2023-2024学年天津四十七中高二（下）期中数学试卷-普通用卷

这是一份2023-2024学年天津四十七中高二（下）期中数学试卷-普通用卷，共15页。试卷主要包含了已知命题p，双曲线C等内容，欢迎下载使用。
A. ⌀B. {−3,−1,0,4}C. {2,3}D. {0,2,3}
2.已知命题p：x20,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M，N在双曲线上，且MN//F1F2，|MN|=12|F1F2|，线段F1N交双曲线C于点Q，|F1Q|=25|F1N|，则该双曲线的离心率是( )
A. 5+12B. 52C. 2D. 7
10.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)=2xf′(1)+lnx，则f′(1)=______.
11.在(x+2 x)6的展开式中，x3项的系数是______.(用数学作答)
12.在某市高三的一次模拟考试中，学生的数学成绩ξ服从正态分布N(105,σ2)(σ>0)，若P(ξ1，y=f(x)−3为奇函数，且f(x)+f′(x)>1，则不等式ln[f(x)−1]>ln2−x的解集为______.
16.在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，四边形ADPQ是梯形，PD//QA，∠PDA=π2，CD⊥平面ADPQ，且AD=PD=2QA=2.
(Ⅰ)求证：QB//平面PDC；
(Ⅱ)平面CPB与PBQ所成角的大小；
(Ⅲ)在棱PD上是否存在一点H，使得异面直线AH与PB所成角的余弦值为7 315，求DH的长．
17.某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.
(I)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；
(II)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望.
18.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点F1(−2 2,0)，点P(0,2)在椭圆C上，过点P的两条直线PA，PB分别与椭圆C交于另一点A，B，且直线PA，PB，AB的斜率满足kPA+kPB=4kAB(kAB≠0).
(1)求椭圆C的方程；
(2)证明直线AB过定点.
19.已知数列{an}是等差数列，设Sn(n∈N*)为数列{an}的前n项和，数列{bn}是等比数列，bn>0，若a1=3，b1=1，b3+S2=12，a5−2b2=a3.
(Ⅰ)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(Ⅱ)求数列{an⋅bn}的前n项和；
(Ⅲ)若cn={2Sn,n为奇数bn,n为偶数，求数列{cn}的前2n项和.
20.已知f(x)=x2−4x−6lnx.
(Ⅰ)求f(x)在(1,f(1))处的切线方程以及f(x)的单调性；
(Ⅱ)对∀x∈(1,+∞)，有xf′(x)−f(x)>x2+6k(1−1x)−12恒成立，求k的最大整数解；
(Ⅲ)令g(x)=f(x)+4x−(a−6)lnx，若g(x)有两个零点分别为x1，x2(x14x0.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．
可以求出集合B，然后进行交集的运算即可．
【解答】
解：∵∁RB={x|x≤0或x>3}
∴B={x|00⇔g(x)>g(0).
∵f(x)+f′(x)>1，
∴g′(x)=ex(f′(x)+f(x)−1)>0，
∴g(x)在R上单调递增，
∴x>0，
即不等式ln[f(x)−1]>ln2−x的解集为(0,+∞).
故答案为：(0,+∞).
f(x)>1，不等式ln[f(x)−1]>ln2−x⇔f(x)−1>eln2−x=2ex⇔ex(f(x)−1)−2>0.利用奇函数的性质可得f(0)−3=0，令g(x)=ex(f(x)−1)−2>0，g(0)=0，利用导数研究函数g(x)的单调性即可得出结论．
本题考查了利用导数研究函数的单调性及解不等式、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16.【答案】(Ⅰ)证明：AB//CD，AB⊄平面PDC，CD⊂平面PDC，所以AB//平面PDC，
同理AQ//PD，AQ⊄平面PDC，PD⊂平面PDC，所以AQ//平面PDC，
又AB∩AQ=A，AB⊂平面BAQ，AQ⊂平面BAQ，故平面BAQ//平面PDC，
QB⊂平面BAQ，故QB//平面PDC.
(Ⅱ)解：CD⊥平面ADPQ，PD⊂平面ADPQ，故CD⊥PD，故DA，DP，DC两两垂直，
以DA，DC，DP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则C(0,2,0)，P(0,0,2)，B(2,2,0)，Q(2,0,1)，A(2,0,0)，
设平面CPB的法向量为n1=(x,y,z)，则n1⋅BC=−2x=0n1⋅PC=2y−2z=0，
取y=1得到n1=(0,1,1)，
设平面PBQ的法向量为n2=(a,b,c)，则n2⋅BQ=−2y+z=0n2⋅PQ=2x−z=0，
取x=1得到n2=(1,1,2)，
cs⟨n1,n2⟩=n1⋅n2|n1|⋅|n2|=3 2× 6= 32，平面CPB与PBQ所成角为钝角，故为5π6.
(Ⅲ)解：假设存在，设H(0,0,h)，则AH=(−2,0,h)，PB=(2,2,−2)，
则|cs⟨AH,PB⟩|=|AH⋅PB||AH|⋅|PB|=4+2h 4+h2⋅ 12=7 315，解得h=32或h=83(舍去).
故存在H满足条件，DH=32.
【解析】(Ⅰ)证明平面BAQ//平面PDC，即可得到答案．
(Ⅱ)以DA，DC，DP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，得到各点坐标，计算平面CPB和平面PBQ的法向量，根据向量夹角公式计算得到答案．
(Ⅲ)假设存在，设H(0,0,h)，根据向量的夹角公式计算得到答案．
本题主要考查线面平行的证明，面面角的计算，立体几何中的探索性问题，空间向量及其应用，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．
17.【答案】解：(I)由已知得：P=C31C41+C42C102=13，
所以，事件A发生的概率为13；-------(5分)
(Ⅱ)随机变量X的所有可能取值为0，1，2；--------(6分)
计算P(X=0)=C32+C32+C42C102=415，------(7分)
P(X=1)=C31C31+C31C41C102=715，------(8分)
P(X=2)=C31C41C102=415；------(9分)
所以，随机变量X的分布列为
随机变量X的数学期望为
E(X)=0×415+1×715+2×415=1.-------(12分)

【解析】(I)由相互独立事件的概率计算公式求出事件A发生的概率；
(Ⅱ)根据题意知随机变量X的所有可能取值，
计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望值．
本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是基础题．
18.【答案】(1)解：由题意可得c=2 2，b=2，
所以a= b2+c2= 4+8=2 3，
所以椭圆的方程为：x212+y24=1；
(2)证明：因为直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为y=kx+t，t≠2，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立y=kx+tx212+y24=1，整理可得：(1+3k2)x2+6ktx+3t2−12=0，
Δ=36k2t2−4(1+3k2)(3t2−12)>0，即t20，可得x>3；由f′(x)4x0⇔(3t+1)x1>2 2a⇔(3t+1)2x12>8a，
即(3t+1)2⋅alntt2−1>8a，
由a>0，t>1，只需证(3t+1)2lnt−8t2+8>0，
令H(t)=(3t+1)2lnt−8t2+8，
则H′(t)=(18t+6)lnt−7t+6+1t，
令n(t)=(18t+6)lnt−7t+6+1t，
则n′(t)=18lnt+11+6t−1t2>0(t>1)，
故n(t)在(1,+∞)上递增，n(t)>n(1)=0；
故H(t)在(1,+∞)上递增，H(t)>H(1)=0；
∴x1+3x2>4x0.
【解析】本题考查导数的运用：求单调性和极值、最值，考查构造函数法和分析法，考查转化思想和化简运算能力，属于难题．
(Ⅰ)求得f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程；由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，注意定义域；
(Ⅱ)xf′(x)−f(x)>x2+6k(1−1x)−12等价于k2e，再由分析法，注意构造函数，求得导数和单调性，即可得证．X
0
1
2
P
415
715
415