝5，
∴EB＝EA＝5，
∴BC＝EB＋EC＝5＋2＝7，
故选：B．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
5．A
【分析】据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题．
【详解】解：∵当c＝﹣1时，﹣a＜﹣b，
∴c＝﹣1是“若a＞b，则ac≥bc”是假命题的反例．
故选：A．
【点睛】此题考查的是命题与定理，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可这是数学中常用的一种方法．
6．D
【分析】根据相交的定义，垂线的性质，平行线的性质，点到直线的距离的定义对各小题分析判断即可得解．
【详解】解：（1）互相垂直的两条线段不一定相交，故原命题是假命题，不符合题意；
（2）在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，故原命题是假命题，不符合题意；
（3）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故原命题是假命题，不符合题意；
（4）从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，故原命题是假命题，不符合题意；
综上所述，真命题的个数是0．
故选：D．
【点睛】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
7．B
【分析】利用题中的新定义得到不等式组，然后解不等式组，根据不等式组有3个整数解，确定出m的范围即可．
【详解】解：根据题中的新定义得到不等式组：
，
解不等式①得：x＜2，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集是≤x＜2，
∵不等式组有3个整数解，即整数解为﹣1，0，1，
∴﹣2＜≤﹣1，
解得：﹣8＜m≤﹣5．
故选：B．
【点睛】此题考查了新定义下的实数运算、解一元一次不等式组、求一元一次不等式组的整数解等知识，弄清题中的新定义是解本题的关键．
8．D
【分析】根据k+b=-2022＜0，kb=2021＞0，可得k＜0，b＜0，从而可确定直线y=kx+b的图象经过的象限．
【详解】解：∵k+b＜0，kb＞0，
∴k＜0，b＜0，
∴y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，
故选D．
【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系，明确k、b的正负不同，函数图象相应的在哪几个象限是解题的关键．
9．B
【分析】先求出两种方法各自的速度，再将速度作差即可得出所求．
【详解】骑自行车的速度为：
步行速度为：
骑自行车比步行每小时快出的路程：．
故选B
【点睛】本题考查代数式计算的应用，掌握速度、时间、路程之间的关系是解题关键．
10．B
【分析】首先设①号的长和宽，再根据题意表示⑤号的边长，进而得出②号和③号的边长，然后表示出面积，最后比较各图形的面积与大长方形面积可得答案．
【详解】设①号的长为a，宽为b，①和④的面积为ab；
由题意可知⑤号的边长为a+b，面积为(a+b)2；
②号的长为a+b，宽为a，面积为a(a+b)；
③号的长为2a+b，宽为a-b，面积为(2a+b)(a-b)；
大长方形的长为2(a+b)，宽为2a，面积为4a(a+b)．
又因为4a(a+b)已知，所以a(a+b)可求．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了列代数式，根据各图形之间的关系表示出面积是解题的关键．
11．不稳定
【分析】根据平行四边形的性质判断即可；
【详解】活动衣架可以伸缩自如，是利用了平行四边形的不稳定性；
故答案是：不稳定．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的不稳定性，准确分析判断是解题的关键．
12．(0，2)或(0，－4)/ (0，－4)或(0，2)
【分析】根据在y轴上找一点P．使ABP和ABC全等，分两种情况点P在y轴正半轴上，ABP≌BAC，可得AP=BC，即m+1=2+1，点P在y轴负半轴时，P与点（0，2）关于y=-1对称即可求解，
【详解】解：设点P的坐标为（0，m），
在y轴上找一点P．使ABP和ABC全等，
点P在y轴正半轴上，ABP≌BAC，
∴AP=BC，即m+1=2+1，
∴m=2，
点P（0，2），
点P在y轴负半轴时，P与点（0，2）关于y=-1对称，
∴2+1=-1-m
∴m=-4
P（0，-4）．
点P的坐标为（0，2）或（0，-4）．
故答案为（0，2）或（0，-4）．
【点睛】本题考查图形与坐标，三角形全等的性质，两点间距离，掌握图形与坐标特征，三角形全等的性质，两点间距离运用是解题关键．
13．＜
【分析】根据两函数图象及交点坐标，即可解答．
【详解】解：正比例函数和一次函数的图象相交于点，
由图象可知：当时，，
故答案为：＜．
【点睛】本题考查了利用函数图象比较函数值的大小，采用数形结合的思想是解决此类题的关键．
14．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线长度等于斜边长度的一半即可作答．
【详解】∵中，斜边，设为斜边中线，
∴，
∴，即斜边的中线为，
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查直角三角形的相关性质，关键在于熟练运用直角三角形斜边上的中线的性质，认真的进行计算．
15．31.5
【分析】过A1作A1A⊥OB1于A，过A2作A2B⊥A1B2于B，过A3作A3C⊥A2B3于C，根据等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，分别求得A1的横坐标为，，A2的横坐标为， A3的横坐标为，进而得到An的横坐标为，据此可得点A6的横坐标．
【详解】解：如图所示,过A1作A1A⊥OB1于A,则OA=OB1=，
即A1的横坐标为=，
∵°，
∴∠OB1D=30°，
∵A1B2//x轴，
∴∠A1B2B1=∠OB1D=30°，∠B2A1B1=∠A1B1O=60°，
∴∠A1B1B2=90°，
∴A1B2=2A1B1=2，
过A2作A2B⊥A1B2于B,则A1B=A1B2=1，
即A2的横坐标为+1=，
过A3作A3C⊥A2B3于C，
同理可得,A2B3=2A2B2=4,A2C=A2B3=2，
即A3的横坐标为+1+2=，
同理可得,A4的横坐标为+1+2+4=，
由此可得,An的横坐标为，
∴点A6的横坐标是，
故答案为．
【点睛】本题是一道找规律问题，涉及到等边三角形的性质、含30度角的直角三角形，解题的关键要利用等边三角形的性质总结出关于点A的系列点的规律．
16．①④
【分析】根据折叠的性质得到∠D＝∠A，∠D＝∠PBA，等量代换得到∠PBA＝∠A，求得BP∥AC；故①正确；假设△PBC≌△PMC，根据全等三角形的性质得到BC＝CM，由直角三角形的性质得到BM＝CM，于是得到△PBC与△PMC不一定全等；故②错误；假设PC⊥BM，得到∠BCP＝∠A由直角三角形的性质得到AM＝CM，得到∠A＝∠ACM，推出∠A不一定等于30°，得到PC不一定垂直于BM；故③错误；根据等腰三角形的性质得到CM＝DM，得到∠D＝∠PBA，根据三角形的内角和得到∠BPC＝∠BMC，故④正确．
【详解】解：∵将△ACM沿CM翻折，得到△DCM，
∴∠D＝∠A，
∵再将△DMP沿MP翻折，使得D与B重合
∴∠D＝∠PBA，
∴∠PBA＝∠A，
∴BP∥AC；故①正确；
假设△PBC≌△PMC，
BC＝CM，
∵在△ABC中，∠C＝90°，M为AB中点，
∴BM＝CM，
∴BC＝BM＝CM，
∴∠B＝60°，
而∠B不一定等于60°，
∴△PBC与△PMC不一定全等；故②错误；
假设PC⊥BM，则∠BCP＝∠A，
∵在△ABC中，∠C＝90°，M为AB中点，
∴AM＝CM，
∴∠A＝∠ACM，
∵∠ACM＝∠DCM，
∴∠BCP＝∠DCM＝∠ACM＝30°，
∴∠A＝30°，
而∠A不一定等于30°，
∴PC不一定垂直于BM；故③错误；
∵CM＝AM，
∴CM＝DM，
∴∠D＝∠DCM，
∵∠D＝∠PBA，
∵∠1＝∠2，
∴∠BPC＝∠BMC，故④正确．
故答案为：①④．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断，掌握直角三角形的性质、全等三角形的判定定理、翻转变换的性质是解题的关键．
17．（1）； （2）不等式组无解，画图见解析．
【分析】（1）①-②求出，把代入①求出即可；
（2）先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可．
【详解】（1），
由①-②得：，
，
，
把代入①得：，
∴方程组的解为．
（2），
由①得：，
，
由②得：，
，
∴不等式组无解．
表示在数轴上为
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解（1）的关键，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．
18．(1)见解析．
(2)，理由见解析．
【分析】（1）先求得，根据可求得，进而可求得答案．
（2）根据（1）的结论可知，，结合即可求得答案．
【详解】（1）∵，，
∴．
∵，
∴．
在和中
∴．
（2）∵，
∴，．
∴．
∴．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质，牢记全等三角形的判定方法（两角分别相等且其中一组等角的对边也相等的两个三角形全等）是解题的关键．
19．(1)详见解析;(2)详见解析;(3)40
【分析】（1）依据BC为等腰三角形的底边，AB的长为5，即可得到点C的位置，进而得出钝角等腰三角形ABC；
（2）依据△ABC绕点C逆时针旋转90°，即可得到△DEC；
（3）连接BE，运用割补法即可得出△BCE的面积．
【详解】（1）如图所示，等腰三角形ABC即为所求；
（2）如图所示，△DEC即为所求；
（3）如图，连接BE，△BCE的面积为8×12-×4×8×2- ×4×12=96-32-24=40．
【点睛】此题考查作图-旋转，等腰三角形的性质，解题关键在于根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
20．（1），，；（2）①2，4，2；②或．
【分析】（1）由正方形面积求出边长再求出A、B点坐标，又由长方形面积求出长再求出D点坐标．
（2）①AA′=1 时，面积为图2阴影部分；AA′=3 时，面积为正方形面积；AA′=5时正方形一半在长方形内，一半在长方形外．
②S=1时注意有两种情况：正方形刚进入长方形的时候和正方形快要走出长方形的时候．
【详解】解：（1）正方形面积为4
∴AB=AO= 2
∴，
∴，
长方形面积为8，AO=2
∴AD=8÷2=4
∴
（2）①AA′=1 时，面积为图2阴影部分，S=AA′×AO=1×2=2
AA′=3 时，面积如下图，S=AB′×AO=2×2=4
AA′=5时，面积如下图，S=B'D×BC=1×2=2
②正方形刚进入长方形时，可参照图2，阴影部分是AA'O'O，该部分面积=AA'×AO=AA'×2=1
∴AA'=1÷2=
正方形快要走出长方形时，可参照下图，阴影部分是B'DEC，该部分面积=B'D×B'C=B'D×2=1
∴B'D=1÷2=
∴A'D=2-=
∴AA'=4+=
故答案为AA′=或AA′=
【点睛】本题考查图形的平移和坐标的知识，准确识图，结合图形灵活运用相关知识是解题的关键．
21．（1）购进A品牌文具袋的单价为8元，B品牌文具袋的单价为16元；（2）①w＝﹣3x+700；②购进A品牌文具袋34个，B品牌文具袋66个时，可以获得最大利润，最大利润是598元．
【分析】（1）根据购进品牌文具袋和品牌文具袋各5个共花费120元，购进品牌文具袋3个和品牌文具袋4个共花费88元，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得购进品牌文具袋和品牌文具袋的单价；
（2）①根据题意，可以写出关于的函数关系式；
②根据所获利润不低于进货价格的，可以得到，从而可以求得的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可解答本题．
【详解】解：（1）设购进A品牌文具袋的单价为x元，B品牌文具袋的单价为y元，
由题意得：，得，
答：购进A品牌文具袋的单价为8元，B品牌文具袋的单价为16元；
（2）①由题意可得，w＝（12﹣8）x+（23﹣16）（100﹣x）＝﹣3x+700，
即w关于x的函数关系式为w＝﹣3x+700；
②∵所获利润不低于进货价格的45%，
∴﹣3x+700≥[8x+16（100﹣x）]×45%，
解得：，
∵x为整数，w＝﹣3x+700，
∴当x＝34时，w取得最大值，此时w＝598，100﹣x＝66，
答：购进A品牌文具袋34个，B品牌文具袋66个时，可以获得最大利润，最大利润是598元．
【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
22．（1）见解析；（2）；（3）的值不变化，为，理由见解析.
【分析】（1）由题意可知和的度数，根据即可证得；
（2）设，由角平分线定义得，从而可得，又由角平分线的定义可得，因，联立可得，再根据即可得；
（3）设运动时间为t秒，则，将和用t表示出来，然后作比值即可得答案.
【详解】（1）由题意得，
；
（2）设
则
由角平分线的定义得
又
，即
；
（3）的值不变化，为，理由如下：
设运动时间为t秒，则
.
【点睛】本题考查了角的和差、角平分线的定义、图形的旋转，掌握角平分线的定义和图形旋转的性质是解题关键.
23．(1)C（-4，-1）
(2)不变；，理由见解析
(3)，，，
【分析】（1）先求出A，B两点坐标，再作CH⊥y轴于点H，求出△AOB≌△BHC，求出CH和OH的长度，即可得答案；
（2）由（1）可知当m值变化时，始终都有△AOB≌△BHC，根据三角形面积公式即可得答案；
（3）设A为4m，由S△AOB=2S△BOC，求出m的值，得出OA和AB的值，然后分3种情况讨论，AP=AB，BP=AB，PA=PB，即可得答案．
【详解】（1）
解：如上图：作CH⊥y轴于点H，
当时，，
∵x=0时，y=4；y=0时，x=5；
∴A(5，0)，B（0，4），
∵CH⊥y轴于点H，
∴∠AOB=∠BHC=∠ABC=90°，
∵∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°
∴∠1=∠3
又∵AB=BC
∴△AOB≌△BHC，
∴BH=OA=5，CH=BO=4，OH=5-4=1，
∴C(-4，-1)；
（2）当m值变化时，△BOC的面积不变，
因为始终都有△AOB≌△BHC，CH=BO=4
；
（3）设A（4m，0），
∵，A(4m，0)，B（0，4），
又∵S△AOB=2S△BOC时，，
∴m=2，OA=8，，
由上图可知：
当时，
在A的右侧，=+8，在A的左侧，=，
∴，0），，0）；
当时，，0）；
当时，作AB中垂线交x轴于P4，设P4（w，0）
由距离公式：

16w=48
w=3
∴（3，0）．
【点睛】此题考查了一次函数的性质、三角形全等的判定与性质、一次函数与三角形面积的结合、等腰三角形的判定，解题的关键是等腰三角形的分类讨论．