2024年江苏省扬州市中考数学仿真模拟卷+

这是一份2024年江苏省扬州市中考数学仿真模拟卷+，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将该选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．-13 的绝对值是（ ）
A．3B．-3C．13D．-13
2．下列计算正确的是（ ）
A．3x4﹣x2=3x2B．（﹣2ab3）2•a=4a3b6
C．8a6÷2a3=4a2D．（a﹣2）2=a2﹣4
3．如图，是甲乙两户居民家庭今年支出费用的扇形统计图，根据统计图，下面对全年食品支出费用判断正确的是（ ）.
A．甲户比乙户多B．乙户比甲户多
C．甲乙两户一样多D．无法确定哪一户多
4．下列选项中，左边的平面图形能够折成右边封闭的立体图形的是（ ）
A．B．
C．D．
5．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．b-c＜0B．b＞-2C．a+c＞0D．|b|＞|c|
6．下列选项中，函数y=4x对应的图象为（ ）
A．B．
C．D．
7．公元3世纪，刘徽发现可以用圆内接正多边形的周长近似地表示圆的周长．如图所示，他首先在圆内画一个内接正六边形，再不断地增加正多边形的边数；当边数越多时，正多边形的周长就越接近于圆的周长．刘徽在《九章算术》中写道：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”我们称这种方法为刘徽割圆术，它开启了研究圆周率的新纪元．小牧通过圆内接正 n 边形，使用刘徽割圆术，得到π的近似值为（ ）
A．n⋅sin360°2nB．2n⋅sin360°n
C．2n⋅sin360°2nD．n⋅sin360°n
8．函数y=mx+m和函数y=﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．“多少事，从来急；天地转，光阴迫．一万年太久，只争朝夕。”伟人毛泽东通过这首《满江红·和郭沫若同志》告诉我们青年学生：要珍惜每分每秒，努力工作，努力学习，一天时间为86400秒，数据86400用科学记数法表示为 。
10．分解因式： ax2-6axy+9ay2= .
11．若一个正多边形的每个内角度数都为108°，则这个正多边形的边数是 .
12．某鱼塘里养了100条鲤鱼、若干条草鱼和50条罗非鱼，通过多次捕捞实验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.4左右，可估计该鱼塘中草鱼的数量为 ．
13．一元二次方程x2－2x+m=0总有实数根，则m应满足的条件是
14．将半径为30cm，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则圆锥底面半径的最大值为 cm．
15．一个用电器的电阻是可调节的，其调节范围为：110~220Ω．已知电压为220ᴠ，这个用电器的功率P的范围是： w．（P表示功率，R表示电阻，U表示电压，三者关系式为：P·R=U²）
16．如图是一个圆环形黄花梨木摆件的残片，为求其外圆半径，小林在外圆上任取一点A，然后过点A作AB与残片的内圆相切于点D，作CD⊥AB交外圆于点C，测得CD＝15cm，AB＝60cm，则这个摆件的外圆半径是 cm．
17．如图，已知四边形ABCD，AC与BD相交于点O，∠ABC=∠DAC=90°，tan∠ACB=12，BOOD=13，则SΔABDSΔCBD= ．
18．如图，正方形ABCD的边长为1，AC、BD是对角线，将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG．则下列结论：①四边形AEGF是菱形；②△HED的面积是1﹣ 22 ；③∠AFG＝135°；④BC+FG＝ 3 ．其中正确的结论是 ．（填入正确的序号）
三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．
（1）计算：2-1-|-12|+(π-2023)0；
（2）解方程组：x-2y=102x+y=-5.
20．先化简，再求值 (1-1a)÷a2-1a2+2a+1 ：其中a是不等式组 a-2≥2-a①2a-121．每年的4月15日是我国全民国家安全教育日．某校开展了“国家安全法”知识竞赛，现从七、八年级学生中各抽取50名学生的竞赛成绩进行统计分析，相关数据整理如下．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a= ，b= ，c= ；
（2）估计该校七、八年级共600名学生中竞赛成绩达到90分及以上的人数；
（3）请你对两个年级学生的“国家安全法”知识竞赛成绩作出评价（从“平均数”“中位数”或“众数”中的一个方面评价即可）．
22．甲、乙、丙三人到某商场购物，他们同时在该商场的地下车库等电梯，三人都任意从1至3层的某一层出电梯．
（1）求甲、乙两人从同一层楼出电梯的概率；
（2）甲、乙、丙三人从同一层楼出电梯的概率为 .
23． 每年的6月6日是全国爱眼日，眼睛是人类感官中最重要的器官之一，不当的用眼习惯会影响健康.某校在爱眼日到来之际，计划购买A、B两类护眼用具，已知A类护眼用具每个的价格比B类护眼用具便宜5元，且用1000元购买的A类护眼用具的个数与用1500元购买的B类用具的个数相同.求A、B两类护眼用具的单价各是多少元？
24．如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD=2BC，∠ABD=90°，E为AD的中点，连接BE．
（1）求证：四边形BCDE为菱形；
（2）连接AC，若AC平分∠BAD，判断AC与CD的数量关系和位置关系，并说明理由．
25．如图，四边形ABCD为矩形，E为BC边中点，连接AE，以AD为直径的⊙O交AE于点F，连接CF．
（1）求证：CF与⊙O相切；
（2）若AD=2，F为AE的中点，求AB的长．
26．绵州大剧院举行专场音乐会，成人票每张20元，学生票每张5元，暑假期间，为了丰富广大师生的业余文化生活，影剧院制定了两种优惠方案，方案1：购买一张成人票赠送一张学生票；方案2：按总价的90%付款，某校有4名老师与若干名（不少于4人）学生听音乐会．
（1）设学生人数为x（人），付款总金额为y（元），分别建立两种优惠方案中y与x的函数关系式；
（2）请计算并确定出最节省费用的购票方案．
27．【操作与发现】
如图①，在正方形ABCD中，点N，M分别在边BC、CD上．连接AM、AN、MN．∠MAN=45°，将△AMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而可得：DM+BN=MN．
（1）【实践探究】在图①条件下，若CN＝6，CM＝8，正方形ABCD的边长是 ．
（2）如图②，在正方形ABCD中，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM、AN、MN，∠MAN=45°，若tan∠BAN=13， ，求证：M是CD的中点．
（3）【拓展】如图③，在矩形ABCD中，AB=12，AD=16，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM、AN，已知∠MAN=45°，BN=4，则DM的长是 ．
28．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0) 的顶点坐标为C(3，6)，与 y 轴交于点B(0，3)，点A是对称轴与 x 轴的交点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①所示，直线AB交抛物线于点E，连接BC、CE，求△BCE的面积；
（3）如图②所示，在对称轴AC的右侧作∠ACD＝30°交抛物线于点D，求出D点的坐标；并探究：在 y 轴上是否存在点Q，使∠CQD＝60°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
2024年江苏省扬州市中考数学仿真模拟卷
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将该选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．-13 的绝对值是（ ）
A．3B．-3C．13D．-13
【答案】C
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：在数轴上，点 -13 到原点的距离是 13 ，
所以， -13 的绝对值是 13 ，
故答案为：C.
【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义即可解决.
2．下列计算正确的是（ ）
A．3x4﹣x2=3x2B．（﹣2ab3）2•a=4a3b6
C．8a6÷2a3=4a2D．（a﹣2）2=a2﹣4
【答案】B
【知识点】整式的加减运算；完全平方公式及运用；整式的混合运算；单项式除以单项式；积的乘方
【解析】【解答】解：A、3x4和﹣x2不能合并，故本选项不符合题意；
B、结果是4a3b6，故本选项符合题意；
C、结果是4a3，故本选项不符合题意；
D、结果是a2﹣4a+4，故本选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】合并同类项前提条件：是同类项的才能合并，排除A；同底数幂相除，底数不变，指数相减，排除C；差的平方不等于平方差，差的完全平方展开应该是三项，排除D。
3．如图，是甲乙两户居民家庭今年支出费用的扇形统计图，根据统计图，下面对全年食品支出费用判断正确的是（ ）.
A．甲户比乙户多B．乙户比甲户多
C．甲乙两户一样多D．无法确定哪一户多
【答案】D
【知识点】扇形统计图
【解析】【分析】根据扇形图的定义，本题中的总量不明确，所以在两个图中无法确定哪一户多．
【解答】因为两个扇形统计图的总体都不明确，
所以A、B、C都错误，
故选：D．
【点评】本题考查的是扇形图的定义．利用圆和扇形来表示总体和部分的关系用圆代表总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形的大小反映部分占总体的百分比的大小，这样的统计图叫做扇形统计图
4．下列选项中，左边的平面图形能够折成右边封闭的立体图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：A、不能折叠成正方体，不符合题意；
B、不能折成圆锥，不符合题意；
C、能折成圆柱，符合题意；
D、不能折成三棱柱，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据几何体及其展开图的特点，结合想象判断能否折成图立体图形.
5．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．b-c＜0B．b＞-2C．a+c＞0D．|b|＞|c|
【答案】B
【知识点】无理数在数轴上表示；无理数的大小比较
【解析】【解答】由图知：c<-2则b-c>0，则A不符合题意；
b>-2，则B符合题意；
a+c<0，则C不符合题意；
|b|<|c|，则D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】结合数轴，再利用特殊值法逐项判断即可。
6．下列选项中，函数y=4x对应的图象为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的图象
【解析】【解答】解：∵y=4x中x≠0，
∴当x＞0时，y＞0，此时图象位于第一象限；
当x＜0时，y＞0，此时图象位于第二象限．
故选A．
【分析】根据x的取值范围讨论函数的图象的位置后即可确定正确的选项．
7．公元3世纪，刘徽发现可以用圆内接正多边形的周长近似地表示圆的周长．如图所示，他首先在圆内画一个内接正六边形，再不断地增加正多边形的边数；当边数越多时，正多边形的周长就越接近于圆的周长．刘徽在《九章算术》中写道：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”我们称这种方法为刘徽割圆术，它开启了研究圆周率的新纪元．小牧通过圆内接正 n 边形，使用刘徽割圆术，得到π的近似值为（ ）
A．n⋅sin360°2nB．2n⋅sin360°n
C．2n⋅sin360°2nD．n⋅sin360°n
【答案】A
【知识点】解直角三角形；探索数与式的规律
【解析】【解答】如图：
∠1=360°2n ，
ab=sin360°2n
a=bsin360°2n ，
则正 n 边形的周长为： L=2an=2bnsin360°2n ，
圆的周长为： L=2πb ，
由圆的内接正n边形的周长无限接近圆的周长可得： 2bnsin360°2n≈2πb
整理得： π≈nsin360°2n
故答案为：A．
【分析】设半径为r的圆内接n边形的周长为L，圆的直径为d，则π≈Ld进而即可解决问题。
8．函数y=mx+m和函数y=﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：A．由函数y=mx+m的图象可知m＜0，即函数y=﹣mx2+2x+2开口向上，与图象不符，故A选项错误；
B．由函数y=mx+m的图象可知m＜0，即函数y=﹣mx2+2x+2开口向上，对称轴为x=﹣b2a=1m＜0，则对称轴应在y轴左侧，与图象不符，故B选项错误；
C．由函数y=mx+m的图象可知m＞0，即函数y=﹣mx2+2x+2开口向下，与图象不符，故C选项错误；
D．由函数y=mx+m的图象可知m＜0，即函数y=﹣mx2+2x+2开口向上，对称轴为x=﹣b2a=1m＜0，则对称轴应在y轴右侧，与图象相符，故D选项正确．
故选：D．
【分析】关键是m的正负的确定，对于二次函数y=ax2+bx+c，当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下．对称轴为x=﹣b2a，与y轴的交点坐标为（0，c）．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．“多少事，从来急；天地转，光阴迫．一万年太久，只争朝夕。”伟人毛泽东通过这首《满江红·和郭沫若同志》告诉我们青年学生：要珍惜每分每秒，努力工作，努力学习，一天时间为86400秒，数据86400用科学记数法表示为 。
【答案】8.64×104
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：86400用科学记数法表示为8.64×104。
故答案为：8.64×104。
【分析】根据科学记数法的含义将绝对值较大的数字进行表示即可。
10．分解因式： ax2-6axy+9ay2= .
【答案】a(x-3y)2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式= a(x2-6xy+9y2)=a(x-3y)2 .
故答案为：a（x-3y）2.
【分析】观察此多项式含有公因式a，由此先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式。
11．若一个正多边形的每个内角度数都为108°，则这个正多边形的边数是 .
【答案】5
【知识点】多边形内角与外角；邻补角
【解析】【解答】解：∵一个正多边形的每个内角为108°，
∴它的外角为 180°-108°=72° ，
∴360°÷72°=5 ，
∴这个正多边形的边数是5.
故答案为：5.
【分析】根据每个内角的度数结合邻补角的性质求出外角的度数，然后利用360°除以外角的度数可得多边形的边数.
12．某鱼塘里养了100条鲤鱼、若干条草鱼和50条罗非鱼，通过多次捕捞实验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.4左右，可估计该鱼塘中草鱼的数量为 ．
【答案】100条
【知识点】利用频率估计概率；概率的简单应用
【解析】【解答】∵通过多次捕捞实验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.4左右，
∴捕捞到草鱼的概率约为0.4，
设该鱼塘中有草鱼x条，根据题意得： x100+x+50=0.4 ，
解得：x＝100，
∴该鱼塘中草鱼的数量为100条．
故答案为：100条．
【分析】根据大量重复试验中的频率估计出概率，利用概率公式求得草鱼的数量即可．
13．一元二次方程x2－2x+m=0总有实数根，则m应满足的条件是
【答案】m≤1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵方程x2﹣2x+m=0总有实数根，∴△≥0，即4﹣4m≥0，∴﹣4m≥﹣4，∴m≤1．
【分析】一元二次方程总有实数根的条件为二次项系数不等于0，判别式△≥0，本题二次项系数不含m，因此仅考虑判别式即可求出m的范围.
14．将半径为30cm，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则圆锥底面半径的最大值为 cm．
【答案】10
【知识点】弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：设圆锥底面半径为R，
扇形的弧长＝ 120·π·30180 ＝20π，
所以20π＝2πR，
解得R＝10cm，
即圆锥底面半径的最大值为10cm．
故答案为10．
【分析】设圆锥底面半径为R，根据弧长公式可计算出弧长为20π，把此弧长围成一个圆锥的底面，则根据圆的周长公式得到圆锥底面半径．
15．一个用电器的电阻是可调节的，其调节范围为：110~220Ω．已知电压为220ᴠ，这个用电器的功率P的范围是： w．（P表示功率，R表示电阻，U表示电压，三者关系式为：P·R=U²）
【答案】220≤P≤440
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：三者关系式为：P·R=U²，可得P=U2R，
把电阻的最小值R=110代入P=U2R得，得到输出功率的最大值P=2202110=440，
把电阻的最大值R=220代入P=U2R得，得到输处功率的最小值P=2202220=220，
即用电器输出功率P的取值范围是220≤P≤440．
故答案为：220≤P≤440．
【分析】由于P=U2R，将R=110代入求出P的最大值，将R=220代入求出P的最小值，即得P的范围.
16．如图是一个圆环形黄花梨木摆件的残片，为求其外圆半径，小林在外圆上任取一点A，然后过点A作AB与残片的内圆相切于点D，作CD⊥AB交外圆于点C，测得CD＝15cm，AB＝60cm，则这个摆件的外圆半径是 cm．
【答案】37.5
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理
【解析】【解答】如图，设点O为外圆的圆心，连接OA和OC，
∵CD＝15cm，AB＝60cm，
∵CD⊥AB，
∴OC⊥AB，
∴AD＝ 12 AB＝30cm，
∴设半径为rcm，则OD＝(r﹣15)cm，
根据题意得：r2＝(r﹣15)2+302，
解得：r＝37.5，
∴这个摆件的外圆半径长为37.5cm，
故答案为37.5．
【分析】根据垂径定理求得AD＝30cm，然后根据勾股定理得出方程，解方程即可求得半径．
17．如图，已知四边形ABCD，AC与BD相交于点O，∠ABC=∠DAC=90°，tan∠ACB=12，BOOD=13，则SΔABDSΔCBD= ．
【答案】317
【知识点】三角形的面积；三角形的综合
【解析】【解答】解：过B点作BE//AD交AC于点E，
∵∠DAC=90°，
∴BE⊥AC，
∴△ADO∼△EBO，
∴AOEO=DOBO，
∵BOOD=13，
∴AOEO=DOBO=3，
∴AO=3EO，
∵tan∠ACB=12，
∴BECE=12，
∴CE=2BE，
∵∠ABC=90°，BE⊥AC，
∴∠ABE+∠CBE=∠CBE+∠ACB=90°，
∴∠ABE=∠ACB，
∴tan∠ACB=tan∠ABE=AEBE=12，
∴BE=2AE，
∴CE=2BE=4AE，
∴SΔABDSΔCBD=SΔOAB+SΔOADSΔOCB+SΔOCD=12AO⋅AD+12AO⋅BE12OC⋅AD+12OC⋅BE=AO(AD+BE)OC(AD+BE)=AOOC，
设OE=a，则AO=3a，
∴AE=AO+OE=4a，CE=16a，OC=OE+CE=17a．
∴SΔABDSΔCBD=AOOC=3a17a=317．
故答案为：317．
【分析】过B点作BE//AD交AC于点E，先证出△ADO∼△EBO，可得AOEO=DOBO，将数据代入求出AOEO=DOBO=3，再结合tan∠ACB=12，可得CE=2BE，设OE=a，则AO=3a，求出OC=OE+CE=17a．再将其代入SΔABDSΔCBD=SΔOAB+SΔOADSΔOCB+SΔOCD=12AO⋅AD+12AO⋅BE12OC⋅AD+12OC⋅BE=AO(AD+BE)OC(AD+BE)=AOOC即可得解。
18．如图，正方形ABCD的边长为1，AC、BD是对角线，将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG．则下列结论：①四边形AEGF是菱形；②△HED的面积是1﹣ 22 ；③∠AFG＝135°；④BC+FG＝ 3 ．其中正确的结论是 ．（填入正确的序号）
【答案】①②③
【知识点】三角形的面积；菱形的性质；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解： ∵ 正方形ABCD的边长为1，
∴∠BCD=∠BAD=90° ， ∠CBD=45° ， BD=2 ， AD=CD=1 ．
由旋转的性质可知： ∠HGD=BCD=90° ， ∠H=∠CBD=45° ， BD=HD ， GD=CD ，
∴HA=BG=2-1 ， ∠H=∠EBG=45° ， ∠HAE=∠BGE=90° ，
∴△HAE 和 △BGE 均为直角边为 2-1 的等腰直角三角形，
∴AE=GE ．
在 Rt△AED 和 Rt△GED 中，
DE=DEAD=GD ，
∴Rt△AED ≌ Rt△GED(HL) ，
∴∠AED=∠GED=12(180°-∠BEG)=67.5° ， AE=GE ，
∴∠AFE=180°-∠EAF-∠AEF=180°-45°-67.5°=67.5°=∠AEF ，
∴AE=AF ．
∵AE=GE ， AF⊥BD ， EG⊥BD ，
∴AF=GE 且 AF//GE ，
∴ 四边形AEGF为平行四边形，
∵AE=GE ，
∴ 平行四边形AEGF是菱形，故 ① 符合题意；
∵HA=2-1 ， ∠H=45° ，
∴AE=2-1 ，
∴△HED 的面积 =12DH×AE=12(2-1+1)(2-1)=1-22 ，故 ② 符合题意；
∵ 四边形AEGF是菱形，
∴∠AFG=∠GEA=2×67.5°=135° ，故 ③ 符合题意；
∵ 四边形AEGF是菱形，
∴FG=AE=2-1 ，
∴BC+FG=1+2-1=2 ，故 ④ 不符合题意．
故答案为：①②③．
【分析】依据四边形AEGF为平行四边形，以及 AE=GE ，即可得到平行四边形AEGF是菱形；依据 AE=2-1 ，即可得到 △HED 的面积 =12DH×AE=12(2-1+1)(2-1)=1-22 ；依据四边形AEGF是菱形，可得 ∠AFG=∠GEA=2×67.5°=135° ；根据四边形AEGF是菱形，可得 FG=AE=2-1 ，进而得到 BC+FG=1+2-1=2 ．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．
（1）计算：2-1-|-12|+(π-2023)0；
（2）解方程组：x-2y=102x+y=-5.
【答案】（1）解： 2-1-|-12|+(π-2023)0
= 12 - 12 +1
=1；
（2）解： x-2y=10①2x+y=-5②
由①，得 x=2y+10 ，
将 x=2y+10 代入②，
得 2(2y+10)+y=-5 ，
解得 y=-5 .
将 y=-5 代入 x=2y+10 ，得 x=0
所以方程组的解为 x=0y=-5 .
【知识点】实数的运算；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）首先根据负整数指数幂的性质、绝对值的性质及0指数幂的性质分别化简，再根据有理数的加减法法则计算即可；
（2）利用代入消元法解方程组，首先将①方程变形成用含y的式子表示x，然后将变形后的式子代入②方程可求出y的值，将y的值代入①方程变形后的方程可求出x的值，从而得到方程组的解.
20．先化简，再求值 (1-1a)÷a2-1a2+2a+1 ：其中a是不等式组 a-2≥2-a①2a-1【答案】解：原式= a-1a⋅(a+1)2(a+1)(a-1)=a+1a ，
解不等式组 a-2≥2-a①2a-1解不等式①得： a≥2 ，
解不等式②得： a<4 ，
∴不等式组的解集为 2≤a<4 ，
∴a的最小值为2
∴原式= 2+12=32 .
【知识点】分式的化简求值；解一元一次不等式组
【解析】【分析】先利用分式的混合运算法则化简分式，再解不等式组的解集求出最小整数解，代入即可解之.
21．每年的4月15日是我国全民国家安全教育日．某校开展了“国家安全法”知识竞赛，现从七、八年级学生中各抽取50名学生的竞赛成绩进行统计分析，相关数据整理如下．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a= ，b= ，c= ；
（2）估计该校七、八年级共600名学生中竞赛成绩达到90分及以上的人数；
（3）请你对两个年级学生的“国家安全法”知识竞赛成绩作出评价（从“平均数”“中位数”或“众数”中的一个方面评价即可）．
【答案】（1）70；80；80
（2）解：由题意知，抽取的七年级学生中竞赛成绩达到90分及以上的人数为6+14=20（人）；
抽取的八年级学生中竞赛成绩达到90分及以上的人数为(20%+10%)×50=15（人），
∴七、八年级共600名学生竞赛成绩达到90分及以上的人数为600×20+15100=210（人）．
答：该校七、八年级共600名学生中竞赛成绩达到90分及以上的人数为210人．
（3）解：从平均数来看：七年级、八年级学生竞赛成绩的平均数分别为80.8分，80分，说明七年级学生竞赛成绩的平均数大于八年级学生竞赛成绩的平均数，故七年级学生的竞赛成绩较好．
从中位数来看：七年级、八年级学生竞赛成绩的中位数分别为70分，80分，说明八年级学生竞赛成绩的中位数大于七年级学生竞赛成绩的中位数，故八年级学生的竞赛成绩较好．
从众数来看：七年级、八年级学生竞赛成绩的众数分别为70分，80分，说明七年级学生竞赛成绩中70分最多，八年级学生竞赛成绩中80分最多，故八年级学生的竞赛成绩较好．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；分析数据的集中趋势
【解析】【解答】（1）解：七年级的中位数为70+702=70（分）；
八年级的平均数为60×10%+70×20%+80×40%+90×20%+100×10%=80（分），众数为80分．
故答案为：70，80，80；
【分析】（1）根据中位数和平均数的定义，结合统计图中的数据计算求解即可；
（2）先求出 抽取的七年级学生中竞赛成绩达到90分及以上的人数为 20人，再求解即可；
（3）根据平均数，中位数和众数的定义求解即可。
22．甲、乙、丙三人到某商场购物，他们同时在该商场的地下车库等电梯，三人都任意从1至3层的某一层出电梯．
（1）求甲、乙两人从同一层楼出电梯的概率；
（2）甲、乙、丙三人从同一层楼出电梯的概率为 .
【答案】（1）解：由图可知，只涉及甲和乙的共有9种等可能结果出现，其中有3种是两人在同一层楼出的电梯，
∴P（甲乙两人从同一层楼出电梯）= 39=13
（2）19
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：（2）由图可知，涉及甲、乙、丙三人的共有27种等可能结果出现，其中有3种是三人在同一层楼出电梯，
∴P（甲乙丙三人从同一层楼出电梯）= 327=19 .
【分析】（1）根据题意画出树状图，由图知只涉及甲和乙的共有9种等可能结果出现，其中有3种是两人在同一层楼出的电梯，根据概率公式即可求出甲乙两人从同一层楼出电梯的概率；
（2）根据题意画出树状图，涉及甲、乙、丙三人的共有27种等可能结果出现，其中有3种是三人在同一层楼出电梯，根据概率公式即可求出甲乙丙两人从同一层楼出电梯的概率；
23． 每年的6月6日是全国爱眼日，眼睛是人类感官中最重要的器官之一，不当的用眼习惯会影响健康.某校在爱眼日到来之际，计划购买A、B两类护眼用具，已知A类护眼用具每个的价格比B类护眼用具便宜5元，且用1000元购买的A类护眼用具的个数与用1500元购买的B类用具的个数相同.求A、B两类护眼用具的单价各是多少元？
【答案】解：设A类护眼用具的单价为x元，则B类护眼用具的单价为(x+5)元，
由题意得：1000x=1500x+5，
解得：x=10，
经检验，x=10是原方程的解，且符合题意，
∴x+5=10+5=15，
答：A类护眼用具的单价为10元，B类护眼用具的单价为15元．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】设A类护眼用具的单价为x元，则B类护眼用具的单价为(x+5)元，根据“用1000元购买的A类护眼用具的个数与用1500元购买的B类用具的个数相同”列出方程1000x=1500x+5，再求解即可.
24．如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD=2BC，∠ABD=90°，E为AD的中点，连接BE．
（1）求证：四边形BCDE为菱形；
（2）连接AC，若AC平分∠BAD，判断AC与CD的数量关系和位置关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵AD=2BC，E为AD的中点，
∴DE=BC，
∵AD∥BC，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∵∠ABD=90°，AE=DE，
∴BE=DE，
∴四边形BCDE是菱形．
（2）解：连接AC．
∵AD∥BC，AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC=∠BCA，
∴AB=BC=1，
∵AD=2BC=2，
∴sin∠ADB= 12 ，
∴∠ADB=30°，
∴∠DAC=30°，∠ADC=60°，
在Rt△ACD中，∵AD=2，
∴CD=1，AC= 3 ．
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由DE=BC，DE∥BC，推出四边形BCDE是平行四边形，再证明BE=DE即可解决问题；
（2）先证明△ABE是等边三角形，利用等边三角形的性质和三角函数可得答案.
25．如图，四边形ABCD为矩形，E为BC边中点，连接AE，以AD为直径的⊙O交AE于点F，连接CF．
（1）求证：CF与⊙O相切；
（2）若AD=2，F为AE的中点，求AB的长．
【答案】（1）证明：如图所示：连接OF、OC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD=BC，∠ADC=90°，∵E为BC边中点，AO=DO，
∴AO=12AD，EC=12BC，
∴AO=EC，AO∥EC，
∴四边形OAEC是平行四边形，∴AE∥OC，∴∠DOC=∠OAF，∠FOC=∠OFA，∵OA=OF，∴∠OAF=∠OFA，∴∠DOC=∠FOC，∵在△ODC和△OFC中，∴△ODC≌△OFC（SAS），∴∠OFC=∠ODC=90°，∴OF⊥CF，∴CF与⊙O相切；
（2）解：如图所示：连接DE，
∵AO=DO，AF=EF，AD=2，
∴DE=20F=2，
∵E是BC的中点，
∴EC=1，
在Rt△DCE中，由勾股定理得：
DC=DE2-EC2=22-12=3，
∴AB=CD=3．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；切线的判定
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的判定方法得出四边形OAEC是平行四边形，进而得出△ODC≌△OFC（SAS），求出OF⊥CF，进而得出答案；
（2）利用勾股定理得出DC的长，即可得出AB的长，
26．绵州大剧院举行专场音乐会，成人票每张20元，学生票每张5元，暑假期间，为了丰富广大师生的业余文化生活，影剧院制定了两种优惠方案，方案1：购买一张成人票赠送一张学生票；方案2：按总价的90%付款，某校有4名老师与若干名（不少于4人）学生听音乐会．
（1）设学生人数为x（人），付款总金额为y（元），分别建立两种优惠方案中y与x的函数关系式；
（2）请计算并确定出最节省费用的购票方案．
【答案】（1）解：按优惠方案①可得
y1=20×4+（x﹣4）×5=5x+60（x≥4），
按优惠方案②可得
y2=（5x+20×4）×90%=4.5x+72（x≥4）
（2）解：因为y1﹣y2=0.5x﹣12（x≥4），
①当y1﹣y2=0时，得0.5x﹣12=0，解得x=24，
∴当购买24张票时，两种优惠方案付款一样多．
②当y1﹣y2＜0时，得0.5x﹣12＜0，解得x＜24，
∴4≤x＜24时，y1＜y2，优惠方案①付款较少．
③当y1﹣y2＞0时，得0.5x﹣12＞0，解得x＞24，
当x＞24时，y1＞y2，优惠方案②付款较少
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）首先根据优惠方案①：付款总金额=购买成人票金额+除去4人后的学生票金额；优惠方案②：付款总金额=（购买成人票金额+购买学生票金额）×打折率，列出y关于x的函数关系式，（2）根据（1）的函数关系式求出当两种方案付款总金额相等时，购买的票数．再就三种情况讨论．
27．【操作与发现】
如图①，在正方形ABCD中，点N，M分别在边BC、CD上．连接AM、AN、MN．∠MAN=45°，将△AMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而可得：DM+BN=MN．
（1）【实践探究】在图①条件下，若CN＝6，CM＝8，正方形ABCD的边长是 ．
（2）如图②，在正方形ABCD中，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM、AN、MN，∠MAN=45°，若tan∠BAN=13， ，求证：M是CD的中点．
（3）【拓展】如图③，在矩形ABCD中，AB=12，AD=16，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM、AN，已知∠MAN=45°，BN=4，则DM的长是 ．
【答案】（1）12
（2）证明：设BN＝m，DM＝n，
由（1）可知，MN＝BN+DM＝m+n，
∵∠B＝90°，tan∠BAN＝13，
∴tan∠BAN＝BNAB＝13 ，
∴AB＝3BN＝3m，
∴CN＝BC﹣BN＝2m，CM＝CD﹣DM＝3m﹣n，
在Rt△CMN中，由勾股定理得：（3m）2+（3m﹣n）5＝（m+n）2，
整理得：3m＝3n，
∴CM＝2n﹣n＝n，
∴DM＝CM，
即M是CD的中点；
（3）8
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；旋转的性质；四边形的综合
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD=AD，∠BAD=∠C=∠D=90°，
由旋转的性质得△ABE≌△ADM，
∴BE=DM，∠BAE=∠DAM，
∴∠BAE+∠BAM=∠DAM+∠BAM=∠BAD=90°，即∠EAM=90°，
∵∠MAN=45°，
∴∠EAN=90°-45°=45°，
∴∠MAN=∠EAN，
在△AMN与△AEN中，
∵AM=AE，∠MAN=∠EAN，AN=AN，
∴△AMN≌△AEN（SAS），
∴MN=EN，
∵EN=BE+BN=DM+BN，
∴MN=BN+DM，
在Rt△CMN中，由勾股定理得MN=CN2+CM2=10，
则BN+DM=10，
设正方形ABCD的边长为x，则BN=BC-CN=x-6，DM=CD-CM=x-8，
∴x-6+x-8=10，
解得x=12，
即正方形ABCD的边长为12；
故答案为：12；
（3）如图，延长AB至点P，使BP=BN=4，过点P作PQ∥BC，交DC的延长线于点Q，延长AN交PQ于点E，连接ME，
∵PQ∥BC，AD∥BC，
∴AD∥PQ，
又AP∥DQ，
∴四边形APQD是平行四边形，
∵AD=AP=AB+BP=16，∠D=90°，
∴平行四边形APQD是正方形，
∴PQ=DQ=16，
设DM=a，则MQ=16-a，
∵PQ∥BC，
∴△ABN∽△APE，
∴BNPE=ABAP=1216=34，
∴PE=43BN=163，
∴EQ=PQ-PE=323，
由（1）得EM=PE+DM=163+a，
在Rt△QEM中，由勾股定理得EQ2+MQ2=ME2，
即3232+16-a2=163+a2，
解得a=8，
即DM=8.
故答案为：8.
【分析】（1）由正方形性质得AB=CD=AD，∠BAD=∠C=∠D=90°，由旋转得△ABE≌△ADM，则BE=DM，∠BAE=∠DAM，推出∠MAN=∠EAN，从而用SAS证出△AMN≌△AEN，得MN=EN，由线段的和差及等量代换得MN=BN+DM，在Rt△CMN中，由勾股定理算出MN=10，设正方形ABCD的边长为x，则BN=BC-CN=x-6，DM=CD-CM=x-8，从而可建立关于x的方程，求解即可解决此题；
（2）设BN＝m，DM＝n，由（1）可知，MN＝BN+DM＝m+n，在△ABN中，利用∠BAN的正切函数得AB＝3BN＝3m，然后根据正方形的各边相等及线段的和差得CN＝BC﹣BN＝2m，CM＝CD﹣DM＝3m﹣n，在Rt△CMN中，由勾股定理建立方程可得3m＝3n，从而可求出CM=n，根据线段中点的定义即可得出结论；
（3）延长AB至点P，使BP=BN=4，过点P作PQ∥BC，交DC的延长线于点Q，延长AN交PQ于点E，连接ME，首先证出四边形APQD是正方形，得PQ=DQ=16，设DM=a，则MQ=16-a，由平行于三角形一边得直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△ABN∽△APE，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出PE的长，从而可求出EQ的长，由（1）得EM=PE+DM=163+a，在Rt△QEM中，由勾股定理建立方程可求出a的值，从而此题得解.
28．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0) 的顶点坐标为C(3，6)，与 y 轴交于点B(0，3)，点A是对称轴与 x 轴的交点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①所示，直线AB交抛物线于点E，连接BC、CE，求△BCE的面积；
（3）如图②所示，在对称轴AC的右侧作∠ACD＝30°交抛物线于点D，求出D点的坐标；并探究：在 y 轴上是否存在点Q，使∠CQD＝60°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）∵抛物线顶点坐标为C（3，6），
∴设抛物线解析式为 y=a(x-3)2+6 ，
将B（0，3）代入可得 a=-13 ，
∴y=-13(x-3)2+6 ，即 y=-13x2+2x+3 .
（2）设直线AB： y=kx+3 ，
将A(3，0)代入上式并解得 k=-1 ，
∴直线AB： y=-x+3 .
联立 y=-x+3 、 y=-13x2+2x+3 ，得 -13x2+2x+3=-x+3 ，
解得 x1=0，x2=9 ，
∴E(9，-6)，
∴SΔBCE=SΔABC+SΔACE=6×32+6×(9-3)2=27 .
（3）设D点的坐标为 (t，-13t2+2t+3) ，
过D作对称轴的垂线，垂足为G，
则 DG=t-3，CG=6-(-13t2+2t+3)=13t2-2t+3 ，
∴∠ACD＝30°，∴2DG＝DC，
在Rt△CGD中，CG＝ 3 DG，
∴3(t-3)=13t2-2t+3 ，
∴t＝3+3 3 或t＝3（舍）
∴D（3+3 3 ，﹣3），
∴AG＝3，GD＝3 3 ，
连接AD，在Rt△ADG中，
∴AD＝ AG2+GD2 ＝6，
∴AD＝AC＝6，∠CAD＝120°，
∴在以A为圆心、AC为半径的圆与y轴的交点为Q点，
此时，∠CQD＝ 12 ∠CAD＝60°，
设Q（0，m），AQ为⊙A的半径，
AQ2=QA2+QO2=9+m2 ，
∴AQ2=AC2 ，
∴9+m2=36 ，
∴m=33或-33 ，
综上所述：Q点坐标为（0， 33 ）或（0， -33 ）.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）通过设顶点式，再将点B的坐标代入求解即可；
（2）先求出AB的解析式，联立直线与抛物线的解析式，解方程组求出E的坐标，从而利用割补法计算面积即可；
（3）作DG垂直于对称轴，在 Rt△CDG 中求解即可得到D的坐标，此时以A为圆心，AC为半径作圆弧，与y轴交于点Q，则满足∠CQD＝60°，从而在 Rt△AQO 中计算即可得到结果.
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
七年级
80.8
a
70
八年级
b
80
c
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
七年级
80.8
a
70
八年级
b
80
c