2024年广东省梅州市梅县区部分学校中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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1. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，若cs∠A＝，则BC的长为( )
A. 8B. 12C. 13D. 18
【答案】B
【解析】
【分析】先根据cs∠A＝，求出AB的值，再利用勾股定理即可求出BC的长.
【详解】cs∠A=＝，
∴AB=13，
∴BC=.
故选B.
【点睛】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键.在Rt△ABC中， ， ，.
2. 在△ABC中，∠C＝90°，AB＝，BC＝，则∠A的度数为( )
A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°
【答案】B
【解析】
【分析】在△ABC中，要求∠A的大小，只要求出∠A的三角函数值即可.
【详解】∵在△ABC中，AB为斜边，，
∴∠A=45°.
故选B.
【点睛】本题考查的知识点是特殊角的三角函数值，锐角三角函数的定义，解题关键是利用三角函数值推出角的度数.
3. 将抛物线向左平移3个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据左加右减，上加下减的平移规律求解即可．熟记二次函数图象的平移规律是解题的关键．
【详解】解：将抛物线向左平移3个单位，再向下平移5个单位，
故选：B．
4. △ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA＝，csB＝，则△ABC的形状是（ ）
A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 锐角三角形D. 锐角三角形或钝角三角形
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出∠A，∠B的度数，进而得出答案．
【详解】∵sinA＝，csB，
∴∠A＝45°，∠B＝60°，
∴∠C＝75°，
∴△ABC的形状是锐角三角形．
故选C．
【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
5. 在同一直角坐标系中，函数与（都不为0）的图象的相对位置可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象，解题的关键是要熟练掌握一次函数，二次函数的图象与系数的关系；
根据一次函数图象和二次函数图象性质，再根据每一选项中、的符号是否相符，逐一判断．
【详解】解：A、由抛物线可知，，由直线可知，,,故本选项正确，符合题意；
B、由抛物线可知，由直线可知，相矛盾，故本选项错误，不符合题意，
C、由抛物线可知，，，由直线可知，，，相矛盾，故本选项错误，不符合题意，
D、由抛物线可知，，，由直线可知，，，相矛盾，故本选项错误，不符合题意，
故选：A．
6. 对于抛物线，下列说法中错误的是( )
A. 对称轴是直线B. 顶点坐标是
C. 当时，随的增大而减小D. 当时，函数y的最小值为
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的性质逐项分析判断即可求解．
【详解】解：对于抛物线，抛物线开口向下，
A. 对称轴是直线，故该选项正确，不符合题意；
B. 顶点坐标是，故该选项正确，不符合题意；
C. 当时，随的增大而减小，故该选项正确，不符合题意；
D. 当时，函数y的最大值为，故该选项不正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
7. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（米）与运动时间t（秒）之间的关系式是h＝30t﹣5t2（0≤t≤6），则小球最高时，运动的时间是（ ）
A. 1秒B. 2秒C. 3秒D. 4秒
【答案】C
【解析】
【分析】首先理解题意，先把实际问题转化成数学问题后，知道解此题就是求出h＝30t﹣5t2的顶点坐标即可．
【详解】解：h＝30t﹣5t2＝﹣5（t﹣3）2+45，
∵﹣5＜0，0≤t≤6，
∴当t＝3时，h有最大值，最大值为45，
∴小球运动3秒时，小球最高，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的应用．解此题的关键是把实际问题转化成数学问题，掌握二次函数的性质．
8. 若一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0），则抛物线y=ax2+bx的对称轴为【 】
A. 直线x=1B. 直线x=﹣2C. 直线x=﹣1D. 直线x=﹣4
【答案】C
【解析】
【详解】∵一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0），
∴﹣2a+b=0，即b=2a．
∴抛物线y=ax2+bx的对称轴为直线．
故选C．
9. 已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④当时，随的增大而增大．其中正确的有（ ）
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据图象上点的坐标特征以及二次函数的性质即可判断．
【详解】解：根据题意得：当时，，故①错误；
∵对称轴为直线，抛物线开口向下，
∴，，
∴，
根据题意得：抛物线过点（-1，0），
∴当时，，
∴，故②正确；
∵抛物线与y轴于正半轴，
∴c>0，
∵，
∴，
∴，故③正确；
∵抛物线开口向下，且对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而增大，故④错误，
所以正确的有②③，共2个．
故选：C
10. 如图，抛物线m：y＝ax2+b（a0，b0）与x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为C1，与x轴的另一个交点为A1．若四边形AC1A1C为矩形，则a，b应满足的关系式为（ ）
A. ab＝﹣2B. ab＝﹣3C. ab＝﹣4D. ab＝﹣5
【答案】B
【解析】
【分析】利用矩形性质得出要使平行四边形是矩形,必须满足AB=BC,继而可求出a、b满足的关系．
【详解】解：令x＝0，得：y＝b．
∴C（0，b）．
令y＝0，得：ax2+b＝0，
∵，
∴x＝±，
∴A（﹣，0），B（，0），
∴AB＝2，BC＝,
要使平行四边形AC1A1C矩形，必须满足AB＝BC，
∴,
∴，
∴ab＝﹣3,
∴a，b应满足关系式ab＝﹣3,
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数、平行四边形的性质，灵活利用平行四边形的性质是解题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11. 在中，，若，则_____．
【答案】##0.75
【解析】
【分析】根据一个角的余弦等于它余角的正弦，可得答案．
【详解】解：如图，，．
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查三角函数的定义．由定义推出互余两角的三角函数的关系：若，则是解题关键．
12. 抛物线的顶点坐标是_________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了二次函数性质，二次函数的顶点坐标为，先化为顶点式，再根据顶点式的坐标特点，直接写出答案．
【详解】解：，
抛物线的顶点坐标是．
故答案为：．
13. 已知一条抛物线的形状、开口方向均与抛物线相同，且它的顶点坐标为，则这条抛物线的解析式为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，先设顶点式，然后根据二次函数的性质确定a的值即可，根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式是解决此题的关键．
【详解】∵抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线解析式可设为，
∵抛物线的形状、开口方向均与抛物线相同，
∴，
∴所求抛物线的解析式为．
故答案为：．
14. 1.若二次函数的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据抛物线与轴有两个交点，求出的取值范围，即可求出的取值范围．
【详解】解：根据题意得，，
解得：；
故答案为：．
【点睛】此题考查了抛物线与轴的交点问题，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．
15. 已知抛物线，经过四点，则与的大小关系是_____（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【答案】＜
【解析】
【分析】本题考查二次函数对称性，比较二次函数的函数值大小，根据对称性求出抛物线的对称轴，再根据二次函数的性质，比较函数值大小即可．解题的关键是确定对称轴．
【详解】解：由抛物线经过知抛物线对称轴为直线，且，
∴抛物线上的点离对称轴距离越小，对应函数值越大，
∵，
∴，
故答案为：＜．
16. 如图，在中，，，于点，，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，设BD＝5x，AB＝13x，根据勾股定理得到AD＝＝12x，求得BC＝2BD＝10x，根据相似三角形的性质得到BE＝x，CE＝x，于是得到结论．
【详解】∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90，
∵csB＝，
设BD＝5x，AB＝13x，
∴AD＝＝12x，
∴BC＝2BD＝10x，
∵CE⊥AB，
∴∠BEC＝90，
∵∠B＝∠B，
∴△ABD∽△CBE，
∴，
∴，
∴BE＝x，CE＝x，
∴＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了绝对值的性质和特殊角的三角函数值．先利用特殊角的三角函数值代入计算，再计算加减即可解答．
【详解】解：
．
18. 如图，在中，，，；求的长．

【答案】
【解析】
【分析】如图所示，过点C作于D，先解得到，再解得到，则由勾股定理得到．
【详解】解：如图所示，过点C作于D，
在中，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
19. 如图，抛物线交x轴于A，B两点，顶点是C．

（1）求点A，C的坐标．
（2）若点P在抛物线上，且，求点P的坐标．
【答案】（1），；
（2）或或或
【解析】
【分析】（1）把代入可得C的坐标，把代入可得A，B的坐标；
（2）先求解，设，可得，再解方程即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线交x轴于A，B两点，顶点是C．
∴当时，，即，
当时，，
解得：，
∴，；
【小问2详解】
∵，；
∴，
设，
∴，
∴，
∴或，
∴或，
解得：，，
∴或或或．
【点睛】本题考查的是求解二次函数与坐标轴的交点坐标，二次函数的性质，熟练的利用三角形的面积公式建立方程是解本题的关键．
20. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C=45°，sinB=，AD=1．
（1）求BC的长；
（2）求tan∠DAE的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）先由三角形的高的定义得出∠ADB=∠ADC=90°，再解Rt△ADC，得出DC=1；解Rt△ADB，得出AB=3，根据勾股定理求出BD=，然后根据BC=BD+DC即可求解．
（2）先由三角形的中线的定义求出CE的值，则DE=CE﹣CD，然后在Rt△ADE中根据正切函数的定义即可求解．
【详解】解：（1）在△ABC中，∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°．
在△ADC中，∵∠ADC=90°，∠C=45°，AD=1，
∴DC=AD=1．
在△ADB中，∵∠ADB=90°，sinB=，AD=1，
∴．
∴．
∴．
（2）∵AE是BC边上的中线，∴CE=BC=．
∴DE=CE﹣CD=．
∴．
【点睛】本题考查了三角形的高、中线的定义，勾股定理，解直角三角形，难度中等，分别解Rt△ADC与Rt△ADB，得出DC=1，AB=3是解题的关键．
21. 数学活动小组到某广场测量标志性建筑的高度．如图，他们在地面上点测得最高点A的仰角为22°，再向前至点，又测得最高点A的仰角为58°，点，，在同一直线上，则该建筑物的高度约为多少？（精确到．参考数据：，，，）
【答案】37.3 m
【解析】
【分析】在中，解直角三角形求出，在中，解直角三角形可求出．
【详解】解：在中，，
∴，
在中，，
，
∴，
解得：m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握正切函数的定义是解题的关键．
22. 如图所示，城关幼儿园为加强安全管理，决定将园内滑板的倾斜角由降为，已知原滑板的长为米，点、、在同一水平地面上．
（1）求改善后滑板的长为多少米？
（2）若滑板的正前方能有米长的空地就能保证安全，原滑板的前方有米长的空地，像这样改造是否可行？请说明理由．（参考数据：， ，，以上结果均保留到小数点后两位）．
【答案】（1）改善后滑板的长为米
（2）这样改造能行，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力．
（1）在中，通过解直角三角形求出的长，进而在中求出的长得解；
（2）分别在、中求出、的长，即可求出的长，进而可求出改造后滑滑板前方的空地长，若此距离大于等于米则这样改造安全，反之则不安全；
解题的关键是掌握并灵活运用锐角三角函数，当两个直角三角形有公共边时，先求出这条公共边是解答此类题的一般思路．
【小问1详解】
解：在中，，，
∴，
，
在中，，
∴（米），
∴改善后滑板的长为米；
【小问2详解】
这样改造能行，
理由：
在中，，，
∴，
∴，
∵，
∴这样改造是可行的．
23. 某企业设计了一款工艺品，每件的成本是元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是元时，每天的销售量是件，而销售单价每降低元，每天就可多售出件，但要求销售单价不得低于成本.
（1）求每天的销售利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式；
（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】(2) y=-5x2+800x-27500（50≤x≤100）；(2) 销售单价为80元时，每天的销售利润最大，最大利润是4500元．
【解析】
【详解】试题分析：本题考查了二次函数的实际应用---销售利润问题.
（1）根据“利润=(售价-成本)销售量”列出函数关系式;
(2)把(1)中的二次函数解析式转化为顶点式,利用二次函数图象的性质进行解答.
：（1）y=（x-50）[50+5（100-x）]
=（x-50）（-5x+550）
=-5x2+800x-27500
所以y=-5x2+800x-27500（50≤x≤100）；
（2）y=-5x2+800x-27500
=-5（x-80）2+4500
∵a=-5＜0，
∴抛物线开口向下．
∵50≤x≤100，对称轴是直线x=80，
∴当x=80时，y最大值=4500；
即销售单价为80元时，每天的销售利润最大，最大利润是4500元．
24. 在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图像与x轴交于A(﹣3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C．
（1）求这个二次函数的关系解析式；
（2）求直线AC的函数解析式；
（3）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
【答案】（1）y=﹣x2﹣x+2；（2）；（3）存，()
【解析】
【分析】（1）直接用待定系数法即可解答；
（2）先确定C点坐标，设直线AC的函数解析式y=kx+b，最后用待定系数法求解即可；
（3）连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，然后求出△ACP面积的表达式，最后利用二次函数的性质求最值即可．
【详解】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+2过点A（﹣3，0），B（1，0），
∴
解得，
∴二次函数的关系解析式为y=﹣x2﹣x+2；
（2）∵当x=0时，y=2，
∴C（0，2）
设直线AC的解析式为，把A、C两点代入得
解得
∴直线AC的函数解析式为；
（3）存在．
如图: 连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N
设点P坐标为（m，n）,则n=），PN=-m，AO=3
当x=0时，y==2，
∴点C的坐标为（0,2），OC=2
∵
=
∵a=-1<0
∴函数S△PAC=-m2-3m有最大值
∴b当m=
∴当m=时，S△PAC有最大值n=
∴当△ACP的面积最大时，P的坐标为（）．
【点睛】本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数的图像与性质、待定系数法、二次函数极值等知识点，根据题意表示出△PAC的面积是解答本题的关键．
25. 如图，抛物线经过坐标原点与点，正比例函数与抛物线交于点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点是第四象限抛物线上的一个动点，过点作轴于点，交于点，是否存在点，使得与以点、、为顶点的三角形相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）P点坐标为或．
【解析】
【分析】（1）将，代入中，即可求出解析式；
（2）分两种情况进行讨论即可．
【小问1详解】
解：将，代入中得：
，
解得：，
即抛物线的解析式为：；
【小问2详解】
存在，①如图1，过A点作直线lOB，与抛物线交于点P时，此时，
将代入得：k=，
∵lOB，
∴设直线l解析式为：，
将代入得：，，
∴直线l解析式为：，
则：，
解得：x=或x=3（舍去），
将x=代入，得y=，
即P点坐标为；
②如图2，当∠OMN=∠PAN，时，
∴，
设P点坐标为，则ON=t，AN=3-t，PN=，
∵M横坐标为t，
∴M纵坐标为：，即MN=
∴，
解得：t=2，
检验：当t=2时，，，
故t=2是该分式方程的根，
将x=2代入，得y=-2，
∴P点坐标为：，
综上所述，P点坐标为或．
【点睛】本题主要考查的是二次函数图像的性质，以及与一次函数图像的综合，与三角形相似的综合，合理利用所学知识是解题的关键．