2024年安徽省亳州市谯城区中考二模数学试题（原卷版+解析版）

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1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B、C，D四个选项，其中只有一个是正确的）
1. 的相反数是（ ）
A. 2024B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，熟知只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0是解题的关键．
【详解】解；的相反数是，
故选D．
2. 2024年2月5日，据中安在线报道，2023年，安徽省全省生产总值47050.6亿元，按不变价格计算，比上年增长．将数据47050.6亿用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
【详解】数据47050.6亿用科学记数法表示为．
故选：B．
3. 如图所示的几何体的俯视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【详解】解：从上面看得到的是三个小长方形，
故选：B．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，同底数幂除法计算和合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
B、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故选：D．
5. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示解集．先解一元一次不等式，然后在数轴上表示解集，进行判断即可．
【详解】解：，
解得，
该不等式的解集在数轴上表示如图所示：

故选：B．
6. 中国结寓意团圆、美满，以独特东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．如图，晓进家有一个菱形中国结装饰，对角线相交于点，测得，，过点作于点，连接，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，根据菱形的性质得到，，根据勾股定理得到，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求．
【详解】四边形是菱形
故选：A．
7. 如图，是的两条直径，点是劣弧的中点．若，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接，如图所示，由对顶角性质、邻补角定义得到，再由同弧所对的圆心角相等及等腰三角形的判定与性质，结合三角形内角和定理求出角度即可得到答案．
【详解】解：连接，如图所示：

，
，
点是劣弧的中点，
，则，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查圆中求角度，涉及对顶角性质、邻补角定义、同弧所对圆心角相等、圆的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和等知识，熟记相关几何性质，数形结合找准各个角度之间的关系是解决问题的关键．
8. 黄山是我国四大名山之一．在学习了“概率初步”这章后，同桌的小明和小波两同学做了一个游戏：小明将分别标有“美”、“丽”、“黄”、“山”四个汉字的小球（除汉字外其余完全相同）装在一个不透明的口袋中搅拌均匀，然后小波同学从口袋中随机摸出一球，不放回．小明再搅拌均匀后，小波又随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“黄山”的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了列举法求概率．根据题意画树状图是解题的关键．
由题意画树状图，然后求概率即可．
【详解】解：由题意画树状图如下；
∴共有种等可能的结果，其中能组成“黄山”的共有2种等可能的结果，
∵，
∴两次摸出的球上的汉字组成“黄山”的概率是．
9. 一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数图像与一次函数图像的综合，掌握二次函数与一次函数系数与图像的关系，是解题的关键．逐一分析四个选项，根据二次函数图像的开口方向以及与y轴的位置关系，即可得出的正负性，由此即可得出一次函数图像经过的象限，即可得出结论．
【详解】解：A． ∵二次函数图像开口向上，与y轴交点在负半轴，
∴，，
∴一次函数过二，三，四象限，故本选项符合题意；
B． ∵二次函数图像开口向下，与y轴交点在正半轴，
∴，，
∴一次函数图像应该过第一、二、三象限，抛物线的对称轴为，故本选项不符合题意；
C． ∵二次函数图像开口向上，与y轴交点在负半轴，
∴，
∴一次函数图像应该过第二、三、四象限，故本选项不符合题意；
D． ∵二次函数图像开口向下，与在y轴交点在正半轴，
∴，
∴一次函数图像应该过一、二，三象限，故本选项不符合题意．
故选：A．
10. 如图，在矩形中，，的平分线交于点E，于点H，连接并延长交于点F，连接交于点O，则下列结论中错误的是（ ）
A. 平分B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质等知识；根据角平分线的定义可得，可得出是等腰直角三角形，证出，证明，可得，求出，从而判断出选项A正确；求出，，然后根据等角对等边可得，判断出选项B正确；求出，，证明，可得，判断出选项C正确；根据全等三角形对应边相等可得，根据，，判断出选项D错误．
【详解】在矩形中，平分，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
平分，
故选项A正确，不符合题意；
，，
，
，
，，
，
，
，
，
故选项B正确；不符合题意；
，
，
又，，
在和中，
，
，
，，
故选C正确，不符合题意；
由上述①、⑤、③可得、，，
，
故选项D错误，符合题意．
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 计算：__________．
【答案】-1
【解析】
【分析】根据立方根和算术平方根的定义分别计算，再作减法．
【详解】解：，
故答案为：-1．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是掌握基本定义和运算法则．
12. 关于 x 的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是_________
【答案】且
【解析】
【分析】根据二次项系数非零以及，列出不等式组进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
解得：且；
故答案为：且．
【点睛】本题考查根的判别式．解题的关键是掌握，一元二次方程有两个实数根．注意二次项系数非零．
13. 如图，一次函数的图象分别交x轴、y轴于点A，B，P为上一点且为的中位线，的延长线交反比例函数的图象于点Q，，则的长是______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数与反比例函数的交点问题，中位线的性质，先求出两点坐标，利用中位线性质可以求出的长，求出的长，从而得出结果．
【详解】解：函数的图象交x轴点A，
令，，解得：，
，
令，，
，
，
为的中位线，
为的中点，，轴，
，轴，
，
，
，
故答案为：．
14. 如图，在中，，，．请解决下列问题：
（1）的长是______；
（2）若点是边上的动点，连接，以为边在的左下方作等边，连接，则点在运动过程中，线段的长的最小值是______．
【答案】 ①. ②. 2
【解析】
【分析】（）根据度直角三角形的性质及勾股定理求解即可．
（）如图，取的中点，连接，，证是等边三角形得．再证，得，从而可得当时，线段最短，即线段的值最小，在中，利用勾股定理即可得解．
【详解】解：（）∵，，，
∴．
∴在中，由勾股定理得．
故答案为：；
（）如图，取的中点，连接，，则．
∵是等边三角形，
∴，，
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴．，
∴．
在和中，
∴，
∴，
∴当时，线段最短，即线段的值最小，
∵在中，，，
∴，
∴线段的长的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定及性质，直角三角形的性质，垂线段最短，熟练掌握全等三角形的判定及性质以及直角三角形的性质是解题的关键。
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简运算问题，掌握分式的运算法则是解题的关键．先根据分式的运算法则化简分式，再代入求值即可．
【详解】解：原式．
当时，原式．
16. 《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．意思是：现有几个人共买一件物品，每人出文钱多出文钱；每人出文钱，还差文钱．求该物品的价格是多少文钱．
【答案】该物品的价格是文钱．
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程应用，设该物品的价格为文钱，根据题意，列出方程即可求解，根据题意，找到等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【详解】解：设该物品的价格为文钱，
根据题意，得，
解得，
答：该物品的价格是文钱．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在平面直角坐标系中．
（1）画出关于x轴对称的；
（2）在y轴上画出一点D，使得的值最小．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了平面直角坐标系中的轴对称图形，将军饮马问题，熟知轴对称的性质是解题关键，注意坐标系中两个点关于x轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数，两个点关于y轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标不变．
（1）根据轴对称的性质结合坐标系，分别确定点A、B、C关于y轴的对称点，即可作出；
（2）作出点A关于x轴的对称点，连接，交x轴于D，点D即为所求作的点．
【小问1详解】
如图，即为所求，
【小问2详解】
如图，点D即为所求．
18. 合肥骆岗中央公园中的一条小路使用六边形、正方形、三角形三种地砖按照如图方式铺设．已知图1中有1块六边形地砖，6块正方形地砖，6块三角形地砖；图2中有2块六边形地砖，11块正方形地砖，10块三角形地砖；…．
（1）按照以上规律可知，图4中有______块正方形地砖；
（2）若铺设这条小路共用去n块六边形地砖，分别用含n的代数式表示用去的正方形地砖、三角形地砖的数量；
（3）若，求此时三角形地砖的数量．
【答案】（1）21 （2）用去的正方形地砖的块数为块，三角形地砖的块数为块．
（3）此时三角形地砖的数量为202块．
【解析】
【分析】本题主要考查图形的规律并用代数式表示，理解图形的数量关系，掌握整式的运算是解题的关键．
（1）根据图形的数量，找出数量关系即可求解；
（2）根据（1）中的数量关系列式求解即可；
（3）把代入上述的数量关系式即可求解．
【小问1详解】
由图形可知，图1中六边形地砖块数为1，正方形地砖块数为，三角形地砖块数为；
图2中六边形地砖块数为2，正方形地砖块数为，三角形地砖块数为；
图3中六边形地砖块数为3，正方形地砖块数为，三角形地砖块数为；…，
由此可见，每增加1块六边形地砖，正方形地砖会增加5块，三角形地砖会增加4块，
∴图4中正方形地砖块数为21块．
【小问2详解】
由（1）发现的规律可知，
当铺设这条小路共用去n块六边形地砖时，
用去的正方形地砖的块数为块，三角形地砖的块数为块．
【小问3详解】
当时，三角形地砖的块数为（块）．
答：此时三角形地砖的数量为202块．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，小明同学为了测量塔的高度，他在与山脚B处同一水平面的A处测得塔尖点D的仰角为，再沿方向前进30米到达山脚B处﹐测得塔尖点D的仰角为，塔底点E的仰角为，求塔的高度．（参考数据：，，，，，，，结果精确到0.1米）
【答案】塔的高度约为25.6米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，设米，先在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答．
【详解】解：设米．
在中，∵，
∴（米）．
∵米，
∴米．
在中，∵，
∴，
解得，
∴米，米．
在中，，
∴（米），
∴（米）．
答：塔DE的高度约为25.6米．
20. 如图，在中；，以为直径的交于点D，连接，的切线交于点E．

（1）求证：；
（2）若，，连接，与交于点F，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据切线的性质，就可以证出，从而证明；
（2）求出，根据直角三角形斜边上中线性质求出，根据三角形面积公式求，根据勾股定理求出即可．
【小问1详解】
证明：∵，为的直径，
∴为的切线，．
∵为的切线，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：如图，连接．

∵，为的直径，
∴为的切线．
∵为的切线，
∴平分，
∴，F为的中点．
∵，，
∴是的中位线，
∴，
在中，，，，
在勾股定理得．
在中，
∵，
∴．
在中，，，
由勾股定理得．
由三角形的面积公式，得，即，
解得．
在中，由勾股定理得．
【点睛】本题考查了切线的性质，切线长定理，勾股定理，直角三角形斜边上中线性质等知识点，能灵活运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，题目综合性比较强，难度偏大．
六、（本题满分12分）
21. 某校在11月9日消防日当天，组织七、八年级学生开展了一次消防知识竞赛，成绩分别为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分．学校分别从七、八年级各抽取25名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题：
（1）根据以上信息可以求出：______，______，并把七年级竞赛成绩统计图补充完整；
（2）依据数据分析表，你认为七年级和八年级哪个年级的成绩更好，并说明理由；
（3）该校七、八年级共有1200人参加本次知识竞赛，且规定9分及以上的成绩为优秀，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人？
【答案】（1）9，10；补全统计图见解析
（2）七年级更好，理由见解析
（3）估计七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有720人
【解析】
【分析】本题考查条形统计图，扇形统计图，平均数，中位数众数，方差，用样本估计总体，能从统计图表中获取有用信息是解题的关键．
（1）根据中位数的定义可确定的值；根据众数的定义可确定的值；先求出七年级等级的人数，再将七年级竞赛成绩统计图补充完整即可；
（2）根据平均分，中位数，众数，方差的意义回答即可；
（3）分别将样本中七、八年级优秀所占比例乘以1200即可作出估计．
【小问1详解】
解：七年级成绩由高到低排在第13位的是等级9分，
，
八年级等级人数最多，
，
故答案为：9，10；
七年级成绩等级人数为：（人，
七年级竞赛成绩统计图补充完整如下：
【小问2详解】
解：七年级更好，
理由：七，八年级的平均分相同，七年级中位数大于八年级中位数，七年级方差小于八年级方差，说明七年级一半以上人不低于9分，且波动较小，所以七年级成绩更好．
【小问3详解】
解：（人，
答：估计七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有720人．
七、（本题满分12分）
22. 已知点为和的公共顶点，将绕点顺时针旋转，连接．
（1）问题发现：如图1所示，若和均为等边三角形，则线段与线段的数量关系是______；
（2）类比探究：如图2所示，若，其他条件不变，请写出线段与线段的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用：如图3所示，若，，，，当点三点共线时，请直接写出的长．
【答案】（1）
（2），见解析
（3）或
【解析】
【分析】（1）由等边三角形的性质可得出，，，进而可求出，即可证，从而得出结论；
（2）由题意易证，得出，，进而可证，得出，即；
（3）分类讨论：当点落在线段上时和当点落在线段上时，分别画出图形，根据等腰直角三角形的性质结合勾股定理即可解答．
【小问1详解】
解：和都是等边三角形，
，，，
，
，
．
故答案为：．
小问2详解】
解：；理由如下：
，，
∴，
，
∵，
∴，
，
，
．
小问3详解】
解：的长为或．
当点落在线段上时，如图所示：
，，，
，，
，，
，
，
；
如图，当点落在线段上时，同理可得，
综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查旋转的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识．正确作出辅助线构造全等或相似三角形是解题关键．
八、（本题满分14分）
23. 在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C．
（1）求点的坐标；
（2）如图1，若在x轴上方的抛物线上存在一点D，使得，求点D的坐标；
（3）如图2，平面上一点，过点作任意一条直线交抛物线于、两点，连接、，分别交轴于、两点，则与的积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）点A的坐标为，点B的坐标为．
（2）
（3）与的积是定值为2，理由见解析
【解析】
【分析】本题是二次函数综合题，考查二次函数的性质，用待定系数法求一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，根和系数的关系
（1）令，解一元二次方程即可求出；
（2）证明，得到，即可求解；
（3）证明得到，求出，同理，，即可求解．
【小问1详解】
解：令，则，解得，．
∵点A在点B的左侧，∴，，
即点A的坐标为，点B的坐标为．
【小问2详解】
解：由抛物线，得点．
如图1，过点A作交于点，过点作轴于点．
∵，∴是等腰直角三角形，
∴．
又∵，，
∴，
∴，，∴，∴．
设直线的解析式为，则，
解得，∴直线的解析式为．
联立，得解得或（舍去），
∴点D的坐标为．
【小问3详解】
解：与的积是定值．
设直线的解析式为，，．
∵直线过点交抛物线于P，Q两点，
∴，即，
∴直线PQ的解析式为，
联立，得整理，得，
∴，．
如图2，过点P作轴于点，过点Q作轴于点，
则，
∴，即．
∵，∴．
同理得，
∴
，
即与的积为定值，此定值为2．年级
平均分
中位数
众数
方差
七年级
8.76
a
9
1.06
八年级
8.76
8
b
1.38