天津市第四十七中学2023-2024学年高一下学期5月期中数学试卷(含答案)

这是一份天津市第四十七中学2023-2024学年高一下学期5月期中数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知复数，则其共轭复数的虚部为( )
A.B.C.D.
2．圆锥的轴截面是正三角形,那么它的侧面积是底面积的( )
A.4倍B.3倍C.倍D.2倍
3．已知m,n为两条不同的直线,,为两个不同的平面,对于下列四个命题：
①,,,;
②,;
③,,;
④,.
其中正确命题的个数有( )
A.0个B.1个C.2个D.3个
4．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形,如图所示,,,,则原平面图形的面积为( )
A.B.C.D.
5．一个正方体表面积与一个球表面积相等，那么它们的体积比是( )
A.B.C.D.
6．O为所在平面内一点,且满足,则O是的( )
A.内心B.外心C.重心D.垂心
7．以下4个命题，其中正确的命题的个数为( )
（1）在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数；
（2）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则是的充分必要条件；
（3）已知向量，，，若，，则；
（4）在平面内，A，B，C三点在同一条直线上，点O是平面内一点，若，，则.
A.0B.1C.2D.3
8．已知球O为正三棱柱的外接球,正三棱柱的底面边长为1,高为3,则球O的表面积是( )
A.B.C.D.
9．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知的面积为S，，，，则的最小值为( )
A.2B.C.3D.
二、填空题
10．设i是虚数单位,复数为纯虚数,则实数a为_______________.
11．已知点，，，则在上的投影向量为________.
12．在中,，，，则________.
13．已知与为互相垂直的单位向量，，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围是________________.
三、双空题
14．已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且,,,则球的表面积为_____________,球的体积为___________.
15．已知在中，，，且的最小值为3，则________，若P为边上任在一点，则的最小值为________.
四、解答题
16．已知向量,.
(1)若,求k的值;
(2)若.
①求与的夹角的余弦值;
②求.
17．如图,在四棱锥中,底面是菱形,M为的中点,N为的中点.
(1)求证：直线平面;
(2)过点C,D,M的平面与棱交于点Q,求证：Q是的中点.
18．在中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且与共线.
(1)求B;
(2)若,且,,求的面积.
19．如图：在正方体中，M为的中点.
(1)求三棱锥的体积；
(2)求证：平面；
(3)若为的中点，求证：平面平面.
20．在中，内角的对边分别为，且，.
(1)求B的大小；
(2)若，求的面积；
(3)求的最大值.
参考答案
1．答案：A
解析：因为.
所以.
所以的虚部为.
故选：A
2．答案：D
解析：设圆锥的底面半径为r,因为圆锥的轴截面是正三角形,所以母线,
所以：.
故选：D.
3．答案：A
解析：对于①：因为面面平行的判定定理要求m,n相交,若没有,则,可能相交,故①错误;
对于②：因为线面平行的判定定理要求,若没有,则可能,故②错误;
对于③：根据线、面位置关系可知：//,或m,n异面,故③错误;
对于④：根据线、面位置关系可知：//,或m,n异面,故④错误;
故选：A.
4．答案：A
解析：如图,在直观图中过点A,作交于点E,
因为,,,
所以,,即
将直观图还原为平面图如下：
则,,,
所以.
故选：A.
5．答案：C
解析：设正方体的棱长为a,球的半径为R，
由6a2＝4πR2得＝，故
故答案为C.
6．答案：B
解析：依题意,,
,
,
则,于是,
所以O是的外心.
故选：B.
7．答案：B
解析：（1）在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数；错误，虚轴上的原点所对应的复数不是纯虚数，错误；
(2)在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c则，故是的充分必要条件，正确；
(3)已知向量，，，若，，则；错误，当时，满足条件，但结论不成立，错误；
(4)若O在A，B，C所在直线上不成立，错误；
故正确的命题个数为1个.
故选：B.
8．答案：B
解析：设三棱柱的高为h,底边边长为a.设球O的半径为R,
则三棱柱底面三角形的外接圆半径r满足：,解得：
由题知,,
,
故球O的表面积为,
故选：B.
9．答案：D
解析：，，
由正弦定理得，
，，
，
，
，，当且仅当时取等号
，
，.故选D
10．答案：2
解析：,
它为纯虚数,则且,解得.
故答案为：2.
11．答案：
解析：因为，，，
所以，，
所以，
所以在上的投影向量为.
故答案为：
12．答案：
解析：在中,由余弦定理的推论:,
又.
故答案为:.
13．答案：
解析：不妨令，，
所以，
，
因为与的夹角为钝角，
所以且与不反向，
若，则，解得，
若与共线，则，解得，
综上可得实数的取值范围是.
故答案为：.
14．答案：;
解析：在中,由,,得,则,
外接圆半径,设球半径为R,依题意,,
即,,
所以球的表面积,体积.
故答案为：;.
15．答案：（1）；/-3.0625
解析：因为
，
当且仅当时等号成立.
又因为的最小值为，所以，
解得，所以.
如图所示建立直角坐标系，则，，，
设，.
所以，
当且仅当时等号成立，所以的最小值为.
故答案为：；.
16．答案：(1)或
(2)①;②.
解析：（1）因为,所以或.
（2）因为
.
此时,.
①,,.
所以.
②因为,所以.
17．答案：(1)证明见解析
(2)证明见解析
解析：(1)取的中点E,连接,,
因为M,N分别为,的中点,
所以,,
因为底面是菱形,即,所以,
又平面,平面,
所以平面,
同理可得平面,
又,,平面,
所以平面平面,
又因为平面,
所以平面;
（2）因为过点C,D,M的平面与棱交于点Q,
又,平面,平面,所以平面,
又平面平面,平面,
所以,所以,
所以Q为的中点,即Q与中点E重合,所以Q是的中点.
18．答案：(1)
(2)
解析：（1）在中,,
因为向量与向量共线,则,
由正弦定理可得,
所以,,
、,则,所以,,因此,.
（2）,且,,,,
在中,由余弦定理有,
即,即,,解得,
所以,.
19．答案：(1)；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
解析：(1)正方体中，M为的中点,底面，；
(2)证明:如图,连接BD,设交AC于点O，O是DB的中点,M是的中点,
,且平面，平面,
平面；
（3）证明：N是的中点,M是的中点,
四边形为平行四边形,
,且平面，平面,
平面由（1）知平面,且,
平面平面.
20．答案：（1）；
（2）；
（3）.
解析：（1）
由正弦定理得
.
（2）由余弦定理得
（3）由得
(当且仅当时取等号)
设,则
设在区间上递增