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2024年广东省梅州市大埔县进光中学中考一模数学试题(原卷版+解析版)
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1. 今年是共建“一带一路”倡议提出周年,也是构建人类命运共同体理念提出周年.年到年,中国与“一带一路”共建国家的累计双向投资超过亿美元.亿用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法,把一个绝对值大于的数记作 的形式,其中 是整数位数只有一位的数,是正整数.,这种记数方法叫做科学记数法,用科学记数法表示一个绝对值大于的数时,的指数比原数的整数位数少.
【详解】解:亿
故选:B
2. 京剧是我国的国粹,是介绍、传播中国传统艺术文化的重要媒介,在下面的四个京剧脸中,不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.
【详解】解:A.不是轴对称图形,故本选项符合题意;
B.轴对称图形,故本选项不符合题意;
C.是轴对称图形,故本选项不符合题意;
D.是轴对称图形,故本选项不符合题意.
故选A.
【点睛】本题考查了轴对称图形的定义,熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键.如果一个图形沿着一条直线对折后两部分能够完全重合,那么这个图形就叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴.
3. 下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用合并同类项、零指数幂、算术平方根、幂的乘方逐项判断即可解答.
【详解】解:A.,故A不符合题意;
B.,故B不符合题意;
C.,故C不符合题意;
D.,故D符合题意.
故选:D.
【点睛】本题主要考查了合并同类项、零指数幂、算术平方根、幂的乘方等知识点,灵活运用相关运算法则是解答本题的关键.
4. 下列方程为一元二次方程的是()
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程的定义,解题关键是熟记一元二次方程的定义:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程.根据一元二次方程的定义逐项判断即可.
【详解】A、,有两个未知数,未知数的最高次数是1,是二元一次方程,故不符合题意;
B、,有两个未知数,未知数的最高次数是2,是二元二次方程,故不符合题意;
C、,有一个未知数,未知数的最高次数是2,是一元二次方程,故符合题意;
D、,化简得:,有一个未知数,未知数的最高次数是1,是一元一次方程,故不符合题意.
故选∶C.
5. 下表是某校女子乒乓球队12名队员的年龄统计情况:
关于这12名队员的年龄的说法正确的是( )
A. 中位数是14岁B. 中位数是15岁C. 众数是14岁D. 众数是5岁
【答案】C
【解析】
【分析】求出中位数和众数进行判断即可.
【详解】解:共12个数据,排序后,第6个数据和第7个数据分别为:,
∴中位数为,
出现次数最多的数据是,
∴众数为14;
故选C.
【点睛】本题考查中位数和众数.熟练掌握中位数和众数的确定方法,是解题的关键.
6. 已知方格纸中线段、线段和线段,如图所示.下列四位同学的观察结论正确的有( )
甲同学:.乙同学:和互余.
丙同学:线段的长为点到直线的距离.
丁同学:直线与直线互相垂直.
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考勾股定理与网格问题,勾股定理逆定理,连接,根据网格特点,结合勾股定理,勾股定理逆定理,点到直线的距离,以及平行线的性质,进行判断即可.
【详解】解:连接,
由图可知:,故甲同学说法正确;
由勾股定理,得:,
,
∴,
∴不是直角三角形,是直角三角形,
∴和不是互余关系,故乙同学说法错误,
∴,
∴线段的长为点到直线的距离;故丙同学说法正确;
∵,
∴,
∴直线与直线互相垂直;故丁同学说法正确;
∴结论正确的有3个.
故选C.
7. 要使二次根式有意义,则的值不可以取( )
A. 5B. 4C. 3D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数进行解答即可.
【详解】解:二次根式有意义,
,
解得:,
故选:D.
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件,掌握二次根式的被开方数为非负数是解题关键.
8. 如图,菱形的顶点B,C,D在上,且与相切,若的半径为1,则菱形的周长为( )
A. B. C. 6D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了切线的判定,切线长定理,菱形的性质,勾股定理,圆周角定理.先证明,求得,证明与相切,利用圆周角定理结合四边形内角和定理求得,据此求解即可.
【详解】解:连接、,
是菱形,
,
,,
,
,
与相切,
,
,
即,点在上,
与相切.
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴菱形的周长为,
故选:B.
9. 如图,E、F分别是正方形的边,上的点,且,,相交于点,下列结论:①;②;③;④中,正确的结论有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,证明是解题的关键.
根据四边形是正方形及,可证出,则得到:①;可判断④;可以证出,则②一定成立;用反证法可证明,即可判断③.
【详解】解:四边形是正方形,
,,
,
,
在和中,
,
,
(故①正确);
∴
∵四边形正方形,
∴
∴(故④正确);
∴
∵四边形是正方形,
∴
,
,
∴
一定成立(故②正确);
假设,
,
(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等),
在中,,
,这与正方形的边长相矛盾,
假设不成立,(故③错误);
∴正确的有①②④共3个正确,
故选:C.
10. 已知二次函数y=a(x+1)2+b(a<0)有最大值1,则b的大小为( )
A. ﹣1B. 1C. 0D. 不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的性质,由最大值求出b即可.
【详解】解:∵二次函数y=a(x+1)2+b(a<0),
∴抛物线开口向下,
又∵最大值为1,即b=1,
∴b=1.
故选:B.
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象性质,准确分析判断是解题的关键.
二.填空题(共5小题,满分15分,每小题3分)
11. 分解因式: ______________.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了综合提公因式法与公式法进行因式分解.熟练掌握综合提公因式法与公式法进行因式分解是解题的关键.
综合提公因式法与公式法进行因式分解即可.
【详解】解:由题意知,,
故答案为:.
12. 投掷一枚质地均匀的正方体骰子,向上一面的点数是6的概率是 __________________.
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了概率公式的应用.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.根据概率公式直接求解即可.
【详解】解:投掷一枚质地均匀的正方体骰子共有6种等可能结果,其中向上一面的点数是6的只有1种结果,
所以向上一面的点数是6的概率为.
故答案为:.
13. 如图,在中,E是边上的点,连接交于点F,若,则的值是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质,三角形相似的性质,计算即可.
【详解】∵,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
故答案为:.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质,三角形相似的性质,熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.
14. 如图,在平面直角坐标系中,函数 与反比例函数交于A、B两点, 点C在x轴上, 且, 若则k的值= ____________.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查反比例函数与一次函数交点坐标,反比例函数系数k的几何意义,等腰三角形的性质,作轴于点D,由等腰三角形的性质可得,进而求出k的值.
【详解】解:如图,过点A作于点D,
∵,
∴,
∵函数 与反比例函数交于A、B两点,
∴A、B关于原点对称,
∴,
∵,
∴,
∴,
又∵该反比例函数图象在第二、四象限,即,
∴,
故答案为:.
15. 如图,在正方形中,点E在边上,,点P、Q分别是直线上的两个动点,将沿翻折,使点A落在点F处,连接,若正方形的边长是6,则的最小值是________.
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了翻折变换、正方形的性质、勾股定理等知识,解题的关键是利用轴对称,根据两点之间线段最短解决最短问题.
作点D关于的对称点,连接,由轴对称可知,,,又,即可推出当共线时,定值最小,最小值为.
【详解】解:如图,作点D关于的对称点,连接,
在中,
∵,,
∴,
由轴对称可知,,
∴,
∵,
当共线时,定值最小,最小值为,
∴的最小值是,
故答案为:
三.解答题(共8小题,满分75分)
16. 计算:.
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了实数混合运算,掌握负整指数幂,化简绝对值,零次幂,特殊角的锐角三角函数值是解题的关键.
【详解】解:
.
17. 解不等式组:
【答案】.
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式组,分别求出不等式的解集,解题的关键是熟练掌握一元一次不等式组的解法.
【详解】解:,
解不等式得,,
解不等式得,,
∴不等式组的解为:.
18. 脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活.如图①是政府给贫困户新建的房屋,如图②是房屋的侧面示意图,它是一个轴对称图形,对称轴是房屋的高所在的直线,为了测量房屋的高度,在地面上点测得屋顶的仰角为,此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线,继续向房屋方向走到达点时,又测得屋檐点的仰角为房屋的顶层横梁,,交于点(点,,在同一水平线上).(参考数据:,,,,,)
(1)求屋顶到横梁的距离;
(2)求房屋的高(结果精确到).
【答案】(1)米
(2)米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用;
(1)根据轴对称的性质可得,,再利用平行线的性质可求出的度数,然后在中,利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答;
(2)过点作,垂足为,根据题意可得,先设设,在中,利用锐角三角函数定义表示出的长,从而在中,利用锐角三角函数的定义表示出,根据列出关于的方程,进行计算即可解答.
【小问1详解】
解:房屋的侧面示意图,它是一个轴对称图形,对称轴是房屋的高所在的直线,,
,,,
在中,,,
,,
米;
答:屋顶到横梁的距离约为米;
【小问2详解】
过作于,
设,
在中,,,
,
=,
在中,,,
,
=,
米,
,
解得:(米),
(米),
答:房屋的高约为米.
19. 党的二十大报告再次将劳动教育同“德育、智育、体育、美育”放在同等重要的战略地位,明确了全面加强新时代大中小学劳动教育的重要性为落实劳动教育,某校在寒假期间组织学生进行“为家献爱心”活动活动设置了四个爱心项目:A.为家人做早饭,B.洗碗,C.打扫家,D.洗衣服.要求每个学生必须且只能选择一项参加,并且要坚持整个寒假,为了了解全校参加各项目的学生人数,学校随机抽取了部分学生进行调查,根据调查结果,绘制了两幅不完整的统计图,请根据所给信息,解答下列问题:
(1)本次接受抽样调查的总人数是 人;
(2)请将上述两个统计图中缺失的部分补充完整;
(3)该校参加活动的学生共2600人,请估计该校参加A项目的学生有 人;
(4)小雯同学在整个寒假中每天都能坚持洗碗,养成了很好的劳动习惯,妈妈奖励带她去看两场电影,小雯听说春节期间新上映的四部电影《流浪地球2》《满江红》《无名》《熊出没之伴我熊芯》(依次记为a,b,c,d)都深受大家喜爱,很难做出决定,于是将写有这四个编号的卡片(除序号和内容外,其余完全相同)背面朝上放置,洗匀放好,从中随机抽取两张卡片.请用列表或画树状图的方法,求抽到的两张卡片恰好是“a《流浪地球2》”和“b《满江红》”的概率.
【答案】(1)120 (2)见解析
(3)390 (4)
【解析】
【分析】(1)用B组或D组的人数除以它们所占的百分比即可;
(2)先求出C组人数和A组所占百分比,再补全统计图即可;
(3)将A组所占百分比乘以参加活动学生总数即可;
(4)用列表法或树状图法列举出所有等可能的结果,从中找出两张卡片恰好是“a《流浪地球2》”和“b《满江红》”的结果数,再利用等可能事件的概率公式求出即可.
【小问1详解】
∵B组45人,占百分比为37.5%,
∴接受抽样调查的总人数是:(人),
故答案为:120;
【小问2详解】
C组人数为:(人),
A组人数所占百分比为:,
补全统计图如下:
【小问3详解】
∵(人),
∴估计该校参加A项目的学生有390人,
故答案为:390;
【小问4详解】
画树状图如下:
一共有12种等可能的结果,抽到的两张卡片恰好是“a《流浪地球2》”和“b《满江红》”的有2种可能的结果,
∴P(两张卡片恰好是“a《流浪地球2》”和“b《满江红》”).
【点睛】本题考查条形统计图,扇形统计图,用样本估计总体,列表法和树状图法求等可能事件的概率,掌握相关统计图的意义和列表法和树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键.
20. 实验学校为推进“数学文化智慧阅读”活动,采购了一批图书其中《九章算术》的单价比《几何原本》的单价低16元,用9600元购进《九章算术》的数量是用4800元购进《几何原本》的数量的3倍.
(1)求《九章算术》和《几何原本》单价分别是多少元?
(2)该校打算购进这两种书共300本,且《九章算术》的数量不超过《几何原本》的数量的2倍,求购进这两种书各多少本时,花费最少?
【答案】(1)《九章算术》的单价为32元,《几何原本》的单价为48元;(2)购进《九章算术》有200本,购进《几何原本》有100本时,花费最少.
【解析】
【分析】(1)设《九章算术》的单价为x元,《几何原本》的单价为(x+16)元,然后根据题意可得,然后求解即可;
(2)设购进《九章算术》有m本,则购进《几何原本》有(300-m)本,购进两种书共花费w元,由题意易得,,进而结合一次函数的性质进行求解即可.
【详解】解:(1)设《九章算术》的单价为x元,《几何原本》的单价为(x+16)元,由题意得:
,
解得:,
经检验:x=32是原方程的解;
答:《九章算术》的单价为32元,《几何原本》的单价为48元.
(2)设购进《九章算术》有m本,则购进《几何原本》有(300-m)本,购进两种书共花费w元,由题意得:
,解得:,
∴,
∵,
∴w随m的增大而减小,
∴当时,所需费用最少,
答:购进《九章算术》有200本,购进《几何原本》有100本时,花费最少.
【点睛】本题主要考查一元一次不等式及一次函数的应用,熟练掌握一元一次不等式及一次函数的应用是解题的关键.
21. 如图,是一个的矩形网格图,网线的交点叫做格点,点A、B是格点.记过A、B的直线为,过点A的双曲线为,直线l、双曲线L、x轴三者所围形如“”的区域为G.
(1)在如图所示直角坐标系中,点A的坐标为,点B的坐标为.
①求直线l的表达式;
②直接写出双曲线L的表达式;
③直接写出此时区域G内部格点的个数.
(2)嘉琪平移了(1)中一条坐标轴,在平移后的新坐标系中直线l变成了正比例函数,请你说出嘉琪是怎样平移的?并直接写出平移后双曲线L的表达式.
(3)如果把(1)中的坐标轴平移后,区域G内部格点的个数正好是8个,记平移的距离是S.请你直接写出所有的平移情况,及S的值或取值范围.
【答案】(1)①;②;③1个
(2)把x轴向上平移了一个单位,平移后双曲线L的表达式为,或者把y轴向左平移了一个单位,平移后双曲线L的表达式为
(3)见解析
【解析】
【分析】本题主要考查反比例函数的图象和性质,反比例函数图象上点的坐标特征,关键是能结合函数图象分析解决问题.
(1)①②把点A、B的坐标分别代入一次函数及反比例函数表达式,即可求出相应的函数表达式,③结合图形可以直接写出区域G内部格点的个数;
(2)因为正比例函数的图象经过原点,可确定新的坐标,从而写出平移后的双曲线工的表达式;
(3)根据“”的区域G内格点的个数,数形结合分析所有情况,综合解决.
【小问1详解】
①把 A、B 的坐标代入得:
,
解得:,
∴直线 l 的表达式为:;
②把代入,得,
∴双曲线L的表达式为:;
③直线l、双曲线L、x轴三者所围形如图所示:
区域G内部只有1个格点.
【小问2详解】
∵k>0,
∴嘉琪只能是:把x轴向上平移了一个单位,平移后双曲线L的表达式为,
或者把y轴向左平移了一个单位,平移后双曲线L的表达式为.
【小问3详解】
因为,所以共有以下几种情况:
①把x轴向下平移2个单位长度,即平移的距离满足:时,区域G内部格点的个数正好是8个;
②把y轴向左平移大于6小于等于7时个单位长,平移的距离满足:时,区域G内部格点的个数正好是8个;
③先把x轴向下平移1个单位(即x轴的平移距离为)后固定不动,再把y轴向左平移超过1个单位长但不超过1.5个单位长,即y轴向左平移的距离S满足:.
22. 如图1,是的弦,是直径,且,垂足为.
(1)求证:.
(2)如图2,是射线上一点,连接,且,,,求证:直线是的切线.
【答案】(1)见解析 (2)见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质,勾股定理,垂径定理,解题的关键是灵活运用这些性质.
(1)连接、,结合条件和垂径定理可证明,利用相似三角形的性质可证得;
(2)连接,根据题意可得,,根据勾股定理可得,根据,可得,从而得到,,根据,
最后根据即可得证.
【小问1详解】
证明:如图,连接、,
是直径,且,
,
,
,
,
,
即;
【小问2详解】
证明:连接,
,,,
,,
,
,
,
即,
,
,
,
,
,
,
,
直线是的切线.
23. 如图,抛物线与轴交于A、B两点,与轴交于点C,抛物线的对称轴交轴于点D,已知点A的坐标为(-1,0),点C的坐标为(0,2).
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PCD是以CD为腰的等腰三角形?如果存在,请直接写出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=﹣x2+x+2;(2)存在,点P坐标为(,4)或(,)或(,﹣).
【解析】
【分析】(1)根据点,利用待定系数法求解即可得;
(2)根据等腰三角形的定义,分和,再分别利用两点之间的距离公式求出点P坐标即可.
【详解】(1)将点代入抛物线的解析式得
解得
故二次函数的解析式为;
(2)存在,求解过程如下:
由二次函数的解析式可知,其对称轴为
则点D的坐标为,可设点P坐标为
由勾股定理得,
由等腰三角形的定义,分以下2种情况:
①当时,则
解得或(不符题意,舍去),因此,点P坐标为
②当时,
解得,因此,点P坐标为或
综上,存在满足条件的点P,点P坐标为或或.
【点睛】本题考查了利用待定系数法求函数的解析式、二次函数的几何应用、等腰三角形的定义等知识点,较难的是(2),依据等腰三角形的定义,正确分两种情况讨论是解题关键.年龄/岁
13
14
15
16
人数/名
1
5
4
2
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