2024年山东省青岛二十六中中考数学三模试卷附解析

这是一份2024年山东省青岛二十六中中考数学三模试卷附解析，共36页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）华为一部分Mate40手机将会搭载麒麟9000处理器，这是手机行业首批采用5nm工艺制式的芯片，1nm＝0.000000001m，其中5nm用科学记数法表示为（ ）
A．5×109B．5×10﹣10C．5×10﹣8D．5×10﹣9
2．（3分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．ab＞0B．a+b＞0C．|a|＜|b|D．a+1＜b+1
3．（3分）2024年巴黎奥运会是第三十三届夏季奥林匹克运动会，将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行．下面2024年巴黎奥运会项目图标是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）在一个不透明的袋中装有若干个红球和4个黑球，每个球除颜色外完全相同，摇匀后从中摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，不断重复这一过程，共摸球200次，其中有80次摸到黑球，估计袋中红球的个数是（ ）
A．2B．4C．6D．8
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．（﹣1）﹣1+（﹣1）0＝0
C．35x3y2÷5x2y2＝7xyD．a2m＝（﹣a2）m
6．（3分）如图几何体的三视图绘制正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（3分）把直角三角板ABC和长方形纸片按如图方式摆放，使直角顶点C在纸片边缘上，若∠A＝30°，∠1＝55°，则∠2的度数是（ ）
A．12.5°B．15°C．25°D．35°
8．（3分）如图，将△ABC绕点P按逆时针方向旋转45°，得到△A′B′C′，则点C的对应点C′的坐标是（ ）
A．（1，2）B．（1，+1）C．（2，1）D．（+1，1）
9．（3分）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE折叠后得到△AFE，点F在矩形内部．延长AF交CD于点H，若AD＝4，CH＝，则折痕AE的长为（ ）
A．B．2C．3D．2
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：
①abc＞0；
②b2＜4ac；
③2c＜3b；
④a+2b＞m（am+b）（m≠1）；
⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为2，
其中正确的结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）分解因式：﹣m+2m2﹣m3＝ ．
12．（3分）某海洋养殖场每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖场第一年的可变成本为2.6万元，第三年的养殖成本为7.146万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x，则可列方程为 ．
13．（3分）已知三个数据x1，x2，x3的平均数为2，方差为1，则，，的平均数为 ．
14．（3分）为预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”．如图所示，药物燃烧阶段，教室内每立方米空气中的含药量y（mg）与燃烧时间x（分）成正比例；燃烧后，y与x成反比例．若y＞1.6，则x的取值范围是 ．
15．（3分）一透明的敞口正方体容器装有一些液体，棱AB始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α，（∠CBE＝α，如图1所示），此时液面刚好过棱CD，并与棱BB'交于点Q，此时液体的形状为直三棱柱，三视图及尺寸如图2所示，当正方体平放（正方形ABCD在桌面上）时，液体的深度是 dm．
16．（3分）如图，在以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC中，将B角折起，使点B落在AC边上的点D（不与点A，C重合）处，折痕是EF．
如图1，当CD＝AC时，tanα1＝；
如图2，当CD＝AC时，tanα2＝；
如图3，当CD＝AC时，tanα3＝；
……
依此类推，当CD＝AC（n为正整数）时，tanαn＝ ．
三、作图题（本大题满分4分）
17．（4分）如图，已知∠BAC和边AB上一点D．求作：⊙O，使⊙O满足：
①圆心在∠BAC内部；
②与∠BAC的两边相切，且其中一个切点为D．
四、解答题（本大题共9小题，共68分）
18．（8分）（1）化简：；
（2）解不等式组，并写出不等式组的最小整数解．
19．（6分）在一个不透明的口袋里装有黑、白两种颜色的球共4个．某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回口袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到0.1）；
（2）试估算口袋中白球有多少个？
（3）若从中摸出一个球后不放回，再从余下的球中摸出一个，请用列表法或画树状图的方法（只需要选其中一种），求两次摸到的球的颜色相同的概率．
20．（6分）如图，海中有一小岛A，今有一货轮由南向北航行，开始在A岛西南方向的B处，往北行驶30海里后到达该岛南偏西76°的C处．之后，货轮继续向北航行．一艘快艇从A岛出发，沿北偏西37°方向行驶，恰好在D处与货轮相遇，求相遇时快艇行驶的距离AD．（结果保留整数，参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin76°≈0.97，cs76°≈0.24，tan76°≈4.00）
21．（6分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若，BD＝2，求OE的长．
22．（6分）本月初我市市区某校九年级学生进行一次体育模拟测试，并将目标效果测试中第二类选考项目（足球运球、篮球运球、排球垫球任选一项）的情况进行统计，并将统计结果绘制成统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：
（1）学校参加本次测试和参加“排球垫球”测试的人数分别是多少人？
（2）“篮球运球”的中位数落在 等级；
（3）将本次测试“足球运球”、“篮球运球”、“排球垫球”三项等级折算成分数，则它们的平均成绩分别为6.5分，7.6分，8分，求参加本次测试的学生第二类选考项目的平均成绩；
（4）青岛市今年参加体育中考的人数约为8.5万人，你能否估计今年全市选择“篮球运球”的考生会有多少人？若能，求出其人数；若不能，请说明理由．
23．（8分）【模型】
同高的两个三角形面积之比等于底边长度之比．
已知，如图1，△ABC中，D为线段BC上任意一点，连接AD，则有：．
【模型应用】
（1）如图2，任意四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD边的中点，连接CE、AF，若四边形ABCD的面积为S，则S四边形AECF＝ ．
（2）如图3，在任意四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD上离点A和点C最近的三等分点，连接AF、CE，若四边形ABCD的面积为S，则S四边形AECF＝ ．
（3）如图4，在任意四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD上离点B和点D最近的n等分点，连接AF、CE，若四边形ABCD的面积为S，则S四边形AECF＝ ．
【拓展与应用】
（4）如图5，若任意的十边形的面积为100，点K、L、M、N、O、P、Q、R分别是AB、CD、DE、EF、FG、HI、IJ、JA边上离点A、C、E、E、F、H、I、A最近的四等分点，连接BL、DK、DR、MJ、NJ、FQ、OI、GP，则图中阴影部分的面积是 ．
24．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的⊙O经过点D．
（1）求证：①BC是⊙O的切线；
②CD2＝CE•CA；
（2）若点F是劣弧AD的中点，且CE＝3，试求阴影部分的面积．
25．（10分）某商场在试销一种进价为20元/件的商品时，每天不断调整该商品的售价以期获利更多，经过20天的试销发现，第一天销售量为78件，以后每天销售量总比前一天减少2件，且第1天至第10天，商品销售单价p与天数x满足：p＝30+x；第11天至第20天，商品销售单价p与天数x满足：p＝20+．
（1）写出销售量y（件）与天数x（天）的函数关系式；
（2）求商场销售该商品的20天里每天获得的利润w（元）与x的函数关系式；
（3）该商品试制期间，第几天销售该商品获得的利润最大？最大利润是多少？
26．（10分）已知：如图，在矩形ABCD中，CD＝6cm，BC＝8cm，对角线AC，BD交于点O，点P从点C出发，沿CB方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s．过点Q作QM∥BD，交AC于点M，连接PQ，PM分别交BD于点E，F．设运动时间为t s（0＜t＜4），解答下列问题：
（1）当t为何值时，MP∥AB？
（2）设△PQM的面积为S cm2，求S与t的函数关系式．
（3）延长QM交AB于点N，是否存在某一时刻t，使点P在线段QN的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
2024年山东省青岛二十六中中考数学三模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）华为一部分Mate40手机将会搭载麒麟9000处理器，这是手机行业首批采用5nm工艺制式的芯片，1nm＝0.000000001m，其中5nm用科学记数法表示为（ ）
A．5×109B．5×10﹣10C．5×10﹣8D．5×10﹣9
【答案】D
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：5nm＝0.000000005m，
0.000000005＝5×10﹣9．
故选：D．
2．（3分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．ab＞0B．a+b＞0C．|a|＜|b|D．a+1＜b+1
【答案】D
【分析】根据有理数的乘法法则判断A选项；根据有理数的加法法则判断B选项；根据绝对值的定义判断C选项；根据不等式的基本性质判断D选项．
【解答】解：A选项，∵a＜0，b＞0，
∴ab＜0，故该选项不符合题意；
B选项，∵a＜0，b＞0，|a|＞|b|，
∴a+b＜0，故该选项不符合题意；
C选项，|a|＞|b|，故该选项不符合题意；
D选项，∵a＜b，
∴a+1＜b+1，故该选项符合题意；
故选：D．
3．（3分）2024年巴黎奥运会是第三十三届夏季奥林匹克运动会，将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行．下面2024年巴黎奥运会项目图标是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．据此逐一判断即可得到答案．
【解答】解：A、该图不能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、该图能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、该图不能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、该图不能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
4．（3分）在一个不透明的袋中装有若干个红球和4个黑球，每个球除颜色外完全相同，摇匀后从中摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，不断重复这一过程，共摸球200次，其中有80次摸到黑球，估计袋中红球的个数是（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】C
【分析】利用频率估计概率可估计摸到黑球的概率为，然后根据概率公式构建方程求解即可．
【解答】解：设袋中红球的个数是x个，根据题意得：
＝，
解得：x＝6，
经检验：x＝6是分式方程的解，
即估计袋中红球的个数是6个，
故选：C．
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．（﹣1）﹣1+（﹣1）0＝0
C．35x3y2÷5x2y2＝7xyD．a2m＝（﹣a2）m
【答案】B
【分析】利用同底数幂的乘法法则，零指数幂的意义和负整数指数幂的意义，单项式除以单项式的法则，幂的乘方的法则对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【解答】解：∵a2•a3＝a2+3＝a5，
∴A选项的运算不正确；
∵（﹣1）﹣1+（﹣1）0＝﹣1+1＝0，
∴B选项的运算正确；
∵35x3y2÷5x2y2＝7x，
∴C选项的运算不正确；
∵当m为偶数时，a2m＝（﹣a2）m，当m为奇数时，a2m＝﹣（﹣a2）m，
∴D选项的运算不正确．
综上，运算正确的选项为B，
故选：B．
6．（3分）如图几何体的三视图绘制正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据三视图的定义判断即可．
【解答】解：该几何体的三视图如选项D所示．
故选：D．
7．（3分）把直角三角板ABC和长方形纸片按如图方式摆放，使直角顶点C在纸片边缘上，若∠A＝30°，∠1＝55°，则∠2的度数是（ ）
A．12.5°B．15°C．25°D．35°
【答案】C
【分析】根据平角的定义得出∠DCB，进而利用平行线的性质解答即可．
【解答】解：过B作BE∥CD，
∵CD∥MG，
∴BE∥MG，
∴∠DCB＝∠CBE，∠2＝∠EBH，
∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，
∴∠CBA＝60°，
∵∠1＝55°，
∴∠DCB＝90°﹣55°＝35°，
∴∠2＝∠EBA＝∠CBA﹣∠CBE＝∠CBA﹣∠DCB＝60°﹣35°＝25°，
故选：C．
8．（3分）如图，将△ABC绕点P按逆时针方向旋转45°，得到△A′B′C′，则点C的对应点C′的坐标是（ ）
A．（1，2）B．（1，+1）C．（2，1）D．（+1，1）
【答案】B
【分析】利用勾股定理求出PC，再利用旋转变换的性质判断出点C′在点P的正上方，可得结论．
【解答】解：如图，
∵P（1，1），C（2，2），
∴PC＝＝，
∵将△ABC绕点P按逆时针方向旋转45°，得到△A′B′C′，
∴点C′在点P的正上方，
∴C′（1，1+），
故选：B．
9．（3分）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE折叠后得到△AFE，点F在矩形内部．延长AF交CD于点H，若AD＝4，CH＝，则折痕AE的长为（ ）
A．B．2C．3D．2
【答案】A
【分析】连接EH，先证明Rt△EFH≌Rt△ECH（HL），得到CH＝FH，设AB＝x，则有AH＝x+，DH＝x﹣，在Rt△ADH中，＝42+，解出x＝3，在Rt△ABE中，BE＝2，AB＝3，即可求AE＝．
【解答】解：连接EH，
∵E是BC的中点，
∴BE＝EC，
∵将△ABE折叠后得到△AFE，
∴∠AFE＝∠B＝90°，BE＝EF，
∴EF＝EC，
∵矩形ABCD，
∴∠C＝90°，
∴Rt△EFH≌Rt△ECH（HL），
∴CH＝FH，
∵AD＝4，CH＝，
设AB＝x，则有AH＝x+，DH＝x﹣，
在Rt△ADH中，＝42+，
∴x＝3，
在Rt△ABE中，BE＝2，AB＝3，
∴AE＝，
故选：A．
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：
①abc＞0；
②b2＜4ac；
③2c＜3b；
④a+2b＞m（am+b）（m≠1）；
⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为2，
其中正确的结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】A
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断①，由抛物线与x轴交点个数可判断②，由b＝﹣2a，x＝﹣1时y＜0可判断③，由x＝1时函数取最大值可判断④，由函数y＝ax2+bx+c与直线y＝1及直线y＝﹣1的交点横坐标为方程|ax2+bx+c|＝1的解及抛物线的对称轴为直线x＝1可判断⑤．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，①错误．
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，②错误．
∵x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
∵b＝﹣2a，
∴a＝﹣，
∴﹣b+c＜0，
∴2c＜3b，③正确．
∵x＝1时，y＝a+b+c为函数最大值，
∴a+b+c＞m（am+b）+c（m≠1），
∴a+b＞m（am+b）（m≠1），
∵b＞0，
∴a+2b＞a+b＞m（am+b）（m≠1），④正确．
方程|ax2+bx+c|＝1的四个根分别为ax2+bx+c＝1和ax2+bx+c＝﹣1的根，
∵抛物线y＝ax2+bx+c关于直线x＝1对称，
∴抛物线与直线y＝1的交点的横坐标为之和为2，
抛物线与直线y＝﹣1的交点横坐标为之和为2，
∴方程|ax2+bx+c|＝1的四个根的和为4，⑤错误．
故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）分解因式：﹣m+2m2﹣m3＝ ﹣m（m﹣1）2 ．
【答案】﹣m（m﹣1）2．
【分析】提公因式后利用完全平方公式因式分解即可．
【解答】解：原式＝﹣m（m2﹣2m+1）
＝﹣m（m﹣1）2，
故答案为：﹣m（m﹣1）2．
12．（3分）某海洋养殖场每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖场第一年的可变成本为2.6万元，第三年的养殖成本为7.146万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x，则可列方程为 4+2.6（1+x）2＝7.146 ．
【答案】4+2.6（1+x）2＝7.146．
【分析】根据养殖成本＝固定成本+可变成本建立方程即可．
【解答】解：由题意，得
4+2.6（1+x）2＝7.146，
故答案为：4+2.6（1+x）2＝7.146．
13．（3分）已知三个数据x1，x2，x3的平均数为2，方差为1，则，，的平均数为 5 ．
【答案】5．
【分析】根据题意列出关于x1，x2，x3是等式，即可求出，，的平均数．
【解答】解：∵三个数据x1，x2，x3的平均数为2，方差为1，
∴（x1+x2+x3）＝2，＝1，
整理．得x1+x2+x3＝6，＝4（x1+x2+x3）﹣9，
∴＝15，
∴，，的平均数为5．
故答案为：5．
14．（3分）为预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”．如图所示，药物燃烧阶段，教室内每立方米空气中的含药量y（mg）与燃烧时间x（分）成正比例；燃烧后，y与x成反比例．若y＞1.6，则x的取值范围是 2＜x＜50 ．
【答案】2＜x＜50．
【分析】先求得反比例函数和正比例函数的解析式，然后把y＞分别代入正比例和反比例函数解析式，求出相应的x取值范围即可．
【解答】解：当0≤x≤6时，设每立方米空气中的含药量y（mg）与燃烧时间x（分）的函数解析式为y＝kx，
把（10，8）代入解析式得：10k＝8，
解得k＝，
∴每立方米空气中的含药量y（mg）与燃烧时间x（分）的函数解析式为y＝x，
当y＞1.6时，x＞1.6，
解得x＞2；
当x＞10时，y与x的函数解析式为y＝，
把（10，8）代入解析式得：m＝80，
∴y与x的函数解析式为y＝，
当y＞1.6时，＞1.6，
解得x＜50，
∴y＞1.6x的取值范围是2＜x＜50．
故答案为：2＜x＜50．
15．（3分）一透明的敞口正方体容器装有一些液体，棱AB始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α，（∠CBE＝α，如图1所示），此时液面刚好过棱CD，并与棱BB'交于点Q，此时液体的形状为直三棱柱，三视图及尺寸如图2所示，当正方体平放（正方形ABCD在桌面上）时，液体的深度是 1.5 dm．
【答案】1.5．
【分析】首先根据水面与水平面平行可以得到CQ与BE平行，利用勾股定理即可求得BQ的长，由题意可知液体正好是一个以△BCQ是底面的直棱柱，据此即可求得液体的体积，进一步求得液体的深度．
【解答】解：∵CQ＝5dm，BC＝4dm，
∴BQ＝＝＝3（dm），
∴液体的体积为：V液＝×3×4×4＝24（dm3），
∴液体的深度是24÷（4×4）＝1.5（dm）．
故答案为：1.5．
16．（3分）如图，在以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC中，将B角折起，使点B落在AC边上的点D（不与点A，C重合）处，折痕是EF．
如图1，当CD＝AC时，tanα1＝；
如图2，当CD＝AC时，tanα2＝；
如图3，当CD＝AC时，tanα3＝；
……
依此类推，当CD＝AC（n为正整数）时，tanαn＝ ．
【答案】见试题解答内容
【分析】探究规律，利用规律解决问题即可．
【解答】解：观察可知，正切值的分子是3，5，7，9，…，2n+1，
分母4＝2×（1×2）．12＝2×（2×3），24＝2×（3×4），…，2n（n+1），
∴tanαn＝．
故答案为：．
三、作图题（本大题满分4分）
17．（4分）如图，已知∠BAC和边AB上一点D．求作：⊙O，使⊙O满足：
①圆心在∠BAC内部；
②与∠BAC的两边相切，且其中一个切点为D．
【答案】见试题解答内容
【分析】作∠BAC的角平分线OM，过点D作DO⊥AB交AM于O，以O为圆心，OD为半径作⊙O即可．
【解答】解：如图，⊙O即为所求．
四、解答题（本大题共9小题，共68分）
18．（8分）（1）化简：；
（2）解不等式组，并写出不等式组的最小整数解．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据分式的运算法则即可求出答案．
（2）根据不等式组的解法即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝•
＝．
（2），
由①得：x＜3，
由②得：x≥﹣2，
∴不等式组的解集为：﹣2≤x＜3，
∴最小整数解为﹣2．
19．（6分）在一个不透明的口袋里装有黑、白两种颜色的球共4个．某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回口袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 0.5 （精确到0.1）；
（2）试估算口袋中白球有多少个？
（3）若从中摸出一个球后不放回，再从余下的球中摸出一个，请用列表法或画树状图的方法（只需要选其中一种），求两次摸到的球的颜色相同的概率．
【答案】（1）0.5；
（2）估计口袋中白球的个数为2个；
（3）P（颜色相同）＝．
【分析】（1）根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.5；
（2）利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.5，然后利用概率公式计算白球的个数；
（3）先利用列表法展示所有16种等可能的结果数，再找出两次摸到的球颜色相同的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）由题可得，当n很大时，摸到白球的频率接近0.5；
故答案为：0.5；
（2）∵摸到白球的概率为0.5，
∴估计口袋中白球的个数＝4×0.5＝2 （个）．
（3）根据题意列表如下：
由上表可知，共有12种等可能出现的结果，其中两次摸到的球颜色相同的有4种，分别为：（白1，白2），（白2，白1），（黑2，黑1），（黑1，黑2），
∴P（颜色相同）＝．
20．（6分）如图，海中有一小岛A，今有一货轮由南向北航行，开始在A岛西南方向的B处，往北行驶30海里后到达该岛南偏西76°的C处．之后，货轮继续向北航行．一艘快艇从A岛出发，沿北偏西37°方向行驶，恰好在D处与货轮相遇，求相遇时快艇行驶的距离AD．（结果保留整数，参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin76°≈0.97，cs76°≈0.24，tan76°≈4.00）
【答案】相遇时快艇行驶的距离AD为67海里．
【分析】过D作DE⊥EF于E，过B作BF⊥EF于F，过A作AH⊥BD于H，根据矩形的性质得到DE＝AH＝BF，设DE＝AH＝BF＝h，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：FE是过A南北方向的直线，过D作DE⊥EF于E，过B作BF⊥EF于F，过A作AH⊥BD于H，
∵BD∥EF，
∴四边形AEDH和AHBF是矩形，
∴DE＝AH＝BF，
设DE＝AH＝BF＝h，
由题意知，∠BAF＝45°，∠CAF＝76°，∠DAE＝37°，BC＝30海里，
则∠BAH＝45°，∠ACH＝∠CAF＝76°，
∴∠ABH＝90°﹣∠BAH＝90°﹣45°＝45°，
∴∠ABH＝∠BAH，
∴BH＝AH＝h，
在Rt△ACH中，CH＝BH﹣BC＝h﹣30，tan∠ACH＝tan76°＝＝≈4，
∴h＝40，
∴AH＝40海里，
在Rt△ADH中，∠ADH＝∠DAH＝37°，
∴sin37°＝＝≈0.6，
∴AD≈67（海里），
答：相遇时快艇行驶的距离AD为67海里．
21．（6分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若，BD＝2，求OE的长．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先判断出∠OAB＝∠DCA，进而判断出∠DCA＝∠DAC，得出CD＝AD＝AB，即可得出结论；
（2）先判断出OE＝OA＝OC，再求出OB＝1，利用勾股定理求出OA，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AB∥DC，
∴∠OAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD＝AB，
∵AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，
∵CE⊥AB，
∴OE＝OA＝OC，
∵BD＝2，
∴，
在Rt△AOB中，，OB＝1，
∴，
∴OE＝OA＝2．
22．（6分）本月初我市市区某校九年级学生进行一次体育模拟测试，并将目标效果测试中第二类选考项目（足球运球、篮球运球、排球垫球任选一项）的情况进行统计，并将统计结果绘制成统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：
（1）学校参加本次测试和参加“排球垫球”测试的人数分别是多少人？
（2）“篮球运球”的中位数落在 “良好” 等级；
（3）将本次测试“足球运球”、“篮球运球”、“排球垫球”三项等级折算成分数，则它们的平均成绩分别为6.5分，7.6分，8分，求参加本次测试的学生第二类选考项目的平均成绩；
（4）青岛市今年参加体育中考的人数约为8.5万人，你能否估计今年全市选择“篮球运球”的考生会有多少人？若能，求出其人数；若不能，请说明理由．
【答案】（1）300人，165人；
（2）“良好”；
（3）7.71分；
（4）29750人．
【分析】（1）根据参加“篮球运球”测试的人数及所占的百分比求出学校参加本次测试总人数，再用总人数乘以“排球垫球”所占的百分比得到参加“排球垫球”测试的人数；
（2）根据中位数的定义即可求解；
（3）利用加权平均数的公式计算即可；
（4）用8.5万乘以样本中选择“篮球运球”的考生所占的百分比即可求解．
【解答】解：（1）由条形统计图可知，参加“篮球运球”测试的人数有：10+25+40+30＝105（人），
由扇形统计图可知，参加“篮球运球”测试的人数所占的百分比为35%，
∴学校参加本次测试总人数为：105÷35%＝300（人），
参加“排球垫球”测试的人数为：300×（1﹣10%﹣35%）＝165（人）；
（2）由条形统计图可知，参加“篮球运球”测试的一共有105人，
其中不及格的有10人，合格的有25人，良好的有40人，优秀的有30人，
105个数据按从小到大的顺序排列后，第53个数落在“良好”等级，
即“篮球运球”的中位数落在“良好”等级．
故答案为：“良好”；
（3）由（1）知，参加“篮球运球”测试的有105人，参加“排球垫球”测试的有165人，则参加“足球运球”的有30人，
又将本次测试“足球运球”、“篮球运球”、“排球垫球”三项等级折算成分数，则它们的平均成绩分别为6.5分，7.6分，8分，
∴参加本次测试的学生第二类选考项目的平均成绩为：＝7.71（分）；
（4）能估计今年全市选择“篮球运球”的考生人数．
由扇形统计图可知，参加“篮球运球”测试的人数所占的百分比为35%，
所以今年全市选择“篮球运球”的考生人数有：8.5×35%＝2.975（万人）＝29750（人）．
23．（8分）【模型】
同高的两个三角形面积之比等于底边长度之比．
已知，如图1，△ABC中，D为线段BC上任意一点，连接AD，则有：．
【模型应用】
（1）如图2，任意四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD边的中点，连接CE、AF，若四边形ABCD的面积为S，则S四边形AECF＝ ．
（2）如图3，在任意四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD上离点A和点C最近的三等分点，连接AF、CE，若四边形ABCD的面积为S，则S四边形AECF＝ ．
（3）如图4，在任意四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD上离点B和点D最近的n等分点，连接AF、CE，若四边形ABCD的面积为S，则S四边形AECF＝ S ．
【拓展与应用】
（4）如图5，若任意的十边形的面积为100，点K、L、M、N、O、P、Q、R分别是AB、CD、DE、EF、FG、HI、IJ、JA边上离点A、C、E、E、F、H、I、A最近的四等分点，连接BL、DK、DR、MJ、NJ、FQ、OI、GP，则图中阴影部分的面积是 75 ．
【答案】（1）；
（2）；
（3）S；
（4）75．
【分析】（1）由三角形的中线性质得S△AEC＝S△ABC，S△AFC＝S△ACD，即可解决问题；
（2）连接AC，由模型得S△AEC＝S△ABC，S△AFC＝S△ACD，即可解决问题；
（3）连接AC，由模型得S△BEC＝S△ABC，S△ADF＝S△ACD，再由S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD，S四边形AECF＝S四边形ABCD﹣（S△BEC+S△ADF），即可陈经理；
（4）连接AD、JE、IF，由（3）得：S四边形BLDK＝S四边形ABCD＝S四边形ABCD，同理，S四边形RDMJ＝S四边形ADEJ，S四边形JNFQ＝S四边形JEFI，S四边形IOGP＝S四边形IFGH，再由S十边形ABCDEFGHIJ＝S四边形ABCD+S四边形ADEJ+S四边形JEFI+S四边形IFGH，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵E、F分别是AB、CD边的中点，
∴AE＝AB，CF＝CD，
∴S△AEC＝S△ABC，S△AFC＝S△ACD，
∵S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD，S四边形AECF＝S△AEC+S△AFC，
∴S四边形AECF＝S四边形ABCD＝，
故答案为：；
（2）如图3，连接AC，
∵点E、F分别是边AB、CD上离点A和点C最近的三等分点，
∴AE＝AB，CF＝CD，
∴S△AEC＝S△ABC，S△AFC＝S△ACD，
∵S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD，S四边形AECF＝S△AEC+S△AFC，
∴S四边形AECF＝S四边形ABCD＝，
故答案为：；
（3）如图4，连接AC，
∵点E、F分别是边AB、CD上离点B和点D最近的n等分点，
∴BE＝AB，DF＝CD，
∴S△BEC＝S△ABC，S△ADF＝S△ACD，
∵S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD，S四边形AECF＝S四边形ABCD﹣（S△BEC+S△ADF），
∴S四边形AECF＝S四边形ABCD﹣（S△BEC+S△ADF）
＝S四边形ABCD﹣（S△ABC+S△ACD）
＝S四边形ABCD﹣S四边形ABCD
＝S﹣
＝S，
故答案为：S；
（4）如图5，连接AD、JE、IF，
由（3）得：S四边形BLDK＝S四边形ABCD＝S四边形ABCD，
同理，S四边形RDMJ＝S四边形ADEJ，S四边形JNFQ＝S四边形JEFI，S四边形IOGP＝S四边形IFGH，
∵S十边形ABCDEFGHIJ＝S四边形ABCD+S四边形ADEJ+S四边形JEFI+S四边形IFGH，
∴S阴影＝S四边形BLDK+S四边形RDMJ+S四边形JNFQ+S四边形IOGP
＝S四边形ABCD+S四边形ADEJ+S四边形JEFI+S四边形IFGH
＝（S四边形ABCD+S四边形ADEJ+S四边形JEFI+S四边形IFGH）
＝S十边形ABCDEFGHIJ
＝×100
＝75，
故答案为：75．
24．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的⊙O经过点D．
（1）求证：①BC是⊙O的切线；
②CD2＝CE•CA；
（2）若点F是劣弧AD的中点，且CE＝3，试求阴影部分的面积．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）①证明DO∥AB，即可求解；②证明CDE∽△CAD，即可求解；
（2）证明△OFD、△OFA是等边三角形，S阴影＝S扇形DFO，即可求解．
【解答】解：（1）①连接OD，
∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB＝∠DAO，
∵OD＝OA，∴∠DAO＝∠ODA，
则∠DAB＝∠ODA，
∴DO∥AB，而∠B＝90°，
∴∠ODB＝90°，
∴BC是⊙O的切线；
②连接DE，
∵BC是⊙O的切线，∴∠CDE＝∠DAC，
∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAD，
∴CD2＝CE•CA；
（2）连接DE、OD、DF、OF，设圆的半径为R，
∵点F是劣弧AD的中点，∴是OF是DA中垂线，
∴DF＝AF，∴∠FDA＝∠FAD，
∵DO∥AB，∴∠ODA＝∠DAF，
∴∠ADO＝∠DAO＝∠FDA＝∠FAD，
∴AF＝DF＝OA＝OD，
∴△OFD、△OFA是等边三角形，则DF∥AC，
故S阴影＝S扇形DFO，
∴∠C＝30°，
∴OD＝OC＝（OE+EC），而OE＝OD，
∴CE＝OE＝R＝3，
S阴影＝S扇形DFO＝×π×32＝．
25．（10分）某商场在试销一种进价为20元/件的商品时，每天不断调整该商品的售价以期获利更多，经过20天的试销发现，第一天销售量为78件，以后每天销售量总比前一天减少2件，且第1天至第10天，商品销售单价p与天数x满足：p＝30+x；第11天至第20天，商品销售单价p与天数x满足：p＝20+．
（1）写出销售量y（件）与天数x（天）的函数关系式；
（2）求商场销售该商品的20天里每天获得的利润w（元）与x的函数关系式；
（3）该商品试制期间，第几天销售该商品获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设P与x之间的函数关系式为y＝kx+b，将（1，78），（2，76）代入关系式就可以求出结论；
（2）设前10天每天的利润为w1（元），后10天每天的利润为w2（元），由日销售利润＝每天的销售量×每公斤的利润就可以分别表示出w1与w2与x的关系；
（3）当1≤x≤10，得到当x＝10时，w1有最大值＝1200元，当11≤x≤20，当x＝11时，w2有最大值＝580元，比较即可得到结论．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，由题意，得，解得：，
∴销售量y（件）与天数x（天）的函数关系式为：y＝﹣2x+80；
（2）设前10天每天的利润为w1（元），后10天每天的利润为w2（元），
由题意，得
w1＝（p﹣20）y
＝（30+x﹣20）（﹣2x+80），
＝﹣2x2+60x+800，
w2＝（p﹣20）y
＝（20+﹣20）（﹣2x+80），
＝﹣220；
（3）当1≤x≤10，w1＝﹣2x2+60x+800＝﹣2（x﹣15）2+1250，
∴当x＝10时，w1有最大值＝1200元，
当11≤x≤20，w2＝﹣220，
∴当x＝11时，w2有最大值＝580元，
∵1200＞580，
∴第10天销售该商品获得的利润最大，最大利润是1200元．
26．（10分）已知：如图，在矩形ABCD中，CD＝6cm，BC＝8cm，对角线AC，BD交于点O，点P从点C出发，沿CB方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s．过点Q作QM∥BD，交AC于点M，连接PQ，PM分别交BD于点E，F．设运动时间为t s（0＜t＜4），解答下列问题：
（1）当t为何值时，MP∥AB？
（2）设△PQM的面积为S cm2，求S与t的函数关系式．
（3）延长QM交AB于点N，是否存在某一时刻t，使点P在线段QN的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）当t为时，MP∥BD；理由见解答过程；
（2）S与t的函数关系式为S＝﹣3t+12；
（3）存在某一时刻t，使点P在线段QN的垂直平分线上；t为s时，P在线段QN的垂直平分线上．
【分析】（1）由平行线分线段成比例定理得，，即可求解；
（2）过点M作MG⊥CB于点G，交AD于点H，由相似三角形的性质得出，得出MG＝3+t，MH＝3﹣t，根据S矩形ABCD﹣S梯形PQDC﹣S△AMQ﹣（S△ABC﹣S△MPC），代入计算即可；
（3）连接PN，过点Q作QK⊥BC于点K，求出BN＝t，由线段垂直平分线的性质得出，解方程可得出答案．
【解答】解：（1）当t为时，MP∥BD；理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝6cm，AD＝BC＝8cm，
∵QM∥BD，
∴，
即，
∴AM＝（8﹣t）（cm），
∴MC＝10﹣（8﹣t）＝5+t，
若MP∥BD，
则，
即，
解得：t＝，
即当t为时，MP∥BD；
（2）如图1，过点M作MG⊥CB于点G，交AD于点H，
∵△CMG∽△CAB，
∴，
∴，
∴MG＝（3+t）cm，
∴MH＝（3﹣t）cm，
∴S＝S矩形ABCD﹣S梯形PQDC﹣S△AMQ﹣（S△ABC﹣S△MPC）
＝6×8﹣（t+2t）•6﹣﹣
＝﹣3t+12．
∴S与t的函数关系式为S＝﹣3t+12．
（3）存在某一时刻t，使点P在线段QN的垂直平分线上；理由如下：
如图2，连接PN，过点Q作QK⊥BC于点K，
∵点P在线段QN的垂直平分线上，
∴PN＝PQ，
∵NQ∥BD，
∴，
∴，
∴BN＝t cm，
∴PN2＝PB2+BN2＝，
∴PQ2＝KQ2+PK2＝62+t2，
∴，
解得t1＝8（舍去），t2＝，
答：t为s时，P在线段QN的垂直平分线上．
摸球的次数n
2048
4040
10000
12000
摸到白球的次数m
1061
2048
4979
6019
摸到白球的频率
0.518
0.5069
0.4979
0.5016
摸球的次数n
2048
4040
10000
12000
摸到白球的次数m
1061
2048
4979
6019
摸到白球的频率
0.518
0.5069
0.4979
0.5016
第二次第一次
白1
白2
黑1
黑2
白1
（白1，白2）
（白1，黑1）
（白1，黑2）
白2
（白2，白1）
（白2，黑1）
（白2，黑2）
黑1
（黑1，白1）
（黑1，白2）
（黑1，黑2）
黑2
（黑2，白1）
（黑2，白2）
（黑2，黑1）