天津市第四十七中学2023-2024学年高二下学期5月期中数学试题

这是一份天津市第四十七中学2023-2024学年高二下学期5月期中数学试题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷（共三部分；满分150分）
一、选择题（每题5分，共45分）
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知命题：和命题：，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
4．从0，1，2，5中取三个不同的数字，组成能被5整除的三位数，则不同三位数有（ ）
A．12个B．10个C．8个D．7个
5．已知某厂甲、乙两车间生产同一批衣架，且甲、乙两车间的产量分别占全厂产量的60%，40%，甲、乙车间的优品率分别为95%，90%．现从该厂这批产品中任取一件，则取到优品的概率为（ ）
A．93%B．93.5%C．94%D．94.5%
6．袋中有除颜色外完全相同的2个红球和3个黑球，不放回地摸出两球，设“第一次摸得红球”为事件，“摸得的两球同色”为事件，则概率（ ）
A．B．C．D．
7．已知各项均为正数的等比数列满足若存在两项，使得，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．若函数在区间上有极值点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．双曲线：的左、右焦点分别为，，点，在双曲线上，且，，线段交双曲线于点，，则该双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．2D．
二、填空题（每题5分，共30分）
10．已知函数的导函数为，且满足，则__________．
11．的展开式中，的系数为__________．
12．在某市高三的一次模拟考试中，学生的数学成绩服从正态分布，若，则__________．
13．数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求．现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”“世界数学通史”“几何原本”“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有__________．
14．函数，若对于区间上的任意，都有，则实数的最小值是__________．
15．设定义在上的函数，满足，为奇函数，且，则不等式的解集为__________．
三、解答题（共75分，需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤，只有结果的不给分）
16．（本小题满分14分）在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，，平面，且．
（1）求证：平面；
（2）平面与所成角的大小；
（3）在棱上是否存在一点，使得异面直线与所成角的余弦值为，求的长．
17．（本小题满分15分）我校“爱之翼”社团共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．
（1）设为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件发生的概率；
（2）设为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列和数学期望．
18．（本小题满分15分）已知椭圆：的左焦点，点在椭圆上，过点的两条直线，分别与椭圆交于另一点，，且直线，，的斜率满足．
（1）求椭圆的方程；
（2）证明直线过定点．
19．（本小题满分15分）已知数列是等差数列，设为数列的前项和，数列是等比数列，，若，，，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）求数列的前项和；
（3）若，求数列的前项和．
20．（本小题满分16分）已知．
（1）求在处的切线方程以及的单调区间；
（2）对，有恒成立，求的最大整数解；
（3）令，若有两个零点分别为且为的唯一的极值点，求证：．
天津市第四十七中学2023-2024（二）高二年级
期中试题 数学试卷 答案
一、选择题
1．C2．A3．C4．B
5．A6．A7．A8．C
9．D
二、填空题：（本大题共6小题．每题5分共30分）
10．-111．6012．0.513．78
14．2015．
三．解答题．（共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．
16．（本小题满分14分）
（1），平面，平面，所以平面，
同理，平面，平面，所以平面，
又，平面，平面，故平面平面，
平面，故平面．
（2）平面，平面，故，故，，两两垂直．
以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
设平面的法向量为，则，取得到，
设平面的法向量为，则，取得到，
，平面与所成角为．
（3）假设存在，设，则，，
则，解得或（舍去）．
故存在满足条件，．
17．（本小题满分15分）
（1），所以．
（2）的可能取值为0，1，2，
，
，
．
所以的分布列为：
随机变量的数学期望为．
18．（本小题满分15分）
（1）由点在椭圆：上，得，
由为椭圆的左焦点，得，椭圆的方程为．
（2）依题意，直线不垂直于坐标轴，设其方程为，，，
由消去并整理得，
，，，
由得，即，
整理得，即有，而，，
解得，满足，直线：过定点，
所以直线过定点．
19．（本小题满分15分）
（Ⅰ）由题意，设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
则，得，
整理，得，解得（舍去），或，∴，
∴，，，．
（Ⅱ）由（1）得，，令数列的前项和为，
则，
，
两式相减，可得
，
∴， ．
（Ⅲ）由（Ⅰ）得，，∴，
∴
∴数列的前项和为：．
20．（本小题满分16分）
（1）∵所以定义域为
∴；；，所以切线方程为；
，令解得，令解得
所以的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）等价于；
∴，
记，，所以为上的递增函数，
且，，所以，使得
即，所以在上递减，在上递增，
且；所以的最大整数解为3．
（3），得，
当，，，；
所以在上单调递减，上单调递增，
而要使有两个零点，要满足，
即；因为，，令，
由，∴，即：，
∴而要证，只需证，即证：
即：由，只需证：，
令，则
令，则
故在上递增，；故在上递增，；
∴．0
1
2