22，重庆市开州区云枫教育集团2023-2024学年九年级下学期4月月考数学试题

这是一份22，重庆市开州区云枫教育集团2023-2024学年九年级下学期4月月考数学试题，共32页。试卷主要包含了作图请一律用，黑色签字笔完成；，据此即可解答等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答；
2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项；
3．作图（包括作辅助线）请一律用，黑色签字笔完成；
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1. 的绝对值是（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了求一个数的绝对值，解题的关键是掌握正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．据此即可解答．
【详解】解：的绝对值是2，
故选：A．
2. 下面四个图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义：一个平面图形，绕一点旋转，与自身完全重合．逐一进行判断即可．
【详解】A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、是中心对称图形，符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意；
故选B．该试卷源自 每日更新，享更低价下载。【点睛】本题考查中心对称图形．熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键．
3. 下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（ ）
A. 了解一批圆珠笔的使用寿命B. 了解全国九年级学生身高的现状
C. 考查人们保护海洋的意识D. 检查一枚用于发射卫星的运载火箭的各零部件
【答案】D
【解析】
【详解】A、了解一批圆珠笔芯的使用寿命，由于具有破坏性，应当使用抽样调查，故本选项错误；
B、了解全国九年级学生身高的现状，人数多，耗时长，应当采用抽样调查的方式，故本选项错误；
C、考察人们保护海洋的意识，人数多，耗时长，应当采用抽样调查的方式，故本选项错误；
D、检查一枚用于发射卫星的运载火箭的各零部件，事关重大，应用普查方式，故本选项正确；
故选：D．
4. 如图，以点O为位似中心，将放大后得到，若，，则与的面积比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了位似变换：位似的两图形两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行（或共线）．
利用位似性质得到，然后根据相似三角形的性质求解．
【详解】解：以点为位似中心，将放大后得到，
，
．
即与的面积比为．
故选：C．
5. 估计的值应在（ ）
A. 4和5之间B. 5和6之间C. 6和7之间D. 7和8之间
【答案】A
【解析】
【分析】先计算，再进行无理数的估算，即可作答．
【详解】
，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算等知识，掌握二次根式的混合运算法则，是解答本题的关键．
6. 下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（ ）
A. a2-ab=a（a-b）B. a2-8a-16=（a-4）2
C. ab3-ab=ab（b2-1）D. a2+b2=（a+b）2
【答案】A
【解析】
【分析】根据因式分解的定义，利用提公因式法和公式法即可判断．
【详解】解：a2-ab=a（a-b），故A选项正确；
，故B选项错误；
，故C选项错误；
不能进行因式分解，故D选项错误，
故选：A．
【点睛】本题考查了因式分解的定义，熟练掌握其定义，利用提公因式法和公式法分解因式是解题的关键．
7. 某校九年级（1）班学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了1980张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为
A. B. x（x+1）=1980
C. 2x（x+1）=1980D. x（x-1）=1980
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意得：每人要赠送（x﹣1）张相片，有x个人，然后根据题意可列出方程．
【详解】根据题意得：每人要赠送（x﹣1）张相片，有x个人，
∴全班共送：（x﹣1）x=1980，
故选D．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，本题要注意读清题意，弄清楚每人要赠送（x﹣1）张相片，有x个人是解决问题的关键.
8. 如图，是的直径，点C、D都在上，若，则的大小为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理及推论，熟练掌握圆周角定理及推论是解题的关键；由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得，由是的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得，继而求得答案．
【详解】解：，
，
是的直径，
，
．
故选：B．
9. 如图，矩形对角线相交于点O，平分交于点E，过点A作交于F点，若，则的长为（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，由题意得可推出是等腰直角三角形，求出；可知是的中位线，即可求解．
【详解】解：由题意得：，点是的中点，
∵平分
∴
∴是等腰直角三角形
∵，
∴点是的中点，
∴
∴
∴
∴
故选：B
10. 对于关于x，y的多项式，（m、n为常数），下列结论正确的个数有（ ）
①当时，若，则；
②无论y取任何实数，等式都恒成立，则；
③当，时，若，则；
④当，时，若，则．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】A
【解析】
【分析】根据整式的加减运算法则、完全平方公式、绝对值的性质、二次根式的性质即可求出答案．
【详解】解: ①当时,,
若, 则,
∴，
即或, 故①错误；
②，
∴，
∴，故②正确；
③当时，
，
即，
将看作一个整体，
解得：，故③错误；
④当时,, 若，
，
∴
即，
当时，，
解得：，
当时，，此方程无解；
当时，，
解得：，
∴或，故④错误；
综上分析可知，正确的有1个，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题考查多项式的计算，非负数的性质，解一元二次方程，二次根式的性质等知识，掌握运算法则是解题的关键．
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11. 计算：______________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了乘方，特殊角三角函数值，熟练掌握函数值是解题的关键．
【详解】
，
故答案为：．
12. 若单项式与是同类项，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了同类项的定义，同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点．
根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）列出方程，求出，的值，再代入代数式计算即可．
【详解】解：根据题意得，，
解得，．
则．
故答案为：．
13. 有五张正面分别标有数字，，0，1，2的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，则前后两次抽取的数字之积为正数的概率为 __________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：列表如下：
由表知，共有25种等可能结果，其中前后两次抽取的数字之积为正数的有8种结果，
所以前后两次抽取的数字之积为正数的概率为，
故答案为：．
14. 直线y＝2x＋4与x轴、y轴分别交于A、B两点，与函数（k＞0，x＞0）的图象交于点C． 过点C作CD⊥x轴，垂足为点D，若BO＝2OD，则k的值为______．
【答案】16
【解析】
【分析】先求一次函数与坐标轴交点坐标，得出OA、OB的长，再证△OAB∽△DAC，可求出CD长，即可得C点坐标，就可求k的值．
【详解】解：把x=0代y=2x+4，得：y=2×0+4=4．
把y=0代入y=2x+4，解得x=-2，
∴A（-2，0），B（0，4），即AO=2，BO=4，
∵BO=2OD，
∴OD=2，
∴AD=4，
∵CD⊥x轴，
∴BOCD，
∴△OAB∽△DAC，
∴==，
∴
∴CD=8，
∴点C的坐标为（2，8），
∵点C在反比例函数y=（k＞0，x＞0）的图象上，
∴k=2×8=16，
故答案为16．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数与坐标轴的交点，相似三角形判定与性质，求得C的坐标是解题的关键．
15. 如图，在菱形中，，，分别以点A，C为圆心，，为半径画弧，图中阴影部分面积为______（结果保留π）．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，扇形的面积．过点D作于点E，由得到，从而，运用勾股定理求得，从而得到菱形的面积，利用扇形的面积公式可求得扇形和扇形的面积，而阴影部分的面积等于扇形和扇形的面积和减去菱形的面积，即可解答．
【详解】过点D作于点E，

∵四边形是菱形，
∴，，
∵，即，
∴，
∴，
，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
16. 如图，四边形是矩形，，，点E，点F分别为边的中点，点M是边上一点．将沿翻折后得到，点N恰好在线段上，则点N与点D之间的距离为______．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，解直角三角形，利用折叠的性质与矩形的性质，证明为等边三角形，求出，进而得到，再利用勾股定理即可求解．
【详解】解：连接，

∵把沿翻折．当点A的对应点N恰好落在上，
∴，
又∵点E，点F分别为边的中点，，，
，，
，
，
，即，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
，
，
，
故答案为：．
17. 若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 _____．
【答案】10
【解析】
【分析】本题主要考查了不等式组的解集和分式方程的正整数解的问题，首先根据不等式组的已知解集求出的取值范围，然后利用分式方程的正整数解求出的取值范围，最后结合两个条件得出答案．
【详解】解：不等式组解得，
关于x的一元一次不等式组的解集，
，
，
分式方程，
，
此方程有正整数解，
，
但是，
，
，
整数解且使y有正整数解有或4或6，
所有满足条件的整数a的值之和是10．
故答案为：10．
18. 如果一个四位自然数M各数位上的数字互不相等，若千位上的数字与个位上的数字之差等于十位上的数字与百位上的数字之和，则称这样的四位数为“和差数”．若将M的千位上的数字与个位上的数字对调，百位上的数字与十位上的数字对调，组成一个新的四位数记为，则．若为“和差数”，且，则______________．若将M的千位上的数字与十位上的数字对调，百位上的数字与个位上的数字对调，组成一个新的四位数记为，并规定．若“和差数”，且满足为整数，则满足条件的M的最大值为______________．
【答案】 ①. 10 ②. 9162
【解析】
【分析】本题主要考查了新定义，列代数式，整式的加减运算，理解新定义的运算是解题的关键．
根据“和差数”定义，得，，则，再根据为“和差数”，得，求出m、n的值，即可求解；
根据，，，则，再根据为整数，即可求出a、b值，然后由M各数位上的数字互不相等且均不为零，且M取最大值，求出c、d值，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为“和差数”，
∴，
∴，
把代入，
解得：，
∴，
∴；
∵，，，
∴，
∴
∵为整数，即为整数
∴，，d为任数字，
∵当a最大时M最大，
∴，
∵M是“和差数”，
∴
∴
∵M各数位上的数字互不相等且均不为零，且M取最大值，
∴，，
∴
故答案为：10；9162．
三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了整式及分式的混合运算，注意计算的准确性即可．
（1）利用平方差公式及单项式乘多项式的法则进行计算即可；
（2）先算括号里面的，再算除法即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
．
20. 小红非常喜欢钻研数学，学了多边形的相关知识后，她想探究：如果一个四边形（轴对称图形除外）的一组对角都为，那么另一组对角的角平分线有怎样的位置关系？请完成以下作图和填空：
如图，在四边形中，，平分．
（1）尺规作图：作的平分线交于点F．（只保留作图痕迹）
（2）探究：与的位置关系，将下面的过程补充完整．
解：∵且
∴______
∵平分，平分
∴，
∴
∵在中，
∴
∴______
∴______
通过推理论证，小红得到命题：如果一个四边形（轴对称图形除外）的一组对角都为，那么______．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了平行线的判定和余角的性质，熟练掌握运用这些基础知识点是解题关键．
（1）利用基本作图作的平分线即可；
（2）先利用四边形内角和得到，再根据角平分线的定义得到，，则，然后证明，从而得到，即可判断．
【小问1详解】
解：如图，为所作；
【小问2详解】
解：∵且，
，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
．
通过推理论证，小红得到命题：如果一个四边形（轴对称图形除外）的一组对角都为，那么另一组对角的平分线互相平行．
21. 今年3月21日是二十四节气中的春分，为了了解学生掌握中华传统节气知识的情况，增强学生民族自豪感．重庆一中举行了“春趣盎然，莫负春分好时光”为主题的知识竞答活动．先从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞答成绩（满分10分，6分及6分以上为合格）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
七年级20名学生的测试成绩为：9，9，8，5，8，7，6，6，9，7，6，7，9，7，10，6，7，8，7，9．
八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图：
七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、8分及以上人数所占百分比如下表所示：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述表中的a，b，c的值；
（2）根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握传统节气知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校七、八年级共1600名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是多少？
【答案】（1），，
（2）八年级学生掌握传统节气知识较好，见解析
（3）1480人
【解析】
【分析】（1）根据众数和中位数的定义即可求出a和b的值．求出八年级学生成绩为8分及以上的人数，再除以八年级被调查的总人数即可得出c的值；
（2）由平均数和中位数的定义即可解答；
（3）求出七、八年级样本中成绩合格的学生人数所占百分比，再乘总人数即可．
【小问1详解】
由题中数据可知七年级20名学生的测试成绩为7分的人数最多，
∴；
八年级学生的成绩按顺序排列后位于最中间的两名同学的成绩分别为7分和8分，
∴；
由题中数据可知八年级学生成绩为8分及以上的人数有人，
∴；
【小问2详解】
我认为八年级学生掌握传统节气知识较好，
理由：因为七年级、八年级学生知识竞答活动的平均分一样均为7.5分，但是八年级的中位数为7.5分大于七年级的中位数7分．因此我认为八年级学生掌握传统节气知识较好；
【小问3详解】
（人），
答：估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是1480人．
【点睛】本题考查条形统计图，众数和中位数的定义，由样本估计总体等知识．理解题意，由题意和统计图得到必要的信息和数据是解题关键．
22. 喜迎熊猫丫丫回国，重庆一玩具加工厂计划甲车间加工熊猫玩偶600个．工作5天后还未加工完，于是增加了工人人数，增加工人后每天加工玩偶的个数比增加前多加工20个，又加工了两天才完成了任务．
（1）求甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数；
（2）由于该玩偶深受消费者喜欢，工厂决定扩大生产，安排乙车间加工生产该熊猫玩偶1000个，该车间在加工完成一半后，改进了加工技术，每天比改进技术前多加工，结果提前2天完成任务，求乙车间改进技术前每工天加工玩偶的个数．
【答案】（1）增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为个
（2）乙车间改进技术前每工天加工玩偶的个数为个
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用、分式方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程及一元一次方程是解此题的关键．
（1）设甲车间增加前每天加工熊猫玩偶的个数为个，则增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为个，根据“工作5天后还未加工完，于是增加了工人人数，增加工人后每天加工玩偶的个数比增加前多加工20个，又加工了两天才完成了任务”，列出方程，解方程即可得到答案；
（2）设乙车间改进技术前每工天加工玩偶的个数为个，则改进技术后每天加工玩偶的个数为个，根据“提前2天完成任务”，列出方程，解方程即可．
【小问1详解】
解：设甲车间增加前每天加工熊猫玩偶的个数为个，则增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为个，
由题意得：，
解得：，
个，
增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为个；
小问2详解】
解：设乙车间改进技术前每工天加工玩偶的个数为个，则改进技术后每天加工玩偶的个数为个，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
乙车间改进技术前每工天加工玩偶的个数为个．
23. 如图，中，，，，动点M、N分别以每秒3个单位长度、4个单位长度的速度同时从A出发，点M沿折线方向运动，点N沿折线方向运动，点M到达点B后，点M、点N的运动速度均变为每秒1个单位长度运动，当两点相遇时停止运动，设运动时间为t秒，点M、N的距离为y．
（1）请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数图象，写出M，N两点相距5个单位长度时t的值．
【答案】（1）
（2）图象见解析，当时，函数值随自变量的增大而增大（答案不唯一）
（3）t的值为或
【解析】
【分析】本题是动点问题，考查了勾股定理，求函数解析式，画一次函数图象，已知函数值求自变量值等知识，注意分类讨论．
（1）分及两种情况考虑，对前一情况，利用勾股定理即可，对后一情况，利用两点运动路程和与的和为10即可解决；
（2）由（1）中求得的函数关系式画出函数图象，根据图象即可写出一条性质即可；
（3）根据所求得的函数关系式，求出当时的自变量值即可．
【小问1详解】
解：由勾股定理得：；
当M、N分别运动到点B、C时，运动时间为（秒）；当M、N在上相遇时，，解得；
①当时，M、N分别在边上，此时，
由勾股定理得；
②当时，M，N两点在边上，此时，
∵，
∴；
综上，所得函数关系式为；
【小问2详解】
解：函数图象如下：
当时，函数值随自变量的增大而增大（答案不唯一）；
【小问3详解】
解：当时，，得；
当时，，得；
故当M，N两点相距5个单位长度时，t的值为或．
24. 在公园里，同一平面内的五处景点的道路分布如图所示，经测量，点均在点的正北方向且米，点在点的正西方向，且米，点在点A的南偏东方向且米，点在点A的东北方向．（参考数据：）
（1）求道路的长度（结果保留根号）；
（2）若甲从A点出发沿的路径去点，与此同时乙从点出发，沿的路径去点，在两人速度相同的情况下谁先到达点E？（结果精确到十分位）
【答案】（1）道路的长度约为米
（2）乙先到达点E
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，勾股定理的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）过点A作，交的延长线于点，过点A作，垂足为，根据题意可得：，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答；
（2）利用（1）的结论可求出的长，再在中，利用勾股定理可求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出甲和乙的路程，最后进行判定即可解答．
【小问1详解】
解：过点A作，交的延长线于点，过点A作，垂足为，如图所示：
由题意得：
，，
在中，，米，
（米，
（米，
米，
米，
（米，
米，
在中，，
（米，
道路的长度约为米；
【小问2详解】
解：米，米，
（米，
在中，米，
（米，
在中，，
（米，
甲的路程（米），
乙的路程（米，
∵，两人速度相同，
∴乙先到达点E．
25. 如图，抛物线经过点，且交x轴于，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，过点D作轴，垂足为M，点P在直线下方抛物线上运动，过点P作，，求的最大值，以及此时点P的坐标．
（3）将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，在平移后的抛物线上存在点G，使得，请写出所有符合条件的点G的横坐标，并写出其中一个的求解过程．
【答案】（1）
（2）最大值为，
（3）或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求出直线解析式为，证明，得到，再证明是等腰直角三角形，得到，则，设，则，，求出，，则，利用二次函数的性质即可求出答案；
（3）求出，得到，进而推出将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，相当于把原抛物线向上平移个单位长度，再向左平移1个单位长度，则平移后的抛物线解析式为；如图所示，取点，连接，证明是等腰直角三角形，且，得到，则与抛物线 的交点即为点G，同理可得直线的解析式为，联立得，解得或（舍去），则点G的坐标为；同理当取点时，可证明是等腰直角三角形，且，则，同理可求出点G的坐标为．
【小问1详解】
解：把，代入中得：
，
∴，
∴抛物线解析式为；
【小问2详解】
解：设直线解析式为，设交于H，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
设，则，，
∴，，
∴
，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴
∴
【小问3详解】
解：∵抛物线交y轴于点C．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，相当于把原抛物线向上平移个单位长度，再向左平移1个单位长度，
∵原抛物线解析式为，
∴平移后的抛物线解析式为；
如图所示，取点，连接，
∵，，
∴，，，
∴，
∴是等腰直角三角形，且，
∴，
∴与抛物线 的交点即为点G，
同理可得直线的解析式为，
联立得，
解得或（舍去），
∴点G的坐标为；
同理当取点时，可证明是等腰直角三角形，且，
∴，
∴与抛物线 的交点即为点G的位置，
同理可得直线的解析式为，
连接得，
解得或（舍去），
∴点G的坐标为；
综上所述，点G坐标为或．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理得逆定理等等，通过构造等腰直角三角形得到45度的角是解题的关键．
26. 已知如图，是等边三角形，点D是直线上一动点，连接，将绕点A逆时针旋转后得到，连接．

（1）如图1，当时，与相交于点F，若，求的长；
（2）如图2，当点D在的延长线上时，连接，延长交于点N，点M是的中点，连接，求证：；
（3）如图3，点D在运动过程中，当最短时，直接写出值．
【答案】（1）2 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据等边三角形性质求出，再根据旋转性质求得，根据含角的直角三角形性质即得；
（2）延长到点K，使得，连接，根据等边三角形性质证明， ，得到，，结合旋转性质证明，， ，证明，得到，，根据三角形的中位线性质得到，根据即得；
（3）将绕点A逆时针旋转，得到，连接，延长交的延长线于点H，设等边的边长为2，得到，，根据， ，推出，推出，得到，E点在直线上运动，得到时最短，证明，，到四边形是平行四边形，根据，得到是菱形，得到，当时，根据，得到，得到，得到，根据，，得到，即得．
【小问1详解】
解：∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
由旋转知，，，
∴，
，
∴；
【小问2详解】
证明：延长到点K，使得，连接，如图2所示，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
由旋转知，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，，
∵点M是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问3详解】
如图3所示，将绕点A逆时针旋转，得到，连接，延长交的延长线于点H，设等边的边长为2，
则，，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴E点在直线上运动，
∴当时最短，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴ ，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴是菱形，
∴，
当时，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形，旋转，四边形综合．熟练掌握等边三角形性质，等腰三角形性质，旋转性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，含的直角三角形性质，是解决问题的关键．0
1
2
9
6
0
6
4
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
2
0
2
4
年级
平均数
众数
中位数
8分及以上人数所占百分比
七年级
7.5
7
45%
八年级
7.5
8
b
c